2 Campo Eletrico

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2. Campo Elétrico
O campo elétrico é uma grandeza vetorial 
definido como a força por unidade de carga 
que atua em uma carga de prova q0 na 
posição onde ela está colocada.
A carga de prova q é uma carga de teste 
Toda carga (ou distribuição de cargas) gera 
no espaço ao seu entorno um campo 
O campo elétrico pode ser medido através de 
uma carga de prova q0 , sendo determinado 
pela força que uma carga q atuará em q0. 
No SI, o campo elétrico é medido em N/C.
A carga de prova q0 é uma carga de teste 
unitária e positiva.
no espaço ao seu entorno um campo 
elétrico, de modo q0 dever ser 
suficientemente pequena.
Rigorosamente, o campo elétrico é definido 
por
01
Se q > 0
Considere uma carga puntifome q a uma distância r da carga de prova q0
Se q < 0
A configuração do campo de forças no espaço R3 produzido por uma
carga q, existe mesmo que não tenha a carga de prova q0.
02
Considerando um sistema com n cargas, o campo elétrico no ponto P é 
obtido do princípio da superposição:
Principio da Superposição
P
q1
q2
qn
03
Exercício 2.1: Campo Elétrico de um dipolo Elétrico
Duas cargas de módulo |q1| = |q2| = 12 nC e sinais opostos estão 
esquematizada na figura abaixo. Calcule o campo elétrico no ponto C.
Resolução: O vetor campo elétrico em C devido a carga q1 é dado 
por:
1E
r
1E
r
iE ˆ1x= jsenEiE ˆ)(ˆ)cos( αα |||| 11
rr
+=jE ˆ1y+
E
r
O vetor campo elétrico devido a carga q é dado por:
2EO vetor campo elétrico devido a carga q2 é dado por:
2E
r
jE ˆ2y+iE ˆ2x= jsenEiE ˆ)(ˆ)cos( αα −+−= |||| 22
rr
Cálculo de : E
r
ααααq1 q2
|||| 21 EE
rr
=
2
04
1
r
q
πε
=
22
9
9
)1013(
1012
109
−
−
×
×
×=
CN /1039,6 3×=+ -
C
10 cm CN /1039,6 ×=
jEEiEEE ˆ)(ˆ)( 2y1y2x1x +++=
r
mas 



−=
=
2y1y
2x1x
EE
EE
0
iEE ˆ))cos((2 α||
rr
= î)
13
5
1039,6(2 3×=
CNiE /ˆ1092,4 3×=
r
+ 10 cm
04
Exercícios – Campo Elétrico (distribuição discreta de cargas)
2.1 - Duas pequenas esferas idênticas condutoras estão separadas por uma distância de 0,30 m. Uma delas tem carga de 12nC e a outra tem
carga de -18nC. (a) Encontre a força elétrica que uma esfera exerce sobre a outra. (b) Conectando as esferas por um fio condutor, encontre
a força elétrica quando estabelecido o equilíbrio eletrostático.
[Resp. (a) 2,16 x 10 – 5 N (as esferas se atraem) ; (b) 9,00 x 10 – 7 N (as esferas se repelem) ]
2.2 - Duas pequenas esferas com cargas positivas 3q e q estão fixas em uma haste isolante horizontal. A carga 3q carga na origem e a
outra q na posição a uma distância d. Uma terceira esfera carregada podendo deslizar livremente sobre a haste é colocada entre as cargas
3q e q de modo que fica em equilíbrio. (a) Qual o sinal e a posição de equilíbrio da terceira carga? (b) Ela pode estar em equilíbrio
estático? [Resp. (a) x = 0,634d ; (b) O equilíbrio é estático se a carga q3 é positiva.]
2.3 - Dado a configuração de cargas na figura abaixo, encontre a posição que o campo elétrico é nulo (que não seja o infinito).
µ
2.3 - Dado a configuração de cargas na figura abaixo, encontre a posição que o campo elétrico é nulo (que não seja o infinito).
[Resp. d = 1,82 m à esquerda da carga 2,5 µC.]
2.4 - Duas cargas pontuais estão localizadas sobre o eixo x. A primeira carga +Q está localizada em x = – a. A segunda carga localizada
em x = 3a tem valor desconhecido e produz um campo elétrico na origem de magnitude igual a . Quais são os dois possíveis
valores para esta carga desconhecida? [Resp. q = -9Q e q = +27Q]
2.5 - Considere um número infinito de cargas idênticas (cada uma tem carga q) localizadas ao longo do eixo x em distâncias a, 2a, 3a, ... .
