Apostila Matemática - Fundamental

Prévia do material em texto

E
JA
 I
 –
 M
Ó
D
U
L
O
 I
 -
 5
º 
M
Ê
S
 /
 S
E
Q
U
Ê
N
C
IA
 D
E
 A
TI
V
ID
A
D
E
S
 
 
 
 
NÚCLEO DE EXAMES DE CERTIFICAÇÃO 
MATERIAL DE ESTUDO 
MATEMÁTICA – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
 
 
 
 
 
 
2019 
 
 
Sistemas de numeração ..................................................................................................... 4 
Operações com números naturais ..................................................................................... 7 
Divisores e múltiplos de números naturais ..................................................................... 11 
Números inteiros ............................................................................................................. 18 
Números racionais – frações ............................................................................................ 20 
Operações com números reais ........................................................................................ 25 
Teoria dos conjuntos ........................................................................................................ 35 
Hora da revisão – dízimas periódicas ............................................................................... 43 
Expressões numéricas ...................................................................................................... 45 
Sequências e regularidades .............................................................................................. 53 
Equações e resolução de problemas de proporcionalidade e regra de três .................. 60 
Porcentagens .................................................................................................................... 74 
A Matemática na comunicação – Estatística ................................................................... 92 
Ângulos ........................................................................................................................... 119 
Fórmulas para o cálculo de área de retângulos e quadrados ....................................... 127 
Conversão de unidades de medida ................................................................................ 136 
Referências bibliográficas ............................................................................................... 146 
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 1 
Sistemas de Numeração 
 
Muitas são as dúvidas em relação às 
origens da Matemática e dos números. 
Quanto à origem da Matemática, 
podemos dizer que esta se confunde com 
a origem da vida. Não podemos imaginar a 
vida sem a presença da Matemática, nem 
tão pouco podemos estimar uma data ou 
um criador para tão distinta ciência, 
apesar de aceitarmos Pitágoras como o 
pai da Matemática. 
Sabemos que os números são 
elementos abstratos, que não podemos 
tocar ou visualizar. O que chamamos de 
números, atualmente, não passam de 
representações desses números. Mas, quando e porque surgiram tais representações? 
No principio, os homens eram nômades, extraiam as riquezas naturais de determinada 
região até o fim e simplesmente se deslocavam para outra região rica em alimentos. Porém, 
essa forma de vida trouxe muitos transtornos ao homem quando a distância entre essas 
regiões férteis se tornou excessivamente grande. Muitos morriam durante o caminho, com 
fome, sede ou até mesmo devorados por outros animais. Era chegada a hora dos homens se 
fixarem em determinado lugar. Agora eles plantavam e criavam animais. Surgiram as 
primeiras sociedades, com a comercialização, troca de mercadorias, animais, etc. 
Neste momento histórico, o homem já sabia contar, porém, como representar essa 
contagem? 
Cada civilização criou seu próprio modelo de 
representação. Podemos citar o modelo romano 
como uma dessas formas de representação dos 
números. 
Na figura ao lado, vemos o Relógio 
Astronômico de Praga, 18 de junho, 11h 38min. Nele, 
a hora local é indicada pelo sol, em algarismos 
romanos. 
Atualmente, os algarismos romanos tem pouca 
utilidade em relação ao atual sistema adotado. 
Percebemos sua aplicação para representar horas em 
relógios, capítulo de livros, séculos em textos 
históricos, etc. 
(HORSKY, Zobnek, “Prazsky Orloj”. Ed.Panorama, Praga, 1988.) 
O atual sistema numérico que utilizamos, com 10 símbolos, é denominado indo-arábico 
ou sistema de numeração decimal. Esse sistema foi desenvolvido na Índia e divulgado na 
Europa, por volta do século XIII, pelos árabes. O seu principal divulgador foi o matemático 
árabe Al-Khwarizmi e em sua homenagem, cada um dos dez símbolos indo-arábicos são 
chamados algarismos. 
4
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 2 
Os números são utilizados há mais de 
5000 anos, porém, foi com o sistema indo-
arábico que o zero passou a ser utilizado. 
Por exemplo, 32 e 302, o papel do zero é 
fundamental para que possamos diferenciar 
uma representação da outra. 
Muitos outros sistemas foram 
utilizados. Na figura ao lado, de cima para 
baixo, temos os sistemas de numeração 
babilônico, romano, chinês e indo-arábico. 
O sistema de numeração romana (ou números romanos) desenvolveu-se na Roma 
Antiga e utilizou-se em todo o seu Império. Neste sistema as cifras escrevem-se com 
determinadas letras, que representam os números. As letras são sempre maiúsculas, já que 
no alfabeto romano não existem as minúsculas, as letras são I, V, X, L, C, D e M. 
No sistema de numeração romano as letras devem situar-se da ordem de maior valor 
para a de menor valor. Não se deve escrever mais de três I, ou três X, ou três C em qualquer 
número. Se estas letras se situam antes (à esquerda) de um V, um L, ou um D, subtrai-se o 
seu valor à cifra das ditas letras. Exemplo: IX, XC ou XL, que significam 9, 90, 40 
respectivamente. 
Para cifras elevadas os romanos utilizavam um travessão colocado por cima da letra 
correspondente. O travessão multiplicava o valor da letra por 1.000. Por exemplo, um C 
correspondia ao valor 100.000 (100 x 1.000), e um M correspondia ao valor 1.000.000 
(1.000 x 1.000). 
 
 
 
01. Com base no texto acima, responda: 
a) Quem é o “Pai da Matemática”? 
_____________________________________________________________________________ 
 
b) Qual é o sistema de numeração oficial adotado no Brasil? 
_____________________________________________________________________________ 
 
c) Por que o sistema de numeração decimal pode ser chamado de “indo-arábico”? 
_____________________________________________________________________________ 
 
d) Por que cada um dos dez símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 são chamados algarismos? 
_____________________________________________________________________________ 
 
02. Escreva os números decimais em romanos e vice-versa: 
a) 57________ f) 534_________ 
b) 64________ g) 1534________ 
c) 85________ h) MDCCCLXXIII_________ 
d) 100_______ i) MCMVII_________ 
e) 109_______ j) MDCCLXXXIII________ 
5
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 3 
Após essa pequena abordagem histórica, responda: para que serve o número? 
Sabemos que os números têm infinitas utilidades, porém podemos destacar as três 
mais notáveis: 
 Nas contagens: cardinalidade; 
 Nas ordenações: ordinalidade; 
 Nas codificações: senhas, números de inscrição, etc. 
Não podemos deixar de comentar sobre a forma de um número, que é composto por 
classes e ordens. Vejamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“A cada grupo de três algarismos, considerados da direita para a esquerda, corresponde 
uma classe”. 
Assim: 
 
Classes 6° classe 5° classe 4° classe 3° classe 2° classe 1° classe 
Nome quadrilhões trilhões bilhões milhões milhares unidades 
 
OBS.: Cada classe possui trêsordens: unidade, dezena e centena. Assim, o número decimal 
6358016 = 6 unidades de milhão + 3 centenas de milhar + 5 dezenas de milhar + 8 unidades de 
milhar + 1 dezena (simples) + 6 unidades (simples). 
 
 
 
03. Escreva os números naturais correspondentes a: 
 
a) 2 unid de milhão + 3 cent de milhar + 1 unid de milhar + 4 cent + 5 dez + 4 unidades 
_____________________________________________________________________________ 
 
b) 4 000 000 + 300 000 + 10 000 + 400 + 20 + 8 
_____________________________________________________________________________ 
 
c) 1 dezena de milhão + 2 unidades de milhar + 6 dezenas + 7 unidades 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
6
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 4 
Números naturais e operações: adição, subtração, multiplicação e divisão 
 
Quando desejamos contar uma quantidade de qualquer coisa (objetos, animais, 
estrelas, etc.), empregamos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,... 
Esses números são chamados de números naturais. 
Os números que aparecem juntos, como na seqüência acima, são chamados números 
consecutivos. Na seqüência (25, 26, 27, ...), 25 e 26 são consecutivos. O número 25 é o 
antecessor de 26 e 27 é o sucessor de 26. 
OBS.: Quando um número natural termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, é dito PAR; e quando termina 
em 1, 3, 5, 7 ou 9, é dito ÍMPAR. 
 
 
 
Adicionar significa somar, juntar, ajuntar, acrescentar. 
Quando resolvemos 10 + 15 = 25, os números 10 e 15 são as parcelas e o resultado 25 é 
chamado soma ou total. 
Para realizar esta operação, basta “armar” a continha de tal forma que as ordens e 
classes correspondentes dos números possam estar exatamente uma sobre a outra. Em 
seguida, somam-se os algarismos correspondentes desses números da ordem menor para a 
maior (da direita para a esquerda). 
 
Caso a soma entre dois algarismos seja superior a 9, deixamos o da direita e “subimos” 
o da esquerda, para somá-lo na próxima ordem; 
 
 
 
Subtrair significa tirar, diminuir. 
Quando resolvemos 25 – 10 = 15, o número 25 é chamado minuendo, o número 10, 
subtraendo, e o número 15 é chamado diferença ou resto. 
O processo de resolução (armação da continha) é o mesmo da adição, salvo pela 
operação, que agora é a subtração. 
 
Caso, em determinada ordem e classe, o algarismo do minuendo seja menor que o do 
subtraendo, devemos tomar emprestado, ou seja, tomamos 1 unidade emprestada do 
algarismo da esquerda (como o algarismo da esquerda está é uma ordem superior, essa uma 
7
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 5 
unidade, na verdade, torna-se 10 unidades), obtendo assim um novo número para o 
minuendo, desta vez maior que o do subtraendo: 
 
OBS.: Note que as operações de adição e subtração são inversas entre si: 
12+ 13 = 25 então 25 – 13 = 12 ou 25 – 12 = 13 
 
 
 
04. São dados os números 847, 3491, 478, 2555. 
a) Subtraia 478 de 847. 
b) 3491 é o minuendo e 2555 é o subtraendo. Qual é a diferença? 
c) 847 é o subtraendo e 2555 é o minuendo. 
Determine a diferença. 
d) Subtraia 847 de 3491. 
e) Subtraia o resultado do item a do resultado do item b. 
f) O resultado do item c é o subtraendo, e o resultado do item d é o minuendo. Qual é a 
diferença? 
g) Subtraia 478 de 3491. 
 
05. Pedrinho é 12 anos mais novo que Luisinho e 5 anos mais velho que Huguinho. Luisinho 
tem 47 anos. Quantos anos Pedrinho, Luisinho e Huguinho tem juntos? 
 
06. O professor Francisco comprou uma bicicleta. Ele vai pagar a bicicleta em quatro 
parcelas: a primeira de R$ 115,00; a segunda R$ 50,00 a mais que a primeira; a terceira 
R$ 60,00 a mais que a segunda; e a quarta parcela igual à primeira e à segunda juntas. 
Quanto custou a bicicleta? 
 
 
 
 
Multiplicar significa adicionar quantidades iguais. 
Quando resolvemos 6 x 12 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 72, os números 6 e 12 são 
chamados fatores e o resultado 72 é chamado produto. Daí a frase que enuncia a 
propriedade comutativa da multiplicação: “a ordem dos fatores não altera o produto”. 
Para multiplicarmos dois números naturais quaisquer, devemos seguir o algoritmo 
abaixo. Observe: 
8
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 6 
 
 
No caso em que a multiplicação de dois algarismos é superior à 9, deixamos a unidade e 
“subimos” a dezena: 
 
 
 
 
07. Calcule os produtos indicados: 
 
a) 35 x 707 
b) 10500 x 730 
c) 1800 x 250 
d) 3200 x 106 
e) 2008 x 405 
f) 9077 x 1002 
 
 
 
 
 
9
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 7 
08. No casamento de Carmem vai haver uma grande festa. Dona Quetinha já está 
preparando os doces (10 dúzias de brigadeiros, 8 dúzias e meia de quindins, 75 olhos-de-
sogra, 9 dúzias de cajuzinhos, 68 beijinhos) e os salgados (17 dúzias de empadinhas, 15 dúzias 
e meia de coxinhas, 18 dúzias de croquetes e 195 bolinhos de queijo). 
 
a) Quantos doces dona Quetinha está preparando para o casamento? 
 
b) Quantos salgados? 
 
 
 
 
Dividir é repartir em quantidades iguais. 
Quando resolvemos 4312 =÷ , 12 é chamado dividendo e o 3 é o divisor. O resultado 4, é 
chamado de quociente. 
Para resolver uma divisão, utilizamos o algoritmo abaixo: 
 
 
OBS: No exemplo anterior, 1459 dividido por 5 é igual à 291, mas neste caso “sobram” 4 
unidades. Essa “sobra” é chamada RESTO da divisão de 1459 por 5. 
 
 
 
09. Efetue as divisões pelo algoritmo da divisão. 
a) 475 : 19 
b) 276 : 6 
c) 5616 : 18 
d) 869 : 24 
e) 8788 : 27 
 
10
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 8 
10. Para responder a um questionário de 48 perguntas, o professor Francisco decidiu 
repartir os 32 alunos em grupos de 8 alunos. 
 
a) Quantos grupos foram formados? 
 
b) Todo aluno do grupo deveria responder à mesma quantidade de questões. Quantas 
couberam para cada aluno? 
 
 
Divisores e Múltiplos de Números Naturais 
 
 
A produção diária de uma fábrica é de 
17 482 bolas de tênis. As caixas de 
embalagem são para 3 bolas. É possível 
embalar todas as bolas deixando todas as 
caixas cheias? E se a produção for 
aumentada para 54 321 bolas? 
Para descobrir as respostas, 
precisamos efetuar divisões (apostila 1). 
No primeiro caso, sobrará uma bola; 
no segundo, não sobra nenhuma bola. 
Por isso dizemos que 54 321 é divisível 
por 3 (a divisão é exata, com resto 0), 
enquanto 17 482 não é divisível por 3 ( resto 
não é 0). 
 
 
 
 
 
“Um número natural é divisível por outro quando a divisão do primeiro pelo segundo é 
exata (resto igual a zero).” 
 
 
 
11. Fazendo a lição de Matemática, Júlia concluiu que: 
a) 427 é divisível por 7; 
b) 680 é divisível por 12; 
c) 53 não é divisível por 5; 
d) 209 não é divisível por 11. 
 
Nem tudo o que Júlia fez está correto. Corrija o que ela errou. 
11
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 9 
Em alguns casos, podemos identificar a divisibilidade de um número natural por outro 
sem efetuar operações: 
i) Um número é divisível por 2 quando ele é par; 
ii) Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 
3; 
iii) Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5; 
iv) Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. 
Vejamos: 
a) 2406 é divisível por 3, já que 2 + 4 + 0 + 6 = 12 que é divisível por 3; 
b) 237845 é divisível por 5, já que termina em 5; 
c) 12879438 é divisível por 2, já que é par. 
 
 
 
“Um número natural, maior que 1, é primo quando só é divisível por 1 e por ele mesmo.” 
Os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13, por exemplo, são números primos. Cada um deles é 
divisível por exatamente dois números: 1 e ele mesmo. 
Números como 4, 6, 8, 9, 10, 12 e 15 são chamados números compostos. Cada um deles 
é divisível por mais de dois números. 
O conjunto dos números primos é: 
 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...} 
 
 
 
“Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode ser decomposto num produto 
de fatores primos.” 
Vejamos oque acontece com o número natural 60: 
 
 
 A decomposição do número 60 em fatores primos é: 
60 = 2 . 2 . 3 . 5 
Podemos usar potências: 
60 = 2² . 3 . 5 
Todo número composto não-nulo admite uma única decomposição em fatores primos, 
sem levar em conta a ordem dos fatores. 
 
Essa decomposição é também chamada fatoração do número. 
 
“Fatorar um número significa decompor esse número num produto de fatores primos.” 
 
5
3
2
2
1
5
15
30
60
12
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 10
 
 
12. Fatore cada número abaixo: 
 
a) 48 b) 92 c) 98 d) 120 e) 168 f) 180 g) 225 h) 250 i) 308 
 
 
 
 
Seu Takai vende ovos em sua 
barraca na feira. Ele recebeu da 
granja 180 ovos para revender e 
precisa embalá-los. Porém, seu Takai 
só dispõe de embalagens para oito 
ou para uma dúzia de ovos. 
Qual é a embalagem mais 
adequada para que todas fiquem 
iguais e completas? 
Para responder a essa 
pergunta, precisamos saber se 180 é 
divisível por 8 ou por 12. 
Como 180 não é divisível por 8, 
não podemos usar embalagens de 8 
ovos, pois uma delas ficaria 
incompleta. 
O número 180 é divisível por 12, 
por isso podemos usar embalagens de 12 ovos. Serão exatamente 15 embalagens. 
 
“Um número natural é divisor de outro quando o segundo é divisível pelo primeiro.” 
 
Existe um método prático para obter todos os divisores de um número. Veja como 
vamos achar os divisores de 18: 
 
 Fatoramos o número 18. 
 
 Colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos. 
 
13
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 11
 Ao lado desse novo traço e uma linha acima, colocamos o sinal de multiplicação e 
o número 1. Na linha seguinte (a linha do fator 2), colocamos o produto de 2 pelo 
número que está na linha acima dele (2 x 1 = 2). 
 
 Na linha seguinte (a linha do fator 3), colocamos o produto de 3 pelos números 
que estão nas linhas acima dele, à direita do traço (3 x 1 = 3 e 3 x 2 = 6). 
 
 Repetimos esse procedimento nas outras linhas, anotando cada resultado uma só 
vez (como o produto de 3 x 1 e 3 x 2 já foi anotado, registramos 3 x 3 = 9 e 
3 x 6 = 18). 
 
 
Os números colocados à direita da segunda linha vertical são os divisores do número 18: 
1, 2, 3, 6, 9 e 18 
 
 
 
 
13. Descubra todos os divisores de: 
 
a) 72 
 
b) 110 
 
 
 
 
 
 
 
14
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 12
 
 
Vamos pensar: qual é o máximo divisor 
comum de 60, 40 e 24? 
Neste caso, vamos determinar os 
divisores de cada um deles: 
D(60)={1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} 
D(40)={1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} 
D(24)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
Note que entre os divisores comuns a 
60, 40 e 24 {1, 2, 4}, o maior deles (máximo) é 
o 4, logo: 
mdc (60, 40, 12) = 4 
Para calcular o mdc de dois ou mais 
números podemos usar a regra da decomposição simultânea. Vejamos: 
i) Escrevemos os números dados, separando-os por vírgulas, e colocamos um 
traço ao lado do último número. No outro lado do traço, colocamos o menor 
fator primo comum dos números dados. Se não houver fator primo comum, os 
números são primos entre si e o mdc é igual a 1. 
ii) Sob cada número colocamos o quociente (resultado da divisão) da divisão pelo 
fator primo comum. No outro lado do traço, colocamos o menor fator primo 
comum dos quocientes encontrados. 
iii) Dividimos cada quociente pelo fator primo comum e indicamos sob cada 
número o resultado encontrado; Prosseguimos assim até encontrar quocientes 
que não tenham fator primo comum, isto é, que sejam primos entre si. 
iv) O mdc é o produto (resultado da multiplicação) dos fatores primos comuns 
colocados à direita do traço. 
 
 
 
 
 
14. Encontre o mdc dos números indicados abaixo: 
 
a) 44, 52 e 99 
 
b) 636 e 448 
 
c) 80, 40, 72 e 124 
 
 
15
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 13
 
 
 
“Múltiplos de um número natural são os números obtidos quando esse número é 
multiplicado pelos números naturais.” 
 
“Um número natural é múltiplo de outro, não nulo, quando o primeiro é divisível pelo 
segundo.” 
Dessa forma, os múltiplos de 3 são: 
 
M(3)={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...} 
 
 
 
15. Descubra qual é: 
a) o menor número natural múltilpo de 12 com três algarismos; 
b) o menor número natural múltiplo de 17 com três algarismos; 
c) o maior número natural múltiplo de 6 com quatro algarismos; 
d) o maior número natural múltiplo de 31 com quatro algarismos. 
 
 
 
 
 
“O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor, excluindo o 
zero, que é múltiplo desses números.” 
 
Vamos pensar: qual é o mínimo múltiplo comum de 8 e 12? 
Neste caso, vamos determinar os 
múltiplos de cada um deles: 
M(8)={0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...} 
M(12)={0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...} 
Note que, dentre os múltiplos 
comuns a 8 e 12, com exceção do zero, o 
menor deles (mínimo) é o 24, logo: 
mmc (8,12) = 24 
Para calcular o mmc de dois ou mais 
números podemos usar a regra de 
decomposição simultânea: 
 
i) Escrevemos os números 
dados, separando-os por vírgulas, e colocamos um traço ao lado do último 
número. No outro lado do traço, colocamos o menor dos fatores primos dos 
números dados, seja ele um fator comum ou não (no exemplo abaixo, o 2). 
16
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 14
ii) Sob cada número que for divisível pelo fator primo, colocamos o quociente da 
divisão (no exemplo abaixo, sob 18 colocamos o 9, sob o 30, o 15); os números 
não divisíveis pelo fator devem ser repetidos (no exemplo, o 25). 
 
iii) Prosseguimos com esse processo até chegar ao quociente 1 sob todos os 
números. O mmc é o produto dos fatores primos colocados do lado direito do 
traço. 
 
 
Assim, mmc (18, 25, 30) = 2 . 3² . 5² = 2 . 9 . 25 = 450 
 
Podemos utilizar outra forma para calcular o mdc e o mmc de dois ou mais números 
chamada regra da fatoração. 
 
Vamos explicar: 
 
i) Fatoramos, separadamente, os números dados. 
 
ii) O mdc é o produto dos fatores primos comuns, com o menor expoente que 
apresenta na fatoração. 
mdc (240, 252) = 2² . 3 = 4 . 3 = 12 
 
iii) O mmc é o produto dos fatores comuns e não comuns, com o maior expoente que 
apresenta na fatoração. 
mmc (240, 252) = 50407.5².3.24 = 
 
 
 
 
 
17
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 15
 
 
16. Fatore cada número: 75, 98, 320 e 480. 
 
Depois, aplicando a regra da fatoração, calcule: 
 
a) mdc (320, 480) 
b) mmc (320, 480) 
c) mdc (98, 75) 
d) mmc (98, 75) 
e) mdc (320, 98) 
f) mmc (320, 98) 
g) mdc (480, 75) 
h) mmc (480, 75) 
 
Números Inteiros 
Nas aulas anteriores estudamos, basicamente, os 
números naturais e suas operações. 
A partir de agora, assim como a História, vamos 
evoluir e estudar um novo conjunto numérico: o 
conjunto dos números Inteiros. 
 
Observe: 
Pedro e Bino possuem um total de R$ 20000,00 e 
devem efetuar o pagamento do caminhão usado por eles. 
Sabendo que o valor restante a ser pago é de R$ 23ooo,00, 
qual é o saldo de Pedro e Bino após o pagamento? 
 
Note que neste caso, os valores apresentados representam situações OPOSTAS na 
prática: 
 
 R$ 20000,00 representa saldo, crédito, “algo” positivo; 
 R$ 23000,00 representa dívida, “algo” negativo. 
 
Notamos também que, após o pagamento dos R$ 20000,00, Pedro e Bino ainda terão 
uma dívida de R$ 3000,00. 
 
Matematicamente falando, 
 
+R$ 20000,00 – R$ 23000,00 = –R$ 3000,00 
18
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 16
Usando o mesmo raciocínio, efetue as operações abaixo: 
a) +4 + 6 = _____ 
b) +7 – 8 = _____ 
c) +10 – 15 = _____ 
d) –8 + 12 = _____ 
e) –8 – 12 = _____ 
 
Nos exemplos anteriores notamos o aparecimento de um tipo de número muito usado 
na Matemática: o número NEGATIVO. 
 
Dessa forma, podemos definir: 
 
“O conjunto dos números inteiros é o conjunto formado por todos os números naturais 
acrescidos dos respectivosOPOSTOS (ou negativos) e representado por Z.” 
 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 , ...} 
 
Vale lembrar que: 
 
 5 e –5 são ditos opostos; 
 
 0 (zero) não possui oposto; 
 
 Com exceção do 0 (zero), todo número inteiro possui oposto; 
 
 O oposto de 8 é –8; o posto de –10 é +10. 
 
 
 
 
Dados dois inteiros quaisquer, a e b, apenas três resultados podem ser verificados: 
 a > b ( a é “maior que” b) 
 a < b ( a é “menor que” b) 
 a = b ( a é igual à b) 
 
Mas, qual é o maior número, 3 ou –4? Ou entre –6 e –1, qual é o maior? 
 
Neste caso, vamos usar uma reta numerada: 
 
Percebemos que, entre dois números inteiros dados, o da direita é sempre o maior. 
Então: 
 
 3 > –4 (3 é maior que –4) 
 
 –6 < –1 (–6 é menor que –1). 
19
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 17
 
 
17. Use o processo que julgar mais conveniente e complete as lacunas com <, > ou =. 
a) –3 ____+9 d) +6____+2 g) +8____8 j) –374____–200 
b) +16____0 e) –6____–2 h) 0____+11 k) +623____+519 
c) –18____0 f) +4____–4 i) 0____–6 l) 86____–100 
 
18. Depois de tudo o que você viu sobre comparação de números inteiros, você pode tirar 
algumas conclusões práticas completando os itens abaixo: 
 
a) Quando comparamos um número positivo com um número negativo, o maior deles é 
sempre o __________________. Exemplos: +87 ___–95; –326___+188 
 
b) Quando comparamos um número positivo com 0 zero, o maior deles é sempre o 
__________________. Exemplos: +76 ___0; 0___+85 
 
c) Quando comparamos um número negativo com o zero, o maior deles é sempre o 
__________________. Exemplos: –39 ___0; 0___–149 
 
d) Quando comparamos dois números positivos, o maior deles é o que tem o 
módulo__________________. Exemplos: +378 ___+169; +94___10 
 
e) Quando comparamos dois números negativos, o maior deles é o que tem o 
módulo__________________. Exemplos: –25 ___–20; –169___–200. 
 
 
 
 
Números Racionais 
 
 
Assim como os naturais surgiram da necessidade de 
contar, os números racionais surgiram da necessidade de 
medir. 
No Egito, por volta de 3000 a.C. com a cheia do rio 
Nilo, havia a necessidade de se reconstruir a cada ano, as 
cercas de pedra que os agricultores usavam para demarcar 
os limites de seus terrenos. Para isto eles tinham uma 
unidade de medida marcada por nós numa corda. Porém, 
dificilmente a unidade de medida usada cabia um número 
inteiro de vezes nos lados do terreno. Assim, eles criaram as 
frações (números racionais). 
Vamos deixar claro, que a ordem cronológica do surgimento dos números não esta 
apresentada aqui, ou seja, naturais, inteiros e racionais. Os números negativos levaram 
20
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 18
muito tempo para serem aceitos pela comunidade científica. Alguns matemáticos 
consideravam os números negativos "numeri absurdi" ou "numeri ficti" como absurdos. A 
situação só mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação 
geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas. 
Define-se então o conjunto dos números racionais denotado por Q, da seguinte 
forma: 
Q = { 
b
a , onde a ∈ Z e b ∈ Z*}, onde Z* é o conjunto dos inteiros diferentes de 
zero. 
Como podemos representar qualquer inteiro z por 
1
z
 , temos que Z ⊂ Q . 
 
Curiosidades: 
 
1. A letra Z utilizada para representar o conjunto dos números inteiros, provém da palavra 
alemã "Zahl" que significa número ou algarismo. 
 
2. A palavra racional vem do Latim ratio = razão também entendida em Matemática como 
divisão. Assim, um número racional é a divisão entre dois números inteiros, ou seja, 
.ba
b
a
÷= 
Como foi visto, todo número que pode ser escrito em forma de fração é dito número 
racional. Dessa forma, para bem conhecermos os racionais devemos conhecer a idéia de 
fração. 
 
 
Na pizza ao lado, 2 fatias, de um total de 5, estão pintadas. Tal 
parte é representada pela fração 
5
2
 ou 0,4. 
 
 
 
Na figura ao lado, 3 quadrados, de um total de 9, estão pintados. 
Tal parte é representada pela fração 
9
3
ou 0,333.... 
 
 
 
Nos casos acima, as frações do tipo 
b
a
 são ditas frações ordinárias, e as outras, 
frações decimais. 
 
 
21
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 19
Numa fração ordinária 
b
a
: 
 a : numerador 
 b: denominador 
 
Uma fração ordinária pode ser classificada como: 
 
Própria: o numerador é menor que o denominador. 
3
2
 
7
5
 
23
16
 
 
Imprópria: o numerador é maior que o denominador. 
5
6
 
7
12
 
13
16
 
 
 
Aparente: o numerador é divisível pelo denominador. 
3
2
6
= 4
3
12
= 4
1
4
= 
 
 
 
19. Marque O para fração ordinária e D para fração decimal. 
 
a) 0,366... ( ) b) 
10
6
 ( ) c) 10 ( ) d) 6,3 ( ) e) 0,0001 ( ) 
 
20. Classifique as frações ordinárias em própria (P), imprópria (I) ou aparente (A). 
a) 
7
6
( ) b) 
6
7
( ) c) 
2
10
( ) d) 
12
16
 ( ) e) 
8
1
( ) f) 
7
9
( ) 
 
21. Escreva a fração que melhor representa a parte pintada das figuras abaixo: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
22
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 20
Frações Equivalentes 
 
 
Observe as figuras abaixo: 
 
Note que na prática, as figuras têm a mesma região pintada (mesma área), porém, as 
frações que as representam estão escritas de forma diferente. 
Fig 1: 
4
1
 Fig 2: 
16
4
 
Neste caso, dizemos que as frações 
4
1
 e 
16
4
 são equivalentes. 
 
