EO - Matemática_VOLUME6

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Caro aluno 
O Hexag Medicina é, desde 2010, referência na preparação pré-vestibular de candidatos às 
melhores universidades do Brasil.
Ao elaborar o seu Sistema de Ensino, o Hexag Medicina considerou como principal diferen-
cial em relação aos concorrentes sua exclusiva metodologia em período integral, com aulas 
e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado.
Você está recebendo o livro Estudo Orientado. Com o objetivo de verificar se você aprendeu 
os conteúdos estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios:
• Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixa-
ção da matéria dada em aula.
• Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio,
buscando a consolidação do aprendizado.
• Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade.
• Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais ves-
tibulares do Brasil.
• Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano,
preparando o aluno para esse tipo de exame.
• Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios de múltipla escolha das universi-
dades públicas de São Paulo.
• Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios dissertativos da segunda fase
das universidades públicas de São Paulo
• Uerj (exame de qualificação): exercícios de múltipla escolha que possibilitam a consolida-
ção do aprendizado para o vestibular da Uerj.
• Uerj (exame discursivo): exercícios dissertativos que possibilitam a consolidação do apren-
dizado para o vestibular da Uerj.
Visando a um melhor planejamento dos seus estudos, os livros de Estudo Orientado rece-
berão o encarte Guia de Códigos Hierárquicos, que mostra, com prático e rápido manuseio, 
a que conteúdo do livro teórico corresponde cada questão. Esse formato vai auxiliá-lo a 
diagnosticar em quais assuntos você encontra mais dificuldade. Essa é uma inovação do 
material didático 2020. Sempre moderno e completo, trata-se de um grande aliado para seu 
sucesso nos vestibulares.
Bons estudos!
Herlan Fellini
2
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS
Aulas 45 e 46: Números complexos: representação geométrica e módulo 4
Aulas 47 e 48: Números complexos: forma trigonométrica 9
Aulas 49 e 50: Polinômios 15
Aulas 51 e 52: Operações com polinômios 21
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
Aulas 45 e 46: Matrizes e operações 28
Aulas 47 e 48: Matriz inversa e equações matriciais 38
Aulas 49 e 50: Determinantes 42
Aulas 51 e 52: Sistemas lineares 47
GEOMETRIA ANALÍTICA
Aulas 45 e 46: Distância de ponto à reta, ângulos e áreas 58
Aulas 47 e 48: Circunferência: equações reduzida e normal 65
Aulas 49 e 50: Circunferência: posições relativas 73
Aulas 51 e 52: Secções cônicas: elipse 79
3
NÚMEROS COMPLEXOS 
E POLINÔMIOS
4
 Números complexos: represeNtação 
geométrica e módulo
AULAS 
45 e 46
E.O. AprEndizAgEm
1. (UEL) A forma algébrica do número complexo 
z = (1 + 3i)/(2 – i) é: 
a) 1/2 – 3i. 
b) 5/3 + (7i/3). 
c) –1/5 + (7i/5). 
d) –1/5 + 7i. 
e) 3/5 + (4i/5). 
2. (FEI) Escrevendo o número complexo
z = 1 _____ 
1 – i
 + 1 _____ 
1 + i
 
na forma algébrica obtemos: 
a) 1 – i.
b) i – 1.
c) 1 + i.
d) i. 
e) 1. 
3. (PUC-RS) O número complexo a + bi, diferente de 
zero, está assinalado, no plano complexo, sobre o eixo 
real. É correto afirmar que seu conjugado está situado: 
a) sobre o eixo real. 
b) sobre o eixo imaginário. 
c) no primeiro quadrante. 
d) no segundo quadrante. 
e) no terceiro quadrante. 
4. (Espcex (Aman)) Seja o número complexo z = 
x + yi 
 ______ 
3 + 4i
 , 
com x e y reais e i2 = –1.
Se x2 + y2 = 20, então o módulo de z é igual a: 
a) 0. 
b) dXX 5 .
c) 2 
dXX 5 ____ 5 .
d) 4.
e) 10.
5. (Mackenzie) Se y = 2x, sendo x = 1+i _____ 
1–i
 e i = dXXX –1 , o valor 
de (x + y)2 é:
a) 9i. 
b) –9 + i. 
c) –9. 
d) 9. 
e) 9 – i. 
6. (UFSM) Os edifícios “verdes” têm sido uma nova ten-
dência na construção civil. Na execução da obra des-
ses prédios, há uma preocupação toda especial com o 
meio ambiente em que estão inseridos e com a correta 
utilização dos recursos naturais necessários ao seu fun-
cionamento, além da correta destinação dos resíduos 
gerados por essa utilização.
A demarcação do terreno onde será construído um 
edifício “verde” foi feita através dos pontos P1, P2, P3 
e P4, sendo o terreno delimitado pelas poligonais 

 P1P2 , 
 
—— P2P3 , 

 P3P4 e 

 P4P1 , medidas em metros. Sabendo que P1, 
P2, P3 e P4 representam, respectivamente, a imagem dos 
complexos z1 = 20 + 40i, z2 = –15 + 50i, z3 = –15 – 10i 
e z4 = 
1 ___ 16 z1 – 
5 __ 4 
 z3 , qual é a área, em m
2, desse terreno?
a) 1.595. 
b) 1.750. 
c) 1.795. 
d) 1.925. 
e) 2.100. 
7. (PUC-RS) Na figura abaixo, o ponto A é o afixo de um 
número complexo z no plano de Argand-Gauss.
Se a distância do ponto A até a origem O é 4, então a 
diferença entre z e o seu conjugado é igual a: 
a) –4 dXX 2 – 4 dXX 2 i.
b) –4 dXX 2 + 4 dXX 2 i.
c) –4 dXX 2 i.
d) 4 dXX 2 i.
e) 4 dXX 2 .
8. (UFRGS) O argumento do número complexo z é p __ 6 , e 
o seu módulo é 2.
Então, a forma algébrica de z é: 
a) –i.
b) i.
c) dXX 3 i.
d) dXX 3 – i.
e) dXX 3 + i. 
CompetênCia: 5 Habilidades: 20, 21 e 23
5
9. (UEPB) O módulo e o argumento do número comple-
xo z = (1 + i)(1 – i)2 são respectivamente: 
a) dXX 2 e 3p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
b) dXX 2 e p __ 4 + 2kp, k [ Z.
c) 2 dXX 2 e 3p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
d) 2 dXX 2 e 7p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
e) 2 dXX 2 e 5p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
10. (IFSP) Sendo i a unidade imaginária, considere os 
números complexos z = 1 + i ew = z2 − z. Um argumento 
de w é: 
a) p __ 3 .
b) p __ 2 .
c) 2p ___ 3 .
d) 3p ___ 4 .
e) 5p ___ 4 .
E.O. FixAçãO
1. (UFRGS) A forma a + bi de z = (1 + 2i )/(1 – i) é: 
a) 1/2 + 3/2i.
b) –1/2 + 3/2i.
c) –1/2 + 2/3i.
d) –1/2 – 2/3i.
e) 1/2 – 3/2i.
2. (Insper) Considere um número complexo z, de módu-
lo 10, tal que z = (K + i)2, em que K é um número real. A 
parte real desse número complexo é igual a: 
a) 5 dXX 3 .
b) 8.
c) 5 dXX 2 .
d) 6.
e) 5.
3. (UERN) Seja z = a + bi um número complexo, tal que 
4z – zi + 5 = –1 + 10i. Assim, o módulo do complexo z é: 
a) dXX 2 .
b) 2 dXX 2 .
c) 3 dXX 2 .
d) 4 dXX 2 .
4. O módulo do número complexo z = i2014 – i1987 é igual a:
a) dXX 2 .
b) 0.
c) dXX 3 .
d) 1.
5. (UEL) Seja z um número complexo de módulo 2 e ar-
gumento principal 120°. O conjugado de z é: 
a) 2 – 2i dXX 3 .
b) 2 + 2i dXX 3 .
c) –1 – i dXX 3 .
d) –1 + i dXX 3 .
e) 1 + i dXX 3 .
6. (PUC-RS) A área da figura representada no plano de 
Argand Gauss pelo conjunto de pontos {z [ C: |z| ≤ 1} é: 
a) 1 __ 2 .
b) 1.
c) p __ 2 .
d) p.
e) 2p.
7. (UECE) Se x e y são números reais não nulos, pode-se 
afirmar corretamente que o módulo do número com-
plexo z = 
x – iy 
 ______ 
x + iy
 é igual a: 
a) 1.
b) 2.
c) x2 + y2
d) |xy|.
8. (UFC) Seja z0 o número complexo que é raiz da equa-
ção 
iz + (1 – 3i) 
 ___________ 
1 + i
 = 4i (lembre-se que i2 = –1).
Então, |z0| é igual a:
a) 2 dXXX 11 .
b) 3 dXX 6 .
c) 8.
d) dXXX 74 .
e) 2 dXXX 21 .
9. (Espcex - AMAN) Sendo z o número complexo obti-
do na rotação de 90°, em relação à origem, do número 
complexo 1 + i, determine z3 
a) 1 – i. 
b) – 1 + i. 
c) – 2i. 
d) – 1 – 2i. 
e) 2 + 2i.
10. (UECE) Se i é o número complexo cujo quadrado é 
igual a −1, então, o valor de 5 − i227 + i6 − i13 é igual a:
a) i + 1.
b) 4i − 1.
c) −6i − 1.
d) − 6i.
E.O. COmplEmEntAr
1. (UEPB) Dado o número complexo z = x + yi, o sistema 
 
