Matrizes e Determinate - IME

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Matrizes e Determinantes 
 
1. (IME 1998-1999) Determine uma matriz não singular P que satisfaça à equação matricial P-1 A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−10
06
, 
onde A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
45
21
. 
 
 
2. (IME 2002-2003) Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se 
que A3 = k A, prove que a matriz A + I é invertível, onde I é a matriz identidade n x n. 
 
 
3. (IME 1990-1991) Determine todas as matrizes X, reais, de dimensões 2 x 2, tais que AX = XA, para toda matriz A real 2 x 2. 
 
 
4. (IME 1987-1988) Sejam A, B e C matrizes 5 x 5, com elementos reais. Denotando-se por At a matriz transposta de A, 
a) Mostre que se AAt = 0, então A = 0 
b) Mostre que se BAAt = CAAt então BA = CA. 
 
 
5. (IME 2006-2007) Considere as matrizes A=
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
4
3
4
1
4
1
4
3
e B= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2
10
01
, e seja P uma matriz inversível tal que B= P-1 AP. 
Sendo n um número natural, calcule o determinante da matriz An. 
 
 
6. (IME 2001-2002) Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando a sua transposta é igual a sua inversa. 
Considerando esta definição, determine se a matriz [R], abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo-se que n é um número inteiro e 
α é um ângulo qualquer. Justifique a sua resposta. 
[R] = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
100
0)ncos()nsen(
0)nsen()ncos(
αα
αα
 
 
 
7. (IME 1999-2000) Calcule o determinante: 
 
D = 
13111111
11111111
1191111
1117111
1111511
1111131
1111111
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. (IME 1992-1993) Determine o valor de x para que: 
 
0
2x104x
4x40x
1002xx
642x
2 =
−
+ 
 
9. (IME 1989-1990) Calcule o determinante da matriz n x n que possui zeros na diagonal principal e todos os outros 
elementos iguais a 1. 
 
10. (IME 2005-2006) Seja Dn = det(An), onde 
 
An = 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−−
−
21...0000
12...0000
.....................
00...1210
00...0121
00...0012
 
 
Determine Dn em função de n(n ∈, n ≥ 1). 
 
11. (IME 2003-2004) Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. 
 
)1(log)1(log)1(log)1(log
1100
0110
0011
2222 −−+−
−
−
−
nnnn
 
 
12. (IME 1993-1994) Um aluno, ao inverter a matriz 
 [ ]ija
fe4
dc0
ba1
A =
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
= , 3j,i1 ≤≤ cometeu um engano, e considerou o elemento 13a igual a 3, de forma que acabou 
invertendo a matriz 
[ ]ijb
fe3
dc0
ba1
B =
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
= .Com esse engano o aluno encontrou 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=−
2/102/3
113
2/102/5
B 1 . 
Determinar 1A− . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. (IME 2008-2009) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, definida da seguinte forma: 
• os elementos da linha i da coluna n são da forma 
 ain = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+− 1in
n
; 
• os elementos imediatamente abaixo da diagonal principal são unitários, isto é, aij = 1 para i – j = 1; 
• todos os demais elementos são nulos. 
Sendo I a matriz identidade de ordem n e det(M) o determinante de uma matriz M, encontre as raízes da equação det(x . I – 
A) = 0. 
 
14. (IME 2004-2005) Calcule o determinante da matriz n x n em função de b, onde b é um número real tal que b2 ≠ 1. 
 
 
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
+
+
1bb....0000
b1b....0000
.......................
....1bb00
00....b1bb0
00....0b1bb
00....00b1b
2
2
2
2
2
2
 
 
15. (IME 1991-1992) Calcule o valor do determinante abaixo: 
Dn = 
xmmmmm
m..........mxmmm
m..........mmxmm
m..........mmmxm
+
+
+
+
MOMMMM
MOMMMM
 
 
16. (IME 1988-1989) Calcule o determinante da matriz 
 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+++
+++
+++
+++
2222
2222
2222
2222
)3d()2d()1d(d
)3c()2c()1c(c
)3b()2b()1b(b
)3a()2a()1a(a
 
 
17. (IME 1986-1987) Sejam 
A = 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
hg
fe
dc
ba
 e B = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
qpon
mlji
 
 
Duas matrizes de elementos inteiros.Verifique se a matriz AB é inversível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. (IME 1983-1984) Seja D o determinante da matrix A = [aij ] de ordem n, tal que aij = i – j . Mostre que: 
 
D = (–1)n–1 : (n – 1):2n–2 
 
19. (IME 1982-1983) Seja um determinante definido por ∆1 = ⎟ 1 ⎟ e 
∆n = 
21...0000
00...2100
00...0210
00...0021
11...1111
−
−
−
−
 
 
a) Pede-se a fórmula de recorrência (isto é, a relação entre ∆n e ∆n–1). 
b) Calcule a expressão de ∆n em função de n. 
 
Gabarito: 
1- 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
4
6
5
2
6
1
 
2- 
3- C,I2 ∈λ∀λ 
4- 
5- *
n
INn,
2
1 ∈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
6- 
7- 46.080 
8- ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −=
7
4,0,2S 
9- 
10- n+1 
11- { }3S = 
12- 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
104
218
105
 
13- { }1S −= 
14- 
1b
1b
2
2n2
−
−+ 
15- 1nn xmnx −+ 
16- 0 
17- 
18- 
19- 
12)b
2)a
n
n
1n
1n
n
−=∆
∆+=∆ −−