Sendo dadas duas frações equivalentes, sempre podemos igualar a de maior 
numerador (ou denominador) à outra por meio de uma simplificação: 
 
2
1
5:10
5:5
5:50
5:25
2:100
2:50
=== 
 
No exemplo, as frações 
100
50
, 
50
25
, 
10
5
 e 
2
1
, são equivalentes. Note também que a fração 
2
1
não pode mais ser simplificada, então é dita fração irredutível. 
 
 
 
22. Verifique se os pares de frações são equivalentes. 
 
a) 
4
3
 e 
10
6
 b) 
3
2
 e 
24
16
 
 
23. Escreva na forma irredutível cada fração abaixo: 
 
a) 
3072
1536
 b) 
15
12
 
23
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 21
 
 
Sabendo que Pedro comeu o equivalente a 
16
4
 de uma pizza e que Bino comeu 
18
3
 de 
uma pizza de mesmo tamanho, quem comeu mais? 
 
Para respondermos essa pergunta, devemos saber comparar duas frações, ou seja, 
identificar qual tem o maior valor numérico. 
 
Temos dois casos a considerar: 
 
 Caso 1: As frações têm o mesmo denominador. 
 
Neste caso, a fração que possuir o maior numerador será a de maior valor numérico. 
 
� 
5
3
>
5
2
, já que 5 = 5 e 3 > 2. 
� 
7
6
 < 
7
5
, já que 7 = 7 e 6 < 5. 
� 
8
5
 = 
8
5
, já que 8 = 8 e 5 = 5. 
 
OBS.: As frações equivalentes são sempre iguais. 
 
 Caso 2: As frações tem denominadores diferentes. 
 
Neste caso devemos deixá-las com denominadores iguais e verificar seus numeradores. 
Vejamos um esquema: 
 
� 
6
5
 e 
4
3
 
 
Primeiramente, calculamos o MMC entre os denominadores 6 e 4: 
 
 
Em seguida, em cada fração dada, dividimos o MMC pelo denominador e multiplicamos pelo 
numerador: 
24
Prof. Francisco Gonçalves– Matemática – EJA -- SESC 
 22
 
 
 
 
Assim, comparar 
6
5
 e 
4
3
 é o mesmo que comparar, respectivamente, 
12
10
 e 
12
9
. 
Como 10 > 9, então, 
 
12
10
 > 
12
9
 e 
6
5
 > 
4
3
 
 
 
 
 
24. Preencha as lacunas com <, > ou =. 
 
a) 
4
3
____
7
4
 b) 
15
12
____
4
3
 c) 
4
5
____
12
15
 
 
 
Operações com números Reais 
 
O conjunto dos números reais é formado por todos os números racionais e irracionais, 
ou seja, todos os inteiros, frações e decimais. Devemos, então, dominar as operações 
básicas (soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) neste conjunto 
numérico. 
 
 
 
 
 
Devemos nos orientar pela seguinte regra: 
“Sinais iguais, soma-se e repete-se o sinal; sinais diferentes, subtrai-se e coloca-se o sinal 
do maior número em módulo”. 
Exemplos: 
523
312
+=++
−=−−
 
451
123
−=−
−=+−
 
25
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 23
 
 
 
Devemos nos orientar pela seguinte regra: 
“Sinais iguais, resultado positivo; sinais diferentes, resultado negativo”. 
Popularmente, 
 
−=⋅+−
−=⋅−+
+=⋅−−
+=⋅++
 
−=÷+−
−=÷−+
+=÷−−
+=÷++
 
Exemplos: 
 
6)3(2
6)3(2
6)3(2
6)3(2
+=+⋅+
−=+⋅−
−=−⋅+
+=−⋅−
 
3)2(6
3)2(6
3)2(6
3)2(6
+=+÷+
−=+÷−
+=−÷−
−=−÷+
 
 
 
 
 
 
 
Devemos: 
a) encontrar o m.m.c. dos denominadores; 
b) dividir o m.m.c. por cada denominador; 
c) multiplicar o resultado da divisão por cada numerador correspondente; 
d) efetuar as operações restantes. 
 
 
Exemplos: 
 
90
91
90
685
90
16175
15
1
18
17
=
+
=
⋅+⋅
=+ 
16
9
48
27
48
2451
48
38173
6
3
16
17
==
−
=
⋅−⋅
=− 
 
90)18,15.(.. =cmm 48)16,6.(.. =cmm 
 
 
 
 
26
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 24
 
 
Multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador. 
Exemplos: 
 
56
15
87
53
8
5
7
3
=
⋅
⋅
=⋅ 
7
1
7
2
5
1
3
5
2
3
=
/
⋅
/
⋅
/
/⋅
/
/ 
 
 
 
 
Multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda. 
Exemplos: 
5
6
15
32
8
3
5
61
3
8
5
16
1
2
=
⋅
⋅
=
/
⋅
/
=÷ 
35
24
57
83
5
8
7
3
8
5
7
3
=
⋅
⋅
=⋅= 
 
 
 
 
 
 
Armamos as operações de tal forma que apareçam “vírgula sobre vírgula”. Somamos 
ou subtraímos normalmente. 
 
Exemplos: 
 
335,2025,031,2 =+ 253,3253,12 =+ 
 
111,4236,10125,6 −=− 001,0999,56 =− 
 
 
 
 
 
 
 
 
27
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 25
 
 
Multiplicamos normalmente. O produto terá tantas casas decimais quanto os fatores. 
Exemplos: 
 
182,282,1231,2 =× 08,7652,64,123 =× 
 
 
 
 
 
Igualamos as casas decimais, eliminamos as vírgulas e dividimos normalmente. 
Exemplos: 
 
2,1231,2182,28 =÷ 4,1232,608,765 =÷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 26
 
 
25. Calcule: 
=−+++−
=−++
=++−
=+++
=−−+
=−+−
=+++
=+−
=−−
=++
)40()12()20)(
)4(6)
)9(7)
)5()6)(
)4()9)(
)1()5)(
)2()3)(
1510)
24)
)3()
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
 
=⋅+−÷
=−÷−+÷
=−÷+
=+÷−
=+÷+
=−−−⋅−
=+⋅−
=−⋅+
=−⋅−
=+⋅+
45)6(36)
)4()28(618)
)7()7)(
)1()15)(
)3()15)(
)2()5()7)(
)8()1)(
)2()4)(
)9()3)(
)5()8)(
u
t
s
r
q
p
o
n
m
l
 
 
26. Efetue: 
=−+
=+−
4
1
2
3
7
)
2
1
5
3
)
b
a
 
=





−÷





−
=





−⋅





+
7
3
5
3
)
5
7
9
4
)
d
c
 
 
27. Efetue as operações indicadas. 
 
123,012,0)
4,1223,1)
009,12356,31)
56,123412345,0)
−−
⋅
+−
+
e
c
b
a
 
2,1984,9)
1758,23)
789,910)
3,1866,21)
÷
+
−
÷
j
h
g
f
 
 
28. Em certo país, os trabalhadores recebem dois salários mínimos em dezembro: o salário 
normal e o 13º salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano, os dois salários serão 
iguais. Se a pessoa trabalhou uma fração do ano, o 13º salário corresponderá a essa fração 
do salário normal. Se o salário normal de uma pessoa é 516 reais e ela trabalhou 7 meses 
nesse ano, quanto ela vai receber de 13º salário? 
 
29. João Carlos é operário e seu salário é apenas 520 reais por mês. Gasta 
4
1
 com aluguel 
e 
5
2
 com alimentação da família. Esse mês ele teve uma despesa extra: 
8
3
 do seu 
salário foram gastos com remédios. Sobrou dinheiro? 
 
 
29
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 27
Potenciação e Radiciação 
 
 
 
 
Definição: Sendo a um número real e n um número natural, definimos: 
• baaaaan =⋅⋅⋅⋅= ... , onde 





→
→
→
potênciab
basea
oenten exp
 
• 10 =a 
 
OBS: Sobre as potenciações, devemos saber que: 
 Para simplificar produtos de potências de mesma base, conservamos a base e 
somamos os expoentes; 
 Para simplificar quociente de potências de mesma base, não nula, 
conservamos a base e subtraímos os expoentes; 
 Para simplificar potência de potência, conservamos a base e multiplicamos os 
expoentes; 
 Potência de expoente 1 é igual à base; 
 Potência de expoente 0 (zero) é igual a 1; 
 Potências com expoente é negativo, devemos inverter a base para trocar o 
sinal do expoente; 
 Potências com expoente fracionário podem ser transformadas em radicais. 
Veja o exemplo abaixo. 
 
Exemplos: 
yy
y
yxyx
−
+
−
=÷=
=⋅
==
=⋅=





22
2
3
3
2
222
2
2
222
82
2
1
9
25
3
5
3
5
3
5
 
( )
( ) xxxx
xx
105252
22
555
216
1
666
111
6
1
6
1
6
33
33 13
1
3
33
3
=⋅=⋅
=
==
=
⋅⋅
⋅⋅
==





=−
 
 
Potências de base 10: vejamos: 
zeros 0...10010
1000010
100010
10010
1010
110
4
3
2
1
0
nn →=
=
=
=
=
=
 
decimais casas 1...000,010
0001,010
001,010
01,010
1,010
4
3
2
1
nn →=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
 
 
30
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 28
 
 
Definição: Sendo n um número natural diferente de zero e a um número real positivo, 
temos: 
 abba nn =⇔= , onde 







→
→
→
→
enésimaraizb
radicandoa
radical
índicen
 
 
Propriedades: 
nnn baba ⋅=⋅•
 ( )
nmm n
n ppn
n
n
n
aa
aa
b
a
b
a
⋅=•
=•
=•
 
 
 
Para determinarmos o valor de uma raiz enésima, ou seja, de qualquer índice, devemos 
seguir os seguintes passos: 
 
i) Decompor o radicando em fatores primos; 
 
ii) Escrever os expoentes da fatoração como múltiplos do índice, quando possível; 
 
iii) Eliminar do radical todos os fatores cujos expoentes são múltiplos do índice, dividindo 
os expoentes pelo índice; 
 
iv) Resolver as operações restantes. 
 
Exemplo: Determinar o valor numérico das seguintes raízes: 
a) 5 1024 
i) Fatoramos o radicando: 
 
ii) Neste caso, o expoente já é múltiplo do índice; 
 
iii) Eliminamos o(s) fator(es) cujo expoente é divisível pelo 
índice. 
 
iv) Resolvemos as operações restantes. Assim, 
 
4221024 2
5 105 === 
 
 
 
31
Prof. Francisco Gonçalves – Matemática – EJA -- SESC 
 29
b) 
3
216 
 
 
 
63232216
3 333 =⋅=⋅= 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 24 
 
 
 
6232232224 2 =⋅=⋅⋅= 
 
 
 
 
 
 
 
 
30. Calcule o valor das expressões. 
( )[ ]{ }=+÷+−− 02 42352035)a=
⋅
+
5
2
3
1
2
1
5
3
)c 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
−⋅−−+
++−⋅−−−
545
10532
)
2
3023
b 
 
31. Calcule o que se pede. 
0
3
12)
4
3
)
b
a =





 
( )
=





=−
−3
0
4
3
)
12)
d
c
 
( )[ ] =
=⋅ −
22
53
5)
1010)
f
e
 
( ) ( ) =⋅
=
−45
4
6
2,32,3)
5
5
)
h
g
 
 
32. Calcule: 
121)a 3 343)b 5 32)c 
32
GABARITO 
01. 
a) Pitágoras 
b) Indo-arábico ou sistema de numeração decimal 
c) Porque foi desenvolvido na índia e divulgado na Europa pelos árabes 
d) Em homenagem ao matemático árabe Al-khwarizmi 
02. a) LVII b) LXIV c) LXXXV d) C e) CIX f) DXXXIV g) MDXXXIV h) 1873 i) 1907 j) 1783 
03. a) 2 301 454 b) 4 310 428 c) 10 002 067 
04. a) 369 b) 936 c) 1708 d) 2644 e) 567 f) 936 g) 3013 
05. Luisinho: 47 anos; Pedrinho: 35 anos; Huguinho: 30; TOTAL = 112 anos 
06. 115 + 165 + 225 + 280 = 785 reais. 
07. a) 24 745 b) 7 665 000 c) 450 000 d) 339 200 e) 813 240 f) 9 095 154 
08. a) 473 doces b) 801 salgados 
09. a) 25 b) 46 c) 312 d) 36, com resto 5 e) 325, com resto 13 
10. a) 32 ÷ 8 = 4 grupos b) 48 ÷ 8 = 6 questões 
11. a) Verdadeiro 
 b) Falso. 680 não é divisível por 12 
 c) Verdadeiro 
 d) Falso. 209 é divisível por 11 
12. a) 48 = 24 ∙ 3 
 b) 92 = 22 ∙ 23 
 c) 98 = 2 ∙ 72 
 d) 120 = 23 ∙ 3 ∙ 5 
 e) 168 = 23 ∙ 3 ∙ 7 
 f) 180 = 22 ∙ 32 ∙ 5 
 g) 225 = 32 ∙ 52 
33
 h) 250 = 2 ∙ 53 
 i) 308 = 22 ∙ 7 ∙ 11 
13. a) D(72) = {1, 2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72} b) D(110) = {1, 2,5,10,11,22,55,110} 
14. a) MDC (44, 52, 99) = 1 b) MDC (636, 448) = 4 c) MDC (80, 4072, 124) = 4 
15. a) 108 b) 102 c) 9 996 d) 9 982 
16. a) 160 b) 960 c) 1 d) 7 350 e) 2 f) 15 680 g) 15 h) 2 400 
17. a) < b) > c) < d) > e) < f) > g) = h) < i) > j) < k) > l) > 
18. a) positivo. >; < b) positivo. >; < c) zero. <; > d) maior. >; > e) menor. <; > 
19. a) (D) b) (O) c) Como é inteiro, pode ser O (10
1
) ou D (10,0) d) (D) e) (D) 
20. a) (P) b) (I) c) (A) d) (I) e) (P) f) (I) 
22. a) Não são equivalentes b) São equivalentes 
23. a) 
1
2
 b) 
4
5
 
24. a) > b) > c) = 
25. a) +3 b) -6 c) +5 d) +5 e) -6 f) +13 g) +11 h) +2 i) +2 j) -48 
 l) +40 m) +27 n) -8 o) -8 p) +37 q) +5 r) -15 s) -1 t) +10 u) +14 
26. a) −
1
10
 b) 
49
12
 c) −
28
45
 d) 
7
5
 
27. a) 1234,68345 b) 91,449 c) 15,252 e) – 0,243 
 f) 16,82 g) 0,211 h) 5,1758 j) 8,32 
28. O 13º salário será igual a R$ 301,00. 
29. Não sobrará dinheiro para João Carlos, pois sua despesa será R$ 13,00 maior que seu 
salário. 
30. a) 23 b) 
983
5
 c) 
33
4
 
31. a) 
27
64
 b) 1 c) 1 d) 
64
27
 e) 0,01 f) 625 g) 25 h) 3,2 
32. a) 11 b) 7 c) 2 
 
34
Durante todo o seu estudo de Matemática, ao longo desse curso, você terá a 
oportunidade de perceber que a Matemática exige uma forma bem específica de se expressar. 
É a chamada linguagem Matemática, que causa tantos apuros a alguns alunos mais 
desavisados. Essa linguagem Matemática nada mais é que a tradução da língua portuguesa 
escrita em “matematiquês”, novo idioma que aprenderemos a partir dessa unidade. Você terá a 
oportunidade de perceber que esse novo idioma é mais fácil do que se imagina pois apenas 
utilizaremos letras e símbolos para denotar palavras ou expressões que seriam explicitadas 
literalmente se não fosse a Matemática. Portanto, bons estudos e não deixe de fazer as 
questões do ENEM e vestibulares a fim de fixar tudo o que você aprendeu.
Conjuntos
Iniciaremos nosso estudo com algumas noções da Teoria dos Conjuntos aprendendo 
alguns símbolos que nos ajudarão a nos expressar na linguagem Matemática.
Primeiramente devemos ter a real noção de conjunto. Pode-se dizer que um conjunto 
pode ser considerado como qualquer coleção de objetos, apresentados ou caracterizados pela 
enumeração ou por uma propriedade que apresentem. Cada um desses objetos é chamado 
elemento do conjunto e é bem determinado, distinto dos outros, e satisfaz às condições do 
conjunto.
Por exemplo, podemos enumerar o conjunto dos países da América do Norte, o 
conjunto dos móveis em uma sala de estar, ou o conjunto das vogais. Para isso 
representaremos um conjunto por uma letra maiúscula qualquer, que será o seu nome (da 
mesma forma como nossos pais fazem quando nascemos: nos dão um nome) sendo seus 
elementos com letras minúsculas separados por vírgulas e colocados entre chaves.
3
Capítulo I
Teoria dos
ConjuntosTeoria dos
Conjuntos
35
Assim:
P = {Estados Unidos, Canadá}, lê-se: conjunto P cujos elementos são os países da 
América do Norte;
M = {sofá, mesa, cadeira, televisão, aparelho de som, aparelho de DVD}, lê-se: 
conjunto M cujos elementos são os objetos em uma sala de estar;
V = {a, e, i, o, u}, lê-se: conjunto das vogais cujos elementos são as vogais do 
alfabeto português.
Podemos dizer que esses elementos que fazem parte desses conjuntos, pertencem ao 
conjunto que determinam. Daí podemos dizer que televisão pertence ao conjunto dos objetos 
em uma sala de estar, cama não pertence a esse conjunto.
Quando queremos indicar que um elemento k pertence a um conjunto P, 
escrevemos:
k ∈ P (lê-se: k pertence a P)
Se k não for elemento de P, escrevemos:
k ∉ P (lê-se: k não pertence a P)
Podemos também representar um conjunto por uma figura geométrica e os elementos 
do conjunto por pontos no interior da figura. Essa representação é conhecida como diagrama 
de Venn. 
Por exemplo, o conjunto V das vogais é formado por:
Por exemplo, no conjunto formado pelas letras da 
palavra Banana:
B = {b, a, n} e não B = {b, a, n, a, n,a}.
O conjunto das letras da palavra amapá:
A = {a, m, p}
4
a .
u .
e .
i 
.
o .
V
Na representação do 
conjunto de letras de uma 
determinada palavra, não se 
escreve uma mesma letra 
duas vezes, ou seja, não se 
repetem letras. E esse 
conceito ainda pode ser 
estendido a qualquer tipo de 
conjunto em que não 
repetimos nenhum elemento 
ao representar esse conjunto.
Capítulo I
36
Determinação
Um conjunto pode ser determinado de três modos: por enumeração, por extensão ou 
por compreensão.
Enumeração - É quando mencionamos todos os elementos de um conjunto. Por 
exemplo:
O conjunto das notas musicais
M = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}
Extensão - É quando não enumeramos todos os elementos de um conjunto, mas 
apenas citamos alguns, recorrendo às reticências para representar os outros e citamos, 
ou não, o último elemento. Por exemplo:
O conjunto das letras do alfabeto português:
P = {a, b, c, d, e, ....., z}
O conjunto dos números ímpares positivos:
I = {1, 3, 5, 7, 9, …}
Compreensão - é quando enunciamos ou citamos uma propriedade característica 
que todos os elementos possuem, e somente eles. Esse tipo de determinação tem uma 
notação própria.
Se o conjunto A dos elementos x tem uma propriedade P, vamos indicá-lo pela notação:
A = {x / x é P}, lê-se: conjunto A constituído dos elementos “x” tal que “x” satisfaz à 
propriedade “P”.
Assim, se quisermos denotar o conjunto dos números pares representamos por P = {x / 
x é par}.
Vimos que os conjuntos podem ser definidos por três maneiras: enumeração, 
extensão ou compreensão. Façamos agora, a representação de um mesmo conjunto dessas 
três formas.
Por exemplo, seja o conjuntodas consoantes. Vamos defini-lo por enumeração, 
extensão e compreensão.
5
O conjunto das letras do alfabeto é um conjunto finito, ou 
seja, tem um fim, diferentemente do conjunto dos ímpares 
positivos que é um conjunto infinito.
Capítulo I
37
C = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} por enumeração.
C = {b, c, d, f, ..., z} definido por extensão.
C = {x / x é consoante} por compreensão.
Igualdade
Dois conjuntos são iguais quando tem os mesmo elementos. Assim, se A = {x / x é letra 
da palavra banana}, ou seja, se A = {b, a, n, a, n, a} e B = {b, a, n}, temos: A = B.
Se A não for igual a B, escrevemos: A ≠ B (lê-se: A é diferente de B).
Relações e Operações
Relações
Para que consigamos entender as relações entre os conjuntos é importante que 
saibamos reconhecer todos os tipos de conjuntos existentes a fim de que possamos trabalhar 
perfeitamente com essas relações.
O universo que conhecemos hoje pode ser designado como a totalidade de planetas, 
estrelas, buracos negros e quaisquer outros corpos cósmicos encontrados no espaço sideral. 
Essa noção também pode ser aplicada a um conjunto, que recebe o nome de conjunto 
universo quando é formado pela totalidade dos elementos que estão sendo considerados, 
comumente representado pela letra U. Da mesma forma, quando um conjunto é constituído por 
apenas um elemento, ele é chamado conjunto unitário e quando ele não tem elemento 
algum, é chamado conjunto vazio, que pode ser denotado por duas formas: { } ou ∅ .
Por exemplo:
O conjunto formado pelos insetos providos de nove patas é um conjunto vazio.
O conjunto formado pelos satélites naturais da Terra é um conjunto unitário.
Subconjuntos
Um subconjunto é um conjunto que está contido em outro conjunto. Assim como o 
conjunto A = {e, i, o} que é um subconjunto do conjunto das vogais. Sendo assim, poderemos 
6
Capítulo I
38
formar muitos outros subconjuntos a partir dele. Se um subconjunto está contido em um 
conjunto qualquer, podemos então dizer que esse conjunto contém aquele subconjunto. 
Analogamente, podemos pensar num copo com água, em que a água está contida no copo e o 
copo contém água. Para denotar essas relações utilizamos os símbolos  para representar a 
expressão “está contido” e  para representar a expressão “contém”, assim, se um conjunto A 
está contido ou é subconjunto de B dizemos que A  B ou que B  A, agora, se A não está 
contido em B dizemos que A ⊄ B ou que B ⊅ A (lê-se: B não contém A).
Vejamos um exemplo gráfico em que A é subconjunto de B:
A  U
B  U
A  B
Observemos aqui que qualquer conjunto está contido em si 
mesmo, ou seja, A  A, qualquer que seja A. Na comunidade 
Matemática é admitido que o conjunto vazio esteja contido em 
qualquer conjunto, portanto ∅  A, qualquer que seja A.
Operações Entre Conjuntos
Nessa parte do nosso estudo de conjuntos 
aprenderemos que eles também podem operar entre si. As 
operações básicas entre os conjuntos são: União, 
Interseção, Diferença e Complementação.
União - Dados dois conjuntos A e B, chamamos 
conjunto união, ou reunião de A e B, ao conjunto C dos 
elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto 
B.
Simbolizamos a união de A com B assim: C = A  B. 
Por exemplo:
7
Importante - Inicialmente, em nossos estudos da Teoria 
dos Conjuntos, vimos a relação entre elemento e conjunto em 
que usamos os símbolos ∈ e ∉, e essas relações recebem o 
nome de relação de pertinência. A partir daí, vimos a relação 
entre os conjuntos, que são as relações de inclusão (⊂, ⊃), 
exclusão (⊄, ⊅) e igualdade (≠, =).
U
6
.7
.
1
.
15.
6
.
8.
2
. 4
.
10.
Capítulo I
39
Se A = {1, 5, 6, 7, 8, 15} e B = {2, 4, 6, 7, 10}
Então A  B = C = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15}
Graficamente, a representação desse conjunto união fica assim, em que C é a área em 
verde:
Interseção - Dados dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto interseção é o 
conjunto formado pelos elementos comuns de A e B, ou seja, é o conjunto C cujos 
elementos pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.
Simbolizamos a interseção de A com B 
assim:
 C = A ∩ B.
Se A = {1, 5, 6, 7, 8, 15} e B = {2, 4, 6, 7, 10}
Então A ∩ B = C = {6, 7}
Graficamente, a representação desse conjunto interseção fica assim, em que C é a 
área roxa:
Diferença - Dados dois conjuntos A e B, chamamos conjunto diferença A – B ao 
conjunto C dos elementos de A que não pertencem a B e da mesma forma é chamado 
conjunto diferença de B – A ao conjunto D dos elementos de B que não pertencem a A.
Analogamente, podemos entender a diferença entre 
dois conjuntos da mesma forma que a diferença entre dois 
números. Por exemplo, 5 – 3 = 2 pode ser compreendido da 
seguinte forma: de cinco unidades retira-se três unidades e 
restam duas unidades. Em conjuntos, no exemplo A - B, de um 
conjunto A retira-se os elementos que também são de B e resta 
os elementos que pertencem apenas a A.
Por exemplo:
Seja A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}
A – B = {1, 3, 5} (de A foi retirado os elementos que 
também pertenciam a B)
B – A = {6, 8} (de B foi retirado os elementos que 
também pertenciam a A)
Na figura ao lado verificamos essas diferenças graficamente, em que a diferença é 
representada pela parte em azul:
8
6.
7.1.
15.
8.
5.
2.
4.
10.
Capítulo I
40
Complementação - Dados dois conjuntos A e B, com A  B, chamamos conjunto 
complementar de A em relação a B à diferença B – A.
Em outras palavras, podemos definir o conjunto complementar de A em relação a B 
assim:
Definição 2 - Se um conjunto A está contido em 
um conjunto B sabemos que todo elemento de A 
também é elemento de B, mas podem existir 
elementos em B que não estão em A. O conjunto 
formado por estes elementos é chamando 
complementar de A em relação a B e sua 
representação é C BA .
Em diagrama temos, em que a área mais escura 
refere-se a C BA :
Conjuntos Numéricos
O homem durante sua evolução foi cada vez mais se aprimorando a fim de perpetuar 
sua existência, ele logo criou utensílios para caça, inventou a roda, descobriu o fogo e com o 
passar do tempo ainda inventou símbolos para representar os números. Mas e os números, 
como nasceram? Já se passou pela sua cabeça como se deu isso? Bom, esse nascimento 
deu-se de forma natural, como não poderia ser diferente. Aquele que tenha um certo 
conhecimento de história já deve ter percebido que desde o início da civilização a principal 
ocupação do homem era cuidar de seu rebanho para seu sustento. Mas como esse pastor iria 
saber se alguma ovelha tinha fugido ou sido raptada se não havia números para que ele 
contasse quantas ovelhas tinha? Como iria comparar com a quantidade de ovelhas do dia 
anterior? O homem criou uma forma curiosa de contar suas ovelhas: para cada ovelha em seu 
rebanho, uma pedra ele adicionava em um saco, tendo certeza de que a quantidade de pedras 
no saco era a mesma de ovelhas em seu rebanho, podendo ainda conferir essa quantidade no 
dia seguinte, pois se sobrassem pedras no seu saco após a conferência, ele saberia que teria 
prejuízo.
Foi dessa forma que se iniciou o processo de contagem, da necessidade de se contar 
algo, e após essa necessidade, paulatinamente, foram nascendo outros tipos de números que 
9
Dois conjuntos que tem interseção 
vazia são chamados de conjuntos 
disjuntos.
Capítulo I
41
ATIVIDADE 
 
Dados os conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {-1, 0, 2, 3}, represente as operações abaixo. 
a) A ∪ B 
b) A ∩ B 
c) A – B 
d) B – A 
 
 
Gabarito 
a) A ∪ B 
Devemos realizar a união dos conjuntos A e B. 
Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então A u B = {-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6} 
b) A ∩ B 
Vamos realizar a intersecção do conjunto A com o conjunto B. 
Sendo A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então A n B = {2, 3} 
c) A –B 
Nessa questão devemos verificar os elementos do conjunto A que não são elementos do 
conjunto B. 
Para A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então A – B = {4, 5, 6} 
d) B – A 
Teremos que averiguar a diferença entre B e A (conjunto formado pelos elementos do 
conjunto B que não pertencem ao conjunto A). O conjunto diferença é representado por 
B – A. 
A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então B – A = {-1, 0} 
 
 
 
 
 
 
 
 
42
Dízimas Periódicas 
 
1. Definição 
 
 
Uma dízima periódica é um número que quando 
escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de 
algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se 
repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados 
sempre na mesma disposição e chamados de período. 
 
Por exemplo, os números a seguir são dízimas 
periódicas: 
 
3,2222..... 0,353535.... 45,76555... 
 
 As dízimas periódicas são representadas por 
reticências (...) no final do número ou por um traço sobre a 
parte que repete, chamado de período. Assim, os mesmos 
valores acima podem ser representados: 
 
 3, 2� 0, 35���� 45,765� 
 
 As dízimas periódicas são formadas de três partes: 
parte inteira, anti-período e período. Parte inteira é a parte 
que antecede as casas decimais (antes da vírgula ou ponto 
decimal). O período é a parte que se repete de forma 
infinita. Já o anti-período é a parte do número que está 
após o início das casas decimais (após a vírgula), e vai até 
o início do período. Assim, por exemplo, o número 
45,76555.... apresentado acima, tem 45 como parte inteira, 
76 como anti-período e 5 como período. 
 