|z| = 5 
 
|iz – 3| = 2
 tem como solução: 
a) z = 5i. 
b) z = –5i. 
c) z = 5.6
d) z = −5. 
e) z = 5 + 5i.
2. (UFSJ) Na figura abaixo, estão representados os nú-
meros complexos Z1 e Z2 por meio de seus afixos A e B, 
respectivamente.
Considerando essa figura, é CORRETO afirmar que:
a) o afixo de (Z1 · Z2) é um ponto do 2º quadrante.
b) (Z1)
2 = 2i. 
c) |Z1 + Z2| = dXX 3 .
d) o afixo de 
Z1 __ 
Z2
 é um ponto do 2º quadrante.
3. A representação geométrica, no Plano de Argand-
-Gauss, do conjunto de pontos que satisfazem a condi-
ção |z + 2 – 3i| = |z – 1 + 4i|, com z = x + yi, sendo x e y 
números reais, é reta de equação: 
a) 2x – 3y + 7 = 0. 
b) 3x – 7y – 2 = 0. 
c) 2x – 3y + 3 = 0 
d) 4x – 3y + 3 = 0. 
e) 2x – y = 0. 
4. (UECE) No plano complexo, o número z = 2 – 3i é o 
centro de um quadrado e w = 5 – 5i é um de seus vér-
tices. O vértice do quadrado não consecutivo a w é o 
número complexo: 
a) 2 – 2i.
b) 1 – i.
c) –1 – i.
d) –2 – 2i.
5. (FGV) Os quatro vértices de um quadrado no plano 
Argand-Gauss são números complexos, sendo três deles 
1 + 2i, –2 + i e –1 – 2i. O quarto vértice do quadrado é 
o número complexo: 
a) 2 + i.
b) 2 – i.
c) 1 – 2i.
d) –1 + 2i.
e) –2 – i.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFRRJ) Encontre o conjunto solução da equação (1 + i)
x + (1 – i) = 0, onde i é a unidade imaginária. 
2. (UFRRJ) Determine o módulo, o argumento e represente 
graficamente o número complexo z = 2 + 2( dXX 3 ) i. 
3. (UFRJ) Seja z o número complexo 2 + 3i ______ 
a + i
 ; onde a = a 
+ bi. Determine o valor de a para que z seja um imagi-
nário puro. Justifique. 
4. (FGV) Seja f uma função que, a cada número com-
plexo z, associa f(z) = iz, onde i é a unidade imaginária. 
Determine os complexos z de módulo igual a 4 e tais 
que f(z) =  z , onde  z é o conjugado de z.
5. (UFSC) Em circuitos elétricos como, por exemplo, o das 
instalações residenciais, as grandezas elétricas são ana-
lisadas com o auxílio dos números complexos. A relação 
U = Z·J fornece a tensão U em função da impedância Z 
e da corrente elétrica j. Nesses termos, essas variáveis 
são expressas através de números complexos a + bi. 
Considere agora U = 110(cos0° + isen0°) e Z = 5 + 5i. 
Determine o valor da expressão 2a + b, sendo j = a + bi.
6. (UFPR) Considere o número complexo z0 = 4i + 
13 ______ 
2 + 3i
 .
a) Determine a parte real e a parte imaginária de z0.
b) Determine a e b, de modo que z = 1 − i seja solu-
ção da equação z2 + az + b = 0.
7. (FGV-RJ)
a) Considere os números complexos z1 = 1 + i; z2 
= 2(1 + i) em que i é o número complexo tal que i2 
= −1. Represente, no plano cartesiano, o triângulo 
cujos vértices são os afixos dos números complexos 
z1 + z2, z2 − z1 e z1z2. Calcule a sua área.
b) A razão de semelhança entre um novo triângulo, 
semelhante ao triângulo original, e o triângulo origi-
nal, é igual a 3. Qual é a área desse novo triângulo?
8. (UFG) Considerando os números complexos z e w 
tais que z + w = (9 − 3 √
__
 3 ) + 1 e z − w = (−3 + 3 √
__
 3 ) + 
i(3 − 3 √
__
 3 ), determine a área do paralelogramo de lados 
z e w sabendo-se que o ângulo entre eles é p __ 3 .
9. (IME) Sejam os complexos z = a + bi e w = 47 + ci, tais 
que z3 + w = 0. Determine o valor de a, b e c sabendo que 
esses números são inteiros e positivos.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) João desenhou um mapa do quintal de sua 
casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um siste-
ma de coordenadas retangulares, colocando a origem 
O na base de uma mangueira, e os eixos OX e OY com 
sentidos oeste-leste e sul-norte, respectivamente. Cada 
ponto (x, y), nesse sistema, é a representação de um 
número complexo z = x + iy, x [ R, y [ R e i2 = –1.
Para indicar a posição (x1, y1) e a distância d do cofre à 
origem, João escreveu a seguinte observação no canto 
do mapa:
7
x1 + iy1 = (1 + i)
9
Calcule:
a) as coordenadas (x1, y1);
b) o valor de d.
2. (UERJ) Considere a equação a seguir, que se reduz a 
uma equação do terceiro grau:
(x + 2)4 = x4
Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Sabendo que k é um número real e que a 
parte imaginária do número complexo (2 + i)/(k + 2i) é 
zero, então k é:
a) – 4.
b) –2.
c) 1.
d) 2.
e) 4.
2. (Unicamp) Considere o número complexo z = 1 + ai/a − i, 
onde a é um número real e i é a unidade imaginária, isto 
é, i2 = − 1, O valor de z2016 é igual a:
a) a2016.
b) 1.
c) 1 + 2016i.
d) i.
3. (Unicamp) Sejam x e y números reais tais que x + yi 
= √
______ 
 3 + 4i onde i é a unidade imaginária. O valor de xy 
é igual a:
a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.
4. (Unicamp) Chamamos de unidade imaginária e deno-
tamos por i o número complexo tal que i2 = −1.
Então i0 + i1 + i2 + i3 +...+ i2013 vale:
a) 0.
b) 1.
c) i.
d) 1 + i
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest)
a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes 
real e imaginária do número complexo Z0 = 
1 ____ 
1 + i
 – 1 __ 
2i
 + i
b) Determine um polinômio de grau 2, com coeficien-
tes inteiros, que tenha z0 como raiz.
c) Determine os números complexos w tais que z0 · 
w tenha módulo igual a 5 dXX 2 e tais que as partes real 
e imaginária de z0 · w sejam iguais.
d) No plano complexo, determine o número complexo 
z1 que é o simétrico de z0 com relação à reta de equa-
ção y – x = 0. 
2. (Fuvest) Nos itens abaixo, z denota um número com-
plexo e i a unidade imaginária (i2 = –1). Suponha z ≠ i.
a) Para quais valores de z tem-se z + i _____ 
1 + iz
 = 2?
b) Determine o conjunto de todos os valores de z para 
os quais z + i _____ 
1 + iz
 é um número real. 
3. (Unesp) Considere os números complexos w = 4 + 2i e 
z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica 
a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de 
um triângulo é |z| e a base é a parte real de z · w, deter-
mine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm2.
4. (Fuvest) Determine os números complexos z que sa-
tisfazem, simultaneamente, 
|z|= 2 e Im = z – 1 _____ 
1 + i
 = 1 __ 2 .
Lembretes: i2 = – 1, se w = a + bi, com a e b reais, então 
|w| = √
________ 
 (a2 + b2) e Im (w) = b.
5. (Unesp) Considere os números complexos z = 2 – i e 
w = –3 – i, sendo i a unidade imaginária.
a) Determine z · w e |w – z|.
b) Represente z e w no plano complexo (Argand-
-Gauss) e determine b [ R, b ≥ 0, de modo que os 
números complexos z, w e t = bi sejam vértices de um 
triângulo, no plano complexo, cuja área é 20. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. E 3. A 4. C 5. C
6. D 7. D 8. E 9. D 10. D
E.O. Fixação
1. B 2. B 3. B 4. A 5. C
6. D 7. A 8. D 9. E 10. C
E.O. Complementar
1. B 2. A 3. B 4. C 5. B
E.O. Dissertativo
1. S = {i}.
2. |z| = 4; u = p __ 
3
 rad. 
8
3. a = a − [ (2a + 3) ________ 3 ] i, a ≠ 0. 
4. 2 dXX 2 – 2 dXX 2 i e –2 dXX 2 + 2 dXX 2 i.
5. 11.
6. 
a) Re(z0) = 2; Im (z0) = 1.
b) a = -2 e b = 2.
7. 
a) 4 u.a.
b) 36 u.a.
8. 18 · (2 √
__
 3 - 3).
9. c = 52.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. 
a) (16, 16).
b) d = 16 dXX 2 u.c.
2. x = −1 ou x = −1 ou x = −1 − i.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. E 2. B 3. D 4. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) Parte real = 1 __ 
2
 e parte imaginária = 1 · i
b) 4x2 – 4x + 5 = 0.
c) –6 + 2i ou 6 – 2i.
d) Z1 = 1 + 
1 __ 
2
 · i.
2. 
a) z = (4/5) + (3/5 i).
b) {z [ C |  z  = 1 e z ≠ i}.
3. a = 3 cm.
4. z = 2i ou z = –2.
5. 
a) z · w = –7 + i
|w – z| = 5.
b) b = 7.
9
 Números complexos: 
forma trigoNométrica
AULAS 
47 e 48
E.O. AprEndizAgEm
1. (UEL) O número complexo [ 1 __ 2 + i √
__ 
 3 ___ 2 ] 
2
 escrito na forma 
trigonométrica a + bi = r[cos(q) + isen(q)] é:
a) cos(0) + isen(0).
b) cos ( π __ 6 ) + isen ( 
π __ 6 ) . 
c) cos ( 2π ___ 3 ) + isen ( 2π ___ 3 ) .
d) 3cos ( 2π ___ 3 ) + isen (2π ___ 3 ) .
e) 2 [ cos ( 5π ___ 6 ) + isen ( 5π ___ 6 ) ] .
2. (UFSM) Na iluminação da praça, três novas luminárias 
são instaladas do seguinte modo: uma dessas luminá-
rias é instalada na bissetriz do primeiro quadrante; a 
distância de cada uma delas ao ponto de encontro das 
linhas centrais dos dois passeios é 20 metros; a distân-
cia entre cada par dessas luminárias é a mesma. Quais 
números complexos a seguir representam os pontos 
onde foram instaladas as três luminárias? 
a) z1 = 20 ( cos π __ 4 + i sen 
π __ 4 ) 
 z2 = 20 ( cos 11π ____ 12 + i sen 11π ____ 12 ) 
 z3 = 20 ( cos 19π ____ 12 + i sen 19π ____ 12 ) 
b) z1 = 20 ( cos π __ 4 + i sen 
π __ 4 ) 
 z2 = 20 ( cos π __ 6 + i sen 
π __ 6 ) 
 z3 = 20 ( cos 2π ___ 3 + i sen 2π ___ 3 ) 
c) z1 = cos 
π __ 4 + i sen 
π __ 4 
 z2 = cos 
11π ____ 12 + i sen 
11π ____ 12 
 z3 = cos 
19π ____ 12 + i sen 
19π ____ 12 
d) z1 = cos 
π __ 3 + i sen 
π __ 3 
 z2 = cos 
π ___ 12 + i sen 
π ___ 12 
 z3 = cos 
2π ___ 3 + i sen 
2π ___ 3 
e) z1 = 20 ( cos π __ 3 + i sen 
π __ 3 ) 
 z2 = 20 (cos π + i sen π)
 z3 = 20 ( cos 5π ___ 6 + i sen 5π ___ 6 ) 
3. (UFC) Sabendo que i2 = –1 e que 0 < q < 
p
 __ 2 , o número 
complexo 
(cos q + isen q) 
 ______________ 
(cos q - isen q)
 é igual a: 
a) cos(2q) + isen(2q).
b) 
(1 + i) 
 ______ 
(1 - i)
 . 
c) cos ( q __ 2 ) + isen ( 
q
 __ 2 ) . 
d) 
(1 - i) 
 ______ 
(1 + i)
 .
e) cos (q)2 + isen (q)2 .
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Notações
: Conjunto dos números naturais;
R: Conjunto dos números reais;
R+: Conjunto dos números reais não negativos;
i: unidade imaginária; i2 = –1;
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A;
n(A): número de elementos do conjunto finito A;
  AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z: argumento do número complexo z;
[ab] = x ∈ i: {a ≤ x ≤ b}
A/B = x { x ∈ A e x ∉ B}
AC: complementar do conjunto A;
∑ 
akx
k
k = 0
n
 = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anx
n, n ∈ Z
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados 
são cartesianos retangulares. 
4. (ITA) Sejam z = n2(cos45º + i sen 45°) e w = n(cos 15º 
+ i sen 15º), em que n é o menor inteiro positivo tal que 
(1 + i)n é real. Então, z __ w é igual a: 
a) dXX 3 + i.
b) 2 ( dXX 3 + i).
c) 2 ( dXX 2 + i).
d) 2 ( dXX 2 – i).
e) 2 ( dXX 3 – i).
5. Sendo o complexo z = 2 [cos(p/6) + sen (p/6) i], calcu-
lando z6 obtemos: 
a) –32i. 
b) –32. 
c) –64i. 
d) –64.
6. (UFSM) Dados dois números complexos na forma
z = r(cosa + i sena)
w = s(cosb + i senb),
pode-se afirmar que z · w é igual a:
CompetênCia: 5 Habilidades: 20, 21 e 23
10
a) rs[cos(ab) – sen(ab)].
b) rs[cos(a + b) + i sen(a + b)].
c) rs[cos(a – b) – i sen(a - b)].
d) (r + s)(cosa · cosb – i sena · senb).
e) (r + s)[cos(a + b) + i sen(a + b)].
7. (UFRGS) Se w = cos 30° + i sen 30° e 
z = cos 120° + i sen 120°, então: 
a) w2+ z2 = 0.
b) w + z = 0. 
c) w2 − z2 = 0. 
d) w − z = 0. 
e) w4 + z4 = 0. 
8. (PUC-RS) A superfície e os parafusos de afinação de um 
tímpano da Orquestra da PUC-RS estão representados no 
plano complexo Argand-Gauss por um disco de raio 1, 
centrado na origem, e por oito pontos uniformemente 
distribuídos, respectivamente, como mostra a figura:
Nessa representação, os parafusos de afinação ocupam 
os lugares dos números complexos z que satisfazem a 
equação:
a) z8 = i. 
b) z8 = –i. 
c) z8 = 1. 
d) z8 = –1. 
e) z8 = 1 + i.
9. (Ulbra) O produto das raízes cúbicas do número com-
plexo z = –1 é igual a: 
a) 1 – √
__
 3 i _______ 4 .
b) [ cos π __ 3 + i sen π __ 3 ] .
c) – 1 __ 2 + 
 dXX 3 ___ 4 i.
d) 1 + 
dXX 2 ______ 3 i.
e) -1.
10. (IFAL) O número complexo z = 1 + i representado na 
forma trigonométrica é:
a) 21/2 (cos 45º + isen 45º).
b) 2 (cos 90º + isen 90º).
c) 4 (cos 60º + isen 60º).
d) 4 (cos 60º + isen 60º).
e) 2 (cos 90º + isen 90º).
E.O. FixAçãO
1. (Esc. Naval) Qual valor de n,n inteiro maior que zero, 
para que (1 + i)n seja um número real? 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
2. A figura geométrica formada pelos afixos das raízes 
complexas da equação x3 – 8 = 0 tem área igual a:
a) 7 dXX 3 .
b) 6 dXX 3 .
c) 5 dXX 3 .
d) 4 dXX 3 .
e) 3 dXX 3 .
3. (UFSM) Observe a vista aérea do planetário e a repre-
sentação, no plano Argand-Gauss, dos números comple-
xos z1, z2, ..., z12, obtida pela divisão do círculo de raio 14 
em 12 partes iguais.
Considere as seguintes informações:
I. z2 = 7 dXX 3 + 14 i
II. z11 = 
 z 3
III. z5 = z4 · 
 z 11
Está(ão) correta(s): 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) apenas II e III.
4. (PUC-SP) Seja Sn = 
n ⋅ (n – 1) 
 __________ 2 + 
n ⋅ (3 – n) ⋅ i 
 ____________ 2 , em 
que n ∈ R* e i é a unidade imaginária, a expressão 
da soma dos n primeiros termos de uma progressão 
aritmética. Se an é o enésimo termo dessa progressão 
aritmética, então a forma trigonométrica da diferença 
a15 – a16 é:
a) 2 dXX 2 ( cos 3π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
b) 2 dXX 2 ( cos 5π ___ 4 + i ⋅ sen 5π ___ 4 ) .
c) 2 dXX 2 ( cos 7π ___ 4 + i ⋅ sen 7π ___ 4 ) .
d) dXX 2 ( cos 5π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
e) dXX 2 ( cos 3π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
5. (UFRGS) O menor número inteiro positivo n para 
11
o qual a parte imaginária do número complexo 
( cos π __ 8 + i · sen 
π __ 8 ) 
n
 é negativa é:
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 9.
6. (UFC) A área do polígono cujos vértices são as re-
presentações geométricas das raízes do polinômio 
p(x) = x6 – 1 é: 
a) 3 
dXX 3 ____ 2 .
b) 2 
dXX 3 ____ 3 .
c) 3 
dXX 2 ____ 2 .
d) 2 
dXX 2 ____ 3 .
e) 3 
dXX 3 ____ 4 .
7. (UEL) A potência (cos 60° + i sen 60°)601 é igual a: 
a) ( 1 __ 2 ) (1 – i dXX 3 ).
b) ( 1 __ 2 ) (– 1 + i dXX 3 ).
c) ( 1 __ 2 ) (1 + i dXX 3 ).
d) ( 1 __ 2 ) ( dXX 3 + i).
e) ( 1 __ 2 ) ( dXX 3 – i).
8. (PUC-SP) Dado o número complexo z = cos π __ 6 + i · sen 
π __ 6 , 
então, se P1, P2 e P3 são as respectivas imagens de z, z
2 e 
z3 no plano complexo, a medida do maior ângulo inter-
no do triângulo P1P2P3 é:
a) 75°. 
b) 100°. 
c) 120°. 
d) 135°. 
e) 150°.
9. (IME) As raízes cúbicas da unidade, no conjunto dos 
números complexos, são representadas por 1, w e w2, 
onde w é um número complexo. O intervalo que contém 
o valor de (1 – w)6 é: 
a) (–∞, –30].
b) (–30, –10].
c) (–10, 10].
d) (10, 30].
e) (30, ∞).
10. Considerando os números complexos z1 e z2, tais que:
 § z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo 
quadrante;
 § z2 é raiz da equação x
4 + x2 – 12 = 0 e Im(z2) > 0.
Pode-se afirmar que |z1 + z2| é igual a: 
a) 2 dXX 3 .
b) 3 + dXX 3 .
c) 1 + 2 dXX 2 .
d) 2 + 2 dXX 2 .
E.O. COmplEmEntAr
1. (Cefet-MG) Considere as raízes complexas w0, w1, w2, 
w3 e w4 da equação w
5 = z, onde z ∈ C representadas 
graficamente por:
O número complexo z é:
a) 16i. 
b) 32i. 
c) 16 + 16i. 
d) 16 + 16 √
__
 3 i. 
e) 32 + 32 √
__
 3 i. 
2. (UFRGS) O polígono ABCDE da figura é um pentágono 
regular inscrito no círculo unitário de centro na origem.
As coordenadas polares p e q do vértice A são, respec-
tivamente: 
a) 1 e π __ 5 .
b) 1 e π __ 6 .
c) 1 e π __ 8 .
d) 1 e π ___ 10 .
e) 1 e π ___ 12 .
3. (UFC) Considere o número complexo z = (1 + i) · ( dXX 3 – i). 
Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positi-
vo n, tal que zn seja um número real positivo. 
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 24. 
e) 30. 
4. (Esc. Naval ) Seja p a soma dos módulos das raízes da 
equação x3 + 8 = 0 e q o módulo do número complexo Z, 
tal que Z  Z = 108, onde  Z é o conjugado deZ. Uma repre-
sentação trigonométrica do número complexo p + qi é:
12
a) 12 ( cos π __ 3 + i sen 
π __ 3 ) . 
b) 20 ( cos π __ 3 + i sen 
π __ 3 ) . 
c) 12 ( cos π __ 6 + i sen 
π __ 6 ) . 
d) 20 dXX 2 ( cos π __ 6 + i sen 
π __ 6 ) . 
e) 10 ( cos π __ 3 + i sen 
π __ 3 ) .
5. (Unigranrio - Medicina) Sejam x1, x2 e x3 as raízes da 
equação x3 + 1 = 0 tomando como base o conjunto dos 
números complexos. Ao representarmos geometrica-
mente essas raízes no plano de Argand-Gauss, obtemos 
um triângulo, cujos vértices são os afixos de x1, x2 e x3. 
A área do triângulo é:
a) √
__
 3 ___ 4 .
b) 3 __ 4 .
c) 2 √
__
 3 ____ 4 .
d) 3 √
__
 3 ____ 4 .
e) 3 __ 2 .
E.O. dissErtAtivO
1. (UFPR) Considere os números complexos z = cos π ___ 18 + 
i sen π ___ 18 e w = 2 cos 
π __ 9 + i sen 
π __ 9 . 
a) Mostre que o produto z.w é igual a ( dXX 3 ) + i.
b) Mostre que z18 é igual a – 1. 
2. (UFC) Os números complexos distintos z e w são tais 
que z + w = 1 e z · w = 1.
a) Calcule |z|.
b) Calcule o valor z4 + w4 sabendo-se que z está no 
primeiro quadrante do plano complexo. 
3. (UFPE) Encontre o menor inteiro positivo n tal que a 
potência ( dXX 3 + i)n seja um número real.
4. (UFBA) Sendo z1 e z2 números complexos tais que:
 § z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo 
quadrante,
 § z2 satisfaz a equação x
4 + x2 − 12 = 0 e Im(z2) > 0, 
calcule | √__ 3 z1 __ z2 + z2 | 
5. (UFPR) Considere os pontos z1, z2 e z3, indicados no 
plano complexo abaixo, e que correspondem às raízes 
cúbicas de 1.
a) Qual é o menor inteiro n > 1, de modo que (z2)
n = 1? 
Justifique sua resposta.
b) Calcule (z3)
100.
6. (UnB) 
A figura acima ilustra um triângulo equilátero ABC 
inscrito em uma circunferência de raio 2 centrada na 
origem de um sistema de coordenadas cartesianas or-
togonais xOy, em que um ponto (x, y) é identificado com 
o número complexo z = x + iy. Esse triângulo foi obti-
do a partir da representação plana de uma molécula 
de amônia (NH3), na qual os três átomos de hidrogênio 
estão posicionados nos seus vértices e o átomo de ni-
trogênio encontra-se na origem.
Com base nessas informações e considerando o centí-
metro como a unidade de medida de comprimento, em 
ambos os eixos, julgue os itens a seguir.
a) Se z1 corresponde ao ponto C e se z2 corresponde 
ao ponto B, então 
z1 __ z2
 = 
z2 __ 2 .
b) Considerando-se 10 pontos distintos sobre a cir-
cunferência em questão, com vértices nesses pontos, 
a quantidade de triângulos que é possível formar é 
superior à de heptágonos convexos.
c) Os vértices A, B e C correspondem às raízes com-
plexas do polinômio f(z) = z3 – 8.
d) A área do triângulo ABC é inferior a 5 cm2. 
7. (ITA) Considere, no plano complexo, um polígono re-
gular cujos vértices são as soluções da equação z6 = 1. 
A área deste polígono, em unidades de área, é igual a:
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Considere o número complexo z = cos(p/6) + 
i sen (p/6). O valor de z3 + z6 + z12 é: 
a) –i.
b) 1 __ 2 + 
 dXX 3 ___ 2 i.
c) i – 2.
d) i.
e) 2i.
13
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Resolva os três itens abaixo.
a) Calcule cos(3p/8) e sen(3p/8). 
b) Dado o número complexo z = dXXXXXX 2 – dXX 2 + i dXXXXXX 2 + dXX 2 ,
encontre o menor inteiro n > 0 para o qual zn seja real.
c) Encontre um polinômio de coeficientes inteiros que 
possua z como raiz e que não possua raiz real. 
2. (Unicamp) Um número complexo z = x + iy, z ≠ 0, pode 
ser escrito na forma trigonométrica: z = |z|(cosq + isenq), 
onde |z| = dXXXXXXX x2 + y2 , cos q = x ___ 
|z|
 e sen q = 
y
 ___ 
|z| 
 . Essa for-
ma de representar os números complexos não nulos é 
muito conveniente, especialmente para o cálculo de po-
tências inteiras de números complexos, em virtude da 
fórmula de De Moivre:
[|z|(cos q + isen q)]t = |z|t(cos tq + isen tq)
que é válida para todo t ∈ Z . Use essas informações 
para:
a) Calcular ( dXX 3 + i)12.
b) Sendo z = 
dXX 2 ___ 2 + i 
 dXX 2 ___ 2 , calcular o valor de 
1 + z + z2 + z2 + ... + z15.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. A 3. A 4. B 5. D
6. B 7. A 8. C 9. E 10. A
E.O. Fixação
1. C 2. E 3. B 4. E 5. E
6. A 7. C 8. E 9. B 10. A
E.O. Complementar
1. D 2. D 3. D 4. A 5. D
E.O. Dissertativo
1. 
a) z · w = 1 · 2 · {cos[(π/18) + (π/9)] + i · sen[(π/18) 
+ (π/9)]}
z · w = 2 · [cos(π/6) + i · sen(π/6)]
z · w = dXX 3 + i.
b) z18 = 118 · {cos[18 · (π/18)] + i · sen[18 · (π/18)]
z18 = cos π + i · sen π = –1. 
2. 
a) |z| = 1.
b) z4 + w4 = z4 +  z 4 = –1.
3. n = 6.
4.  dXX 3 z1 __ z2 +  z2  = 1.
5. 
a) n deverá ser 3, pois cos(3 · 120º) + i · sen(3 · 20º) = 1.
b) (z3)
100 = z3.
6. 
a) Correto. Temos que A 
 ̂ 
 O B = 2p ___ 
3
 rad. 
O complexo z1 pode ser obtido através de uma rotação 
de 2p ___ 
3
 rad no sentido anti-horário, do complexo z0 = 2, 
ou seja, z1 = z0 · ( cos 2p ___ 3 + isen 2p ___ 3 ) = –1 + i dXX 3 .
Portanto, como z2 é o conjugado de z1, segue que 
z1/z2 = 
–1 + i √
__
 3 ________ 
–1 – i √
__
 3 
 
= –1 + i √
__
 3 ________ 
–1 – i √
__
 3 
 = –1 + i √
__
 3 ________ 
–1 + i √
__
 3 
 
= –1 – i √
__
 3 ________ 
2
 
= 
z2 __ 
2
 .
b) Incorreto. O número de triângulos que é possível 
formar com 10 pontos distintos sobre a circunferência 
é dado por ( 10 ___ 3 ) .
Por outro lado, podemos formar ( 10 ___ 7 ) heptágonos con-
vexos com os mesmos 10 pontos. Portanto, como ( 10 ___ 3 ) 
e ( 10 ___ 7 ) são números binomiais complementares, segue 
que ( 10 ___ 3 ) = ( 10 ___ 7 ) . 
c) Correto. Temos que f(z) = 0 ⇔ z3 = 8 ⇔ 
z = 3 dXXXXXXXX 8 + i · 0 .
Pela segunda fórmula de De Moivre, seue que as 
raízes cúbicas de 8 + i · 0 são dadas por zk = 
3
 dXX 8 
[ cos ( k · 2p ___ 3 ) + i sen ( k · 2p ___ 3 ) ] , com k ∈ Z. 
Daí, z0 = 2, z1 = –1 + i dXX 3 e z2 = –1 – i dXX 3 que são os 
resultados obtidos em [A].
d) Incorreto. A medida do lado do triângulo ABC é 
Im(z1) – Im(z2) = dXX 3 – (– dXX 3 ) = 2 dXX 3 cm.
Logo, a área de ABC é dada por:
 