Qual o campo elétrico na origem devido a essa distribuição? Sugestão: Use o fato que [Resp. πq/(24a2ε0)]
2
02 a
Q
πε
111
1
2π
=++++ L
2.6 - Na figura, as quatro partículas formam de lado a = 5,00 cm e têm cargas q1 = +10 nC, q2 = –20 nC ,
q3 = +20 nC e q4 = – 10 nC. Qual é o campo elétrico no centro do quadrado em termos dos vetores unitários?
[Resp. (a) 1,02 x 105 j N/C ]
2.7 - A figura mostra duas partículas carregadas mantidas fixas sobre o eixo x: –q = –3,00 x10 –19C , no ponto 
x = +3,00 m. Determine (a) o módulo e (b) a orientação em relação ao semi-eixo x positivo). 
[Resp. (a) 1,38 × 10–10 N/C; (b) 180°]
64
1
3
1
2
1
1
222
π
=++++ L
05
Exercícios – Campo Elétrico (distribuição discreta de cargas)
2.8 - Duas pequenas esferas de massa igual a 2g estão suspensas por um fio por um fio muito leve de compri-
mento igual a 10 cm (figura acima). Um campo elétrico uniforme é aplicado na direção x. As esferas têm cargas
iguais a -5 x 10-8 C e 5 x 10-8 C. Determine o campo elétrico que permite as esferas ficarem em equilíbrio.
Dado da questão θ = 10o. [Resp. (a) 443 x 103 i N/C ]
06
Campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas
O campo elétrico em P, devido a um elemento de 
carga ∆∆∆∆q, é dado por:
onde r é da distância de ∆∆∆∆q à P.
O campo elétrico total em P devido a todos ∆∆∆∆q é:
Se a separação entre os elementos de carga ∆∆∆∆q for muito menor que 
a distância ao ponto P, entãoa distância ao ponto P, então
07
Densidade Linear, Superficial e Volumétrica de cargas
Distribuição Uniforme
Quando as cargas estão uniformemente distribuída, a densidade de car-
gas pode ser descrito como: 
08
Densidade Linear, Superficial e Volumétrica de cargas
Distribuição Não Uniforme
Em particular, se a densidade de cargas da distribuição
obedece uma função do R3 , podemos escrever:
Em algumas situações, a densidade da distribuição de cargas pode variar
ponto a ponto.
(p/ densidade Volumétrica),
(p/ densidade Superficial), ou 
dQdQ
dQV
Se dV é um elemento de volume sobre V contendo um elemento de carga 
dQ, então sua densidade ρρρρ é praticamente constante nesse elemento dV.
Logo, podemos escrever:
(p/ densidade Superficial), ou 
(p/ densidade Linear).
Analogamente, para distribuição superficial de cargas :
E, finalmente para uma distribuição linear de cargas :
09
Exercício 2.2: Distribuição superficial não uniforme de cargas
Uma carga está distribuída de maneira não uniforme sobre um disco de
raio 2m, da seguinte maneira: σσσσ = 2 x 10-6r C/m2. Determine a carga total
contida no disco.
Resolução: Vamos escolher um pequeno elemento de área dA, dado 
por:
{ {drrdA ⋅= π2 dr {{ {
espessuraocompriment
dA
dQ
=σ
A densidade superficial em um elemento de área arbitrário 
sobre a área A do disco é dada por
dAdQ σ=⇒
∫
−⋅=⇒
2
26104 drrQ π∫
−⋅=⇒
2
6 )102(2 rdrrQ π
r
dr {
∫
−⋅=⇒
2
0
26104 drrQ π∫
−⋅=⇒
0
6 )102(2 rdrrQ π
CQ 610
3
32 −⋅=⇒
π
0
2
3
104
3
6






⋅=⇒ −
r
Q π
10
Exercício 2.3: Campo de elétrico de um anel uniformemente carregado
Um condutor em forma de anel com raio a possui uma carga positiva 
Q uniformemente distribuída ao longo dele. Determine o campo 
elétrico em um ponto P situado sobre o eixo do anel a uma distância x 
do seu centro. 