 Existem dois tipos de dízimas periódicas: as 
simples e as compostas. As dízimas periódicas simples 
não apresentam o período logo após a vírgula, ou seja, não 
apresentam o anti-período. Já as dízimas periódicas 
compostas apresentam o anti-período entre a parte inteira e 
o período. Por exemplo: 
 
- Simples: 0,222... 3,4444.... 13,1111... 
-Compostas: 0,0333... 12,34545... 6,7537878... 
 
2. Fração Geratriz 
 
 Toda dízima periódica pertence ao conjunto dos 
números racionais (Q). Desta forma, todas elas, sem 
exceção, possuem uma fração que, quando dividimos o 
numerador pelo denominador, encontramos esta dízima. 
Esta fração é chamada de fração geratriz. Por exemplo: 
 
5
9 = 0,5555 … 
1
45 = 0,02222 … 
 
7
3 = 2,3333 … 
148
90 = 1,64444.. 
 
61
495 = 0,12323 … 
23
99 = 0,2323 … 
 
 
 Desta forma, torna-se fundamental que saibamos 
encontrar a fração que gera cada dízima para que possamos 
realizar operações com ela. Por exemplo, a operação: 
 
0,1212... + 0,5555... – 0,0222... + 0,2323... 
 
deve ser realizada na forma fracionária como: 
 
4
33 +
5
9 −
1
45 +
23
99 
 
 Para encontrarmos as dízimas, existe o caminho 
algébrico e o prático. 
 
3. Solução Algébrica 
 
 Para encontrarmos a fração de uma dízima, 
devemos proceder da seguinte forma: 
 
a) Devemos atribuir a dízima a uma incógnita, x por 
exemplo; 
b) Depois, devemos multiplicar a dízima por uma 
potência de 10 (1, 10, 100, 1000,....) até que 
tenhamos duas versões, uma com o período logo 
após a virgula e outra com um período do lado 
esquerdo da vírgula. 
c) Finalmente, subtraímos ambos os lados destas 
igualdades e isolamos a incógnita. O resultado é a 
a fração geratriz. 
 
Vejamos, por exemplo, as dízimas 0,555..., 2,333.... e 
1,64444... 
 
a) x = 0,5555.... 
como essa dízima já tem o período logo após a 
virgula, já temos a primeira relação. Para a segunda, 
precisamos colocar a vírgula após a primeira repetição do 
período (após o primeiro 5). Para isso, basta multiplicar 
ambos os lados da equação por 10. Isso produz a segunda 
relação que é: 10x = 5,555... 
 
Juntamos as duas equações e subtraímos a 
primeira da segunda: 
 
� � = 0,555 … (1)10� = 5,555 … . (2) 
 
Fazendo (2) – (1) e isolando o x, teremos: 
 
10� − � = 5,555 … − 0,555 … 
9� = 5 
Hora da Revisão - Dízimas Periódicas
Hora da Revisão - Dízimas Periódicas
43
� = 59 
 
Essa fração é a geratriz da dízima. 
 
b) x = 2,333... 
 
� � = 2,333 … (1)10� = 23,333. . . (2) 
 
Fazendo (2) – (1) e isolando o x, teremos: 
 
10� − � = 23,333 … − 2,333 … 
9� = 21 
� = 219 =
7
3 
 
c) x = 1,6444... 
 
� 10� = 16,444 … (1)100� = 164,444. . . (2) 
 
Fazendo (2) – (1) e isolando o x, teremos: 
 
100� − 10� = 164,444 … − 16,444 … 
90� = 148 
� = 14890 =
74
45 
 
4. Solução Prática 
 
 Para a solução prática de uma fração geratriz, 
precisamos separar as dízimas simples das compostas. 
 
a) Dízima Simples 
 
 Em primeiro lugar, vamos ver as dízimas simples 
com a parte inteira zero. Para encontrarmos a dízima 
periódica dela, basta formar a fração com o período no 
numerador e um algarismo nove para algarismo do período 
no denominados. Por exemplo: 
 
0,555 … = 59 
 
 foi colocado um algarismo 9 pois o período tem tamanho 
1. Vejamos outros casos: 
 
0,2323 … = 2399 0,375375 … =
375
999 
 
 Quando a dízima apresentar um período não 
inteiro, devemos separá-la em duas partes: inteira e 
decimal, somadas. Depois, transformamos a parte decimal 
em fração pelo método acima e aplicamos a soma de fração 
para encontrar a solução final: 
 
2,444 … = 2 + 0,444. . = 2 + 49 =
22
9 
 
12,2525 … = 12 + 0,2525 … = 12 + 2599 =
1188 + 25
99
= 121399 
 
b) Dízimas Compostas 
 
 As dízimas compostas são convertidas em fração 
através de um dispositivo que forma a fração assim: para 
cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 
no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do anti-
período se coloca um algarismo zero, também no 
denominador. No caso do numerador, faz-se a seguinte 
conta: (parte inteira com anti-período e período) – (parte 
inteira com anti-período). Assim: 
 
 
 
 Outros exemplos: 
 
1,6444 … = 164 − 1690 =
148
90 =
74
45 (1) 
 
21,30888. . = 21308 − 2130900 =
19178
900 (2) 
 
2,4732121 … = 247321 − 247399000 =
244848
99000 (3) 
 
0,1252525 … = 125 − 1990 =
124
990 (4) 
 
 
 Observe que no exemplo (1), o denominador foi 
90 pois o 9 veio do tamanho do período (1 algarismo) e o 0 
do número de algarismo do anti-período. No exemplo (3), 
foram dois noves do tamanho do período e três zeros pois o 
anti-período continha três casas. 
 
 
 
Prof. Marcos Carrard 
www.mcarrard.com.br 
44
 
 
 EXPRESSÕES NÚMERICAS COM AS QUATRO 
OPERAÇÕES 
 
 
DESCREVENDO A RESOLUÇÃO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de uma das expressão: 
 
1) 6 + 4 x 5= 
 
Descrição 
a) Primeiro vamos fazer a multiplicação de 4 vezes 5. 
b) Ao resultado da multiplicação somamos o 6, obtendo o resultado da expressão. 
 
Resolução 
 
 a) 6 + 4 x 5= 
 
 b) 6 + 20 
 
 26 
 
 
 
Nas expressões numéricas em que não há 
parênteses, as multiplicações e as divisões 
devem ser feitas antes das adições e das 
subtrações. 
Nas expressões com parênteses, 
colchetes e chaves, primeiro devem ser 
efetuados os cálculos que estão entre 
parênteses; depois, os que estão entre 
colchetes e , finalmente os que estão 
entre chaves. 
45
 
 
2)(6 + 2 ) x 3 + 5 
 
Descrição 
a)Primeiro resolvemos a operação dentro do parênteses 
b)Multiplicamos o resultado do parênteses por 3. 
c) E finalmente adicionamos o 5, obtendo o resultado da expressão. 
 
Resolução 
 
(6 + 2 ) x 3 + 5 
 
 8 x 3 + 5 
 
 24 + 5 
 
 29 
 
 
3) ( 4 x 7 + 12) : ( 3 x 5 + 5) = 
 
Descrição 
a) Primeiro realizamos as operações dentro dos parênteses . 
b) No primeiro parênteses fazemos 4 vezes o 7 e depois somamos o 12, obtendoo total 
do primeiro parênteses. 
c) No segundo parênteses fazemos a multiplicação de 3 por 5 e somamos o outro 5, 
obtendo o resultado do segundo parênteses. 
d) Por ultimo dividimos o total obtido no primeiro parênteses pelo total obtido no 
segundo parênteses. O resultado dessa divisão será a resposta da expressão. 
 
Resolução 
 
( 4 x 7 + 12) : ( 3 x 5 + 5) 
 
( 28 + 12) : ( 3 x 5 + 5) 
 
 
 40 : ( 3 x 5 + 5 ) 
 
 
 40 : ( 15 + 5) 
 
 
 40 : 20 
 
 2 
46
 
 
 
 
4) 15+[(3x6-2)-(10-6:2)+1]= 
 
 
 15+[(18 – 2) - (10 - 3)+1]= 
 
 
15+[16-7 +1]= 
 
 
15+[9 + 1]= 
 
15+10= 
 
 
=25 
 
5) 50-{40-3x[5-(10-7)]}= 
 
 50-{40-3x[5 - 3]}= 
 
 
 50-{40 - 3 x 2}= 
 
 
 50-{ 40 – 6 }= 
 
 
 50 - 34= 
 
=16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47
 
 
RESOLVA AS EXPRESSÕES 
 
 
BATERIA 1 
 
1) 7 + 8 x 9= 
2) 8 + 7 x 9= 
3) 8 x 7 + 9= 
4) 9 + 72 : 8= 
5) 5 + 3 x 9= 
6) 5 x 3 + 9= 
7) 6 + 24 :8= 
8) 24 : 6 + 8= 
9) 17 – 40: 4= 
10) 17 x 4 – 40= 
11) 38 – 9 x 4= 
12) 44 – 6 x 6= 
13) 7 x 7 + 5= 
14) 6 + 4 x 7 – 5 
15) 8 + 4 x 6 – 6 
16) 15 – 20: 4+ 8= 
17) 49 – 45 :5 +4= 
18) 21 – 64:8 + 2= 
19) 3 + 7 x 9 – 13= 
20) 30 – 65 : 5 +1= 
21) 6 x 8 – 32 : 4= 
22) 15 : 3 + 3 x 9 = 
23) 6 x 3 +5 – 7 x 3= 
24) 42:7 + 18 – 6 x 4= 
25) 7x2 + 10 – 50 : 10= 
26) 6 + 3 x 3 – 2 x 5 = 
27) 18 + 6 x 9 – 8 x 6= 
28) 15 + 3 – 8 x 2 +4= 
29) 7 x 2 x 5 – 50 
30) 128 : 2 : 2 : 8 = 
31) 6 x (2 + 7)= 
32) 7 x (3 + 5)= 
33) 8 x ( 10 – 2)= 
34) (6 + 4 ) x 2= 
35) (6 – 4 ) x 9= 
36) 3 x ( 15 – 5)= 
37) (9 – 2 ) x 4 = 
38) 24 : ( 15 – 7)= 
39) 40 : ( 8 -3 )= 
40) 45 : ( 12 – 9)= 
41) (3 + 6 x 5 ) – 20= 
42) ( 4+ 8 x 7) : 6= 
43) (25 – 4 x 4) : 3= 
44) 15 + (32 : 4-3 )= 
45) 35 : (4 x 3 -5)= 
46) 7 x (15 : 3 + 5) = 
47) 100– (6 x 8+ 2)= 
48) ( 7 x 9 – 3) : 5= 
49) ( 8 + 8 x 9 ) : 8 = 
50) ( 6 + 6 x 6 ) : 6= 
51) (6 x 3 + 7) + ( 4 x 8 -7)= 
52) (5 + 5 x 5)+ ( 5 x 5 +5)= 
53) (3 + 33 : 3) x (12: 3 + 1)= 
54) 20- (8 x 2 + 4) : (15 :5 +1 )= 
55) 10 +(7 x 7 + 11):(3 x 9 +3)= 
56) 5 x(20+2 -15) – (7x8 –30)= 
 
 
 
BATERIA 2 
1)5 + 3 x 8= 
2)4 x 7 + 3= 
3) 15 : 3 x 4= 
4)15 x 3 : 9 = 
5 15 +3 x 9= 
6) 15 x 3 + 9= 
7) 6 x 7 : 3 = 
8) 6 x 7 + 3= 
9) 6 + 7 x 3 = 
10) 18+11x 2= 
11)4 + 5 x 7 + 8= 
12)15 – 3 x 4 + 7= 
13)6 x 7 – 15 :5 = 
14)9 x 3 – 5 x 5= 
15)6 x 6 : 9 + 6= 
16)3 + 9 x 5 +2 = 
17) 5 x 8 : 4 x 5= 
18) 6 + 6 x 6 + 6 = 
19) 4 x 9 -3 x 8 +2 x 8= 
20)5 x 7+3 x 5 – 5x10= 
21) ( 6 + 5 ) x 9= 
22) 9 x ( 7 + 3) = 
23) 35 : (15 -10)= 
24)(32 – 4 ) : 7= 
25) 17 x ( 5 – 2 )= 
26) (6 + 8) x (10 – 5)= 
27)(32 –10)x ( 20 –15)= 
28)(9 x 6) : ( 3 x 9) = 
29)(6 +9) x ( 32 : 4)= 
30)(11 – 4) x ( 45: 9) 
31) 50- [( 6 x 8) : ( 12 + 4 )]= 
32) 38 +[ 7 x ( 6 + 3) – (17 x 3)]= 
33)3 x [5 + (42 : 3 – 9 )] = 
34)120 : [ 3 x 15 +( 2 x 7 + 1)= 
35) [ 16 + ( 2 +(5 x 3) – (21 :7 +10)= 
 
 
 
 
 
48
 
 
BATERIA3 
1) 6 + 4 x 5 = 
 
2) 35 – 7 + 20 
 
3) 10 – 3 x 3 = 
 
4) 9 + 5 x 6 = 
 
5) 100 – 8x9= 
 
6) 45 + 5x 11= 
 
7) 4 x 9 +14 
 
8) 39 : 3 – 10 
 
9) 41 – 90 : 5 
 
10) 21: 3 + 4 = 
 
11) 30 – 6 : 2 = 
 
12) 40 – 5 x 8 = 
 
13) 5 + 28 : 7 = 
 
14) 6 x 8 + 1 = 
 
15) 10 : 2 + 6 = 
 
16) 53 + 12 :2 = 
 
17) 30 :10 + 5 = 
 
18) 3 x 7 – 2x 5 = 
 
19) 4 x 6 – 10 : 2 = 
 
20) 20 – 2 x 4 + 5 = 
 
21) 15 + 5 x 9 – 50= 
 
22) 25 – 35 : 7 + 8= 
 
23) 6 x 8 + 7x 6= 
 
24) 30 -16 : 2 : 2 = 
 
25) 32 : 4 : 2 : 2 = 
 
26) 30 :6 x 7 = 
 
27) 5 x 8 : 10 = 
 
28) 45 – 3 x 8 + 4 = 
 
29) 50 : 5 + 36 : 4 – 4= 
 
30) 100 – 9 x 9 = 
 
31) 40 – 40 : 5 + 3= 
 
32) 7 + 7 x 7 + 7= 
 
33) 90 : 18 – 18 : 6 – 6 : 3= 
 
34) (7 + 4 ) x 6= 
 
35) (15 – 12 ) x 9= 
 
36) ( 6 + 2 ) x 3 + 5 = 
 
37) ( 9 + 1 ) x 2 – 10 = 
 
38) 25 x ( 6 + 4) = 
 
39) (32 : 4 + 5) x 3 = 
 
40) ( 4 + 6 x 6) – 5 x 8= 
 
41) (12 + 30 : 6)+1= 
 
42) 38 + (66 – 6 x 9) 
 
43) 35 x ( 7 – 5 ) = 
 
44) 52 – ( 25 + 78 : 13) 
 
45) (25 – 5 x 4 ) : 5 
 
46) 35 + ( 13 x 8 - 4 ) 
 
47) (12 + 2 x 5 ) – 8 = 
 
48) 25 + (15 + 6 : 3) x 5 – 10 
 
49) 45 : ( 3 x 2 + 9) = 
 
50) 4x( 32: 8 + 6)+100 – (3 x 20 + 30) 
 
51) 5 x ( 8 + 12 – 6 ) : 7 
 
52) (8 + 6 : 3) x 10 = 
 
53) 132 : ( 7 – 1 ) x ( 18 – 7 )= 
 
54) (7 x 6 + 8) : ( 38 – 7 x 4)= 
 
55) ( 27: 3 + 1) x ( 5 x 5 -20)= 
 
56) 12 x 2+ ( 6 + 5 x 12 ) : 11 
 
57) ( 18 + 3 x 9) : ( 4 x 7 – 13) = 
 
58) 6 x ( 14 – 4 + 6 ) – 16 – 6 
 
59) ( 25 + 5) : ( 3 x 2 + 4) = 
74) 100-3x{5+8:2-[3x(7-6)]} 
 
75) (12 + 2 x 5) - 8 =) 
 
76) 25 - ( 15 + 6 : 3) = 
 
77) 25 +[7 + ( 8 - 4 :2)] = 
 
78) 1000 - [(2 x 4+ 6) + ( 2 + 6 x 4) 
 
79) 80 - [ 22 + ( 5 x 2 - 1 ) + 6] = 
 
80) [ 30 + 2 x ( 5 – 3 ) ] x 2 – 10 
 
81) 14 : 2 + [ 13 - ( 4 x 2 + 1 ) ] = 
 
82) 80 - 5 x ( 28 - 6 x 4 ) + 6 - 3 x 4 
 
83) [( 4 + 16 : 2) x 5 - 10] : 10 = 
 
84) 60 + 2 x {[ 4 x ( 6 + 2 )- 10 ]+ 12} = 
 
85) 60 - [8 + ( 10 - 2 ) : 2] = 
 
86) { 10 + [ 5 x ( 4 + 2 x 5) - 8] x 2 } - 100 = 
 
87) 4 x ( 10 + 20 + 15 + 30) = 
49
 
 
 
60) ( 4 x 7 + 12) : ( 3 x 5 + 5) 
 
61) ( 21 : 3 + 10 )+ ( 4 + 7 x 2 ) 
 
62) 150 : { 43 + [ 44 - ( 4 x 8 + 5)]} 
 
63) 100 – [ 45 +( 48 : 6 + 3)] 
 
64) 101 –[ ( 45 : 9 x 10 ) +( 39 : 13 + 47 )] 
 
65) 3 + { 3 x [ 3x (3 + 3)] } 
 
66) 320 : [( 120 – 10 x 9) + (10 + 5 x 8) ] = 
 
67) 36 + 2x{25 + [ 18 – (5 – 2)x3]} 
 
68) 16+[10-(18:3+2)+5] 
 
69) 90-[25+(5x2-1)+3] 
 
70) 50-2x{7+8:2-[9-3x(5-4)]} 
 
71) 180+{ 2x[5 x 3+( 8 x 6– 2 x 9 )–(19 x 3 – 37)]} 
 
72) 25-[12-(3x2+1)] 
 
73) 45+[(8x5-10:2)+(18:6-2)] 
 
 
88) 10 + [ 4 + ( 7 x 3 + 1 ) ] – 3 
 
89) 58 - [ 20 - ( 3 x 4 - 2) : 5 ] 
 
90) 60+[ 35 +( 7 x 9 + 7) : 14] 
 
91) 5 x[65 : ( 5 x 4 -7)] 
 
92) (10 x 6 + 12 x 4 + 5 x 8 ) - 40 = 
 
93) [6 x(3 x 4-2x5)- 4]+ 3 x (4 - 2) - (10 : 2) = 
 
94) 67 - { 50 - [70 :( 27 + 8) + 18 : 2 ]+ 21 } = 
 
95) [ 30 x (9 - 6)] : { 30 : (9 + 6)]= 
 
96) 40 + 2 x [ 20 - ( 6 + 4 x 7 ):2]= 
 
97) 6x{6x[6x(6+6) : (6+6)] : 36 
 
98) 100:{48 +[(3x4 +8): (4x2+2)]} 
 
99) {[(8+8x9):(81:3-7)x(45:3-10)]:5}:2 
 
 
 
 
 
 
2)Com os números 3 , 5 e 7 escreva 6(seis) expressões numéricas com resultados diferentes, usando 
pelo menos duas operações distintas. Apresente a resolução. 
 
3)Com os números 4, 6 e 8 escreva 6(seis) expressões numéricas com resultados diferentes, usando pelo 
menos duas operações distintas. Apresente a resolução. 
 
4)Com os números 5 , 8 e 9 escreva expressões numéricas cujos resultados sejam: 
a)31 b)77 c)37 d) 67 e) 49 f)5 g) 85 h) 32 i) 27 j)12 
 
 
5)Com os números 3 , 6 e 9 escreva expressões numéricas cujos resultados sejam: 
a)33 b)18 c)2 d) 5 e) 1 f)27 g)36 h) 72 i) 45 j)51 k) 54 l)9 m)81 n) 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50
 
 
MAIS EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
 
BATERIA 4 
a) 3x75+3x25 = 
b) 5x97+5x3 = 
c) 4x101+4x99 = 
d) 20x47+80x47 = 
e) 12+16:8x3-5 = 
f) 100-6x7+8:2 = 
g) 64:8+5x5-3 = 
h) 1+3+5x7-9:3 = 
i) (13+2)x3+5 = 
j)(7+2)x(3-1) = 
k)(4+2x5)-3 = 
l) 20-(15+6:3) = 
m)15+[6+(8-4:2)] = 
n)40-[3+(10-2):2] = 
o)[30+2x(5-3)]x2-10 = 
p) 10+[4+(7x3+1)]-3 = 
q)(3+4)x(9-8) = 
r)(20+8):(3+4) = s)15+8x(2+3) = 
s) 
t)(5+3x2)-1= 
u)25+(8:2+1)-1= 
 v) 15+[5x(8-6:2)] = 
w)50-[13-(10-2):2] = 
y)[40+2x(7-5)]x2-20 = 
z) (3+2)x(5-1)+4 
 
 
BATERIA 5 
a)16+[10-(18:3+2)+5] 
b)25-[12-(3x2+1)] 
c)90-[25+(5x2-1)+3] 
d)45+[(8x5-10:2)+(18:6-2)] 
e) 50-2x{7+8:2-[9-3x(5-4)]} 
f)100-3x{5+8:2-[3x(7-6)]} 
g) 82-8x7:(4-1x3) = 
h) 25-[10-(2x3+1)] = 
i) 70-[12+(5x2-1)+6] = 
j) 8:2+[15-(4x2+1)] = 
 k) 9+[4+2x(6-4)+(2+5)]-8 = 
l) 50+{10-2x[(6+4:2)-(10-3)]} =m)180:{10+2x[20-45:(13-2x5)]} 
n) [30 + 2 x (5 – 3 ) ] x 2 – 10 
o) 20 + [13 + (10 – 6) + 4] 
p) 52 – { 12 + [ 15 – ( 8 – 4 )]} 
q) { 10 + [ 5 x ( 4 + 2 x 5) - 8] x 2 } - 100 = 
r) 60 + 2 x {[ 4 x ( 6 + 2 ) - 10 ] + 12} = 
s) 
t) 1000 - [(2 x 4 - 6) + ( 2 + 6 x 4)] = 
u) 80 - 5 x ( 28 - 6 x 4 ) + 6 - 3 x 4 = 
v) 67 + { 50 x [ 70 : ( 27 + 8 )+18 : 2]+21 } 
w) [ 30 x ( 9 - 6)] + { 30 : ( 9 + 6 ) ] = 
x) 58 - [ 20 - ( 3 x 4 - 2) : 5 ] = 
y) 40 + 2 x [ 20 - ( 6 + 4 x 7 ) : 2 ] = 
z) [6x(3 x 4 - 2 x 5)- 4] + 3 x (4 - 2)-(10 : 2)= 
 
 
 
BATERIA 5 
1) 17 + 6 x 9= 2) 42 – 3 + 20= 3) (6 + 7) x 7= 
4) 20 – 4 x 4 = 5) 11 + 7 x 6= 6) (7 + 4 ) x 2 + 6= 
7) 100 – 7 x 8= 8) 35 + 5 x 13= 9) 6 + 12 x ( 5 + 7 ) 
10) 6 x 9 + 14= 11) 42 : 3 – 11= 12) (7 + 8 x 8 )- 4 x 9 = 
13) 51 – 80 : 5= 14) 32 : 8 + 6= 15) 20 : 4 + 7= 
16) 29 – 6 : 3 = 17) 50 – 6 x 8 = 18) 40 : 10 + 5= 
19) 15 + 49 : 7 = 20) 5 x 9 + 3= 21) 5 x 7 - 21 : 3= 
22) 58 + 18 :2= 23) 5 x 7 + 6= 24) 12 + 8 x 9 – 14= 
51
 
 
25) 3 x 9 + 4 x 6= 26) 99 – 9 x 9= 27) 35 – 42 :6 + 11= 
28) 21 – 3 x 5 + 5= 29) 8 + 8 x 8 +8 = 30) 6 x 5 + 6 x 6 = 
31) 35 – 42 : 6 + 11= 32) 28 – 32 : 2 : 4= 33) 81 : 3 : 3 :3 = 
34) 96 : 6 – 16 : 2= 35) 45 : 9 x 8= 36) 44 + (80 – 7 x 9 )= 
37) (14 – ) x 6= 38) (32 – 3 x 8) : 4= 39) 64 – (32 + 55 : 11)= 
40) (8 + 6) x 2 – 15= 41) (15 + 3 x 6 ) – 13= 42) 42 + ( 4 x 8 – 9)= 
43) (36 : 6 + 5) x 4= 44) 75 : (3 x 3 + 6)= 45) 20 + ( 12 + 8 : 2) x 5 -90= 
46) (16 + 44 : 11) – 2= 47) 50 – (6 x 4) = 48) 50 – 50: 5 + 7= 
49) (7 +8 x 8)- 4 x 9= 50) (4 x 7 + 8): ( 45 – 7 x 6)= 
 
 
 
 
 
 
GABARITO BATERIA 1 
1)79 2)71 3)65 4)18 5)32 6)24 7)9 8)12 9)7 
10)28 11)2 12)8 13)54 14)29 15)26 16)18 17)44 18)15 
19)53 20)18 21)56 22)32 23)44 24)0 25)19 26)5 27)24 
28)6 29)20 30)4 31)54 32)56 33)64 34)20 35)18 36)30 
37)28 38)3 39)8 40)15 41)13 42)10 43)3 44)20 45)5 
46)70 47)50 48)12 49)10 50)7 51)50 52)60 53)70 54)15 
55)12 56)9 
 
 
 
GABARITO BATERIA 2 
1)29 2)31 3)20 4)5 5)42 6)54 7)14 8)45 9)27 
10)40 11)47 12)10 13)39 14)52 15)10 16)50 17)50 18)48 
19)28 20)0 21)99 22)90 23)7 24)4 25)51 26)70 27)110 
28)2 29)120 30)35 31)47 32)50 33)30 34)2 35)20 36) 
 