(2 dXX 3 )2 · dXX 3 
 __________ 
4
 = dXXX 27 cm2 > dXXX 25 cm2 = 5 cm2.
7. 
3 dXX 3 
 ____ 2 .
14
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) cos ( 3p ___ 8 ) = 
 dXXXXXXX 2 – dXX 2 _______ 
2
 .
sen ( 3p ___ 8 ) = 
 dXXXXXXX 2 + dXX 2 _______ 
2
 .
b) n = 8.
c) z8 + 256 = 0.
2. 
a) 4096.
b) 0.
15
 poliNômiosAULAS 
49 e 50
E.O. AprEndizAgEm
1. (UEPB) O produto entre as raízes da equação 
x4 + 3x2 + 2 = 0 é: 
a) 2. 
b) 1. 
c) 2 . 
d) –1. 
e) 2i. 
2. Sabendo-se que –5, a e b são raízes da equação 
x3 + 6x2 + 3x – 10 = 0, logo, o valor de a + b é: 
a) –3. 
b) –2. 
c) –1. 
d) 0. 
3. (UFRGS) Se 2 é raiz dupla do polinômio 
p(x) = 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x – 4, então a soma das outras raízes é 
a) –1. 
b) –0,5. 
c) 0. 
d) 0,5. 
e) 1. 
4. (UFRGS) As raízes do polinômio p(x) = x3 + + 5x2 + 4x 
são: 
a) –4, –1 e 0. 
b) –4, 0 e 1 
c) –4, 0 e 4 
d) –1, 0 e 1. 
e) 0, 1 e 4. 
5. Se 3 e 1 __ 3 são as raízes da equação ax
2 – 6x + p = 0, 
então o valor de a + p é: 
a) –5. 
b) –9 ___ 5 . 
c) 0. 
d) 18 ___ 5 . 
e) 4. 
6. (FGV-RJ) A equação polinomial x3 – x2 – 16x – 20 = 0 
tem raízes x1, x2 e x3. O valor da expressão 
1 __ x1
 + 1 __ x2
 + 1 __ x3
 é: 
a) 1. 
b) – 3 __ 4 . 
c) 4 __ 5 . 
d) 3 __ 4 . 
e) – 4 __ 5 . 
7. (UFRGS) Um polinômio de 5º grau com coeficientes 
reais que admite os números complexos –2 + i e 1 – 2i; 
como raízes, admite: 
a) no máximo maisuma raiz complexa. 
b) 2 – i e –1 + 2i como raízes. 
c) uma raiz real. 
d) duas raízes reais distintas. 
e) três raízes reais distintas. 
8. (UECE) Se os números m, p e q são as soluções da 
equação x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0, então o valor da soma 
log2m + log2p + log2q é: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
9. (AMAN) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que 
A(x) = B(x) + 3x3 + 2x2 + x + 1. Sabendo-se que –1 é raiz 
de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A(3) – B(–1) é igual a: 
a) 98. 
b) 100. 
c) 102. 
d) 103. 
e) 105.
10. (CPS) No século XVI, divertidos duelos intelectuais 
entre professores das academias contribuíram para o 
avanço da Matemática.
Motivado por um desses duelos, o matemático italia-
no Niccólo Fontana (Tartaglia) (1500 – 1557) encon-
trou uma fórmula para resolver equações polinomiais 
de terceiro grau. No entanto, os outros matemáticos 
da época não tinham acesso a tal descoberta, tendo 
que encontrar formas alternativas para resolver aque-
les problemas.
Uma dessas formas alternativas é a fatoração, que faci-
lita a observação das raízes (soluções), pois transforma 
a adição dos termos da equação em uma multiplicação 
igualada a zero. Veja o exemplo.
x3 + 6x2 + 5x - 12 = 0 ⇔ (x - 1)·(x + 3)·(x + 4) = 0
Analisando o exemplo dado, é correto afirmar que essa 
equação:
CompetênCia: 5 Habilidades: 20, 21 e 23
16
a) possui três raízes naturais distintas.
b) possui três raízes inteiras distintas.
c) possui duas raízes naturais distintas e uma raiz ir-
racional.
d) possui duas raízes irracionais distintas e uma raiz 
inteira.
e) não possui raízes reais.
E.O. FixAçãO
1. (UEPB) Se uma das raízes do polinômio 
p(x) = x3 + x2 + 4x + 4 é o número complexo z = –2i, as 
outras raízes são: 
a) 1 e –1. 
b) –1 e 2i. 
c) –1 e 2. 
d) –1 e 3. 
e) 2 e 2i. 
2. (AFA) As raízes da equação algébrica 2x3 – ax2 + bx + 54 = 0 
formam uma progressão geométrica.
Se a, b ∈ R, b ≠ 0, então a __ 
b
 é igual a: 
a) 2 __ 3 . 
b) 3. 
c) – 3 __ 2 . 
d) – 1 __ 3 . 
3. (Mackenzie) Se a, b e g são as raízes da equação 
x3 + x2 + px + q = 0, onde p e q são coeficientes reais e 
a = 1 – 2i é uma das raízes dessa equação, então a ⋅ b ⋅ g 
é igual a: 
a) 15. 
b) 9. 
c) –15. 
d) –12. 
e) –9. 
4. (Mackenzie) Se a, b e c são as raízes do polinômio 
p(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8, tais que a = –2bc , o valor de a __ 
b
 + a __ c : 
a) 2. 
b) 1 __ 2 . 
c) –2. 
d) 3. 
e) – 1 __ 4 . 
5. (Insper) A equação x5 = 8x2 possui duas raízes imagi-
nárias, cuja soma é: 
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
6. (FGV) A equação algébrica x3 − 7x2 + kx + 216 = 0, em 
que k é um número real, possui três raízes reais. Saben-
do-se que o quadrado de uma das raízes dessa equação 
é igual ao produto das outras duas, então o valor de k é 
igual a.
a) -64.
b) -42.
c) -36.
d) 18.
e) 24.
7. (UECE) Se os números de divisores positivos de 6, de 9 e 
de 16 são as raízes da equação x3 + ax2 + bx + c = 0, onde 
os coeficientes a, b e c são números reais, então, o 
valor do coeficiente b é:
a) 41.
b) 45.
c) 43.
d) 47.
8. (UECE) Sejam P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 um 
polinômio e M o conjunto dos números reais k tais que 
P(k) = 0. O número de elementos de M é:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
9. (Fac. Albert Einstein - Medicina) Um polinômio de 
quinto grau tem 2 como uma raiz de multiplicidade 3. 
A razão entre o coeficiente do termo de quarto grau e o 
coeficiente do termo de quinto grau é igual a -7. A razão 
entre o termo independente e o coeficiente do termo de 
quinto grau é igual a 96.
A menor raiz desse polinômio vale:
a) 0.
b) -1.
c) -2.
d) -3.
10. (Esc. Naval) Seja P(x) = x6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g um 
polinômio de coeficientes inteiros e que 
P( √
__
 2 + 3 3 ) = 0. O polinômio R(x) é o resto da divisão de 
P(x) por x3 − 3x − 1. Determine a soma dos coeficientes 
de R(x) e assinale a opção correta.
a) -51.
b) -52.
c) -53.
d) -54.
e) -55.
E.O. COmplEmEntAr
1. (ITA) Considere os polinômios em x ∈ R da forma 
p(x) = x5 + a3x
3 + a2x
2 + a1x. As raízes de p(x) = 0 cons-
tituem uma progressão aritmética de razão 1 __ 2 quando 
(a1,a2,a3) é igual a: 
a) ( 1 __ 4 , 0, 5 __ 4 ) .
b) ( 1 __ 4 , 1, 5 __ 4 ) . 
17
c) ( 1 __ 4 , 0, – 5 __ 4 ) . 
d) ( 5 __ 4 , 0, 1 __ 4 ) . 
e) ( 1 __ 4 , –1, – 1 __ 4 ) . 
2. (AFA) O polinômio P(x) = x4 – 75x2 + 250x tem uma 
raiz dupla.
Em relação à P(x) é correto afirmar que: 
a) apenas uma de suas raízes é negativa. 
b) a sua raiz dupla é negativa. 
c) três de suas raízes são negativas. 
d) nenhuma de suas raízes é negativa. 
3. (Fatec) Se x = 2 é uma das raízes da equação 
x3 – 4x2 + mx – 4 = 0, m ∈ R, então as suas outras 
raízes são números: 
a) negativos. 
b) inteiros. 
c) racionais não inteiros. 
d) irracionais. 
e) não reais. 
4. (FGV) A função polinomial P(x) = x3 + ax2 + bx + c 
tem a propriedade de que a média aritmética dos seus 
zeros, o produto dos seus zeros e a soma dos seus coe-
ficientes são todos iguais. Se o intercepto do gráfico de 
y = P(x) com o eixo y ocorre no ponto de coordenadas 
(0,2), b é igual a: 
a) 5. 
b) 1. 
c) –9. 
d) –10. 
e) –11. 
5. (IFAL) Podemos dizer que o polinômio 
p(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6
a) tem três raízes reais.
b) tem duas raízes reais e uma imaginária.
c) tem uma raiz real e duas imaginárias.
d) não tem raiz real.
e) tem duas raízes reais e duas imaginárias.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFPE) Se as raízes da equação x3 – 7x2 – 28x + k = 0 
são termos de uma progressão geométrica, determine 
e assinale o valor do termo constante k.
2. (UFJF) Seja p(x) = x3 + ax2 + bx + c um polinômio com 
coeficientes reais. Sabe-se que as três raízes desse poli-
nômio são o quarto, o sétimo e o décimo sexto termos 
de uma progressão aritmética, cuja soma de seus vinte 
primeiros termos é igual a 80 ___ 3 e o seu décimo terceiro 
termo é igual a 3. Encontre os valores de a, b e c. 
3. (UFG) Com base no polinômio p(x) = x4 – 25:
a) determine os valores de x, no conjunto dos núme-
ros reais, tais que p(x) < 0; 
b) escreva p(x) como um produto de três polinômios 
com coeficientes reais; 
c) considerando-se a representação dos números 
complexos em um plano cartesiano, calcule a área do 
polígono cujos vértices são as raízes de p(x). 
4. (IME) O polinômio P(x) = x5 – 3 x4 + 10x3 – 30x2 + 81x – 243 
possui raízes complexas simétricas e uma raiz com valor 
igual ao módulo das raízes complexas. Determine todas 
as raízes do polinômio. 
5. (UFPE) O polinômio x3 + ax2 + bx + 19 tem coeficien-
tes a, b números inteiros, e suas raízes são inteiras e 
distintas. Indique |a| + |b|.
6. (UFPR) Dada a função polinomial 
p(x) = x3 + 2x2 − 7x − 2, faça o que se pede:
a) Calcule p ( - 2 __ 5 ) .
b) Encontre as raízes de p(x).
7. (UFJF-PISM) Considere o polinômio 
p(x) = 16x5 - 48x4 - 40x3 + 120x2 + 9x − 27.
a) Sabendo que p(x) possui uma raiz r natural menor 
que 5, determine r.
b) Determine o polinômio q(x) = 
p(x) 
 ____ x - r .
c) Determine todas as raízes de q(x) especificando 
suas multiplicidades.
8. (UFES) Considere o polinômio f(x) = 3x3 − 7x2 + 8x − 2.
a) Verifique se f(x) possui raízes inteiras. Justifique.
b) Verifique se f(x) possui raízes racionais não inteiras. 
Justifique.
c) Determine todas as raízes de f(x).
Informações:
1. Se um polinômio de grau n com coeficientes inteiros 
anx
n + an-1x
n-1 +...+ a1x + a0 possui uma raiz da forma 
r _ s 
com r e s inteiros primos entre si, então r é um divisor 
de a0 e s é um divisor de an.
2. Dois inteiros r e s são primos entre si quando 
mdc(r,s) = 1.
3. Dados os inteiros a e b é divisor de b quando existe 
um inteiro c tal que b = a·c.
9. (PUC-RJ) O retângulo ABCD tem dois vértices no gráfico 
da função polinomial dada por f(x) = 5x3 − 65x2 + 235x − 155 
e dois vértices no eixo x como na figura abaixo.
Sabendo que o vértice A = (1,0), faça o que se pede.
 