22
axr +=
Devido a simetria do problema, é fácil notar que a componente ER se anula. Assim, o
cálculo do campo elétrico se resume ao cálculo da componente Ex, ou seja:
iEE x
ˆ=
r
ra
idEEd x
ˆ=
r
Então o cálculo do campo elétrico infinitesimal no ponto P devido a um
elemento de carga dQ sobre o anel é dado por:
Ed
r
idEEd ˆcosα=
r
i
ax
x
ax
dQ
Ed ˆ
4
1
2222
0 ++
=
πε
r
( )
i
ax
dQx
Ed ˆ
4
1
2/322
0 +
=
πε
r
Neste problema a distância x é fixa e o raio a tem valor fixo de modo que podem sair
da integral. Assim,
( )
idQ
x
E ˆ
1
∫=
r
Ed
r
xdE
RdE
α
α
Para calcular o campo elétrico no ponto P devido a uma
carga total Q (distribuída ao longo do anel), vamos aplicar o
princípio da superposição. Se l = 2πa é o comprimento do
anel, vamos dividir este anel em comprimentos infinitesimais
dl, contendo um elemento infinitesimal de carga dQ. Cada dQ
produz no ponto P um campo elétrico infinitesimal .. Para
facilitar o cálculo, vamos decompor nas seguintes
componentes, de modo que podemos escrever:Ed
r
RdEidEEd ˆˆ +=
r
x
a
11
Este resultado mostra que a expressão é o mesmo que o campo elétrico produzido por
uma carga puntiforme de valor Q colocada no centro do anel.
( )
idQ
ax
E ˆ
4
2/322
0
∫
+
=
πε
( )
i
ax
Qx
E ˆ
4
1
2/322
0 +
=
πε
r
Se o ponto P estiver muito afastado do anel, isto equivale a , de modo que
podemos usar a aproximação torna-se válida. Assim, o campo elétrico em
pontos muito distante do anel fica:
ax >>
0→a
axi
x
Q
E >>= paraˆ
4
1
2
0πε
r
dEx = componente axial (direcionado ao longo do eixo x);
dEy = componente radial (direcionado perpendicular ao eixo x).
O módulo do campo elétrico infinitesimal no ponto P é dado 
por:
2
04
1
r
dQ
dE
πε
=
RdEidEEd Rx
ˆˆ +=
22
04
1
ax
dQ
+
=
πε
Exercício 2.4: Campo de elétrico de uma linha uniformemente carregada
Uma carga positiva Q está uniformemente distribuída ao longo de uma
linha reta de comprimento igual a 2a, situada ao longo do eixo ou entre
y = a e y = -a. Determine o campo elétrico em um ponto P situado sobre
o eixo Ox a uma distância x da origem.
a
dQ Substituindo a equação (1) na equação (2) :
Ed
r
xdE
ydE
y
a
a−
x
r
A carga total Q está distribuída uniformemente ao
longo da linha, tem densidade linear λ (carga por unidade
de comprimento). Vamos obter uma expressão para Q em
função de λ.
a
Q
2
=λ ⇒ { {aQ 2⋅= λ
(3)
O campo elétrico total é calculado pelo princípio da superposição, levando em conta
cada elemento de carga dQ ao longo de Oy no intervalo de a a –a. Observe que a
componente Ey devido a um elemento dQ em um ponto y é sempre cancelado com
outro elemento dQ que está em –y.. Assim. Ey se anula e o cálculo do campo elétrico
total se resume ao cálculo da componente Ex. De acordo com a figura:
(4)
2
04
1
r
dy
dE
λ
πε
=
αcos⋅= dEdEx
α
λ
πε
cos
4
1
2
0
⋅=
r
dy
dEx
Como Q é uniformemente distribuído, então λ é constante.