GABARITO BATERIA 3 
1)26 2)48 3)1 4)39 5)28 6)100 7)50 8)3 9)23 
10)11 11)23 12)0 13)9 14)49 15)11 16)59 17)8 18)11 
19)19 20)17 21)15 22)28 23)90 24)26 25)2 26)35 27)4 
28)25 29)15 30)19 31)35 32)63 33)0 34)66 35)27 36)29 
37)10 38)250 39)39 40)0 41)18 42)50 43)70 44)21 45)1 
46)135 47)14 48)100 49)3 50)50 51)10 52)100 53)242 54)5 
55)50 56)30 57)3 58)74 59)3 60)2 61)35 62)3 63)36 
64)1 65)57 66)4 67)104 68)23 69)53 70)40 71)62 72)20 
73)81 74)82 75)14 76)8 77)38 78)25 79)43 80)58 81)11 
82)14 83)5 84)128 85)48 86)38 87)300 88)33 89)40 90)100 
91)25 92)108 93)9 94)7 95)45 96)46 97)6 98)2 99)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52
Un
Id
ad
e 
 1 seqUênCIas e regUlarIdades
M
at
eM
Át
IC
a
teMas
1. sequências
2. sequências figuradas
3. sequências e números figurados
Introdução 
No cotidiano, existem algumas situações nas quais se pode estabelecer uma 
ordem entre alguns elementos, sejam eles objetos ou números. Em Matemática, 
essa ordem se chama sequência.
As sequências foram estudadas por matemáticos e utilizadas em inúmeras ati-
vidades profissionais e científicas. 
Nos primeiros anos escolares, você aprendeu diversos tipos de sequências, por 
exemplo, a sequência dos meses do ano (janeiro, fevereiro, março, abril, maio, 
junho, julho, agosto, ...). Nesse caso, você consegue afirmar que o próximo mês é 
“setembro”. 
Há outras sequências, como a tabuada do 7 (7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, ...), que, por 
serem numéricas e simples, também permitem a determinação do próximo termo. 
Nesse caso, bastaria acrescentar 7 ao termo anterior para obter o seguinte: 49 + 7 = 56.
Nesta Unidade, você estudará variadas sequências e descobrirá suas regula-
ridades. Assim, além de resolver problemas práticos, desenvolverá e exercitará o 
raciocínio lógico-matemático.
t e M a 1sequências
Você já estudou tabuadas, funções e outras leis matemáticas que possibilitam 
determinar valores conhecidos ou desconhecidos. Agora vai usar esses conheci-
mentos para estudar sequências, observar seu comportamento e verificar suas 
regularidades.
Assim, você aprenderá a diferenciar uma sequência qualquer de uma 
sequência numérica, percebendo que há inúmeras sequências desse tipo em 
nosso cotidiano.
53
10 UnIdade 1
Você já observou em que anos são realizados os jogos da Copa do Mundo de 
futebol masculino? Em caso negativo, observe os anos em que as últimas dez com-
petições foram realizadas: 1978, 1982, 1986, 1990, 1994, 1998, 2002, 2006, 2010, 2014. 
Em sua opinião, existe um padrão nesse conjunto de datas?
sequências e leis de formação
A palavra sequência faz parte do vocabulário usado no dia a dia e é empre-
gada, por exemplo, para se referir à “sequência dos capítulos de uma novela” ou 
à “sequência de jogos de um campeonato”. Em geral, uma “sequência de aconte-
cimentos” sugere um tipo de ordenação e a ideia de 1o, 2o, 3o, ou seja, uma asso-
ciação entre o que está sequenciado e os números naturais positivos (1, 2, 3, ...). 
Agora, tente calcular mentalmente o valor do 100o termo.
Ao longo da história, algumas sequências despertaram a curiosidade e a 
atenção de matemáticos e de outros cientistas, como astrônomos e economis-
tas. Há sequências de muitos tipos, por exemplo, a sequência dos múltiplos 
de 3 (3, 6, 9, 12, ...).
É possível perceber a regularidade dessa sequência e determinar o valor do pró-
ximo termo. 
Outras sequências progridem seguindo um padrão constante, mas que, logo 
nos primeiros termos, já alcançam quantidades maiores: 
(1, 2, 4, 8, 16, 32, ...)
atIvIdade 1 Início da observação 
 1 Da sequência dada anteriormente, ou seja, (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...), pense sobre as 
seguintes questões e responda:
a) O 10o termo dessa sequência é maior ou menor do que 1.000? 
b) Compare o 10o termo dessa sequência com o 10o termo da sequência 
(7, 14, 21, 28, ...). Qual deles é o menor? 
54
11UnIdade 1
Uma das sequências mais famosas da Matemática é a 
sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...), cujo nome 
homenageia seu criador, Leonardo de Pisa (aprox. 1170-1250), mais 
conhecido como Fibonacci. Ele também foi um dos responsáveis 
pela introdução dos algarismos indo-arábicos na Europa medieval, 
no ano de 1202.
A sequência que leva seu nome foi criada para descrever o 
crescimento de uma população de coelhos ao longo de um ano. 
A figura abaixo está relacionada à sequência de Fibonacci.
Um dos enigmas do livro O Código da Vinci e do filme de 
mesmo título (direção de Ron Howard, 2006) utiliza a sequência 
de Fibonacci.
 2 Há sequências que, ainda que se saiba como funcionam, dão algum trabalho 
para encontrar o valor de determinado termo. É o caso da sequência de Fibonacci: 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 
Mas não é difícil descobrir como ela funciona. 
a) Tente descobrir e explique.
b) Utilizando o que você descobriu no item anterior, descubra o valor do 9o e do 
10o termos.
c) Explique por que não é simples calcular mentalmente qual é o 100o termo.
1
3
5
2
1
8
leonardo de pisa.
©
 B
et
tm
an
n/
Co
rb
is/
la
tin
st
oc
k
©
 d
an
ie
l B
en
ev
en
ti
retângulo de Fibonacci.
55
12 UnIdade 1
a sequência de números primos 
Há ainda sequências que, mesmo sendo estudadas por matemáticos há mais 
de 2 mil anos, ainda hoje guardam mistérios e desafiam as mentes mais curiosas. 
Esse é o caso da sequência dos números primos. Observe a seguir:
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...)
O que instiga os matemáticos é o fato de que sua maior regularidade é não ter 
nenhuma regularidade aparente. Para encontrar o valor de determinado termo é 
necessário utilizar trabalhosos métodos de cálculo. Se o termo for muito grande, 
como o milionésimo, descobri-lo é uma tarefa que exige a utilização de programas 
de computação.
Um número primo é um número natural que tem apenasdois divisores: 1 e o próprio número. 
O número 9 tem três divisores: (1, 3, 9), portanto, não é primo; diz-se que 9 é um número com-
posto, pois pode ser decomposto como 3 ∙ 3; 10 também é composto, pois pode ser decomposto 
como 2 ∙ 5, tendo quatro divisores (1, 2, 5, 10).
Já o número 13 só tem dois divisores: 1 e o próprio 13, podendo ser decomposto apenas como 
1 ∙ 13; portanto, ele é primo.
a linguagem das sequências
Uma sequência pode ser represen-
tada por uma lista ordenada de núme-
ros entre parênteses, separados por 
vírgula. A sequência (1930, 1934, 1938, 
1950, 1954, 1958, 1962, ..., 2014, ...) 
indica os anos de Copa do Mundo de 
futebol masculino, desde o primeiro 
campeonato, em 1930, até o ocorrido no 
Brasil em 2014.
Nessa sequência, o valor numérico do primeiro termo é 1930; do segundo termo, 
1934; do terceiro, 1938; do quarto, 1950; e assim por diante.
São usados uma letra minúscula para identificar um termo da sequência e um 
número subscrito à direita da letra para indicar a posição desse termo.
©
 r
ub
en
s C
ha
ve
s/
pu
lsa
r I
m
ag
en
s
56
13UnIdade 1
Assim:
a1 = 1930 → significa que o primeiro termo é igual a 1930;
a2 = 1934 → significa que o segundo termo é igual a 1934;
a3 = 1938 → significa que o terceiro termo é igual a 1938;
a4 = 1950 → significa que o quarto termo é igual a 1950;
 ...
a10 indica o décimo termo e, no caso, refere-se ao ano da 10a Copa do Mundo.
As Copas do Mundo de futebol masculino e as Olimpíadas ocorrem a cada qua-
tro anos – essa é a regularidade desses eventos. Mas observe que a regularidade da 
sequência – cada termo é igual ao anterior mais 4 (anos) – foi quebrada no quarto 
termo. Isso porque, devido à 2a Guerra Mundial, não foram realizadas competições 
nos anos de 1942 e 1946. O padrão segundo o qual as Copas são realizadas de 4 em 
4 anos foi retomado a partir de 1950, quando a Copa do Mundo aconteceu no Brasil.
Um dos objetivos do estudo das sequências é determinar o valor de certo 
termo. Em geral, isso é possível se a sequência tem um padrão, ou seja, uma regu-
laridade que possa ser expressa por uma lei de formação ou uma fórmula.
Para expressar um termo qualquer da sequência, usa-se a letra n subscrita.
an é o “enésimo termo”, ou seja, um termo que está na posição n da sequência.
Por exemplo, observe a sequência de números pares (2, 4, 6, ...). Essa é uma 
sequência infinita de números, mas é possível encontrar um padrão para calcular 
qualquer número pertencente a ela. Assim:
Posição Cálculo Valor na sequência
1 2 ∙ 1 2
2 2 ∙ 2 4
3 2 ∙ 3 6
n 2 ∙ n 2n ← Lei de formação
 a1 ← número subscrito
 ↑
letra minúscula
57
14 UnIdade 1
atIvIdade 2 padronização de uma sequência
 1 Tente encontrar um padrão para a sequência de números ímpares, a partir do 3.
 2 Sabendo que uma fábrica produziu 1.000 pares de sapatos em janeiro e que sua 
produção aumenta em 50 pares por mês, responda:
a) Qual seria a lei de formação para a sequência que representa a produção mensal 
de sapatos dessa fábrica?
b) Qual será a produção de sapatos dessa fábrica em agosto?
Hora da CHeCageM
Atividade 1 – Início da observação
 1 
a) Um termo é sempre o dobro do anterior, então os 10 primeiros termos são: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 
128, 256, 512, ...). Assim, o 10o termo é menor que 1.000.
b) A sequência (7, 14, 21, 28, ...) é uma sequência dos múltiplos de 7; logo, seu 10o termo é igual a 
7 ∙ 10 = 70: (7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, ...). Portanto, o 10o termo dessa sequência é menor que 
o 10o termo da sequência anterior.
 2 
a) Os elementos, a partir do 3o, são formados pela soma dos dois termos anteriores. Assim:
 1 + 1 = 2 (soma do 1o e do 2o termos)
 1 + 2 = 3 (soma do 2o e do 3o termos)
 2 + 3 = 5 (soma do 3o e do 4o termos)
58
15UnIdade 1
b) Seguindo a construção do item anterior, verifica-se a sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...). 
Logo, o 9o termo é igual a 34, e o 10o termo, igual a 55.
c) Em uma sequência como a de Fibonacci, para descobrir determinado termo, é preciso conhecer 
os dois termos que o antecedem. Não há uma regra geral que permita dizer qual é o 100o termo, 
como ocorre, por exemplo, com os números pares (se tiver dúvida sobre essa regra geral, relem-
bre-a no texto A linguagem das sequências). No caso da sequência de Fibonacci, para descobrir o 
100o termo, é necessário saber o 99o e o 98o, o que tem o mesmo grau de dificuldade.
Atividade 2 – Padronização de uma sequência
 1 Seguindo a construção do exemplo dos números pares, tem-se:
Posição Cálculo Valor na sequência
1 2 ∙ 1 + 1 3
2 2 ∙ 2 + 1 5
3 2 ∙ 3 + 1 7
n 2 ∙ n + 1 2n + 1
 2 
a) Para entender a produção dessa fábrica, pode-se organizar os dados como na tabela a seguir.
1o mês janeiro 1.000
2o mês fevereiro 1.050 = 1.000 + 1 ∙ 50 = 1.000 + (2 – 1) ∙ 50
3o mês março 1.100 = 1.000 + 2 ∙ 50 = 1.000 + (3 – 1) ∙ 50
... ... ...
12o mês dezembro 1.550 = 1.000 + 11 ∙ 50 = 1.000 + (12 – 1) ∙ 50
no mês   1.000 + (n – 1) ∙ 50 ← Lei de formação
A última coluna mostra que o número multiplicado por 50 é o antecessor do número do mês (n – 1). Por 
exemplo, no 12o mês, é preciso fazer a multiplicação por 11, ou seja, são produzidos 1.000 + 11 ∙ 50 = 1.550 
pares de sapatos.
b) Sabendo que o mês de agosto é o 8o mês do ano e utilizando a lei de formação encontrada no 
item anterior [1.000 + (n – 1) ∙ 50], é possível calcular:
1.000 + (8 – 1) ∙ 50 = 1.000 + 7 ∙ 50 = 1.000 + 350 = 1.350 pares.
Portanto, em agosto, a produção dessa fábrica será de 1.350 pares de sapatos. H
or
a 
da
 C
H
eC
ag
eM
59
U
N
ID
A
D
E
 1 EQUAÇÕES E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
TEMAS
1. A linguagem da Matemática 
2. Equações e relações geométricas
Introdução
Nesta Unidade, você vai aprofundar um assunto já conhecido: as equações. 
Depois de estudar alguns métodos de solução, você será capaz de resolver proble-
mas que envolvem proporcionalidade e Geometria.
Você também vai ver as relações direta e inversamente proporcionais e como 
resolvê-las com equações, por meio da Propriedade Fundamental das Proporções 
(PFP). Além disso, vai estudar os ângulos e alguns problemas relacionados a eles, 
usando equações para resolvê-los.
T E M A 1A linguagem da Matemática
Neste Tema, você vai aprender estratégias que permitem traduzir uma 
situação-problema em linguagem algébrica e resolvê-la, usando equações com 
uma incógnita, assim como identificar grandezas direta ou inversamente pro-
porcionais, para resolvê-las utilizando estratégias variadas, inclusive a regra 
de três.
Tradicionalmente, as equações são importantes para a Matemática e também 
têm sido muito utilizadas nas outras ciências.
Em que situações do dia a dia ou em quais outras disciplinas, você precisa desco-
brir o valor de uma variável desconhecida?
No cotidiano, nos meios de comunicação ou em outras disciplinas, você já encon-
trou expressões com variáveis, números e símbolo de igualdade?
Procure se lembrar de algumas situações onde profissionais utilizam fórmulas 
matemáticas.
00_book_MAT_CE_VOL 4.indb 9 08/08/14 16:59
60
10 UNIDADE 1
 O uso da matemática na resolução de problemas
A Matemática é uma importante ferramenta para a resolução de problemas, 
sejam eles de natureza numérica ou geométrica. Nesta Unidade, você vai retomar 
algumas situações em que são usados símbolos, expressões e equações.
É praticamente impossível listar todas as atividades profissionais que utilizam 
a Matemática e sua linguagem para expressar relações e resolver problemas.
Como introdução, considere o seguinte exemplo: uma corrida de táxi, cujo preço 
é calculado com base na distância percorrida entre um ponto de partida e um ponto 
de chegada. Observe a descrição dessa situação em linguagem matemática:
(I) P = 5d + 7
Nessa equação, considere que: P é o preço da corrida (em R$); 5 é o valor do qui-
lômetro percorrido (em R$/km); d é a distância percorrida (em km); e 7 representaa bandeirada (tarifa fixa, em R$, registrada assim que o taxímetro é acionado).
Então, para calcular o valor de uma corrida, na qual o táxi percorreu 10 km, 
basta substituir a variável d por 10 na equação (I). Portanto, se P = 5 ∙ 10 + 7, então 
P = 57. Ou seja, o preço da corrida foi de R$ 57,00.
Agora, imagine uma situação em que 
você sabe o valor da corrida, mas desco-
nhece a distância percorrida. Por exemplo, 
se a corrida custa R$ 27,00, basta substituir a 
variável P por 27 na seguinte equação:
(II) 27 = 5d + 7
Se 27 = 5d + 7, então a distância percorrida 
corresponde a 4 km, como se pode verificar: 
5 ∙ 4 + 7 = 20 + 7 = 27.
As duas situações descritas anteriormente 
foram transformadas em equações, porque 
duas condições puderam ser satisfeitas: a rela-
ção de igualdade e a presença de variáveis, 
conhecidas também como incógnitas.
Há muitos métodos que possibilitam a descoberta dos valores das incógnitas de 
uma equação, e é esse o assunto que você vai estudar nesta Unidade.
A palavra incógnita também é usada 
em outras situações.
Pense na seguinte frase: “O cantor 
popular Alberto Roberto foi à praia 
de óculos escuros e peruca para ficar 
incógnito, evitando, assim, o assédio 
das fãs”. Nessa frase, ficar incógnito sig-
nifica que o cantor está disfarçado para 
não ser reconhecido. A palavra incógnita 
tem origem no verbo latino cognoscere, 
que significa conhecer. Já que o prefixo 
in- tem o sentido de negação, incógnito 
quer dizer não conhecido. Os matemáti-
cos usam o termo incógnita para se refe-
rir a um valor não conhecido e que, em 
geral, deve ser descoberto.
00_book_MAT_CE_VOL 4.indb 10 08/08/14 16:59
61
11UNIDADE 1
 Estudando métodos de solução de equações
Para iniciar, considere o seguinte problema de adivinhação:
Uma estratégia para descobrir o número procurado é “chutar” valores e verifi-
car se eles satisfazem às condições. Os matemáticos chamam essa estratégia de 
tentativa e erro, considerada legítima quando aplicada com critério. Independen-
temente de tentativas de adivinhação, há outras maneiras mais eficientes de solu-
cionar um problema, quando se utiliza a linguagem matemática. Nesse caso, letras 
do alfabeto são usadas para representar valores desconhecidos.
Se x corresponde ao valor que você pretende descobrir, a expressão que repre-
senta o problema descrito anteriormente é a seguinte:
O dobro de um número menos 4 é dividido por 5. 
Somado a 8, dá 10. Qual é esse número?
Quando transformado em equação, o problema é expresso em linguagem matemá-
tica. Assim, resolvendo a equação, você poderá encontrar a solução para ele.
2x – 4
5
 + 8 = 10
1) Dobro de um número
2) Menos 4
5) Obtém-se 10
4) Somando 8
3) Dividido por 5
00_book_MAT_CE_VOL 4.indb 11 08/08/14 16:59
62
12 UNIDADE 1
Sempre que você achar que encontrou a solução, verifique se o número encon-
trado satisfaz a todas as condições do problema e se ele produz a resposta esperada.
Substituindo a incógnita x por 7, observe:
2 . 7 – 4 
5
 + 8 = 14 – 4
5
 + 8 = 10
5
 + 8 = 2 + 8 = 10
ATIVIDADE 1 Descobrindo o “xis” da questão
 1 O quádruplo de um número é 300. Qual é esse número? 
 2 O triplo do antecessor (aquele que vem logo antes) de um número é 24. Qual é 
esse número?
 3 A metade do sucessor (aquele que vem logo depois) de um número é 15. Qual é 
esse número?
O número do qual subtraindo 4 dá 10 é 14.
14
2x – 4 = 10
O número que somado a 8 dá 10 é 2.
2
2x – 4 + 8 = 10
5
Um número que multiplicado por 2 dá 14 é 7.
7
2x = 14
O número que dividido por 5 dá 2 é 10.
10
2x – 4 = 2
5
Veja que é possível descobrir o valor de x por meio de raciocínio lógico, desen-
volvendo o passo a passo, de trás para frente (do resultado da equação para a 
incógnita). Acompanhe:
00_book_MAT_CE_VOL 4.indb 12 08/08/14 16:59
63
13UNIDADE 1
 4 João pensou em um número, calculou seu triplo e adicionou 8 ao resultado; em 
seguida, dividiu tudo por 5 e subtraiu 10, obtendo como resultado o número 0 (zero). 
Qual foi o número pensado por João? 
 5 A fórmula que fornece o preço de uma corrida de táxi em função da distância 
percorrida é P = 3,5d + 4,5.
a) Quanto vai custar uma corrida de 8 km?
b) Qual foi a distância percorrida, sabendo que a corrida custou R$ 50,00?
 6 Um número somado à sua metade é igual a 120. Que número é esse?
 7 Somando um número à sua terça parte, o resultado é 124. Qual é esse número?
 Usando equações para resolver problemas de regra de três
Em problemas que envolvem o conceito de proporção, há sempre uma igual-
dade entre duas razões, formadas por três variáveis conhecidas e uma desconhe-
cida. Tais problemas podem ser resolvidos por meio de regra de três, que nada 
mais é do que uma estratégia para descobrir a variável desconhecida.
Se uma empresa tem 2 funcionárias para cada 3 funcionários do sexo masculino, é possível dizer 
que a razão entre mulheres e homens é de “2 para 3”. Em linguagem matemática, essa compara-
ção é expressa pela notação fracionária 2
3
 .
Uma proporção, por sua vez, é uma igualdade de duas razões: por exemplo, 
2
3
 = 4
6
 , ou 
genericamente a
b
 = c
d
 com b e d ≠ 0.
00_book_MAT_CE_VOL 4.indb 13 08/08/14 16:59
64
14 UNIDADE 1
Para saber mais sobre proporções e regra de três, analise os exemplos a seguir.
Exemplo 1: A Constituição brasileira determina que a bandeira nacional deva ter 
uma razão de 14 por 20, em suas dimensões. Ou seja, se o lado menor tiver 14 cm, 
o lado maior terá 20 cm; porém, se o lado menor medir 7 cm, o lado maior deverá 
ter 10 cm. Observe que, nas duas situações apresentadas, a proporção entre os 
lados é idêntica, afinal 14
20
 equivale a 7
10
.
Observe as três bandeiras a seguir. Qual delas mantém as proporções oficiais? Caso 
sinta necessidade, pode usar uma régua para medi-las.
Agora, suponha que uma costureira deva confeccionar uma bandeira do Brasil. Se 
ela utilizar 3 m de tecido para o lado maior, qual será a medida do lado menor? 
Para resolver o problema, você pode utilizar a seguinte equação, em que x repre-
senta o lado menor da bandeira.
(I) 14
20
 = x
3
Exemplo 2: Se o tanque de combus-
tível de um veículo tem capacidade 
para 48 litros e a taxa média de con-
sumo é de 2 litros a cada 23 km roda-
dos, quantos quilômetros podem ser 
percorridos com o tanque cheio?
Para responder à questão, é preciso 
calcular o valor de x (em quilôme-
tros) que satisfaz a proporção: 
(II) 2
23
 = 48
x
Veja que, tanto no exemplo da bandeira como no exemplo do consumo de com-
bustível, as proporções (I) e (II) são equações em que o x é a variável desconhecida.
©
 D
a
n
ie
l B
e
n
e
v
e
n
ti
D
a
n
ie
l B
e
n
e
v
e
n
ti
00_book_MAT_CE_VOL 4.indb 14 08/08/14 16:59
65
15UNIDADE 1
Para resolver o problema da bandeira e o do consumo de combustível, uma 
solução é aplicar a Propriedade Fundamental das Proporções (PFP).
Em uma proporção, é possível nomear seus termos. Observe:
 
a ÷ b = c ÷ d
Meios
Extremos 
Meios
Extremos
a
b
= c
d
A PFP diz que “o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. 
a
b
 = c
d
 a ∙ d = b ∙ c
(I) 14
20
 = x
3
 14 . 3 = 20x x = 42 ÷ 20 x = 2,1
Se o lado maior do retângulo da bandeira do Brasil tiver 3 m, o lado menor 
deverá ter 2,1 m.
(II) 2
23
 = 48
x
 2x = 23 . 48 2x = 1.104 x = 1.104 ÷ 2 x = 552
Com 48 litros de combustível, o automóvel poderá percorrer 552 quilômetros.
Nos problemas apresentados anteriormente, você pôde observar que as gran-
dezas sempre aumentam ou diminuem na mesma proporção, o que significa que 
elas são diretamente proporcionais.
Em certos casos, por outro lado, você pode notar que há grandezas que 
aumentam enquanto outras diminuem proporcionalmente, ou seja, elas são 
inversamente proporcionais.
Veja alguns exemplos:
Para produzir determinada quantidade de peças, uma fábrica usa 6 máquinas e 
conclui a produção em 8 dias. Para produzir o mesmo número de peçasna metade 
do tempo, ou seja, em 4 dias, a fábrica vai precisar do dobro de máquinas. Veja 
que, nesse caso, para produzir o mesmo número de peças em metade do tempo, é 
preciso dobrar o número de máquinas.
MAT CE_VOL 4_U1.indd 15 18/08/14 17:08
66
16 UNIDADE 1
Para viajar de uma cidade à outra a uma velocidade média de 80 quilômetros por 
hora (km/h), um automóvel leva 3 horas. Diminuindo a velocidade para 60 km/h 
em média, qual será o tempo de percurso?
Velocidade Tempo
80 km/h 3 h
60 km/h x h
Como a velocidade e o tempo de percurso de um trecho são grandezas inversa-
mente proporcionais, quanto maior for a velocidade do automóvel, menor será o 
tempo de percurso, e essa diminuição é proporcional. Por outro lado, ao diminuir a 
velocidade, o tempo aumenta proporcionalmente.
Essa relação evidencia uma proporção inversa, representada por 
80
60
 = x
3 , na qual a 
ra zão entre os tempos de percurso aparece invertida. Observe a resolução do problema:
80
60
 = x
3
 80 . 3 = 60x 240 = 60x x = 240 ÷ 60 x = 4
Então, se a velocidade média for de 60 km/h, a viagem deve durar 4 h.
O sistema eleitoral brasileiro utiliza o voto para realizar a eleição de vereadores, 
prefeitos, deputados estaduais e federais, governadores, senadores e presidente. 
Além de fortalecer a democracia, a eleição é também um instrumento que faz uso 
do conceito de proporção. 
Assim, em uma eleição, a quantidade de candidatos que um partido pode 
eleger é proporcional ao número de votos que o partido recebe. Ou seja, quanto 
mais votos um partido receber, maior será o número de cadeiras que ele terá na 
Câmara. Uma das vantagens desse sistema, aplicado inicialmente na Bélgica, con-
siste em garantir a participação de grupos minoritários.
ATIVIDADE 2 Equações em proporções
 1 Calcule o valor da variável x nas seguintes proporções:
a) 15
24
 = x
80
 
MAT CE_VOL 4_U1.indd 16 18/08/14 17:08
67
17UNIDADE 1
b) 14
24
 = 35
x
 
c) x
32
 = 15
96
 
d) 
9
x
 = 18
50
 
 2 Uma fábrica produz um lote de 600 peças em 3 horas, com 4 máquinas funcionando.
a) Se a fábrica utilizasse a mesma quantidade de máquinas por 8 horas, quantas 
peças seriam produzidas?
b) Se a fábrica utilizasse 6 máquinas pelas mesmas 3 horas, quantas peças seriam 
produzidas? 
c) Se a fábrica quisesse produzir as mesmas 600 peças em 1h30, quantas máquinas 
seriam necessárias?
 3 Uma empresa tem 360 funcionários. Sabendo que 2 em cada 5 utilizam o metrô, 
qual é o total de funcionários que usa esse meio de transporte?
 4 Dois amigos formaram uma sociedade para montar um negócio. O primeiro 
investiu a quantia de R$ 1.200,00, e o segundo, a quantia de R$ 1.800,00. Ao final de 
um período, tiveram um lucro de R$ 6.000,00, que foi dividido para cada sócio, de 
forma proporcional ao capital investido por eles. Quanto do lucro cada um recebeu?
00_book_MAT_CE_VOL 4.indb 17 08/08/14 16:59
68
18 UNIDADE 1
 5 Um automóvel viaja entre São Paulo e Rio de Janeiro a uma velocidade média de 
80 km/h, e leva 5 horas para fazer esse trajeto. Qual é a distância aproximada que 
o automóvel percorreu?
 6 Em uma prova de ciclismo, o campeão percorreu a distância de 120 km em 
4 horas. Qual foi a velocidade média do campeão durante essa prova?
ATIVIDADE 3 O epitáfio de Diofanto
 1 Um dos últimos destaques da matemática grega foi Diofanto, que viveu 
no século III d.C. Nascido na cidade de Alexandria, local da principal biblioteca 
científica da Antiguidade, Diofanto foi pioneiro ao utilizar letras do alfabeto como 
variáveis para resolver problemas, o que fez que muitos matemáticos passassem a 
considerá-lo como o pai da Álgebra.
O pouco que se sabe sobre sua vida ficou gravado em seu túmulo:
Esta é a admirável lápide onde descansa Diofanto! Ela permite saber a idade dele por meio da 
arte aritmética: Deus quis que, da sua vida, a infância ocupasse uma sexta parte. Decorreu mais 
um duodécimo até que a barba lhe cobriu o rosto. Em seguida, casou-se e passou um sétimo de 
sua vida sem filhos. Cinco anos depois, finalmente teve um menino. Este, adorado, mas sem 
sorte, viveu apenas a metade do tempo de seu pai. Tentando atenuar o seu pesar com a ciência 
dos números, Diofanto viveu ainda mais quatro anos.
Com base nesse epitáfio, quantos anos teria vivido Diofanto? 
00_book_MAT_CE_VOL 4.indb 18 08/08/14 16:59
69
19UNIDADE 1
HORA DA CHECAGEM
Atividade 1 – Descobrindo o “xis” da questão
 1 O número que multiplicado por 4 dá 300 é 75, porque 4 ∙ 75 = 300. 
Usando equações, a resolução fica da seguinte maneira: 
4x = 300 x = 300 ÷ 4 x = 75
 2 O número que multiplicado por 3 dá 24 é 8, logo x – 1 = 8; o número que subtraindo 1 dá 8 é 9. 
Também pode ser resolvido em forma de equação: 
3(x – 1) = 24 x – 1 = 24 ÷ 3 x – 1 = 8 x = 8 + 1 x = 9
 3 O número que dividido por 2 dá 15 é 30, logo x + 1 = 30; o número que somando 1 dá 30 é o 29. 
Outra forma de resolver é: x + 1
2
 = 15 x + 1 = 30 x = 30 – 1 x = 29
 4 3x + 8
5
 – 10 = 0 
Contudo, também pode ser resolvido dessa forma: o número de que se subtrai 10 e dá 0 é 10; o 
número que dividido por 5 dá 10 é 50; o número que somado a 8 dá 50 é 42; e o número cujo triplo 
é 42 é 14. O número que João pensou foi 14.
O gráfico desenhado abaixo representa uma relação entre a grandeza tempo (em horas) e dis-
tância percorrida (em quilômetros).
As grandezas distância e tempo, nesse caso, são
a) não proporcionais.
b) inversamente proporcionais.
c) diretamente proporcionais.
d) proporcionais, mas a primeira ao quadrado da segunda.
Saresp 2007. Disponível em: <http://saresp.fde.sp.gov.br/2007/Arquivos/Provas%202007/ 
Matemática/8ª%20série%20EF/1_Manhã/Prova-MAT-8EF-Manha.pdf>. Acesso em: 11 abr. 2014.
4
distância (km)
tempo (horas)
280
MAT CE_VOL 4_U1.indd 19 13/08/14 10:13
70
20 UNIDADE 1
H
O
R
A
 D
A
 C
H
E
C
A
G
E
M
 5 
a) P = 3,5 · 8 + 4,5 = 28 + 4,5 = 32,5 R$ 32,50 
A corrida de 8 km vai custar R$ 32,50. 
b) 50 = 3,5d + 4,5 50 – 4,5 = 3,5d 45,5 = 3,5d d = 45,5 ÷ 3,5 d = 13 
A corrida de R$ 50,00 corresponde a um percurso de 13 km.
 6 Suponha que o número escolhido seja 40, de forma que 40 + 20 = 60, ou seja, não resolve o pro-
blema. No entanto, 60 é metade de 120, então o dobro de 40 deve resolver o problema: 80 + 40 = 120. 
A equação correspondente a esse enunciado é:
x + 
x
2
 = 120 2x
2
 + x
2
 = 120 3x
2
 = 120 3x = 120 . 2 3x = 240 x = 240 ÷ 3 x = 80
É interessante revisitar o problema depois que você finalizar a próxima Unidade.
 7 Supondo que o número seja 90, como a terça parte de 90 é 30, tem-se 90 + 30 = 120, ou seja, o 
valor é menor que 124. Então, tentando 93, que é um número maior, cuja terça parte é 31, tem-se 
93 + 31 = 124. Assim, o número é 93.
Resolvendo na forma de equação:
x + 
x
3
 = 124 3x
3
 + 
x
3
 = 124 
4x
3
 = 124 4x = 124 . 3 4x = 372 x = 372 ÷ 4 x = 93
Atividade 2 – Equações em proporções
 1 
a) 15 . 80 = 24x 1.200 = 24x x = 1.200 ÷ 24 x = 50
b) 14x = 24 . 35 14x = 840 x = 840 ÷ 14 x = 60 
c) 96x = 32 . 15 96x = 480 x = 480 ÷ 96 x = 5 
d) 9 . 50 = 18x 450 = 18x x = 450 ÷ 18 x = 25
 2 
a) A relação entre as grandezas “número de peças” e “horas” é diretamente proporcional: mais horas 
implica em mais peças. Logo, 600 peças está para 3 horas, assim como x peças está para 8 horas:
600
3
 = x
8
 3x = 600 ∙ 8 3x = 4.800 x = 4.800
3
 x = 1.600 peças
 