18
a)Determine as coordenadas do vértice D.
b) Determine as coordenadas do vértice C.
c) Calcule a área do retângulo ABCD. 
10. (FGV) A editora aplicou o lucro obtido em 2011, 
R$100.000,00, em um fundo de renda fixa, a certa taxa 
de juro composta. Após 3 anos, deve receber um mon-
tante de R$172.000,00. 
a) A que taxa de juro anual aplicou seu dinheiro?
Use as informações do gráfico abaixo para justificar 
a sua resposta.
b) Qual é a soma das duas raízes complexas da equa-
ção x3 + 3x2 + 3x − 0,728 = 0, que não são números 
reais?
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ 2012) Considere a equação a seguir, que se re-
duz a uma equação do terceiro grau:
(x + 2)4 = x4
Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Dado que as raízes da equação x3 – 3x2 – x + k = 0, 
onde k é uma constante real, formam uma progressão arit-
mética, o valor de k é: 
a) –5. 
b) –3. 
c) 0. 
d) 3. 
e) 5. 
2. (Unesp) Sabe-se que, na equação x3 + 4x2 + x – 6 = 0, 
uma das raízes é igual à soma das outras duas. O con-
junto solução (S) desta equação é: 
a) S = {–3, –2, –1}. 
b) S = {–3, –2, +1}. 
c) S = {+1, +2, +3}. 
d) S = {–1, +2, +3}. 
e) S = {–2, +1, +3}.
3. (Unicamp) Sejam r, s e t as raízes do polinômio 
p(x) = x3 + ax2 + bx + ( b __ a ) 
3
, em que a e b são constantes 
reais não nulas. Se s2 = rt, então a soma de r + t é igual a: 
a) b __ a + a.
b) – b __ a – a.
c) a – b __ a .
d) b __ a – a.
4. (Fuvest) As três raízes de 9x3 – 31x – 10 = 0 são p, q e 
2. O valor de p2 + q2 é: 
a) 5/9.
b) 10/9.
c) 20/9.
d) 26/9.
e) 31/9.
5. (Unifesp) Sejam p, q, r as raízes distintas da equação 
x3 – 2x2 + x – 2 = 0. A soma dos quadrados dessas raízes 
é igual a: 
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 8.
e) 9.
6. (Fuvest) Sabe-se que o produto de duas raízes da 
equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1.
Então o valor de k é:
a) –8.
b) –4.
c) 0.
d) 4.
e) 8.
7. (Unicamp) Considere o polinômio p(x) = x3 – x2 + ax – a, 
onde a é um número real. Se x = 1 é a única raiz real de 
p(x), então podemos afirmar que: 
a) a < 0.
b) a < 1.
c) a > 0.
d) a > 1.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) As raízes do polinômio p(x) = x3 – 3x2 + m, 
onde m é um número real, estão em progressão aritmé-
tica. Determine:
a) o valor de m;
b) as raízes desse polinômio.
19
2. (Fuvest) Um polinômio de grau 3 possui três raízes 
reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma 
progressão aritmética em que a soma dos termos é 
igual a 9/5. A diferença entre o quadrado da maior raiz 
e o quadrado da menor raiz é 24/5.
Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau 
do polinômio é 5, determine:
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio. 
3. (Fuvest) O polinômio p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx – 8, em 
que a, b, c são números reais, tem o número complexo 1 + i 
como raiz, bem como duas raízes simétricas.
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine 
todos os polinômios com coeficientes reais, de menor 
grau, que possuam esses novos valores como raízes. 
4. (Unicamp) Dada a equação polinomial com coeficien-
tes reais 
x3 – 5x2 + 9x – a = 0:
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o nú-
mero complexo 2 + i seja uma das raízes da referida 
equação.
b) Para o valor de a encontrado no item anterior, de-
termine as outras duas raízes da mesma equação. 
5. (Unesp) Seja z = 1 + i um número complexo.
a) Escreva z e z3 na forma trigonométrica.
b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de 
menor grau, que tem z e |z|2 como raízes e coeficiente 
dominante igual a 1.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. C 3. B 4. A 5. D
6. E 7. C 8. C 9. C 10. B
E.O. Fixação
1. B 2. D 3. C 4. C 5. A
6. B 7. D 8. A 9. D 10. E
E.O. Complementar
1. C 2. A 3. E 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
1. k = 64.
2. a = –1, b = –17, c = –15.
3. 
a) x ∈ R | – 5 < x < 5 .
b) Fatorando o polinômio, temos:
p(x) = (x2)2 – 52 = (x2 + 5) ⋅ (x2 – 5 2) = 
(x2 + 5)⋅(x + 5 )⋅(x – 5 ) = 0.
c) A área do quadrilátero pedido é 10. 
4. As raízes de P(x) são 3, 7 + 2 i, 7 – 2 i, – 7 + 2 i e – 7 – 2 i.
5. 20.
6. 
a) 132 ____ 
125
 .
b) Logo, as raízes de P(x) são 2, −2 + √
__
 3 e −2 − √
__
 3 .
7. 
a) Como 3 é a única raiz natural menor do que 5, 
segue que r = 3.
b) 16 ( x - 3 __ 2 ) ( x + 3 __ 2 ) ( x - 1 __ 2 ) . ( x + 1 __ 2 ) .
c) As raízes de q são − 3 ___ 
2
 , − 1 ___ 
2 
 , 1 ___ 
2
 e 3 ___ 
2
 , todas de 
multiplicidade um.
8. 
a) Por inspeção, concluímos que nenhum dos possí-
veis candidatos a raiz inteira, x = ±1 e x = ±2, são 
raízes de f.
b) Por inspeção, tem-se que dos candidatos a raiz ra-
cional não inteira, apenas x = 1 __ 
3
 é raiz de f.
c) Sabendo que x = 1 __ 
3
 é raiz de f, pelo dispositivo de 
Briot-Ruffini, vem 1 − i e 1 + i.
9. 
a) y0= 20.
b) xC = xB = 5.
c) 80 u.a.
10. 
a) Assim, f(x) = (x - 0,2) · (x2 + 3,2x + 3,64). Daí, 
como x2 + 3,2x + 3,64 = 0 não possui raízes reais, 
concluímos que x = 0,2 = 20% é a única raiz real de f.
b) Das Relações de Girard e do item (a), segue que a 
soma das raízes de f que não são números reais é -3,2.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. x = −1 ou x = −1 + i ou x = −1 −i.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. D 2. B 3. D 4. D 5. B
6. A 7. C
20
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 2.
b) 1 – 3 , 1 e 1 + 3 . 
2. 
a) (–7/5, 3/5, 13/5).
b) –73/5. 
3. 
a) a = –2, b = –2 e c = 8. 
b) q(x) = k ⋅ (x2 + 1)⋅(x – 1)⋅(x + 3) (k ≠ 0).
4. 
a) a = 5.
b) 2 – i e 1. 
5. 
a) z = 2 [cos(p/4) + i sen(p/4)] e z3 = 2 2 [cos(3p/4) + 
i sen(3p/4)].
b) x3 – 4x2 + 6x – 4.
21
 operações com poliNômiosAULAS 
51 e 52
E.O. AprEndizAgEm
1. (ESPM) O resto da divisão do polinômio x5 – 3x2 + 1 
pelo polinômio x2 – 1 é:
a) x – 1.
b) x + 2.
c) 2x – 1.
d) x + 1.
e) x – 2.
2. (Cefet-MG) Os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 
e B(x) = x4 – 2x3 + kx2 – 3x – 2 têm uma única raiz em 
comum. Os valores possíveis para k são números:
a) pares.
b) primos.
c) inversos.
d) ímpares.
e) simétricos.
3. (UEG) A divisão do polinômio x3 + 2x2 – 5x – 6 por 
(x + 1) . (x – 2) é igual a: 
a) x – 3. 
b) x + 3. 
c) x – 6. 
d) x + 6.
4. Quais são os polinômios que representam o quocien-
te q(x) e o resto r(x) da divisão do polinômio 
p(x) = x3 + 5x2 + 6 pelo polinômio d(x) = x2 – 3?
a) q(x) = –(x + 5) e r(x) = 3x + 21.
b) q(x) = x + 5 e r(x) = –(3x + 21).
c) q(x) = x – 5 e r(x) = –3x + 21.
d) q(x) = –(x + 5) e r(x) = 3x – 21.
e) q(x) = x + 5 e r(x) = 3x + 21.
5. (PUC-PR) Se (x – 2) é um fator do polinômio 
x3 + kx2 + 12x – 8, então, o valor de k é igual a: 
a) –3.
b) 2.
c) 3.
d) 6.
e) –6.
6. (AMAN) O polinômio f(x) = x5 – x3 + x2 + 1, quando 
dividido por q(x) = x3 – 3x + 2 deixa resto r(x).
Sabendo disso, o valor numérico de (r – 1) é: 
a) –10.
b) – 4.
c) 0.
d) 4.
e) 10.
7. (UFTM) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x4 – 2x3 + mx + 1 
por (x – 1) ou por (x + 1), os restos são iguais. Nesse 
caso, o valor de m é igual a: 
a) –2. 
b) –1. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 3. 
8. (PUC-RJ) Sabendo que 1 é raiz do polinômio 
p(x) = 2x3 – ax2 – 2x, podemos afirmar que p(x) é igual a: 
a) 2x2 (x – 2). 
b) 2x (x – 1) (x + 1). 
c) 2x (x2 – 2). 
d) x (x – 1)(x + 1). 
e) x(2x2 – 2x – 1). 
9. Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio 
(x – 2)(x – 4)(x – 5) obtém-se resto x + 3. Se os restos 
das divisões de p(x) por x – 2, x – 4 e x – 5 são, respecti-
vamente, os números A, B e C, então ABC vale: 
a) 100. 
b) 180. 
c) 200. 
d) 280. 
e) 360. 
10. (UPE) Para que o polinômio 6x3 – 4x2 + 2mx – (m + 1) seja 
divisível por x – 3, o valor da raiz quadrada do módulo 
de m deve ser igual a: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 5. 
E.O. FixAçãO
1. (UFJF) Dadosdois polinômios A(x) e B(x), sabe-se 
que S(x) = A(x) + B(x) é um polinômio de grau 8 e que 
D(x) = A(x) - B(x) é um polinômio de grau 5. É correto afirmar: 
CompetênCia: 5 Habilidades: 20, 21 e 23
22
a) O polinômio W(x) = B(x) – A(x) tem grau 8. 
b) Os polinômios A(x) e B(x) têm o mesmo grau. 
c) O polinômio C(x) = A(x) ⋅ B(x) tem grau 13. 
d) O polinômio A(x) tem grau 5. 
e) O grau do polinômio B(x) é menor que 7. 
2. (IME) Seja ∆ o determinante da matriz 
1 2 3
x x2 x3
x x 1
. O número de possíveis valores de 
x reais que anulam ∆ é:
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
3. (FGV) O quociente da divisão do polinômio 
P(x) = (x2 + 1)4 ⋅ (x3 + 1)3 por um polinômio de grau 2 
é um polinômio de grau: 
a) 5. 
b) 10. 
c) 13. 
d) 15. 
e) 18. 
4. (UECE) Se a expressão algébrica x2 + 9 se escreve 
identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) + c onde a, b e 
c são números reais, então o valor de a – b + c é: 
a) 9. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 13. 
5. Sejam p (x) = 2x2010 – 5x2 – 13x + 7 e q (x) = x2 + x + 1. 
Tomando r(x) como sendo o resto na divisão de p(x) por 
q(x), o valor de r(2) será: 
a) –8. 
b) –6. 
c) –4. 
d) –3. 
e) –2. 
6. (UPF) Se o polinômio P(x) = x4 – 2x2 + mx + p é divisí-
vel por D(x) = x2 + 1, o valor de m – p é: 
a) –3. 
b) –1. 
c) 0. 
d) 2. 
e) 3.
7. (ESPM) O trinômio x2 + ax + b é divisível por x + 2 e 
por x – 1. O valor de a – b é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4.
8. (Ibmec-RJ) Se o resto da divisão do polinômio 
P(x) = x3 + ax + b pelo polinômio Q(x) = x2 + x + 2 é 
igual a 4, então podemos afirmar que a + b vale: 
a) 2. 
b) –2. 
c) 3. 
d) –3. 
e) 4.
9. (ITA) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação 
x4 + x2 + ax + b = 0, com a, b ∈ R, então a2 – b3 é igual a: 
a) –64. 
b) –36. 
c) –28. 
d) 18. 
e) 27. 
10. (PUC-RS) Os polinômios p(x), q(x), f(x), h(x) em C, 
nessa ordem, estão com seus graus em progressão geo-
métrica. Os graus de p(x) e h(x) são, respectivamente, 16 
e 2. A soma do número de raízes de q(x) com o número 
de raízes de f(x) é:
a) 24.
b) 16.
c) 12.
d) 8.
e) 4.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Udesc) Um polinômio p(x) dividido por x + 1 deixa 
resto 16; por x – 1 deixa resto 12, e por x deixa resto –1. 
Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x + 1)(x – 1)
x é da forma ax2 + bx + c, então o valor numérico da 
soma das raízes do polinômio ax2 + bx + c é:
a) 3 __ 5 .
b) 2.
c) 2 ___ 15 .
d) 4.
e) –2.
2. (AFA) Considere o polinômio p(x) = ax4 + bx3 + 2x2 + 1, 
{a, b} ∈ R e marque a alternativa FALSA. 
a) x = 0 não é raiz do polinômio p(x).
b) Existem valores distintos para a e b tais que x = 1 
ou x = –1 são raízes de p(x).
c) Se a = 0 e b = 3, o resto da divisão de p(x) por 
3x2 – x + 1 é zero.
d) Se a = b = 0, tem-se que x = – 1 __ 2 i é uma raiz de 
p(x), considerando que i2 = –1.
3. (UEPB) Os valores de m e n para os quais a expres-
são 5x
4 + 8x2 + mx + n _________________ 
x2 + 2
 seja um polinômio são, res-
pectivamente:
23
a) 2 e –4.
b) 0 e –2.
c) 0 e –4.
d) 2 e 4.
e) 8 e –4.
4. (UEL) O polinômio p(x) = x3 + x2 – 3ax – 4a é divisível 
pelo polinômio q(x) = x2 – x – 4. Qual o valor de a?
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
5. (Udesc) Considere o polinômio f(x) = 8x3 – 6x2 – 3x + 1. 
Sabe-se que as raízes de f(x) são os primeiros termos de 
uma progressão geométrica infinita, cujo primeiro termo 
é a maior raiz de f(x), e a soma desta progressão é raiz do 
polinômio g(x) = x + a. Então, o resto da divisão de f(x), 
por g(x) é: 
a) – 35 ___ 27 . 
b) – 1 __ 2 . 
c) – 2 __ 3 . 
d) –2. 
e) –81. 
E.O. dissErtAtivO
1. (UFF) Considere o polinômio p(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 2.
a) Verifique se o número complexo i é raiz de p(x).
b) Calcule todas as raízes complexas de p(x). 
2. (UFLA) O polinômio P(x) = 2x3 + px2 + 11x + q é divi-
sível por x – 2, e P(1) = –4. Calcule os valores de p e q. 
3. (UPE) Analise as afirmações abaixo e conclua: 
( ) Um polinômio de grau ímpar e coeficientes reais 
possui, necessariamente, pelo menos, uma raiz real. 
( ) Se todos os coeficientes de um polinômio são reais, 
suas raízes serão, necessariamente, reais. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas não reais, 
então seu grau é, necessariamente, um número par. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas não 
reais, então seu grau é, necessariamente, um número 
ímpar. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas, e todos 
seus coeficientes são números inteiros, então os conju-
gados complexos de cada raiz, também, são raízes do 
mesmo polinômio. 
4. (UFV) O inteiro 2 é raiz do polinômio 
p(x) = 4x3 – 4x2 – 11x + k, onde k é uma constante real.
a) Determine o valor de k.
b) Determine as outras raízes de p(x).
c) Determine os intervalos onde p(x) > 0.
5. (UFJF-PISM 3) O resto da divisão de um polinômio 
p(x) por um polinômio q(x) é o polinômio 
r(x) = x5 - 7x4 - 8x3 + 56x2 + 15x - 105.
Sabendo que 7 é raiz de p(x) e de q(x), determine todas 
as raízes de r(x).
6. (UFU) Considere os polinômios p(x) = x3 + 2a + b e 
h(x) = x4 + a − 2b, em que a e b são constantes reais e x é 
uma variável real. Determine os valores de a e b para os 
quais esses polinômios sejam divisíveis por x - 4.
7. (UFJF-PISM 3) Sabendo que o polinômio 
p(x) = ax3 + bx + 2 é divisível por (x + 1)2, determine a e b.
8. (UFPE) Determine o polinômio com coeficientes reais 
p(x) = ax3 + bx2 + cx, tal que p(x + 1) − p(x) = 6x2 e indi-
que a2 + b2 + c2.
9. (UFTM) Seja o polinômio P(x) = x3 − 2x2 − 4x + m, sen-
do m um número real. Sabendo-se que P(x) é divisível 
por (x − 2) determine:
a) O valor de m.
b) Todas as raízes de P(x).
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Observe o gráfico da função polinomial de R 
em R definida por P(x) = 2x3 – 6x2 + 3x + 2:
Determine o conjunto solução da inequação P(x) > 0. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) O polinômio P(x) = a ⋅ x3 + 2 ⋅ x + b é divisível 
por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa resto –45. 
Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, 
são: 
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) –1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e –12.
24
2. (Unicamp) Considere o polinômio p(x) = xn + xm + 1, em 
que n > m ≥ 1. Se o resto da divisão de p(x) por x + 1 é igual 
a 3, então:
a) n é par e m é par.
b) n é ímpar e m é ímpar.
c) n é par e m é ímpar.
d) n é ímpar e m é par.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) O produto de duas das raízes do polinômio 
p(x) = 2x3 – mx2 + 4x + 3 é igual a –1. Determinar: 
a) o valor de m.
b) as raízes de p.
2. (Unicamp) O polinômio p(x) = x3 – 2x2 – 9x + 18 tem 
três raízes: r, – r e s.
a) Determine os valores de r e s.
b) Calcule p(z) para z = 1 + i, onde i é a unidade 
imaginária. 
3. (Unicamp) As três raízes da equação x3 – 3x2 + 12x – q = 0, 
onde q é um parâmetro real, formam uma progressão 
aritmética.
a) Determine q.
b) Utilizando o valor de q determinado no item (a), 
encontre as raízes (reais e complexas) da equação. 
4. (Unicamp) Seja a um número real e seja:
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação 
p(x) = 0.
b) Encontre os valores de a para os quais a equação 
p(x) = 0 tenha uma única raiz real. 
5. (Unicamp) Determine o quociente e o resto da divisão 
de x100 + x + 1 por x2 – 1. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. A 3. B 4. E 5. E
6. A 7. D 8. B 9. D 10. E
E.O. Fixação
1. B 2. C 3. D 4. D 5. E
6. E 7. D 8. C 9. C 10. C
E.O. Complementar
1. C 2. D 3. C 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
1. 
a) i4 + 2 . i3 + 3 . i2 + 2 . i + 2 = 1 – 2i – 3 + 2i + 2 = 0, 
logo, i é raiz da equação.
b) Se i é raiz, –i também é raiz (teorema das raízes 
conjugadas).
Logo, p(x0 é divisível por (x + i) . (x – i) = x
2 + 1
P(x) = (x2 + 1) . (x2 + 2x + 2)
Resolvendo a equação produto, temos:
x2 + 1 = 0
x = i ou x = –1
x2 + 2x + 2 = 0 
x = –1 – i ou x = –1 + i.
2. p = –7 e q = –10.
3. V-F-F-F-V.
(V) As raízes complexas aparecerão sempre aos pares;
(F) Poderá terraízes não reais;
(F) Poderá ter grau par ou ímpar;
(F) Poderá ter grau par ou ímpar;
(V) Verdadeiro: as raízes complexas aparecem aos pares (a 
própria raiz e sua conjugada) para coeficientes reais. 
4.
a) k = 2.
b) x = –3/2 e x = 1/2.
c) ]–3/2, 1/2[ e ]2, +∞[.
5. 7, ± √
__
 3 , ± √
__
 5 .
6. − 384 ____ 5 e 
448 ____ 5 .
7. a = − 1 e b = 3.
8. P(x) = 2x3 − 3x2 + x e a2 + b2 + c2 = 22 + (−3)2 + 12 = 14. 
9. P(x) = x3 − 2x2 − 4x + 8 = (x − 2) (x2 − 4) = (x − 2)2 (x + 2), 
ou seja, as raízes de P(x) são 2 e –2.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. O número 2 é raiz, pois p(2) = 0.
Dividindo p(x) por (x – 2), temos:
Logo, P(x) = (x – 2) . (2x2 + 2x + 1) 
Onde suas raízes são x = 2, x = 1 ± 
dXX 3 ______ 
2
 .
Resolvendo, agora a inequação P(x) > 0 através do gráfico do 
polinômio P(x). 
25
Portanto, a solução da inequação será dada por: 
S = { x ∈ R | 1 – √
__
 3 ___ 
2
 ≤ x≤ 1 + 
dXX 3 ______ 
2
 ou x ≥ 2 } 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E 2. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1.
a) m = 7.
b) 3/2; 1 – dXX 2 e 1 + dXX 2 .
2.
a) Fatorando P(x), obtemos 
p(x) = x3 – 2x2 – 9x + 18
p(x) = x2 (x – 2) – 9 (x – 2)
p(x) = (x – 2)(x2 – 9)
Portanto, r = 3 e s = 2.
b) Se z = 1 + i, então z2 = (1 + i)2 = 2i. 
Logo, p(z) = (1 + i – 2) (2i – 9) 
p(z) = 2i2 – 9i – 2i + 9 
p(z) = 7 – 11i. 
3. 
a) q = 10.
b) 1, 1 – 3i e 1 + 3i. 
4.
a) 3; 1 – 2i; 1 + 2i.
b) {a ∈ R | –3 < a ≤ 5}. 
5. quociente: Q(x) = x98 + x96 + ... + x2 + 1
resto: R(x) = x + 2.
27
MATRIZES, DETERMINANTES 
E SISTEMAS LINEARES
28
 Matrizes e operaçõesAULAS 
45 e 46
E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-RS) Dada a matriz A = 1 1
1 1
 e a função f, de-
finida no conjunto das matrizes 2 x 2 por f(x) = x2 – 2x, 
então f(A) é: 
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
2. (UFG) Um modelo matemático usado para a amplia-
ção de uma imagem consiste em considerar uma trans-
formação linear dada pela multiplicação de uma matriz 
escala Es por uma matriz coluna A, composta pelas co-
ordenadas do ponto P, que forma a imagem que será 
ampliada. Considerando as matrizes A e Es dadas por 
A = x
y
 e Es = 
Ex 0
 0 Ey
em que Ex e Ey são fatores multiplicativos que indicam a 
mudança da escala, então a matriz Q que indica as no-
vas coordenadas do ponto P, obtidas pela multiplicação 
das matrizes Es e A, é: 
a) xEx
yEy
.
b) Ex + x
Ey + y
.
c) yEx
xEy
.
d) xEx 0
 0 yEy
.
e) Ex x
 y Ey
.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
Arquimedes, candidato a um dos cursos da Faculdade 
de Engenharia, visitou a PUC-RS para colher informa-
ções. Uma das constatações que fez foi a de que existe 
grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 
3. (PUC-RS) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos 
de Engenharia, o professor pediu que os alunos resol-
vessem a seguinte questão:
Se A = 1 2
3 4
 então A2 é igual a:
a) 1 3
2 4
.
b) 1 4
9 16
.
c) 7 10
15 22
.
d) 5 11
11 25
.
e) 5 5
25 25
.
4. (UERN) Sejam as matrizes M = 2 3
–1 0
, 
N = 
4 0
1 5 e P = M ⋅ N + N ⋅ M. O menor elemento da 
matriz P é: 
a) –7.
b) –1.
c) –5.
d) 2.
5. (UEL) Uma indústria utiliza borracha, couro e tecido 
para fazer três modelos de sapatos. A matriz Q fornece 
a quantidade de cada componente na fabricação dos 
modelos de sapatos, enquanto a matriz C fornece o cus-
to unitário, em reais, destes componentes.
A matriz V que fornece o custo final, em reais, dos três 
modelos de sapatos é dada por: 
a) V = ( 110 ____ 120 ____ 80 ) .
b) V = ( 90 ____ 100 ____ 60 ) .
c) V = ( 80 ____ 110 ____ 80 ) .
CompetênCia: 6 Habilidades: 24, 25 e 26
29
d) V = ( 120 ____ 110 ____ 100 ) .
e) V = ( 100 ____ 110 ____ 80 ) .
6. (UEG) Tatiana e Tiago comunicam-se entre si por meio 
de um código próprio dado pela resolução do produto 
entre as matrizes A e B, ambas de ordem 2 x 2 onde 
cada letra do alfabeto corresponde a um número, isto é, 
a = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26. Por exemplo, se a resolução 
de A · B for igual a 1 13
15 18
 logo a mensagem recebida 
é amor. Dessa forma, se a mensagem recebida por Ta-
tiana foi flor e a matriz B = 1 -1
2 1
, então a matriz A é: 
a) –8 7
–8 10
b) –6 6
–7 11
c) –8 5
–7 11
d) –6 –7
 6 11
7. (UECE) Considerando as matrizes M1= ( 0 1 1 1 ) , M2 = M1 
. M1, M3 = M2 . M1 ..., Mn = Mn-1 · M1 o número situado na 
segunda linha e segunda coluna da matriz M10 é: 
a) 56.
b) 67.
c) 78.
d) 89.
8. (ESPM) A distribuição dos n moradores de um pe-
queno prédio de apartamentos é dada 
pela matriz 
4 x 5
1 3 y
6 y x+1
 onde cada elemento aij 
 
repre-
senta a quantidade de moradores do apartamento j do 
andar i. 
Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais que 
no 2º e que os apartamentos de número 3 comportam 
12 pessoas ao todo. O valor de n é:
a) 30.
b) 31.
c) 32.
d) 33.
e) 34.
9. (PUC-RS) Num jogo, foram sorteados 6 números para 
compor uma matriz M = (mij) de ordem 2 × 3. Após o 
sorteio, notou-se que esses números obedeceram à re-
gra mij = 4i – j. Assim, a matriz M é igual a:
a) 
1 2 3
5 6 7
b) 
1 2 3
4 5 6
c) 
3 2 1
7 6 5
d) 
3 2
7 6
11 10
e) 
3 7
2 6
1 5
10. (FEI) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) estão assim 
definidas:
aij = 1 se i = j
aij = 0 se i ≠ j
bij = 1 se i + j = 4
bij = 0 se i + j ≠ 4
onde 1 ≤ 1, j ≤ 3, então a matriz A + B é:
a) 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
b) 
0 0 1
0 1 0
1 0 0
c) 
1 0 1
0 1 0
1 0 1
d) 
1 0 1
0 2 0
1 0 1
e) 
1 1 0
0 1 1
0 1 0
11. (UFG) Seja M = [aij] n × n uma matriz quadrada de or-
dem n, onde aij = i + j.
Nessas condições, a soma dos elementos da diagonal 
principal desta matriz é: 
a) n2.
b) 2n + 2n2.
c) 2n + n2.
d) n2 + n.
e) n + 2n2.
12. (IFPE) Rodrigo, Otavio e Ronaldo gostam muito de 
comida japonesa e saíram para comer temaki, também 
conhecido como sushi enrolado à mão, cujo o formato 
lembra o de um cone.
Foram, então, visitando vários restaurantes, tanto no 
sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir re-
sumem quantos temakis cada um consumiu e como a 
despesa foi dividida:
30
S – [ 3 1 0 
2
 
 
 1 
3
 
0 
 
 
 2 
2
 ] e D – [ 2 3 0 0 2 1 1 0 2 ] . S refere-se às quantidades de 
temakis de sábado e D às de domingo. Cada elemento 
aij nos dá o número de cones que a pessoa i pagou para 
a pessoa j, sendo Rodrigo o número 1, Otávio, o número 
2 e Ronaldo, o número 3 (aij) representa o elemento da 
linha i e da coluna j de cada matriz).
Assim, por exemplo, no sábado, Rodrigo pagou 3 te-
makis que ele próprio consumiu (a11), 2 temakis con-
sumidos por Otávio (a12) e nenhum por Ronaldo (a13) 
que corresponde à primeira linha da matriz S. Quantos 
temakis Otávio ficou devendo para Rodrigo neste fim 
de semana? 
a) nenhum. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
E.O. FixAçãO
1. (Insper) Três amigos foram a uma papelaria para 
comprar material escolar. As quantidades adquiridas 
de cada produto e o total pago por cada um deles são 
mostrados na tabela.
Amigo
Quantidades compradas de Total pago 
(R$)cadernos canetas lápis
Júlia 5 5 3 96,00
Bruno 6 3 3 105,00
Felipe 4 5 2 79,00
Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma 
caneta e de um lápis, são, respectivamente, x, y e z. Des-
sa forma, das igualdades envolvendo matrizes forneci-
das a seguir, a única que relaciona corretamente esses 
preços unitários com os dados da tabela é: 
a) x y z ⋅ 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 = 96 105 79
b) 
x
y
z
 ⋅ 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 = 
96
105
79
c) 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 ⋅ x y z = 96 105 79 
d) 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 ⋅ 
x
y
z
 = 
96
105
79
e) 
x
y
z
 ⋅ 
96
105
79
 = 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
2. (UFC) O valor 2A2 + 4B2 quando A = 2 0
 0 –2
 e 
B = 
0 –1
1 0 é igual a: 
a) 
4 4
4 4
b) 
4 0
0 4
c) 
0 0
0 0
d) 
0 4
4 0
e) 
6 0
0 6
3. (UEL) Sobre as sentenças:
I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3 x 1.
II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 4 x 2.
III. O produto dematrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz qua-
drada 2 x 2.
É verdade que:
a) somente I é falsa. 
b) somente II é falsa. 
c) somente III é falsa. 
d) somente I e III são falsas. 
e) I, II e III são falsas. 
4. (UEL) Uma reserva florestal foi dividida em quadran-
tes de 1 m2 de área cada um. Com o objetivo de saber 
quantas samambaias havia na reserva, o número delas 
foi contado por quadrante da seguinte forma:
O elemento aij da matriz A corresponde ao elemento bij 
da matriz B, por exemplo, 8 quadrantes contêm 0 (zero) 
samambaia, 12 quadrantes contêm 1 samambaia. 
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a 
operação efetuada entre as matrizes A e B, que resulta 
no número total de samambaias existentes na reserva 
florestal. 
a) At x B. 
b) Bt x At. 
c) A x B. 
d) At + Bt. 
e) A + B. 
5. (UERN) Considere a seguinte operação entre matrizes:
 ( 6 4 2 3 ) · k = ( –6 1 ) 
A soma de todos os elementos da matriz K é: 
a) 1.
b) 3.
c) 4.
d) 7.
31
6. (UFPR) Um criador de cães observou que as rações 
das marcas A, B, C e D contêm diferentes quantidades 
de três nutrientes, medidos em miligramas por quilo-
grama, como indicado na primeira matriz abaixo. O 
criador decidiu misturar os quatro tipos de ração para 
proporcionar um alimento adequado para seus cães. A 
segunda matriz abaixo dá os percentuais de cada tipo 
de ração nessa mistura.
A B C D
percentuais 
de mistura
nutriente 1
nutriente 2
nutriente 3
370
340
225
450
305
190
A
B
C
D
Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em 
um quilograma da mistura de rações?
a) 389 mg.
b) 330 mg.
c) 280 mg.
d) 210 mg.
e) 190 mg. 
7. (UFSM) Sabendo-se que a matriz
A = 
 y 36 –7
 x2 0 5x
4–y –30 3
é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é: 
a) –23.
b) –11.
c) –1.
d) 11.
e) 23.
8. (UEL) Uma matriz quadrada A se diz ANTISSIMÉTRICA 
se At = –A. Nessas condições, se a matriz A mostrada na 
figura adiante é uma matriz antissimétrica, então x + y + 
z é igual a:
A = 
 x y z
 2 0 –3
–1 3 0
a) 3. 
b) 1. 
c) 0. 
d) –1. 
e) –3. 
9. (UFSM) Na planilha de cálculos do setor de Engenha-
ria, responsável pelas obras de um shopping, foram en-
contradas as matrizes:
A = log 1 log 0,01
log 100 log 10
e
B = 
 cos π __ 2 tg 
π __ 4 
sen3 π __ 2 cos 
π __ 3 
É correto, então, afirmar que A é igual a: 
a) ( 1 ___ 2 ) B.
b) B.
c) –B.
d) 2Bt.
e) 2B.
10. (UEG) Dada a matriz A = e
2x2 0
 0 |y + x|
 e seja B 
uma matriz identidade de ordem 2 os valores de x e y 
não negativos, tal que as matrizes A e B sejam iguais, 
são respectivamente: 
a) 0 e 1.
b) 1 e 1.
c) 0 e 
dXX 2 ___ 2 .
d) 
dXX 2 ___ 2 e 1– 
 dXX 2 ___ 2 .
11. (UFF) Toda matriz de ordem 2 × 2, que é igual a sua 
transposta, possui: 
a) pelo menos dois elementos iguais. 
b) os elementos da diagonal principal iguais a zero. 
c) determinante nulo. 
d) linhas proporcionais. 
e) todos os elementos iguais a zero. 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO. 
O levantamento sobre a dengue no Brasil tem como ob-
jetivo orientar as ações de controle, que possibilitam aos 
gestores locais de saúde antecipar as prevenções a fim 
de minimizar o caos gerado por uma epidemia. O Minis-
tério da Saúde registrou 87 mil notificações de casos de 
dengue entre janeiro e fevereiro de 2014, contra 427 mil 
no mesmo período em 2013. Apesar do resultado expres-
sivo de diminuição da doença, o Ministério da Saúde res-
salta a importância de serem mantidos o alerta e a con-
tinuidade das ações preventivas. Os principais criadouros 
em 2014 são apresentados na tabela a seguir.
Região
Armazenamento 
da água %
Depósitos 
domiciliares %
Lixo %
Norte 20,2 27,4 52,4
Nordeste 75,3 18,2 6,5
Sudeste 15,7 55,7 28,6
Cen-
tro-Oeste
28,9 27,3 43,8
Sul 12,9 37,0 50,1
(Adaptado de: BVS Ministério da Saúde. Disponível em: <www.
brasil.gov.br/saude/2014>. Acesso em: 21 abr. 2015.)
12. (UEL) Seja A a matriz formada pelos elementos aij em 
que i são as regiões e j os tipos de criadouros apresen-
tados na tabela. Considerando que cada região tenha 
seus tipos de criadouros aumentados em 10% devido a 
um desequilíbrio ambiental, assinale a alternativa que 
apresenta, corretamente, a matriz B resultante. 
a) B3x5 = k . A3x5, em que k = 10,0 
b) B3x5 = (1 + k) . A3x5, em que k = 0,1 
32
c) B5x3 = (1 + k) . A5x3, em que k = 0,1 
d) B5x3 = (10 + k) . A5x3, em que k = 0,1 
e) B5x3 = k . A5x3, em que k = 0,1 
13. (UEL) Conforme dados da Agência Nacional de Avia-
ção Civil (ANAC), no Brasil, existem 720 aeródromos 
públicos e 1814 aeródromos privados certificados. Os 
programas computacionais utilizados para gerenciar o 
tráfego aéreo representam a malha aérea por meio de 
matrizes. Considere a malha aérea entre quatro cidades 
com aeroportos por meio de uma matriz. Sejam as cida-
des A, B, C e D indexadas nas linhas e colunas da matriz 
4 x 4 dada a seguir. Coloca-se 1 na posição X e Y da 
matriz 4 x 4 se as cidades X e Y possuem conexão aérea 
direta, caso contrário coloca-se 0. A diagonal principal, 
que corresponde à posição X = Y, foi preenchida com 1.
A B C D
A 1 0 0 1
B 0 1 1 1
C 0 1 1 0
D 1 1 0 1
 
