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EQUIPE OS CONTÍNUOS 
MATEMÁTICA 
AULA 38 
 
 
FUNÇÕES CIRCULARES 
Função seno 
 
 
Denominamos função seno a função seno a 
função 𝑓: 𝑅 → 𝑅 que associa a cada 
número real x um valor para sen x , isto é, f(x) 
= sen x 
O domínio e o contradomínio de y = sen x são 
iguais a R, mas o conjunto imagem é dado por 
Im = {𝑦 ∈ 𝑅|−1 ≤ 𝑦 ≤ 1},pois o raio do 
ciclo é unitário : −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ 1. 
Característica da função : f(x) = sen x 
✓ Crescente nos 1º e 4º quadrantes 
✓ Decrescente nos 2º e 3º quadrantes 
 
A partir daí, repetem-se os valores de sen x. 
Temos: 
 
𝑠𝑒𝑛 0 = 𝑠𝑒𝑛 (0 + 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛 (0 + 4𝜋) = ⋯ = 0 
𝑠𝑒𝑛 
𝜋
2
= 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
+ 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
+ 4𝜋) = ⋯ = 1 
𝑠𝑒𝑛 𝜋 = 𝑠𝑒𝑛 (𝜋 + 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛 (𝜋 + 4𝜋) = ⋯ = 0 
𝑠𝑒𝑛 
3𝜋
2
= 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
2
+ 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
2
+ 4𝜋) = ⋯ = −1 
⋮ ⋮ 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 4𝜋) = ⋯ =
 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝑘𝜋), 𝑘 ∈ 𝑍 
Diz – se , por isso, que a função seno é 
periódica e seu período é 2𝜋. 
 
 
 
Temos, assim: 
 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝑘𝜋), ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 𝑒 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 
IPC: 
I) A respeito de uma função do tipo 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛 (𝑐𝑥 + 𝑑), sendo c e d reais, com 𝑐 ≠ 0, 
ela é periódica e tem periódico 𝑝 =
2𝜋
|𝑐|
 
II)A respeito de uma função do tipo 𝑓(𝑥) =
𝑎 + 𝑏. 𝑠𝑒𝑛 (𝑐𝑥 + 𝑑), além de D = R e 
𝑝 =
2𝜋
|𝑐|
 , ela apresenta conjunto imagem 
como intervalo fechado de extremidade a + b 
e a – b, na ordem conveniente. 
 
Função cosseno 
 
 
Denominamos função seno a função seno a 
função 𝑓: 𝑅 → 𝑅 que associa a cada 
número real x um valor para cos x , isto é, f(x) 
= cos x 
O domínio e o contradomínio de y = cos x são 
iguais a R, mas o conjunto imagem é dado por 
Im = {𝑦 ∈ 𝑅|−1 ≤ 𝑦 ≤ 1},pois o raio do 
ciclo é unitário : −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≤ 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EQUIPE OS CONTÍNUOS 
MATEMÁTICA 
AULA 38 
 
 
Característica da função : f(x) = cos x 
✓ Crescente nos 3º e 4º quadrantes 
✓ Decrescente nos 1º e 2º quadrantes 
 
A partir daí, repetem-se os valores de cos x. 
Temos: 
𝑐𝑜𝑠 0 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋) = ⋯ = 1 
𝑐𝑜𝑠 
𝜋
2
= cos
5𝜋
2
= 0 
𝑐𝑜𝑠 𝜋 = 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 = ⋯ = −1 
𝑐𝑜𝑠 
3𝜋
2
= cos
7𝜋
2
= ⋯ = 0 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 2𝑘𝜋), 𝐾 ∈ 𝑍 
 
IPC: 
 
I)A respeito de uma função do tipo 
 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏. 𝑐𝑜𝑠 (𝑐𝑥 + 𝑑), além de D = R e 
𝑝 =
2𝜋
|𝑐|
 , ela apresenta conjunto imagem como 
intervalo fechado de extremidade a + b e a – b, 
na ordem conveniente. 
 
 
FUNÇÃO TANGENTE 
 
 
 Propriedades 
Domínio: Como a função cosseno se anula 
para arcos da forma 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, onde k em Z, 
temos: 
 
 
 
 
 
Imagem: O conjunto imagem da função 
tangente é o conjunto dos números reais, 
assim I=R 
 
Periodicidade A função é periódica e seu 
período é 𝜋 
Para todo x em R, sendo x diferente de 
𝜋
2
+
𝑘𝜋, onde k em Z, temos: 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Seja as funções abaixo, encontre o domínio 
, a imagem e o período de cada uma: 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 + 
𝜋
2
) 
𝑓(𝑥) = 1 + 3 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 − 
𝜋
5
) 
𝑓(𝑥) = 4 + 2 𝑐𝑜𝑠 (5𝑥 − 
𝜋
2
) 
2) O valor máximo da função real 
 𝑓(𝑥) =
1
2 +cos(𝑥)
 é: 
a)1/3 b) ½ c)1 d)3 
3) Do solo, você observa um amigo numa roda 
– gigante. A altura h em metros de seu amigo 
em relação ao solo é dada pela expressão: 
ℎ(𝑡) = 11,5 + 10 𝑠𝑒𝑛 ( 
𝜋
12
(𝑡 − 26)) 
a)A altura em que seu amigo estava quando a 
roda começou a girar ( t = 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA 
AULA 38 
 
 
b)As alturas mínima e máxima que seu amigo 
alcança e o tempo gasto em uma volta 
completa ( período) 
4) Os preços dos produtos agrícolas oscilam 
de acordo com a safra de cada um: mais baixo 
no período da colheita, mais alto na 
entressafra. Suponha que o preço aproximado 
P, em reais, do quilograma de tomates seja 
dado pela função: 
𝑃(𝑡) = 0,8 𝑥 𝑠𝑒𝑛 [
2𝜋
360
(𝑡 − 101)] + 2,7 
Na qual t é o número de dias contados de 1º 
de janeiro até 31 de dezembro de um 
determinado ano. Para esse período, calcule: 
 
a)O maior e o menor preço de quilograma de 
tomates 
 
b)Os valores de t para os quais o preço P seja 
igual a R$3,10 
 
5) O PIB ( Produto interno bruto) de certo país, 
no ano 2000 + x, é dado, em bilhões de 
dólares, por 𝑃(𝑥) = 500 + 0,5𝑋 + 20 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑥
6
), 
onde x é um inteiro não negativo. Determine, 
em bilhões de dólares, o valor do PIB do país 
em 2004 e calcule a soma de seus dígitos.