b) A relação produção de peças e quantidade de máquinas é diretamente proporcional: mais máqui-
nas implica em mais peças produzidas. 
Desse modo, 600 peças está para 4 máquinas, assim como x peças está para 6 máquinas:
600
4
 = x
6
 4x = 600 . 6 4x = 3.600 x = 3.600
4
 x = 900 peças
00_book_MAT_CE_VOL 4.indb 20 08/08/14 16:59
71
21UNIDADE 1
H
O
R
A
 D
A
 C
H
E
C
A
G
E
M
c) Nesse caso, a relação é inversamente proporcional: mais máquinas implica em menos tempo. 
Como o tempo se reduz à metade, a razão de diminuição do tempo é 12
, portanto será necessário o 
dobro de máquinas: 8.
 3 A proporção é “2 está para 5, assim como x está para 360”:
2
5
 = x
360
 5x = 720 x = 144 
Assim, nessa empresa, 144 pessoas utilizam o metrô como meio de transporte.
 4 Nesse caso, tem-se uma proporcionalidade direta em que, do total do capital investido, o pri-
meiro entrou com 
2
5
, e o segundo, com 
3
5
. O problema pode ser resolvido com uma regra de três em 
cada caso. 
Sócio 1: a proporção é 2 está para 5, assim como x está para 6.000.
2
5
 = x
6.000
 5x = 12.000 x = 12.000
5
 x = 2.400
Sócio 2: a proporção é 3 está para 5, assim como y está para 6.000.
3
5
 = y
6.000
 5y = 18.000 y = 18.000
5
 y = 3.600
Então, o primeiro sócio fica com R$ 2.400,00, e o segundo, com R$ 3.600,00.
 5 Esse problema trata de uma proporcionalidade direta: 80 km está para 1 hora, assim como x km 
está para 5 horas. 
80
1
 = x
5
 x = 400 km
 6 Para descobrir a velocidade média do campeão, é necessário calcular a distância que ele percor-
reu em 1 hora, ou seja, 120 km está para 4 horas, assim como x km está para 1 hora.
120
4
 = x
1
 4x = 120 x = 120
4
 x = 30
Portanto, o campeão percorreu em 1 hora uma média de 30 km, ou seja, sua velocidade média foi 
de 30 km/h.
Atividade 3 – O epitáfio de Diofanto
 1 Para saber quantos anos viveu Diofanto, basta equacionar o epitáfio escrito em sua lápide 
e resolver a equação.
Como é seu tempo de vida o que se quer descobrir, tem-se aí a incógnita x. Durante a leitura do 
problema, é preciso relacionar a x toda informação que se refira às partes de sua vida. 
00_book_MAT_CE_VOL 4.indb 21 08/08/14 16:59
72
22 UNIDADE 1
Assim:
x = 
x
6
 + 
x
12
 + 
x
7
 + 5 + 
x
2
 + 4 x = 
2x
12
 + 
x
12
 + 
x
7
 + 
6x
12
 + 9 x = 
9x
12
 + x
7
 + 9 
 84x
84
 = 63x
84
 + 12x
84
 + 9 84x
84
 – 75x
84
 = 9 9x
84
 = 9 x = 9 
. 84
9
 x = 84
O resultado dessa equação é que Diofanto viveu 84 anos.
Desafio
Alternativa correta: c. A relação tempo versus distância é diretamente proporcional, isto é, à medida 
que o tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta proporcionalmente. H
O
R
A
 D
A
 C
H
E
C
A
G
E
M
00_book_MAT_CE_VOL 4.indb 22 08/08/14 16:59
73
119
Usando problemas que envolvem razões, você aprenderá a identificar a porcen-
tagem como uma razão especial, percebendo a importância dela no nosso dia a dia.
A porcentagem está presente em nossa vida, em nosso cotidiano. Em dia de 
eleição, por exemplo, o telejornal apresenta as variações percentuais dos candida-
tos no processo eleitoral.
O aumento do salário mínimo se dá ano a ano e também é apresentado por 
meio de índices percentuais, como o aumento do combustível, das mercadorias 
vendidas no supermercado, dos materiais escolares etc.
 Variações percentuais 
De todas as razões estudadas na escola, é provável que 
a mais importante, em função do uso em praticamente 
todas as atividades profissionais e científicas, seja a por-
centagem, que pode ser interpretada como a razão em que 
o denominador é 100.
Taxa percentual: número_____________________
100
Taxa percentual: 37% = 37__________
100
Use essas ideias para interpretar manchetes de jornal.
PESQUISA MO
STRA
PERFIL DE TR
ABALHADORE
S
Em geral, uma razão 
cujo segundo termo é 
igual a 100 é chamada 
taxa percentual.
(*) Fonte: SEGNINI, Liliana R. P. 
Mercado de trabalho no Brasil: um retrato baseado nas estatísticas nacionais, 
fev. 2012. Rais/MTE (2003 e 2010) e PNAD/IBGE (2003 e 2009). 
(**) PNAD 2009 – IBGE. Disponível em: <http://saladeimprensa.ibge.gov.br/noticias?view=n
oticia&id=1&idnoticia=1708&busca=1&t=pnad-2009-rendimento-numero-trabalhadores-
carteira-assinada-sobem-desocupacao-aumenta>. Acesso em: 13 fev. 2014.
©
 R
2
 E
d
it
o
ri
a
l
T E M A 3Porcentagens
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 119 21/07/14 14:44
74
120 UNIDADE 4
Cada uma das notícias está expressa por uma 
razão, mas elas podem ser citadas por uma porcenta-
gem. As porcentagens expressam relações entre uma 
quantidade e o número 100. Daí o nome porcenta-
gem (por cento).
Dizer que “36 em cada 100 
trabalhadores domésticos 
não têm a carteira assinada” 
equivale a dizer que 36% dos 
trabalhadores domésticos 
não estão registrados.
Matemática – Volume 2
Porcentagens: 100 mistério
Esse vídeo ilustra a relação dos juros como uma proporção de um determinado valor.
ATIVIDADE 1 Manchetes equivalentes: analisando a notícia
 1 Suponha que as manchetes apresentadas no quadro a seguir se refiram a um 
universo de 50 mil trabalhadores da cidade de Montanha Acima.
83% dos trabalhadores têm registro 
na carteira
54% dos trabalhadores estão 
sindicalizados
51% dos trabalhadores estudam à noite
60% dos trabalhadores ganham mais que 
1 salário mínimo
Considerando as informações do quadro, quantos trabalhadores de Montanha 
Acima têm registro na carteira? Acompanhe os cálculos.
Para cada 100 trabalhadores, 83 têm registro em carteira.
É preciso saber quantos grupos de 100 há em 50 mil.
Em 50 mil, há 500 grupos de 100, pois 50.000 ÷ 100 = 500.
83% significa 83 por 100, ou seja, 83 em cada 100.
83 × 500 = 41.500; assim, se a pesquisa estiver correta, 41.500 habitantes têm car-
teira assinada em Montanha Acima.
Agora é com você! Para responder às questões a seguir, considere o universo de 
Montanha Acima, com seus 50.000 trabalhadores.
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 120 21/07/14 14:44
75
121UNIDADE 4
a) Quantos trabalhadores de Montanha Acima estudam à noite?
b) Quantos são sindicalizados?
c) Quantos ganham mais que um salário mínimo?
d) Quantos ganham um salário mínimo ou menos?
 Aplicações de porcentagens
O conhecimento e o uso das porcentagens são importantes para resolver uma 
variedade de problemas. Aprofunde seu conhecimento sobre porcentagem por 
meio da resolução de situações-problemas. 
Veja como calcular porcentagens: 
Calcular 15% de 8.400. 
8.400 ÷ 100 = 84 
84 × 15 = 1.260 
15% de 8.400 é 1.260. 
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 121 21/07/14 14:44
76
122 UNIDADE 4
Uma companhia aérea anunciou que reajustará os preços de suas passagens 
em 20% no próximo mês. Sabendo que o preço da passagem de um dos voos é 
R$ 250,00, qual deve ser o novo preço, com o acréscimo? 
Para cada R$ 100,00, o passageiro vai pagar mais R$ 20,00. 
250 ÷ 100 = 2,5 2,5 × 20 = 50
O novo preço será de R$ 250,00 + R$ 50,00 = R$ 300,00. 
O quilo de feijão, sem desconto, custa R$ 4,00. De acordo com o anúncio a seguir, 
qual deve ser o preço por quilo no próximo sábado?
Para cada 100 centavos (R$ 1,00), o comerciante dá um desconto de 15 centavos 
(R$ 0,15). 
R$ 4,00 equivalem a 400 centavos de real. 
400 ÷ 100 = 4 (em 4 reais há 4 grupos de 100 centavos) 
4 × 15 = 60 (60 centavos de desconto por quilo) 
No próximo sábado, o quilo de feijão-preto vai custar: 
R$ 4,00 – R$ 0,60 = R$ 3,40.
O televisor está em oferta.
PROMOÇÃO
TV LED
24 
POLEGADAS R
2
 E
d
it
o
ri
a
l s
o
b
re
 f
o
to
: ©
 P
e
te
r 
L
e
ck
o
/1
2
3
R
F
R
2
 E
d
it
o
ri
a
l s
o
b
re
 f
o
to
: 
©
 F
e
rn
a
n
d
o
 F
a
v
o
re
tt
o
/C
ri
a
rI
m
a
g
e
m
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 122 21/07/14 14:44
77
123UNIDADE 4
Em relação ao preço à vista, quanto vai pagar quem comprar o televisor 
a prazo? 
A prazo: 2 × R$ 300,00 = R$ 600,00.
Diferença: R$ 600,00 – R$ 500,00 = R$ 100,00.
A que fração do preço à vista corresponde os R$ 100,00?
100 está para 500 assim como 1 está para 5 ou 
2 está para 10 ou 
20 está para 100.
São razões equivalentes.
O acréscimo que se paga quando a compra é feita a prazo corresponde a 20% do 
preço à vista.
ATIVIDADE 2 Cálculo de porcentagem
 1 Determine a porcentagem correspondente à região pintada de azul em cada 
quadrado.
a) __________________________________________________ b) ___________________________________________________ c) ____________________________________________________
 2 “8 em cada 10 estrelas de cinema preferem o desodoranteAroma Suave”. Quan-
tos por cento das estrelas de cinema preferem esse desodorante?
©
 R
2
 E
d
it
o
ri
a
l
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 123 21/07/14 14:44
78
124 UNIDADE 4
 3 Gil das Contas participou de uma maratona de Matemática da escola e acertou 
72% das 150 questões. Quantas questões ele acertou? 
 4 Seu Manuel, que vende laranjas na feira, dá um desconto de 25% para compras 
acima de 5 dúzias. Ele vende uma dúzia e meia de laranja por R$ 3,00. Resolvi com-
prar 144 laranjas. Quanto devo pagar? 
 5 O serviço de energia elétrica cobra uma multa de 2% ao dia se a conta é paga 
com atraso. Qual deverá ser o preço pago no dia 13 por uma conta de energia de 
R$ 48,00 que venceu no dia 10? 
ATIVIDADE 3 Razões e índices: censo demográfico 
O desenvolvimento de um país revela a capacidade produtiva de sua população 
e é medido com base em números da economia, da saúde e da educação. Almana-
ques, atlas e livros de Geografia são recheados de dados estatísticos sobre o Brasil. 
Veja alguns desses dados:
Para cada grupo de 16 brasileiros que moram na cidade, há 3 brasileiros que moram no campo.
Há aproximadamente 1,84 médicos em cada grupo de 1.000 habitantes.
9,6 em cada grupo de 100 habitantes maiores de 15 anos são analfabetos.
17,6 em 1.000 crianças morrem antes de completar 1 ano de idade.
Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2010. Disponível em: <http://www.censo2010.ibge.gov.br/
sinopse/index.php?uf=35&dados=0>. Acesso em: 11 abr. 2014.
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 124 21/07/14 14:44
79
125UNIDADE 4
Considerando essas relações de proporcionalidade, responda aos itens a seguir 
(com base na estimativa da população brasileira de 2010 de, aproximadamente, 
190 milhões de habitantes).
 1 Quantos brasileiros, aproximadamente, moram no campo? 
 2 Que taxa percentual representa os brasileiros que moram no campo? 
E na cidade? 
 3 Quantos são, aproximadamente, os médicos brasileiros? 
 4 Considerando que cerca de 144,8 milhões de pessoas têm mais de 15 anos no 
Brasil, quantas pessoas com mais de 15 anos são analfabetas? 
 5 Qual é o percentual de crianças que não chegam a completar 1 ano de idade? 
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 125 21/07/14 14:44
80
126 UNIDADE 4
ATIVIDADE 4 Revisão e aprofundamento
 1 Indique qual é a compra mais econômica, depois de efetuar as contas.
a) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
c) ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5 kg por R$ 8,00 2 kg por R$ 3,40
©
 L
u
is
 D
á
v
il
a
1
2
 kg por R$ 0,90
5 dúzias por 
R$ 9,00
3 dúzias por 
R$ 4,40
2 dúzias por 
R$ 3,70
©
 S
il
v
e
st
re
 M
a
ch
a
d
o
/O
p
çã
o
 B
ra
si
l I
m
a
g
e
n
s
300 g por R$ 2,70 500 g por R$ 4,25 1 kg por R$ 9,50
©
 V
. J
. M
a
tt
h
e
w
/1
2
3
R
F
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 126 21/07/14 14:44
81
127UNIDADE 4
d) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 2 Calcule os valores correspondentes às seguintes porcentagens:
a) 10% de 2.400 =
b) 20% de 2.400 =
c) 40% de 2.400 =
d) 4% de 2.400 =
5 por R$ 3,00 12 por R$ 6,0010 por R$ 5,60
©
 Jo
ã
o
 P
ru
d
e
n
te
/P
u
ls
a
r 
Im
a
g
e
n
s
5 kg por R$ 4,702 kg por R$ 1,901 kg por R$ 0,99
©
 L
u
is
 D
á
v
il
a
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 127 21/07/14 14:44
82
128 UNIDADE 4
 3 Encontre os valores das porcentagens abaixo: 
e) 10% de 960 =
f) 20% de 960 =
g) 30% de 960 =
h) 15% de 960 =
i) 7,5% de 960 =
j) 3% de 960 =
a) 4% de 2.400 =
b) 44% de 2.400 = 
c) 60% de 2.400 = 
d) 54% de 2.400 = 
e) 50% de 960 =
f) 25% de 960 =
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 128 21/07/14 14:44
83
129UNIDADE 4
 4 Em um jogo de basquete, João acertou 13 cestas em 25 tentativas, e Marcelo fez 
12 cestas em 24 tentativas. Quem teve o melhor rendimento? 
 5 Na última avaliação, Mariana acertou 23 de 40 questões de Matemática e Júlia 
acertou 29 de 50. Quem teve o melhor rendimento? 
 6 Nilson e Isolda resolveram abrir uma poupança conjunta. Nilson entrou com 
R$ 2.500,00, e Isolda, com R$ 2.000,00. Depois de certo tempo, o casal fez uma reti-
rada de R$ 6.300,00, que foi dividida proporcionalmente aos respectivos depósitos. 
Quanto coube a cada um?
g) 75% de 960 =
h) 25% de 96 =
i) 12,5% de 96 =
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 129 21/07/14 14:44
84
130 UNIDADE 4
 7 André e Cláudia fizeram uma sociedade para montar um negócio de perucas. 
André entrou com um capital de R$ 1.600,00, e Cláudia, com R$ 600,00. Nas festas 
de fim de ano, tiveram R$ 891,00 de lucro, que foi repartido proporcionalmente ao 
que cada um aplicou. Quanto coube a cada sócio?
 8 No exame vestibular, dos 36.000 habilitados para concorrer à 2a fase, 11% não 
compareceram. Quantos candidatos fizeram o exame?
 9 Em uma pesquisa sobre a preferência por times de futebol, verificou-se que 
4 em cada 10 habitantes de uma cidade torciam pelo time B.
a) Que porcentagem dos moradores essa proporção representa? 
b) Supondo que a cidade tenha 250 mil habitantes, quantos deles torcem pelo time B? 
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 130 21/07/14 14:44
85
131UNIDADE 4
 10 Um padeiro deseja fazer uma fornada dupla de biscoitos de chocolate e meia 
fornada de biscoitos de coco. As receitas dizem que uma fornada de biscoitos de 
chocolate leva 2 3__
4
 xícaras de açúcar, e uma fornada de biscoitos de coco, 2 1__
2
 xíca-
ras de açúcar. Se uma xícara de açúcar pesa cerca de 80 g, de quantos gramas de 
açúcar precisará o padeiro?
 11 Um professor precisa ler 36 trabalhos de seus alunos. Nos primeiros 45 minu-
tos, ele lê 4 trabalhos. Admitindo que ele continue a trabalhar no mesmo ritmo, 
quanto tempo levará para ler todos os trabalhos? 
 12 Um pintor mistura 4 partes de tinta branca com 1 parte de tinta vermelha para 
obter cor-de-rosa claro. Ele tem 2 litros de tinta cor-de-rosa de tom mais escuro, 
resultante da mistura, em partes iguais, de tinta vermelha e branca. Que quantidade 
de tinta branca deve ser misturada à tinta cor-de-rosa de tom mais escuro para 
transformá-la em cor-de-rosa claro?
 13 Um jardineiro experiente tem de preparar um campo de futebol oficial de 
64 m × 90 m. Quantos quilos de semente ele vai precisar, sabendo que 1 kg dá para 
semear 16 m2? 
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 131 21/07/14 14:44
86
132 UNIDADE 4
 14 Joana aplicou R$ 3.000,00 na poupança. No final de 4 meses, ela obteve 
27,5% entre rendimento e correção monetária. Qual é o montante disponível em 
sua poupança?
Marcos fez um empréstimo de R$ 120.000,00 que deverá pagar com juros de 1% sobre o valor 
emprestado a cada mês. Sabendo que ele pagou R$ 6.000,00 de juros, quantos meses levou para 
pagar o empréstimo? 
a) 3 meses
b) 4 meses
c) 5 meses
d) 6 meses
Saresp 2005. Disponível em: <http://saresp.fde.sp.gov.br/2005/Arquivos/Provas_EF_2005/ 
7%C2%B0s%C3%A9rie%20EF%20tarde.pdf>. Acesso em: 11 abr. 2014. 
O censo demográfico realizado em 2010 pelo IBGE, órgão do governo federal, 
indica modificações importantes na população brasileira. A população envelheceu. 
No ano de 2000, metade da população tinha menos de 25 anos. Em 2010, 43 emcada 100 habitantes tinham menos de 25 anos. Mudou também o número de pes-
soas por domicílio: em 2000 havia 3,8 pessoas por domicílio e, em 2010, eram 3,3. 
Em sua opinião, como as políticas públicas precisam se organizar a fim de atender 
a esse novo desenho da população brasileira? 
Atividade 1 – Manchetes equivalentes: analisando a notícia
 1 
a) Como em 50.000 há 500 grupos com 100 em cada um, significa que 1% de 50.000 é 500, então em 
51% serão 51 × 500 = 25.500; logo, 25.500 trabalhadores estudam à noite.
b) Pensando do mesmo modo, 54% serão 54 × 500 = 27.000; logo 27.000 trabalhadores são sindicalizados.
HORA DA CHECAGEM
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 132 21/07/14 14:44
87
133UNIDADE 4
H
O
R
A
 D
A
 C
H
E
C
A
G
E
M
c) Para calcular 60%, calcula-se 60 × 500 = 30.000; logo 30.000 trabalhadores ganham mais que 
um salário mínimo.
d) Como no item c já ficou determinado que os trabalhadores que ganham mais que um salário mínimo 
são 30.000, então os que ganham um salário mínimo ou menos são os 20.000 trabalhadores restantes.
Outro modo de calcular seria pensar na porcentagem, isto é, se 60% corresponde aos que ganham mais 
que um salário mínimo, então o que se busca aqui corresponde a 40% do total de trabalhadores. Assim 
50.000 × 40_________________________
100
 = 20.000 trabalhadores.
Atividade 2 – Cálculo de porcentagem
 1 
a) 43 em 100 são 43%.
b) Para determinar a porcentagem em situações como esta de 9 em 36, pode-se calcular a divisão de 
9 por 36, multiplicar o resultado por 100 e obter 25%.
c) Do mesmo modo, 12 em 25 pode ser calculado como 12 ÷ 25 × 100 = 48, logo são 48%.
 2 8 em cada 10 equivale a 80 em cada 100. Logo, 80%.
 3 150 ÷ 100 = 1,5; 1,5 × 72 = 108 questões.
 4 144 são 8 × 18 laranjas (uma dúzia e meia) ou ainda 144 laranjas ÷ 18 (uma dúzia e meia) = 8. 
Então, o preço de 144 laranjas é 8 × R$ 3,00 = R$ 24,00.
Como 144 = 12 × 12 (uma dúzia) e seu Manuel dá desconto de 25% para compras acima de 5 dúzias, 
se 25% de R$ 24,00 são R$ 6,00, pagarei, então: R$ 24,00 – R$ 6,00 = R$ 18,00.
 5 Multa de 2% ao dia, de uma conta de R$ 48,00: 2% de R$ 48,00 é R$ 0,96 por dia. Como se pas-
saram 3 dias, o valor da multa total será de R$ 0,96 × 3 = R$ 2,88. Portanto, o valor da conta será 
de R$ 48,00 + R$ 2,88 = R$ 50,88. Ou ainda, se foram 3 dias de multa, acumula-se um percentual de 
6% (3 × 2% = 6%). Como 6% de R$ 48,00 são R$ 2,88, R$ 48,00 + R$ 2,88 = R$ 50,88.
Atividade 3 – Razões e índices: censo demográfico
 1 Para o total de 19 brasileiros (16 + 3), 3 moram no campo. Como a população é de aproximada-
mente 190 milhões de habitantes, moram no campo cerca de 30 milhões.
 2 30.000.000_________________________
190.000.000
 = 3_____
19
 0,158 15,8% . Aproximadamente 15,8% no campo; 
190.000.000 – 30.000.000 = 160.000.000 160.000.000_________________________
190.000.000
 = 16_____
19
 0,842 84,2% e 84,2% na cidade. 
Sabendo que cerca de 15,8% das pessoas moram no campo, também é possível calcular a porcenta-
gem aproximada de pessoas que moram na cidade por meio da subtração: 100 – 15,8 = 84,2%. 
MAT_CE_VOL 2_U4.indd 133 22/07/14 09:32
88
134 UNIDADE 4
H
O
R
A
 D
A
 C
H
E
C
A
G
E
M
 3 Em 190 milhões de brasileiros, há 190 mil grupos de mil pessoas: 
190.000.000 ÷ 1.000 = 190.000 
Em cada um desses grupos, há cerca de 1,84 médicos. 
Como 190.000 × 1,84 = 349.600, há aproximadamente 349,6 mil médicos.
 4 Em 144,8 milhões de pessoas, há 1,448 milhões de grupos de 100 pessoas: 
144.800.000 ÷ 100 = 1.488.000
Em cada um desses grupos há 9,6 analfabetos. Então, como 9,6 × 1.448.000 = 13.900.800, aproxima-
damente 14 milhões de pessoas com mais de 15 anos são analfabetas.
 5 17,6___________
1.000
 = 1,76________
100
, isto é, 1,76%.
Atividade 4 – Revisão e aprofundamento
 1 
a)
b) 
c) 
d) 
e) 
 2 
a) 2.400 ÷ 10 = 240
b) dobro de 10% de 2.400 480
c) dobro de 20% de 2.400 960
d) décima parte de 40% de 2.400 96
e) 960 ÷ 10 = 96
5 kg por R$ 8,00 2 kg por R$ 3,40 1___
2 
kg por R$ 0,90
1 kg R$ 1,60 (melhor) 1 kg R$ 1,70 1 kg R$ 1,80
2 dúzias por R$ 3,70 3 dúzias por R$ 4,40 5 dúzias por R$ 9,00
1 dúzia R$ 1,85 1 dúzia aproximadamente R$ 1,47 
(melhor)
1 dúzia R$ 1,80
300 g por R$ 2,70 500 g por R$ 4,25 1 kg por R$ 9,50
100 g R$ 0,90 100 g R$ 0,85 (melhor) 100 g R$ 0,95
10 pãezinhos por R$ 5,60 5 pãezinhos por R$ 3,00 12 pãezinhos por R$ 6,00
1 pãozinho R$ 0,56 1 pãozinho R$ 0,60 1 pãozinho R$ 0,50 
(melhor)
1 kg por R$ 0,99 2 kg por R$ 1,90 5 kg por R$ 4,70
1 kg R$ 0,99 1 kg R$ 0,95 1 kg R$ 0,94 (melhor)
f) dobro de 10% de 960 192
g) (10% + 20%) de 960 = 96 + 192 = 288
h) metade de 30% de 960 144
i) metade de 15% de 960 72
j) décima parte de 30% de 960 28,8
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 134 21/07/14 14:44
89
135UNIDADE 4
 3 
a) décima parte de 40% de 2.400 96
b) (40% + 4%) de 2.400 = 960 + 96 = 1.056
c) (100% – 40%) de 2.400 = 2.400 – 960 = 1.440
d) (60% – 6%) de 2.400 = 1.440 – 144 = 1.296 ou (50% + 4%) de 2.400 = 1.200 + 96 = 1.296
e) metade de 960 480 
f) metade da metade de 960 240
g) (50% + 25%) de 960 = 480 + 240 = 720 ou (100% – 25%) de 960 = 960 – 240 = 720
h) décima parte de 25% de 960 24
i) metade de 25% de 96 12
 4 13 em 25 equivale a 26 em 50 e a 52 em 100, ou seja, 52%. João acertou 52% das cestas, enquanto 
Marcelo acertou metade das cestas, 50%. Portanto, João teve o melhor rendimento. Outra forma de 
raciocínio: 12 é metade de 24 e 13 é mais do que a metade de 25; logo, João teve melhor rendimento.
 5 23______
40
= 0,575. Traduzindo em porcentagem, Mariana acertou 57,5 em 100, ou seja, 57,5%, ao passo 
que Júlia acertou 29 em 50, que é o mesmo que 58 em 100, ou seja, 58%. Logo, Júlia teve melhor 
rendimento.
 6 Eles tinham um total de R$ 4.500,00. R$ 2.500,00 está para R$ 4.500,00 assim como o que 
Nilson recebeu está para R$ 6.300,00. 2.500 é 5____
9
 de 4.500. Logo, Nilson recebeu 5____
9
 de 6.300. 
1____
9
 de 6.300 é 700, então 5____
9
 é igual a 3.500. Então, Nilson ficou com R$ 3.500,00, e Isolda, com 
R$ 2.800,00 (6.300 – 3.500 = 2.800).
Outro modo de pensar: a relação entre os investimentos de Isolda e Nilson é 
2.000____________
2.500 , ou seja, 
4____
5 . 
Isso corresponde a um total de 9 cotas: 4 de Isolda e 5 de Nilson. Levando em conta que foram 
retirados R$ 6.300,00, cada cota corresponde a R$ 6.300,00 ÷ 9 = R$ 700,00. Logo, Isolda recebeu 
4 × R$ 700,00 = R$ 2.800,00, e Nilson, 5 × R$ 700,00 = R$ 3.500,00.
 7 Cláudia entrou com R$ 600,00 de um total de R$ 2.200,00 (R$ 1.600,00 + R$ 600,00 = R$ 2.200,00), 
que é o mesmo que 3 partes de um total de 11 3_____
11
 600____________
 2.200
= . Como o lucro foi R$ 891,00, 1 parte 
em 11 desse lucro é R$ 891,00 ÷ 11 = R$ 81,00, então 3 partes são R$ 243,00. Cláudia recebeu 
R$ 243,00. Logo, André ficou com: R$ 891,00 – R$ 243,00 = R$ 648,00. Outra forma de pensar a ques-
tão é levar em conta a razão dos investimentos, que é 600____________
1.600
 = 3_____
8
.
 8 11% de 36.000 11 × 360 = 3.960. O número dos que fizeram o exame é 36.000 – 3.960 = 32.040. 
Aqui também há outras possibilidades de resolução, entre elas: se 11% não compareceram, então 
89% o fizeram; 89% de 36.000 89 × 360 = 32.040.
 9 
a) 4_____
10
 = 40_____
100
 = 40%
b) 40% de 250.000 = 100.000 H
O
R
A
 D
A
 C
H
E
C
A
G
E
M
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 135 21/07/14 14:44
90
136 UNIDADE 4
H
O
R
A
 D
A
 C
H
E
C
A
G
E
M
 10 Biscoitos de chocolate (fornada dupla): 5 1_____
2
 xícaras.
Biscoitos de coco (meia fornada): 1 1_____
4
 xícara.
6 xícaras 80 g 6 = 480 g; 1_____
2
 xícara 40 g; 1_____
4
 xícara 20 g
Total: 540 g.
 11 36 é 9 × 4. Se leva 45 minutos para ler 4 trabalhos, levará 9 × 45 = 405 min para ler todos. Como 
cada 60 min equivalem a 1 h, em 405 min cabem 405 ÷ 60 6 h e 45 min.
 12 Como o pintor já tem 2 litros de tinta cor-de-rosa de tom mais escuro, resultante da mistura, 
em partes iguais, de tinta vermelhae branca, então ele possui uma mistura com 1 litro de tinta 
vermelha e 1 litro de tinta branca. Considerando que ele precisa de 4 partes de tinta branca e 1 de 
tinta vermelha e já tem 1 litro de cada, serão precisos, então, mais 3 litros de tinta branca.
 13 64 m × 90 m = 5.760 m2. Como para cada 16 m2, é preciso 1 kg de semente, então, para 
5.760 m2, são necessários 5.760 ÷ 16 = 360 kg.
 14 25% de 3.000 = 750; 2,5% de 3.000 = 75; 27,5% de 3.000 = 750 + 75 = 825. Logo, o montante é de: 
R$ 3.000,00 + R$ 825,00 = R$ 3.825,00.
Desafio
Alternativa correta: c. Marcos pagava 1% de 120 mil reais por mês, então ele pagava: 
1_______
100
 × 120.000 = 120.000________________
100
 = R$ 1.200,00.
Como ele já pagou R$ 6.000,00 de juros, então 6.000 ÷ 1.200 = 5 meses.
00_Book_MAT_CE_VOL 2.indb 136 21/07/14 14:45
91
U
N
ID
A
D
E
 5 A MATEMÁTICA NA COMUNICAÇÃO
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
TEMAS
1. O significado dos códigos
2. Média aritmética nos meios de 
comunicação e na vida cotidiana
Introdução 
Nesta Unidade, você vai estudar porcentagens, gráficos e outras formas pelas 
quais as informações matemáticas são veiculadas nos meios de comunicação. 
Perceberá também o significado de códigos, como o que indica a porcenta-
gem, os números com vírgula abreviados (1,5 mil; 2,3 milhões etc.), os gráficos, as 
tabelas e a forma como são utilizadas as médias aritméticas em jornais, televisão, 
rádio, internet e também no dia a dia.
Esses conceitos serão explorados de modo intuitivo, para, em seguida, serem 
desenvolvidos com maior profundidade no decorrer do Ensino Fundamental. 
T E M A 1O significado dos códigos
Hoje em dia, vive-se na era da informação. O desenvolvimento da tecnologia 
em setores como informática, telefonia, internet, TV etc. transformou os meios 
de comunicação em sistemas sofisticados que possibilitam a qualquer pessoa o 
acesso à informação em tempo real, bastando, para isso, apertar uma simples 
tecla, seja ela do controle remoto da TV, do celular ou de um computador. 
O que você vai descobrir nesta Unidade é o modo como a linguagem mate-
mática e os sistemas de códigos são usados pelos meios de comunicação direta 
(naqueles apresentados em um órgão público, por exemplo) ou indireta (quando se 
liga o rádio, a TV ou se retira dinheiro no caixa eletrônico do banco).a o rádio, a TV ou se retira dinheiro no caixa eletrônico do banco).
Il
u
st
ra
çõ
e
s:
 ©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
Que tipos de aparelho permitem sua comunicação com o mundo? 
BOOK_MAT_VOL 1.indb 133 26/06/14 15:43
92
134 UNIDADE 5
Você utiliza algum aparelho eletrônico no trabalho ou em seu dia a dia? Se sim, 
qual(is)?
Por trás de tanta tecnologia existe muita Matemática, que é utilizada por técnicos, 
engenheiros e especialistas em aparelhos eletrônicos e em comunicação eletrônica. 
ATIVIDADE 1 A Matemática nos meios de comunicação 
Como você fica sabendo das informações do dia a dia?
 1 Pegue um jornal ou revista e faça uma lista de manchetes, artigos, seções que 
apresentem: 
Il
u
st
ra
çõ
e
s:
 ©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
a) números; d) quadros;
b) tabelas; e) mapas;
c) gráficos; f) outras representações e ideias matemáticas.
 2 Quais são as seções (ou cadernos) de um jornal em que mais aparecem situa-
ções matemáticas?
Política. Esportes.
Serviços. Classificados.
Cidades. Economia.
Cultura. Outras seções. 
 Noções de porcentagem
Os meios de comunicação atingem grande parte da população por meio de jor-
nais, revistas, TV, internet e outros veículos. Para transmitir as informações de 
modo claro, preciso e resumido, faz-se uso da linguagem matemática, que passou 
a ser parte, com cada vez mais frequência, da vida das pessoas. 
BOOK_MAT_VOL 1.indb 134 26/06/14 15:43
93
135UNIDADE 5
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
Trabalhado
res terão 12
,5% 
de aumento
 salarial
Como se pode ver pelas manchetes, para compreender as notícias é necessário 
saber Matemática, em especial a noção de porcentagem.
ATIVIDADE 2 Números nas notícias 
Observe com atenção as manchetes dos jornais apresentadas na imagem acima 
e, em seguida, faça os exercícios com base nessas notícias.
 1 Imagine que o município de Pontal tenha 1.000 eleitores. Quantos teriam votado 
no candidato número 10?
a) 32 eleitores.
b) 320 eleitores.
c) 32.000 eleitores.
 2 Seu Celso tem de pagar um imposto no valor de R$ 100,00. Ele pagou o valor a 
vista. Qual foi o desconto que ele recebeu? Quanto ele pagou?
BOOK_MAT_VOL 1.indb 135 26/06/14 15:43
94
136 UNIDADE 5