 
 
 
 
 
Considerando que, no trajeto, o avião não pode pousar 
duas ou mais vezes em uma mesma cidade nem voltar 
para a cidade de origem, assinale a alternativa correta. 
a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras 
cidades. 
b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras 
cidades. 
c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C. 
d) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades 
A e B. 
e) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades 
A e C. 
E.O. COmplEmEntAr
1. (UPF) Dadas as matrizes quadradas A, B e C, de ordem 
n, e a matriz identidade In, de mesma ordem, considere 
as proposições a seguir, verificando se são verdadeiras 
(V) ou falsas (F). 
( ) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
( ) (A – B)2 = A2 – B2
( ) CI = C
A sequência correta de preenchimento dos parênteses, 
de cima para baixo, é: 
a) V – V – V.
b) V – F – V.
c) F – V – V.
d) F – F – V.
e) F – F – F.
2. (Unioeste) Sendo A uma matriz quadrada e n um in-
teiro maior ou igual a 1, define-se An como a multipli-
cação de A por A , n vezes. No caso de A ser a matriz 
( 0 ___ –1 –1 ___ 0 ) 
 
é correto afirmar que a soma A+ A2 + A3 + ...+ 
A39 + A40 é igual à matriz: 
a) ( 20 ____ –20 –20 ____ 20 ) 
b) ( 40 ____ –20 –20 ____ 40 ) 
c) ( 0 ____ –40 –40 ____ 0 ) 
d) ( 40 ____ –40 –40 ____ 40 ) 
e) ( 20 ___ 0 0 ___ 20 ) 
3. (ESPM) Sendo A = [ a __ c b __ d ] uma matriz quadrada de 
ordem 2, a soma de todos os elementos da matriz 
M = A ⋅ At é dada por: 
a) a2 + b2 + c2 + d2. 
b) (a + b + c + d) 2. 
c) (a + b) 2 + (c + d)2. 
d) (a + d) 2 + (b + c)2. 
e) (a + c) 2 + (b + d)2. 
4. (Mackenzie) Se a matriz
 1 x + y + z 3y – z + 2
 4 5 –5
y – 2z + 3 z 0
é simétrica, o valor de x é: 
a) 0.
b) 1.
c) 6.
d) 3.
e) –5.
5. (UFSM)
O diagrama dado representa a cadeia alimentar simpli-
ficada de um determinado ecossistema. As setas indi-
cam a espécie de que a outra espécie se alimenta.
Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de 
outra e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a se-
guinte tabela:
Urso Esquilo Inseto Planta
Urso 0 1 1 1
Esquilo 0 0 1 1
Inseto 0 0 0 1
Planta 0 0 0 0
A matriz A = (aij)4×4, associada à tabela, possui a seguin-
te lei de formação: 
a) aij = 
b) aij = 
33
c) aij = 
d) aij = 
e) aij = 
6. (FGV) O total de matrizes distintas que possuem ape-
nas os números 1, 2, 3, 4, 5,...,15, 16 como elementos, 
sem repetição, é igual a: 
a) (4!)4.
b) 16.4!.
c) 5.16!.
d) (16!)5.
e) 1616.
7. (Udesc) Considere as matrizes da forma A = [ a c b d ] 
com a, b, c, d e {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Se os elementos destas 
matrizes não são múltiplos, então o número máximo de 
tais matrizes distintas que pode ser formado é: 
a)96. 
b) 120. 
c) 48. 
d) 72. 
e) 360. 
E.O. dissErtAtivO
1. (UDESC) Dadas as matrizes A = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) e B = ( 1 ___ 3 0 __ 2 ) 
calcule as matrizes (C, D, E, F, e G) resultantes das se-
guintes operações:
a) C = A + Bt.
b) D = A2.
c) E = 2A - Bt.
d) F = 3A – 2B.
e) G = A ⋅ B.
Obs.: Bt é a matriz transposta da matriz B.
2. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas regi-
ões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z.
A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de cada cultu-
ra, em hectares, por região.
A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada fertili-
zante, em kg, por hectare, em cada cultura.
a) Calcule a matriz C = AB.
b) Explique o significado de c23, o elemento da segun-
da linha e terceira coluna da matriz C.
3. (UFV) Dada a matriz mostrada na figura adiante
A = 
 1 2 3
 0 1 2
–1 1 –1
 ,determine:
a) A2.
b) A ⋅ At.
c) 2A + 3At.
Determine:
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a 
maior temperatura;
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia 
de observação. 
4. (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para to-
mar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no 
domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um 
consumiu e como a despesa foi dividida:
S = 
4 1 4
0 2 0
3 1 5
 e D = 
5 5 3
0 3 0
2 1 3
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pa-
gou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o nú-
mero 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento 
da linha i, coluna j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele pró-
prio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primei-
ra linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
5. (FGV) Uma fábrica decide distribuir os excedentes 
de três produtos alimentícios A, B e C a dois países da 
América Central, P1 e P2 As quantidades, em toneladas, 
são descritas mediante a matriz Q:
1
2
A B C
P200 100 150
Q
P100 150 200
↓ ↓ ↓
← 
=   ← 
Para o transporte aos países de destino, a fábrica rece-
beu orçamentos de duas empresas, em reais por tonela-
das, como indica a matriz P:
500 300 1ª empresa
P
400 200 2ª empresa
← 
=   ← 
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que 
for possível. Que elemento da matriz produto indica 
o custo de transportar o produto A, com a segunda 
empresa, aos dois países? 
b) Para transportar os três produtos aos dois países, 
qual empresa deveria ser escolhida, considerando 
que as duas apresentam exatamente as mesmas con-
dições técnicas? Por quê?
34
6. (UEMA) Uma matriz A (m × n) é uma tabela retangular 
formada por m × n números reais (aij), dispostos em m li-
nhas e n colunas. O produto de duas matrizes A = (aij)m×n e 
B = (bij)n×p é uma matriz C = (cij)m×p, em que o elemento 
cij é obtido da multiplicação ordenada dos elementos 
da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j, da 
matriz B, e somando os elementos resultantes das mul-
tiplicações. A soma de matrizes é comutativa, ou seja, 
A + B = B + A.
Faça a multiplicação das matrizes A e B, e verifique se 
esse produto é comutativo, ou seja: A × B = B × A.
A = 
1 2 3
A 0 1 2
0 0 1
 
 =  
  
 e B= 
0 1 2
B 1 2 3
0 1 0
− 
 = − 
  
7. (UnB) Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, 
durante vários meses, um levantamento para determi-
nar a preferência dos consumidores em relação a duas 
marcas de detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-
-se, inicialmente, que, entre 200 pessoas pesquisadas, 
120 usavam a marca 1 e 80, a marca 2. Com base no 
levantamento inicial, a equipe compilou a seguinte es-
tatística:
a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, 
continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 30% mu-
daram para a marca 2;
b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, 
continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 20% mu-
daram para a marca 1.
Esses resultados podem ser expressos pela matriz 
P = (pij) = ( 0,7 0,3 0,2 0,8 ) em que pij, 1 ≤ i, j ≤ 2, representa 
a probabilidade do consumidor da marca j consumir a 
marca i após um mês, supondo-se que tais probabilida-
des sejam mantidas constantes de um mês para o outro. 
Dessa forma, obtém-se a fórmula de recorrência Xk+1 = 
PXk, k ≥ 0, em que Xk ( ak bk ) representa a distribuição, no 
mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada deter-
gente pesquisados; ak e bk representam os percentuais 
de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no refe-
rido período.
Com base nessas informações, julgue os itens subse-
quentes.
a) A sequência b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2 representa uma 
progressão geométrica decrescente de razão 0,5.
b) Se Xk = ( a b ) é tal que Xk+1 = Xk, para algum k ≥ 0, 
então a = 0,4 e b = 0,6.
c) A probabilidade de um consumidor do detergente 
da marca 1 comprar o da marca 2 ao final do 2.º mês 
é superior a 50%.
8. (UFU) Em computação gráfica, é frequente a neces-
sidade de movimentar, alterar e manipular figuras em 
um sistema 2D (bidimensional). A realização destes 
movimentos é feita, em geral, utilizando-se transfor-
mações geométricas, as quais são representadas por 
matrizes T2x2. Assim — considerando um polígono P no 
plano cartesiano xOy de vértices (a1,b1), ..., (an,bn), o qual 
é representado pela matriz M2xn = ( a1 ... an b1 ... bn ), em que n 
é o número de vértices do polígono — a transformação 
de P por T2x2 é feita pela realização do produto matricial 
T2x2 · M2xn obtendo a matriz resultante ( c1 ... cn d1 ... dn ) cujas 
colunas determinam os vértices (c1,d1), ..., (cn,dn) do po-
lígono obtido.
Nesse contexto, para o que se segue, considere a trans-
formação T2x2 = ( 2cosθ −2senθ 2senθ 2cosθ ) e P o triângulo cujos 
vértices são os pontos A(0, 0), B(4, 0) e C(2,2 √
__
 3 ).
Execute planos de resolução de maneira a encontrar:
a) os vértices do triângulo resultante Q obtido da trans-
formação do triângulo P por T2x2 quando θ = 840°;
b) a área do triângulo resultante Q obtido na trans-
formação do item A.
9. (FGV) Um determinado produto deve ser distribuído a 
partir de 3 fábricas para 4 lojas consumidoras. Seja C = 
(cij)3x4 a matriz do custo unitário de transporte da fábrica 
i para a loja j, com cij = (2i − 3j)
2. Seja B = (bij)3x4 a matriz 
que representa a quantidade de produtos transportados 
da fábrica i para a loja j, em milhares de unidades, com 
bij = i + j
a) Determine as matrizes C = (cij)3x4 e B
t sendo que Bt 
é a transposta da matriz B (bij)3x4.
b) Sendo D = 
4 1
1
1
D
1
1 ×
 
 
 =
 
 
 
e E [1 0 0]1x3 determine as 
matrizes X = (xij)3x1 e Y = (yij)1x3 tais que 
X = B · D e Y = E · (C·Bt). Em seguida, determine o 
significado econômico de xij e de yij.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.
A = ( 0,3 0,47 
0,6 
 
0,47 
 
 
 0,6 
x 
 
0,6 
 
 
 x 
0,77
 ) 
Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor 
do logaritmo decimal de (i + j).
O valor de x é igual a:
a) 0,50.
b) 0,70.
c) 0,77.
d) 0,87.
35
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de meda-
lhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 
2007(tabela I).
Com base na tabela, é possível formar a matriz qua-
drada A cujos elementos aij representam o número de 
medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j per-
tencentes ao conjunto {1, 2, 3}.
Para fazer outra classificação desses países, são atribuí-
dos às medalhas os seguintes valores:
 § ouro: 3 pontos;
 § prata: 2 pontos;
 § bronze: 1 ponto.
Esses valores compõem a matriz V = 
3
2
1
Tabela I – Quadro de medalhas 
Jogos Pan-americanos RJ 2007
País
Medalhas
TotalTipos
1. Ouro 2. Prata 3. Bronze
1. Estados Unidos 97 88 52 237
2. Cuba 59 35 41 135
3. Brasil 54 40 67 161
Determine a partir do cálculo do produto A.V, o número 
de pontos totais obtidos pelos trêspaíses separadamente. 
2. (UERJ) A temperatura corporal de um paciente foi 
medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cin-
co dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde 
à temperatura observada no instante i do dia j.
35,6 36,4 38,6 38,0 36,0
36,1 37,0 37,2 40,5 40,4
35,5 35,7 36,1 37,0 39,2
Determine:
a) O instante e o dia em que o paciente apresentou a 
maior temperatura.
b) A temperatura média do paciente no terceiro dia 
de observação.
3. (UERJ) Considere as matrizes A e B:
A = (axj) é quadrada de ordem n em que axj = 1, se x é 
par e axj = –1, se x é ímpar
B = (bxj) é de ordem n × p em que bxj = j
x
a) Calcule a soma dos elementos da diagonal princi-
pal da matriz A.
b) O elemento da quarta linha e da segunda coluna 
da matriz produto AB é igual a 4094.
Calcule o número de linhas da matriz B. 
4. (UERJ) Considere a sequência de matrizes (A1, A2, 
A3,...), todas quadradas de ordem 4, respectivamente 
iguais a:
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
16 17 18 19
20 21 22 23
24 25 26 27
28 29 30 31
32 33 34 35
36 37 38 39
40 41 42 43
44 45 46 47 
...
Sabendo que o elemento a ij = 75432 é da matriz An, de-
termine os valores de n, i e j.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Em uma matriz, chamam-se elementos in-
ternos aqueles que não pertencem à primeira nem à úl-
tima linha ou coluna. O número de elementos internos 
em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a: 
a) 12. 
b) 15. 
c) 16. 
d) 20. 
2. (Fuvest) Sejam a e b números reais com –π/2 < a 
< π/2 e 0 < b < π. Se o sistema de equações, dado em 
notação matricial,
3 6
6 8
 tg a
cos b
 = 0
–2 dXX 3 
 ,
for satisfeito, então a + b é igual a: 
a) – π __ 3 .
b) – π __ 6 .
c) 0.
d) π __ 6 .
e) π __ 3 .
3. (Unicamp) Sendo a um número real, considere a 
matriz ( 1 a 0 -1 ) . Então, A2017 é igual a 
a) ( 1 0 0 1 ) .
b) ( 1 a 0 -1 ) .
c) ( 1 1 1 1 ) .
d) ( 1 a2017 0 -1 ) .
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Considere as matrizes reais 2 x 2 do tipo 
A(x) = [ cos x sen x sen x cos x ] . 
a) Calcule o produto A(x) ⋅ A(x).
b) Determine todos os valores de x e [0, 2π] para os 
quais A(x) ⋅ A(x) = A(x). 
2. (Fuvest) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 
se uma de suas linhas é não nula e as outras são múlti-
36
plas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para 
os quais a matriz 3 × 3
A = 
 2 1 __ 2 3
 3a – b + 2c 1 6
 b + c – 3a 1 __ 2 c – 2a + b
tem posto 1.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. A 3. C 4. A 5. E
6. B 7. D 8. C 9. C 10. D
11. D 12. E
E.O. Fixação
1. D 2. B 3. B 4. A 5. A
6. A 7. C 8. D 9. D 10. A
11. A 12. C 13. A
E.O. Complementar
1. D 2. A 3. E 4. C 5. C
6. C 7. D
E.O. Dissertativo
1. 
a) C = A + Bt = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) + ( 1 __ 0 3 __ 2 ) = ( 0 __ 1 8 __ 5 ) 
b) D = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) ⋅ ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) = ( 6 __ 2 10 ___ 14 ) 
c) E = 2 ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) + ( 1 __ 0 3 __ 2 ) = ( –1 ___ 2 13 ___ 8 ) 
d) F = 3 ⋅ ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) – 2 ⋅ ( 1 __ 3 0 __ 2 ) = ( –5 ___ –3 15 ___ 5 ) 
e) G = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) ⋅ ( 1 __ 3 0 __ 2 ) = ( 14 ___ 10 10 ___ 6 ) 
2. 
a) 3a 50 20 20
40 10 30
 
10 20 15
15 20 20
30 20 30
 
=
 
1400 1800 1750
1450 1600 1700
 
b) c23 = 1700 significa que serão necessários 1700 
kg do fertilizante Z para as culturas de milho, soja e 
feijão na região Q. 
3. Observe as matrizes a seguir:
a) A2 = [ –2 ___ –2 ___ 0 
7 __ 
3
 
 ___ 
–2
 
 4 __ 
0 
 
 __ 
0 
 ] 
b) A · At = [ 14 ___ 8 ___ –2 
8 _ 5 ___ –1 
 –2 ___ –1 ___ 
3
 ] 
c) 2A + 3At = [ 5 __ 6 __ 7 
4 __ 5 __ 
8
 
 3 __ 7 _ __ –5 ] 
4. 
a) Cláudio.
b) 2 chopes
5. 
a) 100000.
b) CE2
 < CE1.
6. 
B × A = 
0 1 0
1 0 2
0 1 2
 e A × B = 
2 0 4
1 0 3
0 1 0
7. 
a) Correto. Temos que a0 = 
120 ____ 
200
 = 0,6 e b0 = 
80 ____ 
200
 = 0,4. 
Então, como X0 = ( 0,6 0,4 ) 
vem
X1 = ( 0,7 0, 0,3 0,8 ) · ( 0, 0,4 ) = ( 0,5 0,5 ) 
X2 = ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) · ( 0,5 0,5 ) = ( 0,45 0,55 ) e
X3 = ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) · ( 0,45 0,55 ) = ( 0,425 0,575 ) .
e Segue que b1 = 0,5, b2 = 0,55 e b3 = 0,575. 
Portanto, a sequência 
(b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2) = 
= (0,1; 0, 0,5; 0, 0,025) é uma progressão geométrica 
de razão 0,05 _____ 
0,1
 = 0,5.
b) Correto. Sabendo que a + b = 1, vem 
XK+1 = XK ⇔ ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) ( a b ) = ( a b ) 
⇔ ( 0,7a + 0,2b 0,3a + 0,8b ) = ( a b ) 
⇔ b = 1,5a.
Desse modo, a + 1,5a ⇔ a + 1,4a e, portanto, b = 0,6.
c) Incorreto. A probabilidade de um consumidor do 
detergente da marca 1 comprar o da marca 2 ao final 
do 2º mês, corresponde ao elemento p21 da matriz P
2 
Então, como
P2 = ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) ⋅ ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) = ( 0,55 0,30 0,45 0,70 ) ,
segue que p21 = 0,45 < 0,50 = 50%.
8. 
a) Os vértices do triângulo Q são A' (0, 0), B' (–4, 4 √
__
 3 ) e 
C' (-8, 0).
b) 16 √
__
 3 u.a.
9. 
a) 
37
t
2 3 4
3 4 5
B .
4 5 6
5 6 7
 