Em u m elemento infinitesimal dy tem um elemento de
carga dQ. Escrevendo em termos da densidade, fica:
(1)
O módulo do campo elétrico infinitesimal produzido por
apenas um elemento de carga é dado por
(2)
a2
=λ ⇒ { {
ocomprimentdensidade
dydQ λ=
2
04
1
r
dQ
dE
πε
=
12
Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis :
(5)
(6)
r
x
=αcos ⇒
α2
2
2
cos
x
r =
x
y
=αtan ⇒ αtanxy =x
y
r
Observe que x é constante e o ângulo α está
associado com a posição y do elemento de carga dQ sobre
o eixo Oy. Desta forma escrevemos y em função de α, e
derivando em relação a α :
(7)
αα dxdy 2sec=
)'tan( αxdy =
α
α
d
x
dy
2cos
=



 −
−=
r
a
r
a
x
Ex
λ
πε04
1
r
a
x
Ex
2
4 0πε
λ
=
Para fazer uma análise dos resultados, vamos
escrever a equação (8) em termos de λ, ou seja,
a
a
i
axx
a
E ÷
+
= ˆ
2
22
0πε
λr
i
x
x
E ˆ
12
2
+



=
πε
λr
α
λ
πε
cos
4
1
2
0
⋅=
r
dy
dEx
Substituindo as equações (5), (6) e (7) na equação (4),
vem:
α
α
α
α
λ
πε
cos
cos
cos
4
1
2
2
2
0
⋅=
x
dx
dEx
α
αλ cos1
=
mas,
Ou na forma vetorial:
aQ 2⋅= λ
r
Q
x
Ex
04
1
πε
=
22
04
1
ax
Q
x
Ex
+
=
πε
Q1r
Considerando o caso em que linha carregada é
muito ( )
a
x
x 12 0 +





πε
∞→a
i
x
E ˆ
2 0πε
λ
=
r
Integrando em relação a α:
α
αλ
πε
d
x
dEx
cos
4
1
0
=
αα
λ
πε
α
α
d
x
dEx cos
4
1
''
'0
∫∫
−
=
13
[ ] '' '
0
sen
4
1 α
αα
λ
πε
−=
x
Ex
i
yx
Q
x
E ˆ
4
1
22
0 +
=
πε
r
Exercício 2.5: Campo de elétrico de um disco uniformemente carregado
Um disco circular de raio a está uniformemente carregado com
densidade superficial e carga σσσσ. Qual é o campo elétrico num ponto do
seu eixo vertical que atravessa o disco em seu centro a uma distância y
do seu centro? Avalie o resultado encontrado para o caso limite quando
raio do disco é muito grande.
14
15
Exercícios – Campo Elétrico (distribuição contínua de cargas)
2.9 - Um anel uniformemente carregado tem raio igual a 10.0 cm com carga total igual a 75 µC. Encontre o campo elétrico no eixo do anel
(a) a uma distância igual a 1 cm, (b) 5 cm, (c) 30 cm e (d) 100 cm do eixo do anel.
[Resp. (a) 6,64 x 106 i N/C ; (b) 2,41 x 106 i N/C ; (c) 6,40 x 106 i N/C ; 6,64 x 105 i N/C .
2.10 - Um disco uniformemente carregado de raio igual a 35 cm com uma densidade de carga 7,9 x 10-3 C/m2. Calcule o campo elétrico 
sobre o eixo do disco a uma distância (a) 5 cm, (b) 10 cm , (c) 50 cm , e (d) 200 cm. 
[Resp. (a) 3,83 × 108 N/C; (b) 3,24 × 108 N/C; (c) 8,07 × 107 N/C; (d) 6,68 × 108 N/C]
2.11 - Uma linha carregada começando em x = +x0, estendendo até o infinito positivo. A densidade linear de carga é l = l0x0/x. Determine 
o campo elétrico na origem. [Resp. – λ0/(8πε0x0) ]
2.12 - Uma haste isolante de 14 cm tem a forma de semicírculo (figura abaixo) e está uniformemente carregada com uma2.12 - Uma haste isolante de 14 cm tem a forma de semicírculo (figura abaixo) e está uniformemente carregada com uma
carga total igual a 7,5 µC. Encontre a magnitude e a direção do campo elétrico no centro do semicírculo.
2.13 - Uma linha de carga positiva é formada sobre um semi-circulo de raio R = 60,0 cm como mostrado na 
figura. A carga por unidade de comprimento ao longo do semi-circulo é descrito pela expressão λ = λ0 cos θ. A 
carga total sobre o semi-circulo é 12 µC. Calcule a força total exercida em uma carga de 3,00 µC localizada no 
centro da curvatura. [Resp. 0,707 j N]
16
Linhas de Campo (linhas de força)
As linhas de força representam a visualização do campo elétrico no 
espaço. Para descrevê-las, citamos as seguintes características: 
1- As linhas de força originam nas cargas positivas e terminam na carga 
negativa. 
2- As linhas de força são contínuas, excetos nas fontes (+) e nos sorve-2- As linhas de força são contínuas, excetos nas fontes (+) e nos sorve-
douros (-). 
3- A densidade de linhas de força expressa a medida da intensidade do 
campo elétrico.
4- O sentido das linhas de força, em todos os pontos, determinam o
sentido do campo elétrico . Por esta razão, as linhas de força, nuca seE
r
sentido do campo elétrico . Por esta razão, as linhas de força, nuca se
cruzam. Se elas se cruzassem, o campo teria mais de uma sentido no
ponto onde se cruzam. Isto é incompatível com a definição de linhas de
força.