 3 Jurandir ganha R$  1.000,00 de salário. Qual será o seu salário depois 
do aumento? 
a) R$ 125,00
b) R$ 1.125,00
c) R$ 1.250,00
 4 Suponha que a cidade de Campinas tenha 100.000 automóveis. Indique quantos 
têm mais de 10 anos:
a) 1.200
b) 12.000
c) 120.000
 5 Se o orçamento da cidade de Pontal era de 1 milhão de reais no ano passado, 
qual é o orçamento deste ano?
a) R$ 35.000.000,00
b) R$ 350.000,00
c) R$ 1.350.000,00
 6 Neste ano, 10.000 estudantes prestaram o vestibular. Quantas eram as candidatas?
a) 54
b) 540 
c) 5.400
 Quando você for ler um gráfico, sempre comece pelo título, para saber o assunto 
de que ele trata. 
 Atente para os valores extremos, ou seja, o maior e o menor valor, para que 
possa compreender os outros valores em relação a eles. 
BOOK_MAT_VOL 1.indb 136 26/06/14 15:43
95
137UNIDADE 5
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
População brasileira: rural x urbana
rural (16%)
urbana (84%)
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
Preferência por modalidades esportivas
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
5%
10%
15%
30%
40%
Futebol
Vôlei
Basquete
Natação
Outros
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
Observe a legenda, que geralmente está ao lado do gráfico. Ela explicará as cores 
(ou algum outro recurso) utilizadas.
A circunferência apresentada é um gráfico de setores e representa o todo sendo 
dividido de acordo com os números relacionados à temática abordada. Esse tipo de 
gráfico é mais conhecido como “gráfico de pizza”, porque seu formato assemelha-
-se a uma pizza fatiada.
No gráfico 2, por exemplo, a cor verde indica que 40% 
dos entrevistados têm preferência pela modalidade espor-
tiva futebol; a cor roxa representa que 30% preferem o vôlei e 
assim por diante. 
Outro tipo de gráfico bem comum é o gráfico de colunas.
 Porcentagem
Há várias ideias ligadas à noção de porcentagem. Uma 
delas é a de fração.
Por exemplo, a parte amarela do círculo ao lado corresponde 
à quarta parte do todo, e a parte vermelha, a 3
4
 do todo.
Imagine que esse círculo é um queijo, e ele está dividido em quatro partes 
iguais. Se você pegou uma das 4 partes, significa que você ficou com 1
4
 do queijo, 
e no prato ficaram 3
4
 dele, ou seja, 3 partes de um todo que continha 4 partes. 
Supondo que o todo vale 100, a parte amarela corresponde à quarta parte de 
100, ou seja, vale 25.
BOOK_MAT_VOL 1.indb 137 26/06/14 15:43
96
138 UNIDADE 5
Outro modo de expressar a parte amarela é dizer 
que ela representa 25% do todo.
Veja a correspondência entre algumas frações e porcentagens.
 1 1 3 __ = 50% __ = 25% __ = 75%
 2 4 4
Algumas porcentagens são fáceis de calcular, em especial 10% e 50%, pois 
representam a décima parte e a metade do todo.
É muito comum que os meios de comunicação utilizem gráficos para que as 
porcentagens possam ser visualizadas.
Em algumas situações, os gráficos são utilizados associados a tabelas, para que 
se possa fazer uma leitura mais direta do que se pretende informar. No gráfico de 
setores, por exemplo, o ângulo de abertura de cada setor (fatia) é proporcional às 
porcentagens indicadas na tabela.
Pessoas por domicílio
Número de pessoas % de domicílios
1 12,0
2 22,6
3 25,1
4 22,0
5 ou mais 18,3©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
100% 50% 25% 12,5%
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
25%: lê-se “25 por cento”.
A palavra porcentagem tem origem na língua latina e significa per centum, ou seja, por cento, por 
cada centena. É o estabelecimento de uma comparação com o 100, na forma de fração.
Desse modo, associando as informações dessa tabela às do gráfico, é possível 
perceber que, em mais da metade dos domicílios, vivem até 3 pessoas. 
1
2
3
4
18,3%
12%
22,6%
25,1%
22%
5 ou mais
BOOK_MAT_VOL 1.indb 138 26/06/14 15:43
97
139UNIDADE 5
Veja agora mais um gráfico associado a uma tabela. Diferente do gráfico ante-
rior, ele representa apenas alguns dados da tabela.
Jovens de 15 a 24 anos de idade segundo a condição de atividade – 2003
Condição de atividade 15 e 17 anos (%) 18 e 19 anos (%) 20 a 24 anos (%)
Só estuda 60,9 30,4 11,7
Trabalha e estuda 21,4 21,3 15,1
Só trabalha 7,7 26,9 47,7
Afazeres domésticos 7,0 16,3 20,6
Não realiza qualquer atividade 2,9 5,1 4,9
Fonte: IBGE. Síntese de Indicadores Sociais, 2004. Disponível em: <http://teen.ibge.gov.br/es/noticias-teen/2856-jovens-estudo-e-trabalho>. Acesso em: 15 abr. 2014.
Um estudo do IBGE, realizado entre 
1993 e 2003, mostra que aumentou de 
40,7% para 60,9% o número de adoles-
centes entre 15 e 17 anos de idade que 
tinham o estudo como atividade exclusiva. 
Porém, nas faixas etárias seguintes, a 
possibilidade de somente estudar ainda 
é uma realidade para poucos. Assim, em 
2003, 30,4% dos jovens de 18 e 19 anos 
de idade e 11,7% dos que tinham entre 
20 e 24 anos dedicavam-se unicamente 
aos estudos. 
Com isso, mais da metade dos jovens entre 15 e 24 anos ocupavam um posto no 
mercado de trabalho em 2003.
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, mais conhecido pela sigla IBGE, é a instituição 
brasileira responsável pela realização dos censos demográficos (que fazem a contagem da popu-
lação brasileira) e outras pesquisas e levantamentos estatísticos sociais, geográficos e econômi-
cos de interesse de governos, das ciências, da indústria, do comércio e dos cidadãos em geral.
Procure reescrever com suas palavras o texto que acabou de ler, indicando sua compreensão 
sobre os percentuais, conforme o exemplo a seguir:
Se, em 1993, 40,7% dos adolescentes só estudavam, então se pode dizer que pouco mais que 40 em 
cada 100 alunos, com idade entre 15 e 17 anos, apenas estudavam.
Atividades dos jovens brasileiros 
de 20 a 24 anos
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
Fonte: IBGE. Síntese de Indicadores Sociais, 2004. 
Disponível em: <http://teen.ibge.gov.br/es/noticias-teen/ 
2856-jovens-estudo-e-trabalho>. Acesso em: 15 abr. 2014.
só estuda
(11,7%)
trabalha e
estuda (15,1%)
não realiza 
qualquer
atividade
(4,9%)
só trabalha
(47,7%)
afazeres
domésticos
(20,6%)
BOOK_MAT_VOL 1.indb 139 26/06/14 15:43
98
140 UNIDADE 5
EMPREGO FORMAL
O empregado formal é aquele que possui registro em sua carteira profissional: a Carteira de 
Trabalho e Previdência Social (CTPS), expedida pelo Ministério do Trabalho e Emprego, que é 
o documento obrigatório para que os cidadãos possam ser empregados registrados. O emprego 
formal é conhecido popularmente como “trabalho com carteira assinada”.
Na CTPS, a empresa deve sempre anotar, nas páginas próprias para o Contrato de Trabalho, o 
nome da empresa, o número do CNPJ (que é o Cadastro Nacional da Pessoa Jurídica, do Ministério 
da Fazenda), o endereço da empresa, a espécie de estabelecimento (comércio, indústria etc.), o 
cargo para o qual o trabalhador está sendo contratado, o código da sua ocupação na Classificação 
Brasileira de Ocupações (CBO), a data de admissão, o número do registro, assim como o número da 
folha ou ficha do Livro de Registro de Empregados, e ainda a remuneração do trabalhador. 
A remuneração especificada na CTPS é o que se chama salário bruto, ou seja, é o total do salário 
pago pelo empregador antes dos descontos referentes ao Instituto Nacional do Seguro Social 
(INSS) – responsável pelo pagamento da aposentadoria, do auxílio-doença etc. – e ao Imposto de 
Renda (IR), entre outros, como o seguro-saúde. Algumas empresas pagam parte do custo mensal 
desse seguro, ficando a outra parte por conta do funcionário.
Veja as tabelas dos principais descontos no salário:
Tabela 1 – Descontos do IR sobre o salário bruto
Base de cálculo (R$) Alíquota (%) Parcela a deduzir do IR (R$)
Até 1.787,77 – –
De 1.787,78 até 2.679,29 7,5 134,08
De 2.679,30 até 3.572,43 15,0 335,03
De 3.572,44 até 4.463,81 22,5 602,96
Acima de 4.463,81 27,5 826,15
Fonte: Receita Federal. Tabela Progressiva para cálculo mensal do Imposto sobre a Renda da Pessoa Física a partir do exercício de 2015, ano-calendário de 2014. Lei no 
12.469, de 26 de agosto de 2011. Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/aliquotas/TabProgressiva2012a2015.htm>. Acesso em: 13 mar. 2014.
Tabela 2 – Contribuição ao INSS (desde 1o/1/2014)
Salário Desconto (%)
Até R$ 1.317,07 8
De R$ 1.317,08 até R$ 2.195,12 9
De R$ 2.195,13 até R$ 4.390,24 11
Fonte: Ministério da Previdência Social. Inicial – Central de serviços ao segurado: formas de contribuição: empregado. Disponível em: 
<http://www.previdencia.gov.br/inicial-central-de-servicos-ao-segurado-formas-de-contribuicao-empregado/>. Acesso em: 13 mar. 2014.
Remuneração mensal: salário fixo, salário variável, descanso semanal remunerado, adicional 
noturno e outros, se aplicáveis.
Contribuição ao INSS: porcentagem sobre a remuneração mensal, com teto máximo de R$ 482,93.
BOOK_MAT_VOL 1.indb 140 26/06/14 15:43
99
141UNIDADE 5
Dependente legal: pode ser o marido ou a mulher, filho, filha ou enteados com até 21 anos (ou 
até 24 anos se forem universitários ou estiverem cursando Ensino Médio Técnico), todos não 
declarantes de IR.
Exemplo: um empregado que ganha R$ 2.500,00 e tem um filho como dependente legal pagará 
7,5% de IR e 11% de INSS. O fato de se ter um dependente legal permite que seja deduzido do IR 
retido na fonte o valor de R$ 179,71, mas, para isso, é necessário calcular um valor chamado de 
salário-base de cálculo, que é feito da seguinte maneira.
Salário bruto menos o desconto de 11% de INSS e menos o valor dedutível por dependente legal.
Em números, isso representa: R$ 2.500,00 – R$ 275,00 – R$ 179,71 = R$ 2.045,29 (base de cálculo). 
Sobre esse valor é que será calculado os 7,5% (alíquota de IR) de desconto para o imposto retido na fonte. 
Assim, deve-se multiplicar a base de cálculo por 7,5 e dividir por 100 (7,5 × 2.045,29 ÷ 100 = 153,39).
Sobre esse resultado é preciso ainda subtrair R$ 134,08, que corresponde à dedução estabele-
cida para salários entre R$ 1.787,78 e R$ 2.679,29, de acordo com as condições de cálculo do IR 
(153,39 – 134,08 = 19,31).
O valor de R$ 19,31 será descontado mensalmente como imposto de renda retido na fonte.
O conjunto das informações anteriormente citadas (nome da empresa, número do CNPJ, ende-
reço da empresa, a espécie de estabelecimento etc.) precisa constar obrigatoriamente na CTPS, 
pois essas informações compõem o registro do emprego para o qual o trabalhador está sendo 
contratado e, principalmente, porque só assim seus direitos serão assegurados.
ATIVIDADE 3 Leitura e interpretação de gráficos 
 1 Observe o gráfico a seguir sobre a concentração da população brasileira, 
segundo o Censo 2010, e responda às questões a seguir.
Ranking de Estados[*] por Região
Fonte: Censo 2010: quantos somos e quanto crescemos. O Estado de S. Paulo, Infográficos, 29 nov. 2010, 15h31. Disponível em: 
<http://www.estadao.com.br/especiais/censo-2010-quantossomos-e-quanto-crescemos,126097.htm>. Acesso em: 15 abr. 2014.
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
Sul
Sudeste
Centro-Oeste
Nordeste
Norte
41 000 000
30 750 000
20 500 000
10 250 000
RS PR SC SP MG RJ ES GO MT DF MS BA PE CE MA PB RN AL PI SE PA AM RO TO AC AP RR
0
[*] O termo adequado a ser usado no título desse gráfico seriaUnidades Federativas, uma vez que o Distrito Federal não é um Estado [nota do editor].
BOOK_MAT_VOL 1.indb 141 26/06/14 15:43
100
142 UNIDADE 5
a) Quantos Estados têm mais de 10 milhões de habitantes? 
b) Qual é o Estado mais populoso da região Nordeste?
c) Qual é o Estado menos populoso da região Sul?
 2 Observe o gráfico de crescimento da população brasileira e depois responda às 
questões propostas:
a) Qual é o número de habitantes da população brasileira segundo o Censo de 2010? 
b) Em que década a população brasileira superou a marca de 120 milhões de habitantes?
c) Quantos milhões de habitantes a população brasileira cresceu de 1940 a 1980?
Crescimento populacional brasileiro
Fonte: IBGE. Disponível em: <http://seriesestatisticas.ibge.gov.br/series.aspx? 
vcodigo=CD90&sv=32&t=populacao-presente-e-residente>. Acesso em: 13 mar. 2014.
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
0
1950 19601940 1980 1990 2000 20101970
50.000.000
100.000.000
150.000.000
200.000.000
41.236.315
51.944.397
70. 992. 343
94. 508. 583
121.150.573
146.917.459
169. 590. 693
190. 755.799
BOOK_MAT_VOL 1.indb 142 26/06/14 15:43
101
143UNIDADE 5
O gráfico ao lado apresenta o 
resultado de uma pesquisa feita 
em um município sobre o número 
de crianças que não vão à escola.
Nesse município, quantas crianças 
não foram à escola em 2004?
a) 325
b) 210
c) 150
d) 85
Saresp 2007. Disponível em: <http://saresp.fde.sp.gov.br/2007/Arquivos/Provas%202007/ 
Matemática/6ª%20série%20EF/1_Manhã/Prova-MAT-6EF-Manha.pdf>. Acesso em: 15 abr. 2014.
2003
325
210
150
85
2004 2005 2006 ano
número
de crianças
Atividade 1 – A Matemática nos meios de comunicação 
O objetivo dessa atividade é proporcionar a você um espaço de investigação sobre como e quanto 
a Matemática está presente em um jornal. Você verá que, em dada edição, uma seção pode ter 
mais situações matemáticas que outra e, em outro dia, isso pode se inverter, mas normalmente 
tem-se, nas seções de Política, Cidades e Economia, a maior concentração de uso de elementos 
matemáticos.
Atividade 2 – Números nas notícias 
 1 Alternativa correta: b. Como 32% ou 32
100
 dos eleitores votaram no candidato de número 10, 
tem-se 1.000 × 32 = 32.000   32.000 ÷ 100 = 320, ou, fazendo primeiro a divisão por 100 e depois 
multiplicando por 32, tem-se 1.000 ÷100 = 10   10 × 32 = 320. O cálculo também pode ser feito da 
seguinte maneira 1.000 × 0,32 = 320, considerando que 32
100
 = 0,32.
 2 Com 2% ou 2
100
 de desconto pelo pagamento a vista e sendo a dívida de seu Celso de R$ 100,00, 
nem é preciso fazer cálculos, uma vez que o desconto corresponde a 2 em cada 100. Assim, o des-
conto foi de R$ 2,00 e seu Celso pagou R$ 98,00 no imposto.
 3 Alternativa correta: b. Considere que, ao ter um aumento salarial, o trabalhador passará a 
receber o salário antigo mais o aumento, podendo o cálculo ser feito assim 1.000 + 1.000 ×  12,5
100
. 
Para obter o resultado dessa multiplicação, pode-se, primeiro, dividir 1.000 por 100, obtendo 10, e, 
depois, multiplicar por 12,5, como indicado a seguir:
HORA DA CHECAGEM
MAT_VOL 1_U5.indd 143 27/06/14 20:38
102
144 UNIDADE 5
1.000 ×  12,5
100
 = (1.000 ÷ 100) × 12,5 = 10 × 12,5 = 125.
Portanto, o salário passará a ser de 1.000 + 125 = 1.125. 
Depois do aumento, o salário de Jurandir será de R$ 1.125,00.
 4 Alternativa correta: b. Pensando do mesmo modo, para calcular 12% de 100.000, faz-se 
100.000 ×  12
100
 = 100.000 ÷ 100 × 12 = 1.000 × 12 = 12.000. Em Campinas, há 12.000 automóveis com mais 
de 10 anos.
 5 Alternativa correta: c. Do mesmo modo que no problema do cálculo do aumento do trabalhador, 
aqui também se trata de calcular um aumento, então o novo orçamento será igual ao anterior mais 
o aumento: 1.000.000 + 1.000.000 × 35
100
. 
Calculando o aumento, tem-se 1.000.000 ÷ 100 × 35 = 10.000 × 35 = 350.000.
Acrescentando o aumento ao orçamento anterior, obtém-se 1.000.000 + 350.000 = 1.350.000.
Assim, o orçamento deste ano é de R$ 1.350.000,00.
 6 Alternativa correta: c. Neste problema, basta calcular 54% de 10.000.
10.000 × 54
100
 = 10.000 ÷ 100 × 54 = 5.400. 
Dos 10.000 estudantes que prestaram vestibular, 5.400 eram do sexo feminino.
Atividade 3 – Leitura e interpretação de gráficos
 1 
a) Seis Estados têm mais de 10 milhões de habitantes: Bahia (BA), Minas Gerais (MG), Paraná (PR), 
Rio de Janeiro (RJ), Rio Grande do Sul (RS) e São Paulo (SP).
b) Bahia.
c) Santa Catarina.
 2 
a) 190.755.799 habitantes. 
b) Na década de 1980.
c) 121.150.573 (em 1980) – 41.236.315 (em 1940) = 79.914.258 habitantes, aproximadamente 
80 milhões de habitantes.
Desafio
Alternativa correta: b. O número de crianças que não foram à escola é igual a 210.H
O
R
A
 D
A
 C
H
E
C
A
G
E
M
BOOK_MAT_VOL 1.indb 144 26/06/14 15:43
103
145UNIDADE 5
BOOK_MAT_VOL 1.indb 145 26/06/14 15:43
104
146
Média é um conceito importante da Estatística (ramo da Matemática), muito 
utilizado nos meios de comunicação, além de estar presente na Língua Portuguesa 
com um sentido próximo do conceito matemático formal. Tal como feito no Tema 
anterior com as porcentagens, o objetivo inicial é aproximar o conhecimento que 
você já tem do termo com seu sentido matemático. 
É muito comum se ouvir falar em média: peso médio de algo, idade média de 
uma turma de jovens, salário médio de determinada categoria e assim por diante.
Mesmo que não tenha associado esse conceito à Matemática, provavelmente 
você já deve ter se confrontado com alguma situação em que foi preciso saber cal-
cular a média, porque ela faz parte do cotidiano.
Salário médio
Leia a notícia ao lado. O que você 
acha que ela está comunicando? 
Todos os trabalhadores ganham 
R$ 1.966,90 por mês. 
Não existem trabalhadores que ganham 
mais do que R$ 1.966,90 por mês.
Nenhum trabalhador ganha abaixo 
de R$ 1.966,90 por mês.
A maioria dos trabalhadores ganha 
exatamente R$ 1.499,00 por mês.
Poucos trabalhadores ganham R$ 1.966,90 por mês.
Antes de se preocupar em saber se encontrou a resposta correta, analise a 
informação obtida do site Salariômetro (disponível em: <http://www.salariometro.
sp.gov.br>, acesso em: 13 fev. 2014), que divulga em tempo real o salário médio dos 
trabalhadores por setor:
Segundo o IBGE, o rendimento médio do 
trabalhador, no mês de dezembro de 2013, 
foi de R$ 1.966,90.
Em comparação ao mesmo mês do ano 
anterior (2012), o trabalhador teve um 
aumento no poder de compra de 3,2%.
O poder de compra do brasileiro, entre 
2003 e 2013, aumentou em 29,6% (em 2003, 
era de R$ 1.448,48).
Fontes: IBGE. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/mtexto/pmecrendi.
htm>. DESEMPREGO cai a 5,4% em 2013 e é o menor da história, diz IBGE. 
BLOG do Planalto, 30 jan. 2014, 11h35. Disponível em: 
<http://blog.planalto.gov.br/desemprego-cai-a-54-em-2013-e-e-o-
menor-da-historia-diz-ibge/>. Acessos em: 13 fev. 2014.
O salário médio pago para os marceneiros nos últimos seis meses foi de R$ 1.038,00.
T E M A 2
Média aritmética 
nos meios de comunicação e na vida cotidiana 
BOOK_MAT_VOL 1.indb 146 26/06/14 15:43
105
147UNIDADE 5
O que significa essa informação?
Para entender o conceito de média aritmética, que, em geral, é utilizada nesse 
tipo de informação, serão analisados os salários dos funcionários de uma marce-
naria fictícia, cujos profissionais têm a mesma média salarial apresentada no site.
Observe que, pela planilha de salários, nenhum funcionário recebe exatamente 
R$ 1.038,00.
Para entender melhor a situação, os salários serão representados por meio de 
um gráfico de colunas:
Funcionário Salário (em R$)
João 1.360,00
Pedro 830,00
Carlos 960,00
Mateus 1.080,00
Ribamar 960,00
ATIVIDADE 1 Cálculo do salário médio
 1 Calcule a soma de todos os salários que aparecem no gráfico de colunas apre-
sentado anteriormente. Divida o montante da massa salarial (a soma de todos os 
salários) pelo número de funcionários.
Salário
João PedroCarlos Mateus Ribamar Média
R$ 200,00
R$ 400,00
R$ 600,00
R$ 800,00
R$ 1. 000,00
R$ 1. 200,00
R$ 1. 400,00
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
 2 O que você descobriu? 
Você deve ter descoberto que, somando todos os salários e dividindo o total 
pelo número de trabalhadores, o resultado é o que se chama salário médio.
BOOK_MAT_VOL 1.indb 147 26/06/14 15:43
106
148 UNIDADE 5
Para compreender melhor o conceito de 
média aritmética, imagine a seguinte situação 
hipotética:
soma do total de salários
número de trabalhadores
Salário Médio = 
1.360 + 830 + 960 + 1.080 + 960
5
SM = = = 1.0385.190
 5
É uma situação baseada em hipó-
teses, em possibilidades. Ou seja, 
é uma situação que tem probabi-
lidade de acontecer.
Situação hipotética
João Pedro Carlos Mateus Ribamar
Início 1.360,00 830,00 960,00 1.080,00 960,00
João 
empresta 
R$ 208,00 
para Pedro
1.360 – 208 = 1.152 830 + 208 = 1.038
João 
empresta 
R$ 78,00 para 
Carlos
1.152 – 78 = 1.074 960 + 78 = 1.038
Mateus 
empresta 
R$ 42,00 para 
Ribamar
1.080 – 42 = 1.038 960 + 42 = 1.002
João 
empresta 
R$ 36,00 para 
Ribamar
1.074 – 36 = 1.038 1.002 + 36 = 1.038
Observe que, redistribuindo os salários, todos os trabalhadores ficam com a 
mesma quantia. Esse é um dos sentidos da ideia de média: o de equilíbrio e distri-
buição equitativa. 
ATIVIDADE 2 A média aritmética no dia a dia de um taxista
 1 Seu Belina é motorista de táxi. Por ser muito organizado, ele registra os dados 
que considera importantes para poder planejar seus gastos e o rendimento de 
seu trabalho. 
No primeiro dia de trabalho na nova empresa, ele anotou, por exemplo, o valor (em R$) 
de cada corrida.
BOOK_MAT_VOL 1.indb 148 26/06/14 15:43
107
149UNIDADE 5
Registro dos valores de um dia de trabalho:
Corrida 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a
Valor (em R$) 12 10 15 20 8 22 16 24 12 17 14 10
a) Calcule o total arrecadado no primeiro dia de trabalho. 
b) Em média, quantos reais cada corrida rendeu a seu Belina?
 2 Veja outros dados de seu Belina em sua planilha semanal:
Segunda- 
-feira
Terça- 
-feira
Quarta- 
-feira
Quinta- 
-feira
Sexta- 
-feira Sábado
Total 
semanal
Horas trabalhadas 11 12 10 11 14 8
Corridas atendidas 12 13 9 13 17 8
Combustível consumido 
(em ℓ) 50 57 46 52 54 44
Arrecadação (em R$) 180 150 120 160 180 92
Considerando apenas os seis dias em que ele trabalhou, preencha a coluna Total 
semanal da tabela anterior. Depois, calcule:
a) Quantas horas, em média, ele trabalhou por dia?
BOOK_MAT_VOL 1.indb 149 26/06/14 15:43
108
150 UNIDADE 5
b) Quantas corridas ele atendeu, em média, diariamente?
c) Qual foi o consumo médio de combustível por dia de trabalho?
d) Qual foi a arrecadação média diária?
ATIVIDADE 3 O dia a dia e a média
Analise outras situações do dia a dia em que o con-
ceito de média aparece.
 1 Levando em consideração as informações ao lado, 
calcule a média das temperaturas máxima e mínima na 
cidade de São Paulo durante seis dias consecutivos.
15ºSão PauloMax 25º Min 15ºSão PauloMáx 25º Mín 15º
TERÇA-FEIRA
QUARTA-FEIRA
QUINTA-FEIRA
SEXTA-FEIRA
SÁBADO
DOMINGO
TERÇA-FEIRA
QUARTA-FEIRA
QUINTA-FEIRA
SEXTA-FEIRA
SÁBADO
DOMINGO
25º 
26º
27º
26º
26º
23º
15º 
16º
15º
16º
16º
15º
25º 
26º
27º
26º
26º
23º
15º 
16º
15º
16º
16º
15º
15º
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
BOOK_MAT_VOL 1.indb 150 26/06/14 15:43
109
151UNIDADE 5
 2 De acordo com a Companhia do Metropolitano de São Paulo (Metrô), a média 
de passageiros transportados por dia útil em todo o sistema, no ano de 2012, foi de 
3,75 milhões de pessoas.
Analise as seguintes afirmações.
a) Isso quer dizer que foram transportadas exatamente 3,75 milhões de pessoas 
em um dia útil?
b) É possível que, em algum dia da semana, tenham sido transportados mais ou 
menos do que 3,75 milhões de passageiros?
Ao elaborar a resposta para um exercício, procure fazê-la da maneira mais 
completa possível. 
Por exemplo, se a pergunta for: “Qual é a capital do Brasil?”, em vez de res-
ponder “Brasília”, que é uma forma incompleta, pois a palavra fica solta e isolada, 
dificultando a compreensão do leitor, procure produzir uma frase ou um pequeno 
texto, por exemplo: “A capital do Brasil é Brasília” ou “Brasília é a capital do Brasil”.
Fonte: Companhia do Metropolitano de São Paulo (Metrô). Relatório da Administração, 2012. Disponível em: 
<http://www.metro.sp.gov.br/metro/institucional/pdf/rel-administracao.pdf>. Acesso em: 13 mar. 2014.
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
Evolução dos passageiros transportados na rede
4.500
2.440
03 04 05 06 07 08 09 10 11 12
milhares
2.664
2.4172.385
3.197
2.917
3.750
3.681
3.559
3.322
4.000
3.500
3.000
2.500
2.000
1.500
1.000
Média dos dias úteis
BOOK_MAT_VOL 1.indb 151 26/06/14 15:43
110
152 UNIDADE 5
ATIVIDADE 4 Interpretando uma notícia de jornal 
Uma pesquisa realizada pelo Banco 
Central (órgão do governo federal) 
sobre o modo como o brasileiro utiliza 
o dinheiro apresentou alguns dados 
acerca de seus hábitos. 
Leia atentamente o resumo da 
pesquisa O Brasileiro e sua relação com o 
dinheiro, que segue ao lado.
Depois, responda às questões pro-
postas.
 1 Como você paga a maioria de suas 
contas? 
a) Com dinheiro. 
b) Com cheque. 
c) Com cartão de crédito. 
d) Com débito em conta-corrente. 
e) Outras formas. Quais? 
 2 De acordo com a notícia, é possível afirmar que a maioria dos brasileiros paga suas 
contas usando dinheiro ou outras formas, como cheques ou cartões? 
Brasília – A pesquisa “O Brasileiro e sua Rela-
ção com o Dinheiro”, versão 2010, aponta que 
a forma de pagamento mais usada pela popu-
lação ainda é o dinheiro, correspondendo a 
72% comparativamente às outras formas de 
pagamento. Além disso, a maioria da popula-
ção brasileira continua recebendo seu salário 
em dinheiro (55%). Verificou-se também um 
crescimento significativo do número de brasi-
leiros que possuem conta-corrente, passando 
de 39% em 2007, para 51% em 2010, bem 
como houve um considerável crescimento 
da participação do cartão, tanto de crédito 
quanto de débito, no pagamento de contas 
e compras, principalmente nas compras de 
super/hipermercados, eletrodomésticos, rou-
pas e calçados. O valor médio das despesas 
mensais do público elevou-se cerca de 40% 
entre 2007 e 2010, ficando em torno de R$ 808 
sendo que 59% [...] [foram] pagas em dinheiro.
Fonte: Banco Central do Brasil. BC divulga pesquisa “O Brasileiro e sua Relação 
com o Dinheiro”. Disponível em: <http://www.bcb.gov.br/textonoticia.asp? 
codigo=2986&idpai=NOTICIAS>. Acesso em: 15 abr. 2014.
Essa sim é uma resposta completa, que se preocupa com a compreensão do 
leitor, pois possui sentido, mesmo sem que se leia a pergunta. 
Ao término da escrita, não esqueça: faça uma revisão dos aspectos gramaticais, 
da ortografia e da acentuação, buscando garantir que as frases estejam bem 
organizadas.
BOOK_MAT_VOL 1.indb 152 26/06/14 15:43
111
153UNIDADE 5
 3 É possível dizer que mais da metade dos trabalhadores recebe seu salário em 
dinheiro? Que parte da notícia sustenta sua resposta? 
 4 Aproximadamente que fração da população brasileira recebe seu salário 
em dinheiro?
 5 Quais dentre as frases a seguir estão corretas? Explique sua resposta com base 
na notícia que você leu.
a) Em 2007, mais da metade dos brasileiros tinha conta-corrente.
b) Em 2007, menos da metade dos brasileiros tinha conta-corrente.
c) Em 2010, mais da metade dos brasileiros tinha conta-corrente.
d) Em 2010, menos da metade dos brasileiros tinha conta-corrente.
e) Em 2010, aproximadamente metade dos brasileiros tinha conta-corrente.
 6 De 2007 a 2010 houve aumento ou diminuição de brasileiros com conta- 
-corrente? Qual foi o porcentual de aumento ou diminuição? 
 7 Um trabalhador ganha R$ 2.400,00 de salário. Aproximadamente 10% do que 
recebe é consumido em impostos; 25% de seu salário é gasto com moradia;e 30%, 
com alimentação. Para saber quanto ele gasta com impostos, moradia e alimenta-
ção, calcule:
a) 10% de R$ 2.400,00;
b) 20% de R$ 2.400,00;
c) 30% de R$ 2.400,00;
d) 50% de R$ 2.400,00;
e) 25% de R$ 2.400,00;
f) 75% de R$ 2.400,00.
BOOK_MAT_VOL 1.indb 153 26/06/14 15:43
112
154 UNIDADE 5
 8 Um trabalhador que ganha R$ 2.400,00 de salário gastou R$ 800,00 em compras. 
Que porcentagem de seu salário ele gastou com as compras?
a) 15%.
b) Um pouco menos que 25%. 
c) Um pouco mais que 30%.
d) 50%.
ATIVIDADE 5 Comunicação matemática no dia a dia 
As ideias matemáticas, seus métodos e sua linguagem estão presentes nas 
mais variadas situações do dia a dia de uma pessoa. 
Para se localizar e se orientar em uma cidade, podem-se usar mapas que 
empregam códigos matemáticos. 
 1 Consulte o mapa a seguir e dê as coordenadas: 
a) do Poupatempo: 
b) do motoboy: 
c) da ambulância: 
d) da viatura de polícia: 
e) Quem está na coordenada E3: um homem ou uma mulher? 
POUPA-
TEMPO
POLÍCIA
R. Francisco Goulart
R. Luis Cunha
Av. Mal. Deodoro
R. Primeiro de Maio
R. Aurélio Godoy
R. Luís Ferraz de Mesquita
R. Caxambu
R. Florestal
R.
 Jo
sé
 B
ila
c
R.
 