 
 =  
 
  
b) y11 indica o custo total com transporte, da fábrica 
1, para as quatro lojas; e y1k, com 2 ≤ k ≤ 3, indica 
o custo total que a fábrica 1 teria para transportar a 
produção das fábricas 2 e 3 para as quatro lojas.
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. B
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. Estados Unidos: 519
Cuba: 288
Brasil: 309.
2. 
a) Na segunda medição do 4º dia.
b) 37,3° C. 
3. 
a) 0, se n é par
–1, se n é ímpar.
b) n = 11.
4. 75432 = 4714 . 16 + 8
Logo, n = 4714 + 1 = 4715 e i = 3 e j = 1. 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. A 2. B 3. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) ( 1 sen2x sen2x 1 ) .
b) x = 0 ou x = 2π.
2. a = 1, b = 3 e c = 2 .
38
 Matriz inversa e equações MatriciaisAULAS 
47 e 48
E.O. AprEndizAgEm
1. (Ufrrj) Dada uma matriz A = [ 1 ___ –1 2 __ 0 ] , denotamos por 
A-1 a matriz inversa de A. Então A+A-1 é igual a: 
a) [ 2 __ 1 3 __ 0 ] . b) [ 1 __ 2 –1 ___ 0 ] .
c) [ 1 __ – 1 __ 2 
1 __ 
 1 __ 2 
 ] . d) [ 0 __ 1 __ 2 
–1 ___ 
 1 __ 2 
 ] .
e) [ 2 ___ –2 4 __ 0 ] .
2. (FGV-RJ) Seja X a matriz que satisfaz a equação 
matricial X ⋅ A = B, em que:
A = [ 2 __ 5 1 __ 3 ] e B = [8 5]
Ao multiplicar os elementos da matriz X, obteremos o 
número: 
a) –1.
b) –2.
c) 1.
d) 2.
e) 0.
3. (FGV) Sendo A = [ 1 __ 0 1 __ 1 ] e B = [ 170 ____ 10 ] , a matriz X = [ x __ y ] na 
equação A16 . X = B será: 
a) [ 5 __ 5 ] .
b) [ 0 ___ 10 ] .
c) [ 10 ___ 5 ] .
d) [ 10 ___ 10 ] .
e) [ 5 ___ 10 ] .
4. (Fatec) A matriz inversa da matriz em destaque, mos-
trada adiante é ( 1 __ 0 0 __ 1 ) :
a) ( 1 __ 1 0 __ 0 ) 
b) ( 1 __ 0 0 __ 1 ) 
c) ( 0 __ 0 1 __ 1 ) 
d) ( 0 __ 1 1 __ 0 ) 
e) 
5. (ITA) Se M = [ 1 ___ 2 -1 __ 0 ] e N = [ 2 ___ -1 1 __ 3 ] , então MNT – M–1N 
é igual a: 
a) [ 3 __ 2 5 __ 2 
– 5 __ 2 
– 3 __ 2 
 ] 
b) [ 3 __ 2 7 __ 2 
– 1 __ 2 
– 5 __ 2 
 ] 
c) [ 3 __ 2 13 ___ 2 
– 11 ___ 2 
 – 5 __ 2 
 ] 
d) [ 3 __ 2 – 5 __ 2 – 13 ___ 2 – 3 __ 2 ] 
e) [ 3 __ 2 13 ___ 2 
– 11 ___ 2 
– 3 __ 2 
 ] 
6. (Fac.Albert Einstein - Medicina) Uma matriz quadrada 
se diz ortogonal se sua inversa é igual à sua transposta. 
Dada a matriz A = ( x–3 √__ 5 – √
__
 5 x–3 ) , em que X e C* a soma dos 
valores de x que a tornam uma matriz ortogonal é igual a: 
a) 6 + 4i. 
b) 6 – 4i. 
c) 6. 
d) 4. 
7.(UFSJ) A matriz inversa de 
2 0 1
A 2 1 10
0 0 1
− 
 =  
 − 
 é:
a) 2 0 1
A 2 1 10
0 0 1
− 
 = − − − 
  
b) 1 2 0 1 2
A 1 1 11
0 0 1
− 
 = − 
 − 
c) 2 2 0
A 0 1 0
1 10 1
 
 =  
 − − 
d) 2 2 0
A 0 1 0
1 10 1
− − 
 = − 
 − 
CompetênCia: 6 Habilidades: 24, 25 e 26
39
E.O. FixAçãO
1. (FGV) Sabendo que a inversa de uma matriz 
A é A–1 = [ 3 ___ –5 –1 ___ 2 ] , e que a matriz X é solução da equação 
matricial X ⋅ A = B em que B = [8 3] podemos afirmar 
que a soma dos elementos da matriz X é: 
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 11.
2. (Insper) Considere as matrizes 
A = [ 3 __ 0 0 __ 1 ] B = [ 0 __ 8 3 __ 0 ] X = [ x __ y ] e Y = [ x2 __ y2 ] .
Se x e y são as soluções não nulas da equação 
A ⋅ Y + B ⋅ X = [ 0 __ 0 ] , então x ⋅ y é igual a: 
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
3. (Espcex-Aman) O elemento da segunda linha e tercei-
ra colunada matriz inversa da matriz ( 1 __ 2 __ 0 
0 __ 1 __ 1 
 1 __ 0 __ 1 
) é: 
a) 2 __ 3 .
b) 3 __ 2 .
c) 0.
d) –2.
e) – 1 __ 3 .
4. (Ufrrj) Dada uma matriz A = ( 1 2 –1 0 ) , denotamos por A-1 
a matriz inversa de A. Então A+A-1 é igual a:
a) ( 2 3 1 0 ) 
b) [ 1 -1 2 0 ] 
c) ( 11 - 1 __ 2 1 __ 2 ) 
d) ( 0 -1 - 1 __ 2 1 __ 2 ) 
e) ( 2 4 -2 0 ) 
5. (FGV) Dada a matriz B = [ 3 -4 ] e sabendo que a 
matriz A1 = [ 2 -1 5 3 ] é a matriz inversa da matriz A, po-
demos concluir que a matriz X, que satisfaz a equação 
matricial AX = B, tem como soma de seus elementos o 
número: 
a) 14.
b) 13.
c) 15.
d) 12.
e) 16.
6. (FGV) A matriz A é inversa da matriz B.
A = [ x 1 5 3 ] B = [ 3 - 1 y 2 ] 
Nessas condições, podemos afirmar que a soma x+y 
vale:
a) − 1.
b) − 2.
c) − 3.
d) − 4.
e) − 5.
7. (Udesc) Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes quadradas 
de ordem 3 de tal forma que:
 § aij = i + j
 § bij = j e os elementos de cada coluna, de cima para 
baixo, formam uma progressão geométrica de razão 2.
Analise as proposições abaixo:
( ) A = AT
( ) Os elementos de cada uma das linhas da matriz B 
estão em progressão aritmética.
( ) Os elementos de cada uma das linhas e de cada uma 
das colunas da matriz AB estão em progressão aritmética.
( ) Existe a matriz inversa da matriz C = A − B.
O número de proposição(ões) verdadeira(s) é:
a) 0.
b) 3.
c) 1.
d) 2.
e) 4.
8. (UFPR) Identifique as afirmativas a seguir como ver-
dadeiras (V) ou falsas (F).
( ) Sabe-se que uma matriz A é inversível se existir uma 
matriz B tal que AB = BA = In, onde In é a matriz unidade 
de ordem n. A inversa da matriz [ 3 7 5 11 ] [ - 11 ___ 2 7 __ 2 5 __ 2 - 3 __ 2 ] . 
( ) Um restaurante típico da região do litoral oferece as 
seguintes entradas: casquinha de siri, panqueca de siri, 
ostras, saladas, caranguejo. Os pratos principais são: 
peixe com gengibre, indaiá, caldeirada, filé de lingua-
do. As sobremesas disponíveis são bolinho de polvilho, 
bolo de pinhão, mbojape (bolo de milho), canjica, arroz 
doce, milho. Com toda essa variedade, um cliente pode 
escolher de noventa formas diferentes uma entrada, 
um prato principal e uma sobremesa.
( ) Se numa pesca típica no estuário de Guaratuba um 
pescador pesca seis garoupas, dois robalos e dez beta-
ras, e se um peixe destes for escolhido ao acaso, a pro-
babilidade de ele não ser betara é igual à probabilidade 
de ele ser robalo ou garoupa.
( ) É verdadeira a igualdade sen ( π __ 8 ) = 
 √
_______ 
 2 + √
__
 2 ________ 2 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência corre-
ta, de cima para baixo.
a) V – F – V – F.
b) V – F – F – F.
c) V – F – V – V.
40
d) F – V – F – F.
e) F – V – V – V.
E.O. COmplEmEntAr
1. (FGV) A matriz [ a __ b __ c ] é a solução da equação matricial 
AX = M em que: A = [ 1 __ 0 __ 0 
2 __ 1 __ 0 
 5 __ 4 __ 3 ] e M = [ 
28 ___ 15 ___ 9 ] .
Então a2 + b2 + c2 vale: 
a) 67.
b) 68.
c) 69.
d) 70.
e) 71.
2. (Espcex-Aman) Considere as matrizes
A = [ 3 __ 1 5 __ x ] e B = [ x __ y y + 4 _____ 3 ] .
Se x e y são valores para os quais B é a transposta da 
Inversa da matriz A, então o valor de x + y é: 
a) –1.
b) –2.
c) –3.
d) –4.
e) –5.
3. (ITA) Considere as matrizes A = [ 1 __ 0 0 ___ –1 –1 ___ 2 ] , I = [ 1 __ 0 0 __ 1 ] , 
X = [ x __ y ] , B = [ 1 __ 2 ] .
Se x e y são soluções do sistema (AAt - 3I) X = B, então 
x + y é igual a: 
a) 2.
b) 1.
c) 0.
d) –1.
e) –2.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFTM) Considere as matrizes
A = (aij)2x2, tal que aij = i
2 + j2, e
B = (bij)2x2, tal que b ij = (i + j)
2
.
Determine:
a) pela lei de formação, a matriz C resultante da soma 
das matrizes A e B.
b) a matriz M de ordem 2 que é solução da equação 
matricial A . M + B = 0, em que 0 representa a matriz 
nula de ordem 2. 
2. (UFPE) Seja [ a __ c b __ d ] a inversa da matriz [ 3 ___ 11 1 __ 4 ] . Indique 
|a| + |b| + |c| + |d|. 
3. (UFC) A matriz quadrada A de ordem 3 é tal que 
A2 = [ 2 __ 1 __ 1 
1 __ 2 __ 1 
 1 __ 1 __ 2 ] . 
a) Calcule A2 – 3 · I, em que I é a matriz identidade 
de ordem 3.
b) Sabendo-se que A cumpre a propriedade 
A3 – 3 · A = 2 · I, determine a matriz inversa de A. 
4. (Udesc) Sejam A = (aij) e B = (b ij) matrizes qua-
dradas de ordem 2 cujas entradas são definidas 
por aij = i
2 – i ⋅ j e bij = 
3j – i, se i ≤ j
i3 – j2, se i > j
Explicitando seus cálculos, determine a matriz X que sa-
tisfaz a equação matricial (A + B)T + mX = n (A . B), onde 
m e n são, respectivamente, a maior e a menor raiz real 
do polinômio p(t) = t4 + t3 – 6t2. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Considere a matriz A = [ a a – 1 2a + 1 a + 1 ] em que 
a é um número real. Sabendo que A admite inversa A–1 
cuja primeira coluna é [ 2a – 1 –1 ] , a soma dos elementos da 
diagonal principal de A–1 é igual a: 
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
2. (Unesp) Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, 
cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são qua-
dradas de ordem n. A condição necessária e suficiente 
para que esta equação tenha solução única é que: 
a) B – I ≠ 0, onde I é a matriz identidade de ordem n 
e O é a matriz nula de ordem n. 
b) B seja invertível. 
c) B ≠ 0, onde O é a matriz nula de ordem n. 
d) B – I seja invertível, onde I é a matriz identidade 
de ordem n. 
e) A e C sejam invertíveis. 
3. (Unicamp) Considere a matriz A = [ a __ b 0 __ 1 ] onde a e b 
são números reais. Se A2 = A e A é invertível, então: 
a) a = 1 e b = 1.
b) a = 1 e b = 0.
c) a = 0 e b = 0.
d) a = 0 e b = 1.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Uma matriz real quadrada P é dita ortogo-
nal se Pt = P-1, ou seja, se sua transposta é igual a sua 
inversa.
a)Considere a matriz P = . 
41
Determine os valores de a e b para que P seja orto-
gonal.
Dica: você pode usar o fato de que P-1P = I, em que I 
é a matriz identidade.
b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma 
A = QR, sendo Q = e 
R = . 
Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do 
sistema Ax = b, para o vetor b = [ 6 –2 0 ] , sem obter expli-citamente a matriz A.
Dica: lembre-se de que x = A-1b. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. B 3. D 4. B 5. C
6. C 7. B
E.O. Fixação
1. A 2. C 3. A 4. C 5. B
5. C 7. B 8. A
E.O. Complementar
1. A 2. C 3. D
E.O. Dissertativo
1. 
a) ( 6___ 14 14 ___ 24 ) 
b) B = ( 4 __ 9 9 ___ 16 ) ; M = ( – 13 ___ 9 ____ – 2 __ 
9
 
 
– 8 __ 
9
 
 ____ 
– 13 ___ 
9
 
 ) 
2. |a| + |b| + |c| + |d| = |4| + |–1| + |–11| + |3| = 19.
3. 
a) A2 –3 ⋅ I = [ 2 __ 1 __ 1 
1 __ 
2 
 
 __ 1 
 1 __ 1 __ 
2
 ] –3 ⋅ [ 1 __ 0 __ 0 
0 __ 1 __ 
0
 
 0 __ 
0
 
 __ 1 ] = [ 
–1 ___ 1 ___ 1 
 1 ___ –1 ___ 1 
 1 __ 1 ___ –1 ] 
b) A–1 = 
4. X = ( 19 ___ 2 ___ 
–8
 
 3 __ 
2
 
 ____ –17 
) 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. D 3. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) a = 2 __ 
3
 e b = – 1 __ 
3
 .
b) x = [ 1 1 –4 ] .
42
 DeterMinantesAULAS 
49 e 50
E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades:
I.  2 ___ –1 2 __ 4  >  3 __ 1 4 __ 5  
II.  3 __ 5 –6 ___ –2  <  4 ___ –1 7 __ 5  
III.  8 ___ –2 1 ___ –6  >  9 ___ –1 2 ___ –7  
É correto afirmar que: 
a) são verdadeiras apenas as desigualdades I e II.
b) são verdadeiras apenas as desigualdades II e III.
c) são verdadeiras apenas as desigualdades I e III.
d) as três desigualdades são verdadeiras.
e) as três desigualdades são falsas.
2. (UFTM) É dada a matriz A = ( a ___ –b b __ a ) , onde a e b são 
números reais. Se ( 0 __ 3 1 __ 5 ) ⋅ ( a __ b ) = ( 2 ___ 22 ) , então o determinan-te de A é igual a: 
a) 3b + 4a.
b) 2b2 + a2.
c) b2 + 5.
d) 5a + 2.
e) 5a.
3. (UFC) Uma matriz é dita singular quando seu determi-
nante é nulo. Então os valores de c que tornam singular 
a matriz [ 1 __ 1 __ 1 
1 __ 9 __ c 
 
1
 __ c __ 3 ] são: 
a) 1 e 3.
b) 0 e 9.
c) –2 e 4.
d) –3 e 5.
e) –9 e –3.
4. (Mackenzie) Dadas as matrizes A = (aij)3x3 tal que 
aij = 10, se i = j
aij = 0, se i ≠ j 
e B = (bij)3x3 tal que 
bij = 3, se i = j
bij = 0, se i ≠ j
, o 
valor de det(AB) é: 
a) 27 x 103. 
b) 9 x 103. 
c) 27 x 102. 
d) 32 x 102. 
e) 27 x 104. 
5. (Fatec) Se A-1 é a matriz inversa de A = [ 1 ___ –1 0 __ 2 ] e M = A 
+ A-1, então o determinante da matriz M é: 
a) 5. 
b) 4. 
c) 3. 
d) 2. 
e) 1. 
6. (Epcar (Afa)) Seja a matriz [ 0 2 1/2 0 ] . Sabe-se que 
An = A · A · A ... · A (n vezes). 
Então, o determinante da matriz S = A + A2 + A3 + ... + A11 
é igual a: 
a) 1. 
b) –31. 
c) –875. 
d) –11. 
7. (UECE) Sobre a equação detM = –1, na qual M é a 
matriz [ 1 2 x 
2 
 
 
 x 
1
 
x 
 
 
 1 
x
 ] e detM é o determinante da matriz M, 
pode-se afirmar corretamente que a equação: 
a) não possui raízes reais. 
b) possui três raízes reais e distintas. 
c) possui três raízes reais, das quais duas são iguais e 
uma é diferente. 
d) possui três raízes reais e iguais. 
8. (ESPM) Dadas as matrizes A = e B = a 
diferença entre os valores de x, tais que det(A · B) = 3x, 
pode ser igual a:
a) 3.
b) –2.
c) 5.
d) –4.
e) 1.
9. (FGV) A é uma m atriz quadrada de ordem 2 e det(A) = 7. 
Nessas condições, det(3A) e det(A–1) valem, respecti-
vamente:
a) 7 e –7. 
b) 21 e 1/7. 
c) 21 e –7. 
d) 63 e –7. 
e) 63 e 1/7. 
CompetênCia: 6 Habilidades: 24, 25 e 26
43
10. (PUC-MG) M é uma matriz quadrada de ordem 3, e 
seu determinante é det(M) = 2. O valor da expressão 
det(M) + det(2M) + det(3M) é:
a) 12. 
b) 15. 
c) 36. 
d) 54. 
e) 72. 
11. (Udesc) Considerando que A é uma matriz quadra-
da de ordem 3 e inversível, se det(3A) = det(A2), então 
det(A) é igual a: 
a) 9. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 6. 
e) 27. 
12. (IFAL) Se A = e B = , o determinante 
da matriz (AB)-1 é:
a) – 1 ___ 10 .
b) 21 ___ 10 .
c) 13 ___ 10 .
d) – 13 ___ 10 .
e) nda. 
13. Se a matriz [ 3 4 x x+1 ] for multiplicada pelo valor do seu determinante, este ficará multiplicado por 49. Um 
dos possíveis valores de x é: 
a) 5. 
b) –3. 
c) 1. 
d) –4. 
e) 2. 
14. Considerando-se log2 = 0,3, o valor do determinan-
te abaixo é igual a:
 [ 1 log4 (log2)2 
1
 
 
 log16 
(log4)2
 
1 
 log400 
(log20)2
 ] 
a) 0,36. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 0,74. 
e) 0,42. 
E.O. FixAçãO
1. (UEL) Sejam as matrizes A = (aij)3x2, tal que aij = 2i – 3j 
e B = (bjy)2x3, tal que bjy = y – j . O determinante da matriz 
A . B é igual a: 
a) –12.
b) –6.
c) 0.
d) 6.
e) 12.
2. (Mackenzie) Dadas as matrizes A = ( 3 __ 1 4 __ 2 ) e B = ( 8 __ 1 7 __ 1 ) . Se M ⋅ A – 2B = 0, det M–1 vale:
a) 2.
b) 1 __ 2 .
c) 4.
d) 1 __ 4 .
e) 1.
3. (UEL) Se o determinante da matriz A = [ x __ 1 ___ 2x 
2 ___ –1 ___ –1 
 1 __ 1 __ 3 ] é nulo, então: 
a) x = –3.
b) x = – 7 __ 4 .
c) x = –1.
d) x = 0.
e) x = 7 __ 4 .
4. (Feevale) Sendo  x __ 1 
y
 __ 1  = 6, o valor de  3x + 1 ______ 3y + 1 8 __ 8  é: 
a) 6. 
b) 8. 
c) 24. 
d) 128. 
e) 144. 
5. (UERN) Considere a seguinte matriz A = (aij)3x3:
 
 ( 2 1 3 1 -2 log24 
log28 
 
 
 4 
1
 ) 
 