5- O número de linhas de força é proporcional ao valor absoluto da 
carga.
E
17
(a) Carga pontual positiva
(b) Carga pontual negativa
Alguns Exemplos de Linhas de Força
+
+
(d) Dipolo elétrico
(e) Duas cargas positivas
(c) Fio cilíndrico uniforme-
mente carregado
+
(e) Duas cargas positivas
(f) Plano infinito uniforme-
mente carregado
18
Linhas de Força de um Dipolo
Cargas de 
sinais opostos
Linhas de Força de um Dipolo Elétrico
19
Campo gerado por cargas de sinais opostos
Os traços escuros representam pequenos filamentos de fibra suspensos em óleo
que se alinham com o campo elétrico produzido.
20
Linhas do campo elétrico-Dipolo elétrico 
https://www.youtube.com/watch?v=N3UVw_Yuu7Y
Linhas de Força Produzido por Duas 
Cargas Iguais
Cargas de 
mesmo sinal
0=RE
21
Campo gerado por cargas de mesmo sinal
22
Linhas de campo elétrico-Cargas iguais
https://www.youtube.com/watch?v=enxT-8isjfs
Campo gerado por duas placas paralelas 
com cargas de sinais opostos
Campo 
Elétrico 
Uniforme
23
Linhas do campo elétrico-Linhas de cargas 
https://www.youtube.com/watch?v=ytMZiKyCsQo
0=INTERNOE
Campo gerado por um cilindro e uma 
placa com cargas de sinais opostos
0=INTERNOE
24
Linhas do campo elétrico-Anéis carregados
https://www.youtube.com/watch?v=YUWEKRCHeME
Condutores em Equilíbrio Eletrostático
- Os condutores contém elétrons (cargas) que não estão ligados a 
nenhum átomo. 
- Esses elétrons são denominados “elétrons livres” .
- O condutor está em equilíbrio eletrostático quando não há movimento 
líquida de cargas no interior do condutor.
- As características dos condutores em equilíbrio eletrostático são:- As características dos condutores em equilíbrio eletrostático são:
1. O campo elétrico é nulo em qualquer ponto no interiordo condutor
2. Qualquer excesso de carga , num condutor isolado, deve estar 
inteiramente na superfície do condutor.
3. O campo elétrico na face externa é perpendicular à superfície do 
condutor e tem módulo igual a σ/ε0, onde σ é a carga por unidade 
de área no ponto da superfície.de área no ponto da superfície.
4. Num condutor com forma irregular, as cargas tendem a acumular 
nos locais onde o raio de curvatura é pequeno, isto é, onde a 
superfície é pontuda.
25
Exercício 2.6: Condutor em equilíbrio eletrostático
Um condutor isolado de forma arbitrária possui uma carga resultante de +10 x 10–6C.
No interior do condutor existe uma cavidade dentro da qual está uma carga pontual
q = +3,0 x 10–6 C. Qual a carga (a) sobre a parede da cavidade e (b) sobre a superfície
externa do condutor? [Resp: (a) -3,0 x 10-6C ; (b) +1,3 x 10-5C]
Resolução:
(a) Em um condutor carregado, todo excesso de carga fica inteiramente na superfície, 
de modo que, o campo elétrico no interior seja nulo ( E = 0 no interior)
(a) Em um condutor carregado, todo excesso de carga fica inteiramente na superfície, 
de modo que, o campo elétrico no interior seja nulo ( E = 0 no interior)
A carga q = +3,0 x 10–6 C no interior da cavidade, induzirá na parede da cavidade uma 
de sinal oposto q = –3,0 x 10–6 C .
(b) O excesso total sobre a superfície externa do condutor será a soma:
excesso de carga do condutor + 
carga de sinal opostos que deslocou para a parede da cavidade
q T = +10,0 x 10
–6 C + 3,0 x 10–6 C 
q = +13,0 x 10–6 C
q = –3,0 x 10–6 C 
q T = +13,0 x 10
–6 C
q T = +1,3 x 10
–5 C
q T = +1,3 x 10
–5 C
26
Alguns sites:
Linhas do campo elétrico-Anel deformado e anel 
https://www.youtube.com/watch?v=yOipO2Tr03c
Dipolo Elétrico
http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_s03.html
Linhas de Forca
http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_s02.html
27