Pl
az
ar
R. Olímpio Ribeiro da Luz
R. Olímpio Correia da Silva
R.
 
 
 D
r. 
 
 
 J
os
é 
 
 
 
 
 
 F
oz
R.
 
 
 
 
 
 M
aj.
R.
 
 
 
 M
en
de
s 
 
 
de
 
 
 M
or
ae
s
R.
 
 
Al
m
ira
nt
e 
 
 
 
 
 
 B
ar
ro
so
R.
 
 
 
 M
en
de
s 
 
 
de
 
 
 M
or
ae
s
Av
en
id
a 
 
 
Br
as
il
R.
 
 
 
 
 F
er
na
nd
o 
 
 
 
 
 
 B
ac
co
R.
 
 
 
 
 Tu
rm
an
ina
Fe
lic
io 
 
 
 
 T
ar
ab
ay
R.
 
 
 S
iq
ue
ira
 
 
 
 C
os
m
os
R.
 
 D
r. 
 
 Jo
sé
 
 
 
 F
oz
Visconde de CairuR. Guilherme Costa
R. Orozimbo
R. Francisco Machado de Campos
R. 
 Costa
Hugo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
C
D
E
F
G
Mapa sem escala
R.
 O
láv
o 
Bi
lac
©
 P
o
rt
a
l d
e
 M
a
p
a
s
BOOK_MAT_VOL 1.indb 154 26/06/14 15:43
113
155UNIDADE 5
 2 Seu Alberto foi ao Poupatempo tirar a segunda via de sua Carteira de Trabalho 
e observou as seguintes situações:
©
 L
e
a
n
d
ro
 R
o
b
le
s/
P
in
g
a
d
o
BOOK_MAT_VOL 1.indb 155 26/06/14 15:43
114
156 UNIDADE 5
Agora, resolva os exercícios a seguir. 
a) Descubra os números de senha: 
do advogado: 
de Dona Teresa: 
de Guilherme: 
do motoboy: 
do padeiro: 
da estudante: 
b) Quantos números o motoboy vai ter de esperar até ser chamado?
 1 O mapa abaixo apresenta um quadriculado cujas colunas são indicadas pelas letras A, B, C, D e 
as linhas, pelos números 1, 2, 3, 4.
O círculo indica a localização do Memorial da América Latina, em São Paulo, que está no retângulo 
indicado pela
a) letra C e o número 1.
b) letra D e o número 2.
c) letra B e o número 3.
d) letra D e o número 3.
Saresp 2007. Disponível em: <http://saresp.fde.sp.gov.br/2007/Arquivos/Provas%202007/ 
Matemática/6ª%20série%20EF/2_Tarde/Prova-MAT-6EF-Tarde.pdf>. Acesso em: 15 abr. 2014.
A
1
2
3
4
B C D
(www.eciencia.usp.br)
Rod. Pres. 
Castelo Branco
Sorocaba
Itú
Avaré
Campinas
Americana
Limeira
Jundiaí
Campinas
Pte. do
Piqueri
Pte. da
Freguesia Rod. Pres. Dutra
São José dos Campos
Taubaté
Rio de Janeiro
Rod. Fernão Dias
Minas Gerais
MEMORIAL DA 
AMÉRICA LATINA
R
o
d
. A
nhanguera
Rod. dos Bandeirantes
C
PTM
Marginal Tietê
CPTM
CPTM
R.
 Q
uei
rós F
ilho
R
. P
io
 X
I
R. Tito
R. Clélia Est. Barra
 Funda
Metrô
Est. Lapa
Est. Vila
Madalena
R
. S
ão G
ua
R
. A
urélia
R. Heit
R. Guaicurus
Av. Marquês de São Vicente
BOOK_MAT_VOL 1.indb 156 26/06/14 15:43
115
157UNIDADE 5
Atividade 1 – Cálculo do salário médio
 1 1.360 + 830 + 960 + 1.080 + 960 = 5.190 5.190 ÷ 5 = 1.038. A média salarial é de R$ 1.038,00.
 2 O valor encontrado é exatamente o salário médio que consta na informação do Salariômetro.
Atividade 2 – A média aritmética no dia a dia de um taxista
 1 
a) Somando as 12 corridas de um dia de trabalho, tem-se: 
12 + 10 + 15 + 20 + 8 + 22 + 16 + 24 + 12 + 17 + 14 + 10 = 180. O total arrecadado foi de R$ 180,00.
b) 180 ÷ 12 = 15. Cada corrida rendeu R$ 15,00 em média. 
Por que o salário do homem é diferente do salário da mulher, se ambos podem 
exercer as mesmas funções?
 2 Em 5 partidas de voleibol, Duda fez 12, 15, 11, 18 e 14 pontos. Qual foi a média de pontos nessas 
partidas?
a) 11 
b) 12 
c) 13 
d) 14
Saresp 2007. Disponível em: <http://saresp.fde.sp.gov.br/2007/Arquivos/Provas%202007/
Matemática/6ª%20série%20EF/2_Tarde/Prova-MAT-6EF-Tarde.pdf>. Acesso em: 15 abr. 2014.
HORA DA CHECAGEM
Homens ganham mais
Conforme o IBGE, o rendimento médio das mulheres é mais baixo que o dos 
homens, mesmo com mais escolaridade que eles. Em 2009, as mulheres ocupadas 
recebiam cerca de 70,7% do rendimento médio dos homens ocupados. No mercado 
formal (trabalho registrado), a proporção era um pouco menos desigual: as mulhe-
res recebem quase 75% do que os homens. No mercado informal, a diferença é bem 
maior: as mulheres recebem 63,2% do rendimento médio dos homens.
Fonte: IBGE. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/condicaodevida/indicadoresminimos/ 
sinteseindicsociais2010/SIS_2010.pdf>. Acesso em: 13 mar. 2014.
BOOK_MAT_VOL 1.indb 157 26/06/14 15:43
116
158 UNIDADE 5
 2 Planilha semanal
Atividade 3 – O dia a dia e a média
 1 A média da temperatura máxima é dada por 25 + 26 + 27 + 26 + 26 + 23 = 153 153 ÷ 6 = 25,5.
A média da temperatura mínima é dada por 15 + 16 + 15 + 16 + 16 + 15 = 93 93 ÷ 6 = 15,5. 
Durante os seis dias consecutivos, a média da temperatura máxima foi de 25,5 °C, e a média da 
temperatura mínima foi de 15,5 °C.
 2 
a) A informação de que o sistema transporta em média 3,75 milhões de pessoas não garante que 
exatamente 3,75 milhões utilizem o metrô em determinado dia; isso pode ou não acontecer.
b) Sim, pode haver algum dia da semana em que o número de passageiros tenha sido superior ou 
inferior a 3,75 milhões.
Atividade 4 – Interpretando uma notícia de jornal
Como cada um dos exercícios dessa atividade busca uma informação diferente, então, mesmo que 
tenha lido atentamente o texto proposto, lembre-se de que ele é breve e vale a pena retomar a leitu ra 
para garantir a resposta mais adequada a cada um deles. 
 1 Essa questão não tem certo nem errado, pois depende apenas de seu hábito.
 2 De acordo com a notícia, a maioria dos brasileiros paga suas contas usando dinheiro.
 3 Sim. Isso é informado pelo trecho: “Além disso, a maioria da população brasileira continua rece-
bendo seu salário em dinheiro (55%)”, que corresponde a mais da metade da população. 
 4 55
100
 . Um pouco mais da metade da população. 
 5 
a) Errada – 39% não é mais da metade. “Verificou-se também um crescimento significativo do 
número de brasileiros que possuem conta-corrente, passando de 39% em 2007, para 51% em 2010”. 
b) Correta – 39% é menos da metade.
c) Correta – 51% corresponde a mais da metade da população. H
O
R
A
 D
A
 C
H
E
C
A
G
E
M
Total semanal Cálculo 
a) 66 66 ÷ 6 = 11 horas diárias de trabalho, em média.
b) 72 72 ÷ 6 = 12 corridas, em média. 
c) 303 303 ÷ 6 = 50,5 ℓ de consumo médio por dia. 
d) 882 882 ÷ 6 = R$ 147,00 de arrecadação média.
BOOK_MAT_VOL 1.indb 158 26/06/14 15:43
117
159UNIDADE 5
d) Errada – 51% corresponde a mais da metade da população. 
e) Correta – 51% corresponde apenas a um pouco mais da metade, portanto pode-se afirmar que é 
aproximadamente metade da população. 
 6 Houve um aumento: passou de 39% para 51%. Em relação ao total de brasileiros, o aumentofoi de 12%. 
 7 Nessa sequência de cálculos de porcentagem, é interessante você perceber que os cálculos para obter 
10% e 50% são mais simples e que, a partir deles, pode-se obter qualquer um dos outros dessa lista. 
a) Pense que 10% = 10
100
 = 1
10
 ,o que indica que para calcular 10% de um número é só dividir esse 
número por 10. Então, 2.400 ÷ 10 = 240. R$ 240,00. 
b) Sabendo que 20 é igual a 2 × 10, tem-se que 20% de 2.400 será 2 × 240 = 480. R$ 480,00. 
c) Conhecendo os valores de 10% e de 20%, para se obter 30% basta considerar que 10% + 20% = 30% 
 240 + 480 = 720. R$ 720,00. 
d) Como 50% corresponde à metade, seu cálculo se resume a uma divisão por 2, que é 
2.400 ÷ 2 = 1.200, ou seja, R$ 1.200,00.
e) Como 25% é metade de 50%, seu cálculo se resume a dividir o valor de 50% ao meio ou dividir o 
total por 4. Então, 1.200 ÷ 2 = 600. R$ 600,00.
f) Sabendo que 75 = 25 + 50, fica simples perceber que, para calcular 75%, é preciso saber os valores 
de 25% e de 50% e, depois, somá-los. 600 + 1.200 = 1.800. R$ 1.800,00. 
 8 Alternativa correta: c. Um pouco mais que 30%, pois R$ 800,00 correspondem à terça parte de 
R$ 2.400,00, o que equivale a cerca de 33%.
Atividade 5 – Comunicação matemática no dia a dia
 1 
a) E5. b) B9. c) B2. d) G6. e) É uma mulher, o homem está na coordenada A5.
 2 
a) 
b) Como o 249 é o número que consta no painel, o motoboy terá de esperar 32 números serem anun-
ciados. O trigésimo terceiro será 282, que é a senha dele.
Desafio
 1 Alternativa correta: d.
 2 Alternativa correta: d. 12 + 15 + 11 + 18 + 14 = 70 70 ÷ 5 = 14. Duda fez uma média de 14 pontos. H
O
R
A
 D
A
 C
H
E
C
A
G
E
M
Advogado Guilherme Padeiro
249 273 262
Dona Tereza Motoboy Estudante
250 282 254
BOOK_MAT_VOL 1.indb 159 26/06/14 15:43
118
80
Os ângulos podem ser observados nas formas bi e tridimensionais. Nas figuras 
geométricas, além dos ângulos, podem ser observados outros elementos como 
lados, faces, vértices, arestas, diagonais etc. 
Esta é a representação gráfica de ângulo reto (90º):
Observe ao seu redor e tente identificar esse ângulo nos objetos que vê. 
Encontrou vários ou poucos ângulos como esse? Será que isso é comum? 
Por que você acha que isso acontece?
 Ângulo reto
O ângulo reto é muito utilizado no mundo do trabalho. Com ele, fica mais fácil 
produzir objetos, aparatos e construções. 
Para cortar várias peças retangulares a partir de uma tábua de madeira, basta 
programar a serra para fazer cortes paralelos. 
O ângulo reto é útil para armazenar caixas e peças retangulares, pois permite 
aglomerá-las sem deixar vãos.
T E M A 2 Ângulos
Il
u
st
ra
çõ
e
s:
 ©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
BOOK_MAT_VOL 1.indb 80 26/06/14 15:40
119
81UNIDADE 3
Construção de um ângulo reto dobrando papel
É muito fácil construir um ângulo reto apenas dobrando uma folha de papel. 
Faça como é ensinado na imagem e use o ângulo reto de papel para verificar os 
cantos de uma mesa, de seu caderno ou outros lugares em que os ângulos retos 
possam estar presentes.
O ângulo reto nos objetos de casa
Para fazer molduras, portas e janelas com encaixes que se ajustem sem deixar 
vãos, o marceneiro corta a peça de madeira em um ângulo bem determinado.
Observe o encaixe do canto superior esquerdo.
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l A justaposição (quando 
uma encosta na outra) das 
duas ripas de madeira, 
como se observa na figura, 
forma um ângulo reto.
BOOK_MAT_VOL 1.indb 81 26/06/14 15:40
120
82 UNIDADE 3
ATIVIDADE 1 Identificando os ângulos
 1 Sabendo que os ângulos internos de um retângulo são retos (medem 90°) e 
observando a figura anterior, responda: Qual é a medida do ângulo de encaixe da 
moldura?
 2 Seu Ferreira é serralheiro. Ele trabalha com 
chapas e vigas de metal para fabricar por-
tões, janelas, esquadrias, boxes de banheiro, 
molduras e muitas outras coisas do dia a dia. 
Seu Ferreira projetou um formato especial de 
bandejas (veja a figura a seguir), para que elas 
possam ser colocadas lado a lado sobre uma 
mesa sem que se amontoem umas sobre as 
outras durante o almoço ou o jantar. O segredo 
da bandeja de seu Ferreira está nos ângulos de 
corte. Observe que os cantos de duas bandejas 
vizinhas formam um ângulo reto.
a) Estude a forma da bandeja e liste tudo o que puder observar sobre os seus lados 
e ângulos. 
b) Determine a medida, em graus, dos quatro ângulos internos da bandeja.
Matemática – Volume 1
Acerte no ângulo
Este vídeo mostra alguns polígonos e seus ângulos, em especial o octógono e o triângulo.
90º = ângulo reto
bandeja
Il
u
st
ra
çõ
e
s:
 ©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
BOOK_MAT_VOL 1.indb 82 26/06/14 15:40
121
83UNIDADE 3
 Os ângulos e a divisão da circunferência
Há mais de 5 mil anos, os povos da Mesopotâmia desen-
volveram as primeiras noções que se tem hoje de calendário.
Veja no mapa a seguir onde se localizava a Mesopotâmia, 
território dos primeiros criadores do calendário.
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
Por meio da observação do movimento das estrelas no céu, das várias fases da 
Lua e das estações do ano, eles sabiam que a Terra levava 365 dias e algumas horas 
para dar uma volta completa em torno do Sol. Assim, definiram o ano como tendo 
360 dias, mais 5 dias de festividades, em que eram celebradas as colheitas do ano. 
Essas festas também eram chamadas de “feiras” – é por isso que a palavra feira 
aparece no final do nome de 5 dias da semana.
Foi a partir desse fato que surgiu a ideia de dividir a volta completa da circun-
ferência em 360 partes iguais, cada uma delas medindo 1° (um grau).
360º 180º 90º © 
D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
Mapa da Mesopotâmia, planície compreendida entre os rios Tigre e Eufrates, 
que hoje corresponde, aproximadamente, ao território do Iraque.
©
 P
o
rt
a
l d
e
 M
a
p
a
s
40º L 48º L
34º N
Rio Tigre
Bagdá
IRAQUE
IRÃRio 
 Eufrates
TURQUIA
SÍRIA
LÍBANO
JO
RD
ÂN
IA
ARÁBIA
SAUDITA
ISRAEL KUWAIT
Divisão política atual
Fonte: IBGE.
MAT_VOL 1_U3.indd 83 03/07/14 21:13
122
84 UNIDADE 3
O ângulo reto é o ângulo de 90°, ou 
seja, equivale à quarta parte da volta com-
pleta. É o ângulo que se observa em cantos 
de retângulos, portas, paredes etc. 
Diz-se que a direção de um fio de pru mo 
apontado para o centro da Terra e a linha 
do horizonte são perpendiculares. E duas 
retas ou segmentos de reta perpendiculares 
formam um ângulo reto.
90º
Se um ângulo mede menos que 90°, ou seja, se ele é menor que um ângulo reto, ele é chamado 
de ângulo agudo.
Se um ângulo mede mais que 90°, ou seja, se ele é maior que um ângulo reto, ele é chamado de 
ângulo obtuso.
ATIVIDADE 2 Percebendo o ângulo reto
 1 Descubra ângulos retos em formas geométricas e na posição das coisas a seu redor 
e anote suas observações.
 
 2 Explique por que as paredes e o chão de uma construção devem formar, em 
geral, um ângulo reto. 
HORA DA CHECAGEM
Atividade 1 – Identificando os ângulos
 1 A medida do ângulo de encaixe entre duas ripas de madeira é igual à metade de 90°, ou seja, 45°.
 2 
a) Nesse exercício, é importante perceber as características da bandeja: ela é um quadrilátero que 
possui apenas dois lados paralelos; os lados não paralelos são de mesma medida; e os ângulos agu-
dos, quando justapostos, formam um ângulo reto (90°). 
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
BOOK_MAT_VOL 1.indb 84 26/06/14 15:40
123
85UNIDADE 3
H
O
R
A
 D
A
 C
H
E
C
A
G
E
M
b) Os ângulos agudos são de mesma medida; medem 45°. Para saber a medida dos ângulos obtusos, 
que também têm a mesma medida, calcula-se: 45° + 90° = 135°. Assim, cada ângulo obtuso mede 135°.
Atividade 2 – Percebendo o ângulo reto
 1 Em geral, duas paredes adjacentes são perpendiculares (ou seja, for-
mam um ângulo reto), assim como as paredes e o chão e as paredes e o 
teto; os lados não paralelos de uma mesa retangular formamum ângulo 
reto (ou seja, são perpendiculares); o mesmo acontece com os lados não 
paralelos de uma folha de caderno, pois ela é retangular.
 2 A explicação é de natureza física: se as paredes ficarem inclinadas 
em relação ao piso, têm mais possibilidade de desabar (isso tem a ver 
com a força da gravidade).
Objetos adjacentes 
são aqueles que 
estão juntos, um 
ao lado do outro.
Adjacente
©
 D
’L
iv
ro
s 
E
d
it
o
ri
a
l
MAT_VOL 1_U3.indd 85 27/06/14 20:32
124
Agora apresentaremos três conceitos muito simples envolvendo a utilização dos ângulos, que são os 
ângulos complementares, os suplementares e os replementares. 
Ângulos Complementares 
São aqueles que quando somados resultam em um ângulo reto, ou seja, sua soma é igual a 90º. 
 
Note que os ângulos complementares são necessariamente agudos, pois sua soma terá que ser igual 
a 90º. Neste caso temos que: 
A + B = 90o 
Ângulos Suplementares 
São definidos como os ângulos cuja soma resulta em um ângulo raso, cujo valor é igual a 180°. 
 
Neste caso os nossos ângulos A e B são obtuso e agudo, respectivamente. Para os ângulos 
suplementares temos que: 
A + C = 180o 
Devemos ressaltar que, para esta relação, os ângulos não são necessariamente agudos e obtusos, 
pois como caso especial, dois ângulos retos também são suplementares, uma vez que sua soma 
resulta em 180°. 
125
Ângulos Replementares 
Estes ângulos são aqueles que, quando somados, irão resultar em um ângulo giro, com valor igual a 
360°. 
 