Pela regra de Sarrus, o determinante dessa matriz é: 
a) 8. 
b) 9. 
c) 15. 
d) 24. 
6. (Ifsul) Sejam as matrizes A2x2, onde aixj = 
2j, se i ≤ j 
 
ji, se i > j
 , 
B = I2 e I é a matriz identidade. Sabendo que A
t é a matriz 
transposta de A, qual é o determinante de (At + B)? 
a) 11.
b) –11.
c) 9.
d) –9
7. (UFC) Sejam A e B matrizes 3 × 3 tais que detA = 3 e 
detB = 4. Então det(A × 2B) é igual a:
a) 32.
b) 48.
c) 64.
d) 80.
e) 96.
8. (IFCE) Considere a matriz A = .
44
Sabendo-se que sen u = –cos u, em que 0 ≤ u ≤ 2p, o 
determinante da matriz inversa de A, indicado por Det 
A-1, vale:
a) –1. 
b) 0. 
c) 1. 
d) 2. 
e) –5. 
9. (Mackenzie) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 
com determinante maior que zero e A-1 a sua inversa. Se 
16 · det A-1 = det (2A), então o determinante de A vale: 
a) 4. 
b) 6. 
c) 8. 
d) 2. 
e) 16. 
10. (Mackenzie) Na igualdade: 
log 3 [det ( 2 . A
-1)] = log 27 [det (2A)
-1], A é uma matriz 
quadrada de quinta ordem com determinante não nulo. 
Então det A vale: 
a) 25.
b) 210.
c) 35.
d) 310.
e) 65.
11. (Fatec) Se x é um número real positivo tal que 
A = [ 1 x –1 0 ] . B = [ –x 1 1 –1 ] e det(A ∙ B) =2, então x–x é igual a: 
a) –4. 
b) 1/4. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 4. 
12. Sendo I a matriz identidade de ordem 2, A = [ 1 1 –1 1 ] 
e B = [ √
__
 3 /2 
 
 1/2
 
 1/2 
 
– √
__
 3 /2
 ] , considere as afirmativas a seguir:
1. A + At = 2 . I
2. det (A . B) = – √
__
 3 
3. B2007 = B
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
E.O. COmplEmEntAr
1. (UERN) Sejam as matrizes A = [ 3 __ x ___ –1 
1 __ 4 __ 6 
 2 __ 1 __ y ] e 
B = [ 6 __ 1 __ x 
y
 __ 4 ___ –1 
 2 __ 3 __ 1 ] , cujos determinantes são, respectivamen-
te, iguais a 63 e 49. Sendo y = x + 3, então a soma dos 
valores de x e y é: 
a) 7.
b) 8.
c) 10.
d) 12.
2. (Udesc) Se AT e A-1 representam, respectivamente, a 
transposta e a inversa da matriz A = [ 2 __ 4 3 __ 8 ] , então o 
determinante da matriz B = AT – 2A-1 é igual a: 
a) –111 _____ 2 .
b) –83 ___ 2 .
c) –166.
d) 97 ___ 2 .
e) 62.
3. (FGV) O sistema linear nas incógnitas x, y e z:
pode ser escrito na forma matricial AX = B, em que:
X = [ x __ y __ z ] e B = [ 
10 ___ 5 ___ 7 ] .
Nessas condições, o determinante da matriz A é iguala: 
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
4. (FGV) As matrizes A = (aij)4x4 e B = (bij)4x4 são tais que 
2aij = 3bij. Se o determinante da matriz A é igual a 3/4, 
então o determinante da matriz B é igual a: 
a) 0.
b) 4 ____ 27 .
c) 9 ___ 8 .
d) 2.
e) 243 ____ 64 .
5. (ITA) Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inver-
sível, que satisfaz a igualdade
det(2M2) – det( 3 dXX 2 M3) = 2 __ 9 det(3M).
Então, um valor possível para o determinante da inver-
sa de M é:
a) 1 __ 3 .
b) 1 __ 2 .
c) 2 __ 3 .
d) 4 __ 5 .
e) 5 __ 4 .
6. (UFSM) Seja A uma matriz 2 × 2 com determinante 
não nulo. Se det A2 = det (A + A), então det A é:
45
a) –4. 
b) 1. 
c) 4. 
d) 8. 
e) 16. 
7. (UEL) Considere as seguintes matrizes
A = [ 1 3 2 4 ] B = [ 0 –1 1 2 ] C = [ 2 1 2 3 ] 
Assinale a alternativa correta: 
a) A ∙ B = C.
b) A ∙ B-1 = C.
c) det (k ∙ A) = k det(A) para todo k ∈ R.
d) det (A + B) = det(A) + 2 det(B).
e) det (A + B + C) = 10.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFSCar) Sejam as matrizes
A = [ 3 ______ log0,1 2 __ 5 ] e B = [ log0,01 _______ 4 0 ___ –3 ].
Calcule:
a) o determinante da matriz (B - A).
b) a matriz inversa da matriz (B - A). 
2. (UFSC) Considere as matrizes A = [ 1 –1 1 
0 
 
 
 –1 
1
 ] e B = [ 0 3 1 4 2 5 ] 
e n = det(AB).
Calcule 7n. 
3. (UFPR) Considere a função f definida pela expressão
f(x) = det [ cos(2x) _______ cosx _______ 1 
senx _____ ½ _____ 0 
 0 __ 0 __ 2 
] 
a) Calcule f(0) e f = ( p __ 4 ) .
b) Para quais valores de x se tem f(x) = 0? 
4. (UFPR) Considere o polinômio p(x) = [ 3 __ 3 __ x x __ x __ 3 
–x ___ –4 ___ –3 ] .
Calcule as raízes de p(x). Justifique sua resposta, dei-
xando claro se utilizou propriedades de determinantes 
ou algum método para obter as raízes do polinômio. 
5. (UEPG) Sobre a matriz A = , 
assinale o que for correto. 
01) A2 = 
02) det A = 1
04) A + At = 
08) det(2A) = – 1 __ 2 
16) det A2 = 0
6. (UFAL)A matriz A-1 é a inversa da matriz A = .
Se o determinante de A–1 é igual a – 1 __ 2 , calcule o deter-
minante da matriz A + A–1.
7. (UFSCar) Sejam as matrizes
A = e B = 
Calcule:
a) o determinante da matriz (B – A).
b) a matriz inversa da matriz (B – A). 
8. (UEM) Considerando as matrizes de números reais, 
quadradas e de ordem 3, A = (aij) e B = (bij), definidas, 
respectivamente, por: 
aij = e bij = 
e que At indica a transposta da matriz A, assinale o que 
for correto. 
01) A matriz B é invertível. 
02) AB ≠ BA.
04) Existe um valor inteiro positivo n para o qual Bn é 
a matriz quadrada nula de ordem 3. 
08) A matriz A – At = (cij) satisfaz cij = – cji para todo 
i e para todo j. 
16) A matriz A . At = (dij) satisfaz dij = dji para todo i 
e para todo j.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Considere a matriz A3X3 abaixo:
A = [ 1 __ 2 a21 a31 a12 1 1 a13 1 1 ] 
Cada elemento desta matriz é expresso pela seguinte 
relação:
ai,j = 2 x (senθ i) x (cosθ j) ∀i,j e {1,2,3}
Nessa relação, os arcos θ 1, θ2 e θ 3 são positivos e meno-
res que p __ 3 radianos.
Calcule o valor numérico do determinante da matriz A.
2. (UERJ) Considere uma matriz a com 3 linhas e 1 co-
luna, na qual foram escritos os valores 1,2 e 13, nesta 
ordem, de cima para baixo.
Considere, também, uma matriz B com 1 linha e 3 co-
lunas, na qual foram escritos os valores 1,2 e 13, nesta 
ordem, da esquerda para a direita.
Calcule o determinante da matriz obtida pelo produto 
de A × B.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Considere a matriz M = ( 1 b 
1
 
a 
 
 
 1 
b
 
1 
 
 
 a 
1
 ) onde a e 
46
b são números reais distintos. Podemos afirmar que:
a) a matriz M não é invertível.
b) o determinante de M é positivo.
c) o determinante de M é igual a a2 – b2
d) a matriz M é igual à sua transposta.
2. (Unesp) Seja A uma matriz. Se A3 = , o 
determinante A é:
a) 8.
b) 2 dXX 2 .
c) 2.
d) 3 dXX 2 .
e) 1.
3. (Unicamp) Considere a matriz quadrada de ordem 3, 
A = [ cos x 0 - sen x 0 1 0 sen x 0 cos x ] , onde x é um número real.
Podemos afirmar que:
a) A não é invertível para nenhum valor de x.
b) A é invertível para um único valor de x.
c) A é invertível para exatamente dois valores de x.
d) A é invertível para todos os valores de x.
4. (Unifesp) Se |A| denota o determinante da matriz A, e 
se A = [ |A| 1 2 |A| ] , Então,
a) A = [ 0 1 2 0 ] 
b) A = [ 2 1 2 2 ] , se |A| < 0
c) A = [ -1 2 1 -1 ] se |A| > 0
d) A = [ 2 1 2 2 ] ou A = [ -1 1 2 -1 ] 
e) A = [ -2 1 2 -2 ] ou A = [ 1 1 2 1 ] 
gAbAritO 
E.O. Aprendizagem
1. B 2. E 3. D 4. A 5. A
6. D 7. C 8. C 9. E 10. E
11. E 12. E 13. D 14. E
E.O. Fixação
1. C 2. B 3. E 4. E 5. C
6. A 7. E 8. C 9. D 10. B
11. B 12. D
E.O. Complementar
1. A 2. B 3. B 4. B 5. A
6. C 7. D
E.O. Dissertativo
1. 
a) 50.
b) (B – A)–1 = [ – 4 ___ 25 ____ – 1 ___ 
10
 
 
 1 ___ 
25
 
 ____ 
– 1 ___ 
10
 
 ] 
2. 01.
3. 
a) f(0) = cos(2.0) – sen(2.0) = 1,
b) f ( π __ 4 ) = cos ( 2π ___ 4 ) – sen ( 2π ___ 4 ) 
f ( π __ 4 ) = cos ( 
π __ 
2
 ) – sen ( π __ 2 ) 
f ( π __ 4 ) = 0 – 1 = –1
4. p(x) =  3 __ 3 __ x x __ x __ 3 
–x ___ 
–4
 
 ___ 
–3
  .
 p (x) =  3 __ 3 __ x x __ x __ 3 
–x ___ 
–4
 
 ___  
–3
 
 3 __ 
3
 
 __ x 
 x __ x __ 
3
 =
p(x) = x3 – 4x2 – 9x + 36
x = ± 3 ou x = 4
Portanto: (fatorando o polinômio)
p(x) = x3 – 4x2 – 9x + 36 
⇒ p(x) = x2(x – 4) – 9(x – 4) 
⇒ p(x) = (x2 – 9) (x – 4)
⇒ 
x2 – 9 = 0 ⇒ x = 63
x – 4 = 0 ⇒ x = + 4
.
5. 01 + 02 = 03.
6. det (A + A–1) = –9.
7. 
a) 50.
b)
– 4 ___ 
25
 1 ___ 
25
 
– 1 ___ 
10
 – 1 ___ 
10
 
8. 02 + 04 + 08 + 16 = 30.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. det A = 0.
2. Portanto, observando que a matriz A×B apresenta filas propor-
cionais, podemos concluir que det (A×B) = 0.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. B 2. C 3. D 4. D
Aplicando a 
Regra de Sarrus
47
 sisteMas linearesAULAS 
51 e 52
E.O. AprEndizAgEm
1. (UPE) Em uma floricultura, é possível montar arran-
jos diferentes com rosas, lírios e margaridas. Um arran-
jo com 4 margaridas, 2 lírios e 3 rosas custa 42 reais. 
No entanto, se o arranjo tiver uma margarida, 2 lírios 
e uma rosa, ele custa 20 reais. Entretanto, se o arranjo 
tiver 2 margaridas, 4 lírios e uma rosa, custará 32 reais. 
Nessa floricultura, quanto custará um arranjo simples, 
com uma margarida, um lírio e uma rosa?
a) 5 reais.
b) 8 reais.
c) 10 reais.
d) 15 reais.
e) 24 reais.
2. (Ufrgs) Rasgou-se uma das fichas onde foram regis-
trados o consumo e a despesa correspondente de três 
mesas de uma lanchonete, como indicado abaixo.
Nessa lanchonete, os sucos têm um preço único, e os 
sanduíches também. O valor da despesa da mesa 3 é:
a) R$ 5,50.
b) R$ 6,00.
c) R$ 6,40.
d) R$ 7,00.
e) R$ 7,20.
3. (Ufrgs) O sistema de equações
possui:
a) nenhuma solução. 
b) uma solução. 
c) duas soluções. 
d) três soluções. 
e) infinitas soluções.
4. (IFSC) O sistema é possível e 
determinado, quando o valor de k for: 
a) k ≠ 3.
b) k = 5.
c) k = 3.
d) k ≠ 5.
e) k = 0.
5. (UFSJ) A respeito do sistema 
é CORRETO afirmar que:
a) se a ≠ 1, o sistema tem solução única. 
b) se b = 2, o sistema tem infinitas soluções. 
c) se a = 1 e b = 2, o sistema não tem solução. 
d) se a = 1, o sistema tem infinitas soluções. 
6. (UPE) Considerando o sistema 
analise as afirmativas abaixo e conclua. 
a) O sistema é impossível. 
b) O sistema é possível e indeterminado.c) O sistema é possível e determinado. 
d) O sistema admite como solução única 
x = 4, y = 8, z = –11.
e) O sistema admite como solução, para qualquer va-
lor de x a terna (x, x, 5x). 
7. (IFAL) Analise as afirmativas abaixo.
I. O sistema é possível e indeterminado.
II.O sistema é possível e determinado.
III.O sistema é impossível.
Marque a alternativa correta.
a) Apenas I é verdadeira. 
b) Apenas II é verdadeira. 
c) Apenas III é verdadeira. 
d) Apenas I é falsa. 
e) Apenas III é falsa. 
CompetênCia: 6 Habilidades: 21, 24, 25 e 26
48
8. (Espcex (Aman)) Para que o sistema linear 
 seja possível e indeterminado, o valor de 
a + b é:
a) –1. 
b) 4. 
c) 9. 
d) 14. 
e) 19. 
9. (ESPM) O sistema em x e y, é possível e 
indeterminado se, e somente se: 
a) a ≠ –2.
b) a ≠ 2.
c) a = ±2.
d) a = –2.
e) a = 2.
10. (FGV) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y:
Será impossível quando: 
a) Nunca.
b) p ≠ –6 e m = 1.
c) p ≠ –6 e m ≠ 1.
d) p = –6 e m = 1.
e) p = –6 e m ≠ 1.
11. (Espcex (Aman)) Para que o sistema linear
 { x + y + az = 1 x + 2x + z = 2 2x + 5y – 3z = b } 
em que a e b são reais, seja possível e indeterminado, o 
valor de a + b é igual a: 
a) 10. 
b) 11. 
c) 12. 
d) 13. 
e) 14. 
12. (PUC-RS) Nas olimpíadas de 2016, serão disputadas 
306 provas com medalhas, que serão distribuídas entre 
competidores de esportes masculinos, femininos e, ain-
da, de esportes mistos. Sabe-se que o total de competi-
ções femininas e mistas é 145. Sabe-se, também, que a 
diferença entre o número de provas disputadas somen-
te por homens e somente por mulheres é de 25. Então, 
o número de provas mistas é: 
a) 3. 
b) 9. 
c) 25. 
d) 136. 
e) 161. 
13. (PUC-RJ) Considere o sistema
 { 2x + ay = 3 x + 2y = 1 } 
e assinale a alternativa correta. 
a) O sistema tem solução para todo a e .
b) O sistema tem exatamente uma solução para a = 2.
c) O sistema tem infinitas soluções para a = 1. 
d) O sistema tem solução para a = 4. 
e) O sistema tem exatamente três soluções para a = –1. 
E.O. FixAçãO
1. (IFPE) Com a proximidade do final do ano, uma pape-
laria quis antecipar as promoções de material didático 
para o ano letivo de 2012. Foram colocados em promo-
ção caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram:
1. 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por R$ 62,00;
2. 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por R$ 66,00;
3. 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por R$ 44,00.
Para comparar os preços unitários dessa papelaria 
com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os pre-
ços de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma 
desses preços é: 
a) R$ 20,00. 
b) R$ 18,00. 
c) R$ 16,00. 
d) R$ 14,00. 
e) R$ 12,00. 
2. (Unioeste) Sabe-se que x, y e z são números reais. 
Se (2x + 3y – z)2 + (2y + x – 1)2 + (z – 3 – y)2 = 0, então 
x + y + z é igual a:
a) 7. 
b) 6. 
c) 5. 
d) 4. 
e) 3. 
3. (UFSJ) Observe o sistema linear de variáveis x, y e z:
Com base no sistema, é CORRETO afirmar que se:
a) k = 3, o sistema admite solução única. 
b) k = 6, o sistema é impossível. 
c) k = –2, o sistema admite infinitas soluções. 
d) k = –6, o sistema é homogêneo e admite solução 
(0,0,0).
4. (IFSC) A alternativa CORRETA que indica o valor de a 
para que a seguinte equação matricial admita somente 
a solução trivial é:
49
a) a = 10 ____ 3 .
b) a = 20 ____ 3 . 
c) a ≠ – 20 ____ 3 .
d) a ≠ 20 ____ 3 . 
e) a ≠ 10 ____ 3 . 
5. (Ufrgs) O sistema a seguir admite mais de uma 
solução.
Então, segue-se que:
a) a ≠ –3 e b = 1 __ 3 . 
b) a = –3 e b ≠ 1 __ 3 . 
c) a = – 1 __ 3 e b ≠ 3. 
d) a ≠ – 1 __ 3 e b = 3. 
e) a = – 1 __ 3 e b = 3. 
6. Na peça “Um xadrez diferente”, que encenava a vida 
de um preso condenado por crime de “colarinho bran-
co”, foi utilizado como cenário um mosaico formado por 
retângulos de três materiais diferentes, nas cores verde, 
violeta e vermelha. Considere que x, y e z são, respecti-
vamente, as quantidades, em quilos, dos materiais verde, 
violeta e vermelho utilizados na confecção do painel e 
que essas quantidades satisfazem o sistema linear
Sobre a solução desse sistema e a quantidade dos ma-
teriais verde, violeta e vermelho utilizada no painel, 
afirma-se:
I. O sistema tem solução única e x + y + z = 120, isto é, 
a soma das quantidades dos três materiais empregados 
é 120 quilo.
II. O sistema não tem solução, é impossível determinar 
a quantidade de cada material empregado.
III. O determinante da matriz dos coeficientes a qual 
está associada ao sistema é diferente de zero e x = 2y 
e y = 3z.
IV. O determinante da matriz dos coeficientes a qual 
está associada ao sistema é zero. O sistema tem solu-
ção, porém, para determinar a quantidade dos mate-
riais utilizados, é necessário saber previamente a quan-
tidade de um desses materiais.
Está(ão) correta(s):
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e III. 
e) apenas IV. 
7. (UEL) O sistema é possível e determinado:
a) para qualquer valor de a. 
b) somente para a = 0. 
c) somente para a = 6. 
d) se a ≠ 0.
e) se a ≠ –6.
8. (Fatec) Sejam a e b números reais tais que o sistema, 
nas incógnitas x e y,
Nessas condições, pode-se afirmar que, sendo k um nú-
mero inteiro: 
a) b ≠ a + k · p __ 2 .
b) b ≠ a + k · p.
c) b ≠ a + k · 2p ___ 3 .
d) b ≠ a + p __ 2 + k · p.
e) b ≠ a + p __ 2 + k · 
2p ___ 3 .
9. (Mackenzie) Relativas ao sistema 
 k [ R,
considere as afirmações I, II e III abaixo.
I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valo-
res distintos de k.
II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k.
III. É impossível para um único valor de k.
Dessa forma: 
a) somente I está correta. 
b) somente II e III estão corretas. 
c) somente I e III estão corretas. 
d) somente III está correta. 
e) I, II e III estão corretas. 
10. (Fac. Albert Einstein - Medicina) Saulo sacou R$ 
75,00 do caixa eletrônico de um Banco num dia em que 
este caixa emitia apenas cédulas de R$ 5,00 e R$ 10,00. 
De quantos modos poderiam ter sido distribuídas as cé-
dulas que Saulo recebeu? 
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) Mais do que 8.
11. (Cefet-MG) Analise o esquema seguinte.
50
 