Os ângulos replementares podem ser formados por combinações de ângulos agudos, obtusos, retos, 
e também por dois ângulos rasos, sempre seguindo a relação: 
A + D = 360o 
Como você já deve ter percebido, em todas as nossas ilustrações temos um ângulo agudo “A”. Vamos 
utilizar como exemplo o valor de A sendo 30°, assim vamos calcular o seu complementar, seu 
suplementar e seu replementar: 
A + B = 90o → B = 90 – A → B = 90 – 30 → B = 60o 
A + C = 180o → C = 180 – A → C = 180 – 30 → C = 150o 
A + D = 360o → D = 360 – A → D = 360 – 30 → D = 330o 
Rapidamente obtemos que o ângulo complementar de 30° é 60°, seu suplementar é 150° e seu 
replementar é 330°. Embora em todos os nossos exemplos tragam dois ângulos, isso não é condição 
necessária, sendo utilizado apenas de forma didática. Podem ser realizadas operações com qualquer 
quantidade de ângulos, desde que o seu resultado seja 90, 180 ou 360°. 
https://www.infoenem.com.br/angulos-complementares-suplementares-e-replementares/ 
126
U
N
ID
A
D
E
 5 FÓRMULAS PARA O CÁLCULO 
DE ÁREA
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
TEMAS
1. Retângulos e quadrados
2. Outras figuras geométricas 
Introdução
Nesta Unidade, você estudará como calcular a área de muitas figuras geométri-
cas, como o retângulo, o quadrado, o paralelogramo, o triângulo, entre outras, e vai 
compor e decompor as figuras para que consiga “construir” as fórmulas, em vez de 
simplesmente memorizá-las.
Você verá também que essas fórmulas são expressões simbólicas que permi-
tem determinar a medida da superfície de figuras planas e que elas são expressas 
na linguagem algébrica estudada na Unidade anterior.
T E M A 1Retângulos e quadrados
Neste Tema, você conhecerá as particularidades dos retângulos e dos qua-
drados, analisando suas propriedades, e aprenderá a calcular a área dessas 
figuras geométricas.
Pense na atividade de profissionais como empacotador, costureiro, pintor, 
instalador de tacos ou carpetes e agricultor.
©
 Jo
ã
o
 P
ru
d
e
n
te
/P
u
ls
a
r 
Im
a
g
e
n
s
©
 Ia
ra
 M
o
rs
e
ll
i/
A
b
ra
fa
ti
©
 D
ie
g
o
 C
e
rv
o
/1
2
3
R
F
00_Book Mat_VOL 3.indb 119 04/08/14 11:25
127
120 UNIDADE 5
Será que é importante para esses trabalhos saber calcular a área de figuras 
planas? Em que isso ajudaria? O que faz parte dessas atividades e que se asse-
melha às figuras planas citadas anteriormente?
ATIVIDADE 1 Retângulos por todos os lados
 1 Você vive em um mundo em que a forma retangular está presente em inú-
meras situações. Escreva nas linhas abaixo tudo o que você sabe sobre retân-
gulos, descrevendo suas características principais, seus elementos e suas 
propriedades geométricas.
 2 Compare um quadrado com um retângulo qualquer. Descubra semelhanças e 
diferenças em relação aos lados e aos ângulos dessas figuras. Registre-as abaixo.
 O que é um retângulo?
Retângulo é um quadrilátero que tem todos os ângulos internos com medi-
das iguais.
Veja outras propriedades do retângulo:
Todos os 
ângulos 
internos são 
retos.
Os lados são 
paralelos 
dois a dois.
Os lados 
paralelos têm 
medidas iguais.
Lados não 
paralelos são 
perpendicula-
res entre si.
00_Book Mat_VOL 3.indb 120 01/08/14 08:57
128
121UNIDADE 5
 Área do retângulo
O retângulo da figura a seguir, de base b = 8 e altura h = 3, pode ser decom-
posto em 24 quadradinhos 1 × 1 (“um por um”).
8
3
©
 R
2
 E
d
it
o
ri
a
l
Tomando o quadradinho 1 × 1 como unidade de área, diz-se que a área da figura 
é o número que indica quantos desses quadradinhos cabem no retângulo dado.
Na maioria dos livros de Matemática, a letra h é utilizada para indicar a altura de uma figura 
geométrica. Isso acontece porque os antigos livros de Matemática eram, em grande parte, tradu-
ções de livros originalmente escritos em inglês, e a letra h é a inicial da palavra height, que, em 
inglês, significa “altura”.
©
 R
2
 E
d
it
o
ri
a
l
Veja que cabem 24 quadradinhos 1 × 1 no retângulo dado.
Nesse caso, A = 8 · 3 = 24.
Se a unidade de área é um quadrado com:
1 cm de lado, a área do retângulo é igual a 24 cm2;
1 m de lado, a área do retângulo é igual a 24 m2;
1 km de lado, a área do retângulo é igual a 24 km2.
00_Book Mat_VOL 3.indb 121 01/08/14 08:57
129
122 UNIDADE 5
Acompanhe como calcular a área de um retângulo em que um dos lados não é 
um número inteiro.
Considere, por exemplo, um 
retângulo com as seguintes dimen-
sões:
base: b = 7,5
altura: h = 4
Lembre-se de que, para encontrar a área, é preciso determinar quantos quadra-
dinhos 1 × 1 cabem nesse retângulo.
Observe que a área azul mede 4 · 7 = 28 e que essa parte dá para cobrir quase 
todo o retângulo, exceto a faixa laranja à direita.
Mas veja que, dividindo ao meio um quadradinho 1 × 1, o resultado são dois 
retângulos menores, de 1 × 0,5.
7
7,5
4
©
 R
2
 E
d
it
o
ri
a
l
2 × 1 = 4 × 0,5 = 2
4 × 0,52 × 1
©
 R
2
 E
d
it
o
ri
a
l
São necessários 28 + 2 = 30 quadradinhos para cobrir todo o retângulo.
Área de um retângulo de base 7,5 e altura 4:
A = 4 · (7,5) = 4 · 7 + 
1
____
2
= 4 · 7 + 4 · 1____
2
= 28 + 2 = 30
De modo geral, a área de um retângulo, em que são dadas base (b) e altura (h), 
é obtida pela fórmula:
A = b · h
00_Book Mat_VOL 3.indb 122 01/08/14 08:57
130
123UNIDADE 5
 O que é um quadrado?
O quadrado é um quadrilátero especial. Como o quadrado sempre tem todos os 
ângulos retos, diz-se que todo quadrado é um retângulo especial.
Então, pode-se dizer que tudo o que vale para retângulos também vale para 
quadrados, como o cálculo da área.
No caso do quadrado, a base e a altura são de mesma medida, ou seja, os lados 
de um quadrado medem ℓ.
Como a unidade de medida do lado do quadrado está em cm, a área será 
dada em cm2.
A = 36 cm2
A área de um quadrado cujo lado mede 2,5 m é:
A = (2,5)2 = 6,25
Como a unidade de medida do lado do quadrado está em m, a área será 
dada em m2.
A = 6,25 m2
ATIVIDADE 2 Áreas de retângulos e quadrados
Resolva os exercícios.
 1 Calcule a área dos retângulos com as seguintes medidas:
a) 5 cm de comprimento e 12 cm de largura.
A fórmula da área do quadrado é:
A = ℓ · ℓ = ℓ2
Exemplos:
A área de um quadrado cujo lado mede 6 cm é: 
A = 62 = 36.
©
 R
2
 E
d
it
o
ri
a
l
00_Book Mat_VOL 3.indb 123 01/08/14 08:57
131
124 UNIDADE 5
b) 7 por 13.
c) base = 5,5 cm; altura = 6 cm.
d) 9 × 12.
e) 15 na vertical e 12 na horizontal.
 2 Quantos metros quadrados de carpete são necessáriospara cobrir uma sala 
retangular que tem 5,5 m de comprimento por 8 m de largura?
 3 Calcule quantos metros quadrados de lona são necessários para forrar um 
tablado, sabendo que seu formato é um quadrado de 6,10 m de lado.
00_Book Mat_VOL 3.indb 124 01/08/14 08:57
132
125UNIDADE 5
 4 Determine quantos metros quadrados de grama são necessários para cobrir um 
campo de futebol:
a) de 110 m de comprimento por 75 m de largura.
b) de 100 m de comprimento por 64 m de largura.
 5 Use a régua para medir as dimensões de um papel sulfite.
a) Calcule o perímetro da folha.
b) Calcule a área da folha.
 6 Determine o valor da altura de um retângulo cuja base mede 3,6 m e cuja 
área é 54 m2. 
Lembre-se de que você viu, na Unidade 2, que 
perímetro é a medida do contorno de dada figura 
ou superfície.
DICA
Use o raciocínio inverso.
00_Book Mat_VOL 3.indb 125 01/08/14 08:57
133
126 UNIDADE 5
Falar em área e metros quadrados pode levar a pensar em moradia e no acesso 
a ela. Há programas habitacionais em todas as esferas de governo – municipal, 
estadual e federal –, voltados para a diminuição do déficit habitacional.
Existem muitas tipologias de conjuntos habitacionais, tanto de casas como de 
prédios. Essas tipologias estão relacionadas à forma de distribuição, ao tamanho e 
à quantidade de unidades habitacionais.
Cada programa tem seu critério de seleção dos moradores, mas a maioria se baseia 
na renda da família, procurando priorizar quem não tem acesso a esse tipo de bem.
Não há um padrão único de tamanho, porém esse tipo de política teve avanços 
e busca dar referências de construções com acessibilidade para pessoas com defi-
ciência e idosos.
Você pode se informar sobre esse tipo de moradia em seu município.
Milton precisa calcular a área do campo de futebol para saber o quanto de grama precisará 
comprar. Se o campo tem 110 m de comprimento e 85 m de largura, a sua área é igual a:
a) 185 m2 b) 195 m2 c) 8.350 m2 d) 9.350 m2
Saresp 2007. Disponível em: <http://saresp.fde.sp.gov.br/2007/Arquivos/Provas%202007/
Matemática/6ª%20série%20EF/2_Tarde/Prova-MAT-6EF-Tarde.pdf>. Acesso em: 17 abr. 2014.
Atividade 1 – Retângulos por todos os lados
 1 Apesar de essa resposta ser pessoal, é importante você ter percebido que: o retângulo é um 
quadrilátero (tem quatro lados); todos os ângulos têm a mesma medida: 90°, também chamados 
de ângulos “retos”; seus lados são paralelos dois a dois, motivo pelo qual o retângulo é um caso 
particular de paralelogramo; os lados opostos têm a mesma medida; e as duas diagonais também 
têm a mesma medida.
HORA DA CHECAGEM
00_Book Mat_VOL 3.indb 126 04/08/14 11:25
134
127UNIDADE 5
 2 Um quadrado, assim como um retângulo, possui quatro lados, quatro ângulos iguais, ou retos, 
seus lados são paralelos dois a dois e suas diagonais têm a mesma medida. A diferença entre um 
quadrado e um retângulo é que o quadrado tem todos os lados de mesma medida, o que o torna 
um retângulo “especial”.
Atividade 2 – Áreas de retângulos e quadrados
 1 
a) 5 · 12 = 60 cm2 c) 5,5 · 6 = 33 cm2 e) 15 · 12 = 180
b) 7 · 13 = 91 d) 9 · 12 = 108 
 2 5,5 · 8 = 44 m2
São necessários 44 m2 de carpete.
 4 
a) 110 · 75 = 8.250 m2
 5 
a) Como um papel sulfite tem, aproximadamente, 21,1 cm de largura e 29,6 de comprimento, para 
saber quanto mede o perímetro basta calcular 21,1 + 29,6 + 21,1 + 29,6 = 101,4 cm.
b) O papel sulfite tem a forma de um retângulo, portanto, para saber sua área, é preciso calcular 
21,1 ∙ 29,6 = 624,56 cm2.
 6 54 ÷ 3,6 = 15 m
Desafio
Alternativa correta: d. 110 ∙ 85 = 9.350 m2.
 3 6,10 · 6,10 = 37,21 m2
São necessários 37,21 m2 de lona.
b) 100 · 64 = 6.400 m2
H
O
R
A
 D
A
 C
H
E
C
A
G
E
M
00_Book Mat_VOL 3.indb 127 04/08/14 11:25
135
Unidades de Medida 
Unidades de medida são grandezas que compõem o sistema métrico decimal. Hoje, vamos 
rever algumas unidades de medida mais importantes para resolver problemas matemáticos. 
Além disso, vamos mostrar as conversões e, ainda, vamos resolver alguns exercícios para 
facilitar o entendimento por parte do aluno. 
Às vezes, ao tentar resolver um exercício torna-se necessário por parte do aluno fazer uma 
conversão de uma unidade de medida para outra. Vamos mostrar os símbolos de cada uma, 
adotado por convenção no Sistema Internacional (SI). 
 
Medidas de comprimento 
Comprimento é, talvez, a medida mais utilizada no cotidiano. Por isso, acredito que todos 
devem ter facilidades para entender essa grandeza e sua unidade de medida. 
Medidas de Comprimento 
136
Perceba pela imagem que para uma conversão para a direita é o mesmo que multiplicar por 
10. Enquanto que para a esquerda é dividir por 10. 
Dessa forma, podemos entender que para multiplicar por 10, basta deslocar a vírgula para a 
direita uma vez, que é a quantidade de zeros. Para dividir basta deslocar a vírgula para a 
esquerda uma vez, a quantidade de zeros. 
Então se quisermos converter metro (m) em milímetro (mm), multiplicamos por 1000 (10 x 10 
x 10), que é o mesmo que deslocar a vírgula três casas à direita. 1 metro tem 1000 milímetros. 
Se quisermos converter metros (m) em kilômetros (km), temos que dividir por 1000 (10 ÷ 10 ÷ 
10), que é o mesmo que deslocar a vírgula três casas à esquerda. 1 metro equivale a 0,001 km. 
A unidade de medida padrão: metro (m) 
 Quilômetros → 1 km = 1000 m 
 Hectômetro → 1 hm = 100 m 
 Decâmetro → 1 dam = 10 m 
 Metro → 1 m = 1 m 
 Decímetro → 1 dm = 0,1 m 
 Centímetro → 1 cm = 0,01 m 
 Milímetro → 1 mm = 0,001 m 
Exemplos: 
 Converter 10 dam em cm: 
o dam → m → dm → cm 
o 10 dam = 10 m = 1.000 dm = 10.000 cm 
É o mesmo que deslocar a vírgula para a direita em três casas: 
o 10 dam = 10.000 cm 
 Converter 320 dm em km: 
o km ← hm ← dam ← m ← dm 
É o mesmo que deslocar a vírgula quatro casas à esquerda. 
o 320 dm = 0,0320 km 
137
Medidas de capacidade 
A unidade padrão para essa grandeza é o litro (l). 
 Quilolitro → 1 kl = 1000 l 
 Hectolitro → 1 hl = 100 l 
 Decalitro → 1 dal = 10 l 
 Litro → 1 l = 1 l 
 Decilitro → 1 dl = 0,1 l 
 Centilitro → 1 cl = 0,01 l 
 Mililitro → 1 ml = 0,001 l 
Exemplo: 
 Converter 20 ml em dl 
o dl ← cl ← ml 
Basta deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda. 
o 20 ml = 0,20 dl 
Pela imagem abaixo veja que converter é o mesmo que dividir por 10 para a esquerda ou 
multiplicar por 10 para a direita. Também pode se entender que essa multiplicação ou divisão é 
o mesmo que deslocar a vírgula uma vez de uma unidade para a outra. 
Medidas de capacidade 
 
 
138
Medidas de massa 
A grandeza massa não é muito usual no dia a dia, mas muito comum quando nos deparamos 
com problemas de física. Unidade padrão: quilograma (kg) 
 Quilograma → 1 kg = 1000 g 
 Hectograma → 1 hg = 100 g 
 Decagrama → 1 dag = 10 g 
 Grama → 1 g = 1 g 
 Decigrama → 1 dg = 0,1 g 
 Centigrama → 1 cg = 0,01 g 
 Miligrama → 1 mg = 0,001 g 
Dizemos que 1.000 kg corresponde a 1 tonelada 
o 1 t = 1.000 kg 
Exemplos: 
 Converter 32 g em hg: 
o hg ← dag ← g 
Deveremos deslocar a vírgula duas casas decimais para a esquerda. 
o 32 g = 0,32 hg 
 Converter 782 kg em toneladas: 
Uma tonelada (1t) equivale a 1.000 kg. Assim, devemos dividir a quantidade de kg por 1.000, 
que é o mesmo que deslocar a vírgula três casas decimais à esquerda. 
Logo, 782 kg = 0,782t 
Estude a imagem para entender melhor. 
139
Medidas de Massa 
 
Medidas de superfície ou área 
Medidas de superfície ou área também estão presentes no nosso dia a dia. A unidade de 
medida padrão é: metro quadrado (m²) 
 1 km² → 1.000.000 m² = 106 m² 
 1 hm² → 10.000 m² = 104 m² 
 1 dam² → 100 m² = 102 m² 
 m² → 1 m² = 1 m² 
 1 dm² → 0,01 m² = 10−2 m² 
 1 cm² → 0,0001 m² = 10−4 m² 
 1 mm² → 0,000001 m² = 10−6 m² 
A imagem abaixo pode auxiliar no entendimento, da mesma maneira que nas ‘medidas de 
comprimento’. 
 
Medidas de Área 
 
140
Medidas agráriasOs fazendeiros devem conhecer essa unidade de medida muito bem e, aqui, você também vai 
entender. A unidade de medida padrão é: are (a) 
 1 a = 1 dam² 
 Hectare (ha) = 1 hm² (100 m x 100 m) ou (10m x 1000m) ou (1m x 10.000m) igual a 
10.000m² 
 Centiare (ca) = 1 m² 
Exemplos: 
o Converter 3,2 hm² em m²: 
 hm² → dam² → m² 
 3,2 hm² = 320 dam² = 32.000 m² 
É o mesmo que deslocar a vírgula quatro casas decimais à direita, pois as unidades são 
quadradas. 
o Converter 48,6 dm² em m²: 
 m² ← dm² 
Deveremos deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda. 
 48,6 dm² = 0,486 m² 
o Converter 21,7 ha (hectare) em km²: 
 21,7 ha = 21,7 hm² 
 km² ← hm² 
Deveremos deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda. 
 21,7 ha = 21,7 hm² = 0,217 km² 
 
 
 
141
Medidas de volume 
Quem nunca quis saber quanto cabe em uma caixa d’água, por exemplo. Para essa grandeza 
utilizamos a unidade de media padrão: metro cúbico (m³) 
 1 km³ = 109 m³ 
 1 hm³ = 106 m³ 
 1 dam³ = 103 m³ 
 m³ → 1 m³ = 1 m³ 
 1 dm³ = 10−3 m³ (equivale a 1 litro) 
 1 cm³ = 10−6 m³ 
 1 mm³ = 10−9 m³ 
A imagem abaixo pode auxiliar no entendimento, da mesma maneira que nas ‘medidas de 
comprimento’. 
Exemplos: 
 Converta 2.578 mm³ em dm³: 
o dm³ ← cm³ ← mm³ 
o 2.578 mm³ = 2,578 cm³ = 0,002.578 dm³ 
Na prática, é o mesmo que deslocar a vírgula três casas decimais para esquerda. 
 Converta 28,3 m³ em dm³: 
o m³ → dm³ 
Deveremos deslocar a vírgula três casas decimais para a direita. 
o 28,3 m³ = 28.300 dm³ 
Medidas de Volume 
142
Medidas de tempo 
A unidade de medida de tempo é uma das mais importantes utilizadas na física e também no 
nosso dia a dia. No sistema internacional de medidas (SI), a medida de tempo é o segundo (s). 
Dessa forma em muitos casos o aluno terá que saber converter de horas para segundos, de 
minutos para segundos ou vice-versa. 
1 hora (h) = 3600 segundos (s) 
1 minuto (min) = 60 segundos (s) 
1 hora (h) = 60 minutos (min) 
1 dia = 24 horas (h) 
Conversão de medidas de tempo 
Pela imagem percebemos que para converter de horas para minutos, horas para segundos e ao 
contrário também, basta multiplicar ou dividir por 60. 
Exemplos: 
 Converter 3 horas para segundos 
o 3 x 60 x 60 = 10800 segundos 
 Converter 3 horas para minutos 
o 3 x 60 = 180 minutos 
 Converter 3600 segundas para horas 
o 10800 ÷ 60 ÷ 60 = 3 horas 
 Converter 180 minutos para horas 
o 180 ÷ 60 = 3 horas 
143
Lista de Exercícios de Conversão de Unidades 
 
1) Transforme: 
a) 2 km em m 
b) 1,5 m em mm 
c) 5,8 km em cm 
d) 0,4 m em mm 
e) 27 mm em cm 
f) 126 mm em m 
g) 12 m em km 
 
2) Agora converta as unidades de área: 
a) 8,37 dm2 em mm2 
b) 3,1416 m2 em cm2 
c) 2,14 m2 em mm2 
d) 125,8 m² em km² 
e) 12,9 km² em m² 
f) 15,3 m² em mm² 
 
3) Depois converta as de volume: 
a) 8,132 km3 em hm3 
b) 180 hm3 em km³ 
c) 1 m3 em mm3 
d) 5 cm³ em m³ 
e) 78,5 m³ em km³ 
f) 12 m³ em cm³ 
g) 139 mm³ em m³ 
 
4) Converta em litros: 
a) 3,5 dm³ 
b) 5 m³ 
c) 3400000 mm³ 
d) 28 cm³ 
e) 4,3 km³ 
f) 13 dam³ 
 
5) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 
3540dm3 + 340.000cm3 = 
 
6) Um aquário tem o formato de um paralelepípedo re tangular, de largura 50 cm, 
comprimento 32 cm e altura 25 cm. Para encher 3/4 d ele com água, quantos litros de 
água serão usados? 
a) 0,03 l 
b) 0,3 l 
c) 3 l 
d) 30 l 
7) Converta: 
a) 45 km/h em m/s 
b) 100 m/s em km/h 
c) 600 W em HP 
d) 35 HP em W 
e) 35 HP em Btu/h 
f) 500 mmHg em kgf/cm2 
g) 1000 pol em km 
h) 3,0 × 108 m/s em 
UA/min 
i) 2000 g/cm3 em kg/m3 
 
 
8) A constante de gravitação universal em unidades do SI é 6,67 × 10 -11 N.m2/kg2. 
Expresse esse valor em dyn.cm 2/g2. 
144
Dados: 
1 HP = 745,7 watt = 745,7 W 
1 HP.h = 2544,4337 Btu 
1 dina (dyn) = 1 × 10-5 N 
1 unidade astronômica (UA) = 1,5 × 108 km 
1 kgf = 9,8 newtons (N) 
1 Pascal (Pa) = 1N/m2 = 760 mmHg 
1 metro (m) = 39,37 polegadas (pol) = 39,37 inch (in) 
 
 
 
Gabarito 
 
1 - a) 2000 m ; b) 1500 mm ; c) 580000 cm ; d) 400 mm ; e) 2,7 cm ; f) 0,126 m; g) 0,012 km 
2 - a) 83700 mm2 ; b) 31416 cm2 ; c) 2140000 mm2 ; d) 0,0001258 km2 ; e) 12900000 m2 ; f) 15300000 mm2 
3 - a) 8132 hm3 ; b) 0,180 km3 ; c) 1 × 109 mm3 ; d) 5 × 10-6 m3 ; e) 78,5 × 10-9 km3 ; f) 12 × 106 cm3 ; 
g) 139 × 10-9 m3 
4 - a) 3,5 ℓ ; b) 5000 ℓ ; c) 3,4 ℓ ; d) 0,028 ℓ ; e) 4,3 × 1012 ℓ ; f) 13000000 ℓ
5 - 3,88 m3 
6 - Item (d) 
7 - a) 12,5 m/s ; b) 360 km/h ; c) 0,8 HP ; d) 26099,5 W ; e) 89055,18 Btu/h ; f) 0,68 kgf/cm2 ; g) 0,0254 km ; 
h) 0,12 UA/min ; i) 2000000 kg/cm3 
8 - 6,67 × 10-8 dyn.cm2/g2
Prefixo Símbolo Potência de 10 Decimal 
Exa E 1018 1.000.000.000.000.000.000,0 
Peta P 1015 1.000.000.000.000.000,0 
Tera T 1012 1.000.000.000.000,0 
Giga G 109 1.000.000.000,0 
Mega M 106 1.000.000,0 
Kilo k 103 1.000,0 
Hecto* h 102 100,0 
Deca* da 101 10,0 
Unid. primária ---- 100 1,0 
Deci* d 10-1 0,1 
Centi c 10-2 0,01 
Mili m 10-3 0,001 
Micro µ 10-6 0,000001 
Nano n 10-9 0,000000001 
Pico p 10-12 0,000000000001 
Femto f 10-15 0,000000000000001 
Atto a 10-18 0,000000000000000001 
* Estes três prefixos não são usados tanto quanto os outros acima e abaixo deles. O uso mostrou que fatores que são potências de 10 
com expoentes que são simplesmente múltiplos de 3 fornecem unidades suficientes para um trabalho conveniente. 
145
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Matemática : caderno do estudante. São Paulo: Secretaria de Desenvolvimento Econômico, 
Ciência, Tecnologia e Inovação (SDECTI): Secretaria da Educação (SEE), 2014. 
 il. - - (Educação de Jovens e Adultos (EJA) : Mundo do Trabalho modalidade 
semipresencial, v. 2) 
 Conteúdo: v. 2. 7o ano do Ensino Fundamental Anos Finais. 
 ISBN: 978-85-8312-049-0 (Impresso) 
 978-85-8312-014-8 (Digital) 
 1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Educação de Jovens e Adultos (EJA) – Ensino 
Fundamental Anos Finais. 3. Modalidade Semipresencial. I. Secretaria de Desenvolvimento 
Econômico, Ciência, Tecnologia e Inovação. II. Secretaria da Educação. III. Título. 
 
Matemática : caderno do estudante. São Paulo: Secretaria de Desenvolvimento Econômico, 
Ciência, Tecnologia e Inovação (SDECTI): Secretaria da Educação (SEE), 2014. 
 il. - - (Educação de Jovens e Adultos (EJA) : Mundo do Trabalho modalidade 
semipresencial, v. 1) 
 Conteúdo: v. 1. 6o ano do Ensino Fundamental Anos Finais. 
 ISBN: 978-85-8312-048-3 (Impresso) 
 978-85-8312-013-1 (Digital) 
 1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Educação de Jovens e Adultos (EJA) – Ensino 
Fundamental Anos Finais. 3. Modalidade Semipresencial. I. Secretaria de 
Desenvolvimento Econômico, Ciência, Tecnologia e Inovação. II. Secretaria da Educação. 
III. Título. 
 
Conversão de Unidades – Disponível em: https://matematicabasica.net/unidades-de-
medida/. Acesso em: 29 Jul. 2019. 
 
 
146
Exercícios sobre conversão de unidades – Disponível em: 
http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17601/material/Lista
%20de%20exerc%C3%ADcios%20-%20Convers%C3%A3o%20de%20medidas.pdf. Acesso em 
29 jul.2019. 
 
Matemática : caderno do estudante. São Paulo: Secretaria de Desenvolvimento Econômico, 
Ciência, Tecnologia e Inovação (SDECTI): Secretaria da Educação (SEE), 2014. 
 il. - - (Educação de Jovens e Adultos (EJA) : Mundo do Trabalho modalidade 
semipresencial, v. 4) 
 Conteúdo: v. 4. 9o ano do Ensino Fundamental Anos Finais. 
 ISBN: 978-85-8312-051-3 (Impresso) 
 978-85-8312-016-2 (Digital) 
 1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Educação de Jovens e Adultos (EJA) – Ensino 
Fundamental Anos Finais. 3. Modalidade Semipresencial. I. Secretaria de 
Desenvolvimento Econômico, Ciência, Tecnologia e Inovação. II. Secretaria da Educação. 
III. Título. 
 
Matemática : caderno do estudante.São Paulo: Secretaria de Desenvolvimento Econômico, 
Ciência, Tecnologia e Inovação (SDECTI): Secretaria da Educação (SEE), 2015. 
 il. - - (Educação de Jovens e Adultos (EJA) : Mundo do Trabalho modalidade 
semipresencial, v. 2) 
 Conteúdo: v. 2. 2ª série do Ensino Médio. 
 ISBN: 978-85-8312-121-3 (Impresso) 
 978-85-8312-099-5 (Digital) 
 1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Educação de Jovens e Adultos (EJA) – Ensino Médio. 
3. Modalidade Semipresencial. I. Secretaria de Desenvolvimento Econômico, Ciência, 
Tecnologia e Inovação. II. Secretaria da Educação. III. Título. 
 
 
 
 
147
Matemática : caderno do estudante. São Paulo: Secretaria de Desenvolvimento Econômico, 
Ciência, Tecnologia e Inovação (SDECTI): Secretaria da Educação (SEE), 2014. 
 il. - - (Educação de Jovens e Adultos (EJA) : Mundo do Trabalho modalidade 
semipresencial, v. 3) 
 Conteúdo: v. 3. 8º ano do Ensino Fundamental Anos Finais. 
 ISBN: 978-85-8312-050-6 (Impresso) 
 978-85-8312-015-5 (Digital) 
 1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Educação de Jovens e Adultos (EJA) – Ensino 
Fundamental Anos Finais. 3. Modalidade Semipresencial. I. Secretaria de 
Desenvolvimento Econômico, Ciência, Tecnologia e Inovação. II. Secretaria da Educação. 
III. Título. 
 
Ângulos complementares, suplementares e replementares – Disponível em: 
https://www.infoenem.com.br/angulos-complementares-suplementares-e-replementares/. 
Acesso em 29 jul.2019. 
 
Teoria dos conjuntos – Disponível em: http://www.simonsen.br/eja/arquivos-pdf/mat-
und1.pdf. Acesso em 29 jul. 2019. 
 
Hora da revisão – dízimas periódicas – Disponível em: 
http://www.mcarrard.com.br/resumos/fracao_geratriz.pdf. Acesso em 29 jul. 2019. 
 
Expressões numéricas – Disponível em: 
http://files.comunidades.net/profjosecarlos/EXPRESSOES_NUMERICAS.pdf. Acesso em 29 
jul. 2019. 
 
 
148
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	1º Unidade
	Conjuntos
	Relações e Operações
	Conjuntos Numéricos
	Ângulos Complementares
	Ângulos Suplementares
	Ângulos Replementares
	Unidades de Medida
	Medidas de comprimento
	Medidas de capacidade
	Medidas de massa
	Medidas de superfície ou área
	A imagem abaixo pode auxiliar no entendimento, da mesma maneira que nas ‘medidas de comprimento’.
	Medidas agrárias
	Medidas de volume
	A imagem abaixo pode auxiliar no entendimento, da mesma maneira que nas ‘medidas de comprimento’. (1)
	Medidas de tempo