Se os pratos da balança estão equilibrados, então a 
soma dos pesos dos objetos , e , em kg, é: 
a) menor que 1. 
b) maior que 2,5. 
c) maior que 1 e menor que 1,5. 
d) maior que 1,5 e menor que 2. 
e) maior que 2 e menor que 2,5. 
12. (UERN) Pedro e André possuem, juntos, 20 cartões co-
lecionáveis. Em uma disputa entre ambos, em que fizeram 
apostas com seus cartões, Pedro quadriplicou seu número 
de cartões, enquanto André ficou com apenas 2/3 do nú-
mero de cartões que possuía inicialmente. Dessa forma, o 
número de cartões que Pedro ganhou na disputa foi: 
a) 6. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 14. 
13. (UECE) Em relação ao sistema 
 { x + y + z = 0 x – my + z = 0 mx – y – z = 0 } 
pode-se afirmar corretamente que :
a) o sistema admite solução não nula apenas quando 
m = –1. 
b) para qualquer valor de m a solução nula 
(x = 0, y = 0, z = 0) é a única solução do sistema. 
c) o sistema admite solução não nula quando m = 2 
ou m = –2.
d) não temos dados suficientes para concluir que o 
sistema tem solução não nula. 
E.O. COmplEmEntAr
1. (Epcar (Afa)) Irão participar do EPEMM, Encontro 
Pedagógico do Ensino Médio Militar, um Congresso de 
Professores das Escolas Militares, 87 professores das 
disciplinas de Matemática, Física e Química. Sabe-se 
que cada professor leciona apenas uma dessas três dis-
ciplinas e que o número de professores de Física é o 
triplo do número de professores de Química.
Pode-se afirmar que:
a) se o número de professores de Química for 16, os 
professores de Matemática serão a metade dos de 
Física. 
b) o menor número possível de professores de Quími-
ca é igual a 3. 
c) o número de professores de Químicaserá no má-
ximo 21. 
d) o número de professores de Química será maior do 
que o de Matemática, se o de Química for em quanti-
dade maior ou igual a 17.
2. (UFSJ) Considere o seguinte sistema de equações li-
neares, nas incógnitas x, y e z:
Sobre seu conjunto solução, é CORRETO afirmar que ele:
a) possui infinitas soluções quando
det ≠ 0.
b) possui uma única solução quando
det = 0.
c) possui infinitas soluções quando
det = 0.
d) não possui solução quando 
det ≠ 0.
3. (ITA) Considere o sistema de equações , 
com a, b, c, d, p e q reais, abcd ≠ 0, a + b = m e d = nc. Sa-
be-se que o sistema é indeterminado. O valor de p + q é:
a) m. 
b) m __ n . 
c) m2 − n2. 
d) mn.
e) m + n.
4. (Fatec) Sobre o sistema linear, nas incógnitas x, y e z,
em que k e m são constantes reais, pode-se afirmar que: 
51
a) não admite solução se k = 4. 
b) admite infinitas soluções se k = m = 3. 
c) admite infinitas soluções se k = 3 e m = 5. 
d) admite solução única se k = 3 e m é qualquer real. 
e) admite solução única se k ≠ 5 e m = 3. 
5. (Mackenzie) Um teste de matemática tem questões 
valendo 1 ponto, 2 pontos e 3 pontos. Se um estudante 
obteve 55 pontos em 30 questões desse teste e acertou 
5 questões de 2 pontos a mais do que o número de ques-
tões de 1 ponto que ele acertou, o número de questões 
de 3 pontos, respondidas corretamente por ele, foi: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
6. (PUC-RS) O sistema 
 { 2x – y = 3 –x + 2y = 4 } 
pode ser apresentado como: 
a) −     
=     −     
2 1 x 3
1 2 y 4
 
b) −     
=     −     
1 2 x 3
2 1 y 4
 
c) −     
=     −     
1 2 x 3
1 2 y 4
 
d) −     
=     −     
2 1 x 3
1 2 y 4
 
e) −     
=     −     
2 1 x 3
1 2 y 4
 
E.O. dissErtAtivO
1. (UFMG) DETERMINE os valores de a e b para que o 
sistema
a) tenha solução única.
b) tenha infinitas soluções.
c) não tenha soluções.
2. (UFTM) Seja o sistema linear nas variáveis x, y e z:
a) Determine os valores do parâmetro m para que o 
sistema tenha apenas a solução nula.
b) Resolva o sistema para m = –1.
3. (UEM) Considere o seguinte sistema linear:
em que a e b são coeficientes reais.
A respeito desse sistema e de seus conhecimentos so-
bre o assunto, assinale o que for correto.
01) Se a tripla (1, 2, 3) é uma solução do sistema line-
ar, então o sistema é possível e indeterminado. 
02) Se a = b = 0, o sistema linear é impossível. 
04) Existem a, b reais, tais que a tripla (1, 0, 1) é uma 
solução do sistema linear. 
08) Se a = 2 e b = –1, o sistema linear é impossível. 
16) Se y = z e b = 0, o sistema linear é possível para 
qualquer valor de a. 
4. (UFMG) Considere o seguinte sistema linear nas in-
cógnitas x e y 
Observando-se que o coeficiente de y na segunda equa-
ção é um parâmetro a:
a) DETERMINE para quais valores de a o sistema tem 
solução.
b) DETERMINE as soluções x e y em função do parâ-
metro a, caso o sistema tenha solução.
c) DETERMINE todos os valores de a para os quais o 
sistema tenha como solução números inteiros x e y. 
5. (UFPE) Sobre o sistema de equações lineares apre-
sentado abaixo, analise as proposições a seguir, sendo 
a um parâmetro real.
( ) Se a = 2, então o sistema admite infinitas soluções. 
( ) O sistema sempre admite solução. 
( ) Quando o sistema admite solução, temos que x = 1.
( ) Se a ≠ 2, então o sistema admite uma única solução. 
( ) Se a = 1, então o sistema admite a solução (1, 2, –1). 
6. (UEPG) Considerando o sistema de equações, 
, assinale o que for correto. 
01) Se p = 0 e q ≠ 0, o sistema não possui solução.
02) O sistema possui solução quaisquer que sejam 
p e q. 
04) O sistema possui solução única, se p ≠ 2q.
08) Se p = q = 0, o sistema é impossível.
16) O sistema possui infinitas soluções se 
det ≠ 0.
52
E.O. EnEm
1. (Enem) Na aferição de um novo semáforo, os tempos 
são ajustados de modo que, em cada ciclo completo 
(verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça 
acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde 
permaneça acesa igual a 2 __ 3 do tempo em que a luz ver-
melha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, 
durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.
Qual a expressão que representa a relação entre X e Y?
a) 5X – 3Y + 15 = 0.
b) 5X – 2Y + 10 = 0.
c) 3X – 3Y + 15 = 0.
d) 3X – 2Y + 15 = 0.
e) 3X – 2Y + 10 = 0.
2. (Enem) Uma companhia de seguros levantou dados 
sobre os carros de determinada cidade e constatou que 
são roubados, em média, 150 carros por ano.
O número de carros roubados da marca X é o dobro 
do número de carros roubados da marca Y, e as marcas 
X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros 
roubados.
O número esperado de carros roubados da marca Y é:
a) 20.
b) 30.
c) 40.
d) 50.
e) 60.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Uma família comprou água mineral em emba-
lagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram compra-
dos 94 L de água, com o custo total de R$65,00. Veja na 
tabela os preços da água por embalagem:
Volume da embalagem (L) Preço (R$)
20 10,00
10 6,00
2 3,00
Nessa compra, o número de embalagens de 10 L cor-
responde ao dobro do número de embalagens de 20 L, 
e a quantidade de embalagens de 2 L corresponde a n.
O valor de n é um divisor de: 
a) 32.
b) 65.
c) 77.
d) 81.
2. (UERJ) Um conjunto de 100 copos descartáveis, dis-
postos em um suporte, será usado em uma festa.
Considere, agora, as seguintes informações:
 § sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez 
desse suporte;
 § quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 
saem juntos, 1 deles é desperdiçado;
 § quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 3 
saem juntos, 2 deles são desperdiçados;
 § quando se tenta retirar 1 copo, nunca saem 4 ou 
mais de 4 juntos;
 § foram retirados todos os copos desse suporte, ha-
vendo desperdício de 35% deles.
 § a razão entre o número de vezes em que foram 
retirados exatamente 2 copos juntos e o número 
de vezes em que foram retirados exatamente 3 
juntos foi de 3 __ 2 .
O número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado 
do suporte é igual a: 
a) 30.
b) 35.
c) 40.
d) 45.
3. (UERJ) Um comerciante deseja totalizar a quantia de 
R$ 500,00 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, 
num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades 
de cédulas de um e de dez reais sejam iguais.
Neste caso, a quantidade de cédulas de cinco reais de 
que o comerciante precisará será igual a:
a) 12.
b) 28.
c) 40.
d) 92.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) A ilustração abaixo mostra seis cartões nu-
merados organizados em três linhas. Em cada linha, os 
números estão dispostos em ordem crescente, da es-
querda para a direita. Em cada cartão, está registrado 
um número exatamente igual à diferença positiva dos 
números registrados nos dois cartões que estão ime-
diatamente abaixo dele. Por exemplo, os cartões 1 e Z 
estão imediatamente abaixo do cartão X.
53
 
Determine os valores de X, Y e Z. 
2. (UERJ) Ao final de um campeonato de futebol, foram 
premiados todos os jogadores que marcaram 13, 14 ou 
15 gols cada um. O número total de gols realizados pe-
los premiados foi igual a 125 e, desses atletas, apenas 
cinco marcaram mais de 13 gols.
Calcule o número de atletas que fizeram 15 gols.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Considere o sistema linear nas variáveis 
reais x, y, z e w. 
 { x – y = 1, y + z = 2, 
w – z = 3.
 } 
Logo, a soma x + y + z + w é igual a: 
a) –2. 
b) 0. 
c) 6. 
d) 8. 
2. (Fuvest) Em uma festa com n pessoas, em um dado 
instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convida-
dos na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco 
mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, 
convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. 
O número n de pessoas presentes inicialmente na festa 
era igual a: 
a) 100. 
b) 105. 
c) 115. 
d) 130. 
e) 135. 
3. (Unicamp)Considere o sistema linear nas variáveis 
x, y e z , onde m é um número real. 
Sejam a < b < c números inteiros consecutivos tais que 
(x, y, z) = (a, b, c) é uma solução desse sistema. O valor 
de m é igual a:
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 0.
4. (Fuvest) Uma dieta de emagrecimento atribui a cada 
alimento um certo número de pontos, que equivale ao 
valor calórico do alimento ao ser ingerido. Assim, por 
exemplo, as combinações abaixo somam, cada uma, 85 
pontos:
 § 4 colheres de arroz + 2 colheres de azeite + 1 fatia 
de queijo branco.
 § 1 colher de arroz + 1 bife + 2 fatias de queijo branco.
 § 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + 2 fatias 
de queijo branco.
 § 4 colheres de arroz + 1 bife.
Note e adote:
1 colher 
de arroz
1 colher 
de azeite
1 
bife
Massa de alimento (g) 20 5 100
% de umidade + 
macronutriente 
minoritário + 
micronutrientes
75 0 60
% de macronutriente 
majoritário
25 100 40
São macronutrientes as proteínas, os carboidratos e os lipídeos.
Com base nas informações fornecidas, e na composição 
nutricional dos alimentos, considere as seguintes afir-
mações:
I. A pontuação de um bife de 100 g é 45.
II. O macronutriente presente em maior quantidade no 
arroz é o carboidrato.
III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem ve-
getal e de carboidrato, a razão número de pontos do 
lípideo _____________________________número de 
ponto do carboidrato é 1,5.
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) I e II, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
5. (Unesp) Uma coleção de artrópodes é formada por 36 
exemplares, todos eles íntegros e que somam, no total 
da coleção, 113 pares de patas articuladas. Na coleção 
não há exemplares das classes às quais pertencem o 
caranguejo, a centopeia e o piolho-de-cobra.
Sobre essa coleção, é correto dizer que é composta por 
exemplares das classes Insecta e 
a) Arachnida, com maior número de exemplares da 
classe Arachnida.
b) Diplopoda, com maior número de exemplares da 
classe Diplopoda.
c) Chilopoda, com igual número de exemplares de 
cada uma dessas classes.
d) Arachnida, com maior número de exemplares da 
classe Insecta.
e) Chilopoda, com maior número de exemplares da 
classe Chilopoda.
54
6. (Fuvest) No sistema linear 
ax y 1
y z 1 ,
x z m
− =
 + =
 + =
, nas variáveis 
x, y e z, a e m são constantes reais. É correto afirmar:
a) No caso em que a = 1, o sistema tem solução se, e 
somente se, m = 2.
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os 
valores de a e de m.
c) No caso em que m = 2, o sistema tem solução se, 
e somente se, a = 1.
d) O sistema só tem solução se a = m = 1.
e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam 
os valores de a e de m.
7. (Unesp) Em uma floricultura, os preços dos buquês 
de flores se diferenciam pelo tipo e pela quantidade de 
flores usadas em sua montagem. Quatro desses buquês 
estão representados na figura a seguir, sendo que três 
deles estão com os respectivos preços.
 
De acordo com a representação, nessa floricultura, o 
buquê 4, sem preço indicado, custa 
a) R$ 15,30.
b) R$ 16,20.
c) R$ 14,80.
d) R$ 17,00.
e) R$ 15,50.
8. (Unicamp) As companhias aéreas costumam estabe-
lecer um limite de peso para a bagagem de cada pas-
sageiro, cobrando uma taxa por quilograma de excesso 
de peso. Quando dois passageiros compartilham a ba-
gagem, seus limites são considerados em conjunto. Em 
um determinado voo, tanto um casal como um senhor 
que viajava sozinho transportaram 60 kg de bagagem e 
foram obrigados a pagar pelo excesso de peso. O valor 
que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor 
pago pelo casal.
Para determinar o peso excedente das bagagens do ca-
sal (x) e do senhor que viajava sozinho (y), bem como 
o limite de peso que um passageiro pode transportar 
sem pagar qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguin-
te sistema linear: 
a) 
 x 2z 60
 y z 60
3,5x y 0
+ =
 + =
 − =
b) x z 60
 y 2z 60
3,5x y 0
+ =
 + =
 − =
c) x 2z 60
 y z 60
3,5x y 0
+ =
 + =
 + =
d) x z 60
 y 2z 60
3,5x y 0
+ =
 + =
 + =
9. (Unicamp) Recentemente, um órgão governamental 
de pesquisa divulgou que, entre 2006 e 2009, cerca 
de 5,2 milhões de brasileiros saíram da condição de 
indigência. Nesse mesmo período, 8,2 milhões de bra-
sileiros deixaram a condição de pobreza. Observe que 
a faixa de pobreza inclui os indigentes.
O gráfico a seguir mostra os percentuais da população 
brasileira enquadrados nessas duas categorias, em 
2006 e 2009.
 
Após determinar a população brasileira em 2006 e em 
2009, resolvendo um sistema linear, verifica-se que:
a) o número de brasileiros indigentes passou de 19,0 
milhões, em 2006, para 13,3 milhões, em 2009.
b) 12,9 milhões de brasileiros eram indigentes em 
2009.
c) 18,5 milhões de brasileiros eram indigentes em 
2006.
d) entre 2006 e 2009, o total de brasileiros incluídos 
nas faixas de pobreza e de indigência passou de 36% 
para 28% da população.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 
hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando 
R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 
hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando 
R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, 
mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada to-
taliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens. 
55
2. (Fuvest) Em uma transformação química, há conser-
vação de massa e dos elementos químicos envolvidos, 
o que pode ser expresso em termos dos coeficientes e 
índices nas equações químicas. 
a) Escreva um sistema linear que represente as re-
lações entre os coeficientes x, y, z e w na equação 
química
x C8H18 + y O2 ∫ z CO2 + w H2O
b) Encontre todas as soluções do sistema em que x, y, 
z e w são inteiros positivos.
3. (Unicamp) Considere a matriz 
onde a, b e c são números reais.
a) Encontre os valores de a, b e c de modo que AT = –A.
b) Dados a = 1 e b = –1, para que os valores de c e d 
o sistema linear tem infinitas soluções?
4. (Fuvest) Considere o sistema de equações nas variá-
veis x e y, dado por:
Desse modo:
a) Resolva o sistema para m = 1.
b) Determine todos os valores de m para os quais o 
sistema possui infinitas soluções.
c) Determine todos os valores de m para os quais o 
sistema admite uma solução da forma (x, y) = (a, 1), 
sendo a um número irracional.
5. (Unicamp) A figura abaixo exibe três círculos no pla-
no, tangentes dois a dois, com centros em A, B e C e 
raios de comprimentos a, b e c respectivamente.
 
a) Determine os valores de a, b e c, sabendo que a 
distância entre A e B é de 5 cm, a distância entre A e 
C é de 6 cm e a distância entre B e C é de 9 cm.
b) Para a = 2 cm e b = 3 cm, determine o valor de c 
> b de modo que o triângulo de vértices em A, B e C 
seja retângulo.
6. (Unicamp) Sabendo que m é um número real, consi-
dere o sistema linear nas variáveis x, y e z:
mx 2z 4,
x y z 3,
2x mz 4.
+ =
 − + =
 + =
a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sistema. De-
termine os valores de m para os quais a soma dos 
quadrados dos elementos da matriz A é igual à soma 
dos elementos da matriz A2 = A · A.
b) Para m = 2, encontre a solução do sistema linear 
para a qual o produto xyz é mínimo.
7. (Fuvest) As constantes A, B, C e D são tais que a 
igualdade
 1 __________________ 
(x2 + 2x + 2) (x2 + 4)
 = Ax + B _________ _ 
x2 + 2x + 2
 + Dx + C ______ 
x2 + 4
 
é válida para x ∈ ℜ.
a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear 
com quatro equações, satisfeito pelas constantes A, 
B, C e D.
b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas 
constantes.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. A 3. B 4. D 5. A
6. F V F F F 7. B 8. D 9. D 10. E
11. B 12. B 13. B
E.O. Fixação
1. D 2. D 3. A 4. D 5. E
6. E 7. E 8. B 9. B 10. C
11. E 12. A 13. A
E.O. Complementar
1. C 2. C 3. D 4. B 5. E
6.A
E.O. Dissertativo
1. 
a) (SPD) à a ≠ 2 __ 5 .
b) (SPI) à a = 2 __ 5 e b = 0.
c) (SI) à a = 2 __ 5 e b ≠ 0.
2. 
a) m [ R* –{–1}.
b) S = {(0, a, a), a [ R}.
56
3. 01 + 04 + 08 = 13.
4. 
a) a ≠ 9.
b) y = 3 _____ 
9 – a
 
x = 2a – 9 __________ 
2 · (a – 9)
 .
c) a = 18n – 3 _______ 
2n
 , com n [ R*.
5. F – F – V – V – V. 
6. 04 + 08 = 12.
E.O. Enem
1. B 2. B
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. C 2. C 3. A
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. De acordo com as informações, obtemos
Y X 4 X Z 1
Z 1 X Y Z 3
15 Z Y Y 15 Z
X 5
Y 9.
Z 6
− = = − 
 − = = + 
 − = = − 
=
 =
 =
�
�
2. O número de atletas que fizeram 15 gols é igual a 3.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. D 2. D 3. A 4. E 5. D
6. A 7. A 8. A 9. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. hambúrguer: R$ 4,00
suco de laranja: R$ 2,50
cocada: R$ 3,50.
2. 
a) .
b) S = {(2a, 25a, 16a, 18a) para a [ R}.
3. 
a) a = 0, b = 2 e c = –1.
b) c = 0 e d = –4.
4. 
a) S = {(a, – 2a); a [ R}.
b) m = 1 ou m = 
(–1 + dXX 5 ) 
 _________ 
2
 ou m = 
(–1 – dXX 5 ) 
 _______ 
2
 .
c) m = 
(–1 + dXX 5 ) 
 ________ 
2
 ou m = 
(–1 – √
__
 5 ) 
 _______ 
2
 .
5. 
a) c = 5 cm.
b) c = 10 cm.
6. 
a) m = 0.
b) (1, - 1,1).
7. 
a) 4B + 2C = 1.
b) B = 3 ___ 
10
 .
57
GEOMETRIA ANALÍTICA
58
 Distância De ponto à 
reta, ângulos e áreas
AULAS 
45 e 46
E.O. AprEndizAgEm
1. (UFC) Considere a reta r cuja equação é y = 3x. Se P0 
é o ponto de r mais próximo do ponto Q(3, 3) e d é a 
distância de P0 a Q, então d dXXX 10 é igual a: 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
2. (Cesgranrio) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 
2), (3, 4) e (4, –1), é igual a: 
a) 6. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
e) 12. 
3. (UFG) Para medir a área de uma fazenda de forma 
triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de lo-
calização por satélite, encontrou como vértices desse 
triângulo os pontos A(2, 1), B(3, 5) e C(7, 4) do plano 
cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazen-
da, em km2, é de: 
a) 17 ___ 2 .
b) 17.
c) 2 dXXX 17 .
d) 4 dXXX 17 .
e) 
dXXX 17 ____ 2 .
4. (UFPI) A medida do ângulo agudo formado pelas re-
tas 3x + y – 10 = 0 e –2x + y – 15 = 0 é: 
a) 15°. 
b) 30°. 
c) 45°. 
d) 60°. 
e) 75°. 
5. (FGV-RJ) A distância entre duas retas paralelas é o 
comprimento do segmento de perpendicular às re-
tas que tem uma extremidade em uma reta e a ou-
tra extremidade na outra reta. No plano cartesiano, 
a distância entre as retas de equações 3x + 4 y = 0 e 
3x + 4y + 10 = 0 é:
a) 0,5.
b) 1.
c) 1,5.
d) 2.
e) 2,5. 
6. (Udesc) A prefeitura de uma cidade planeja construir 
um terminal rodoviário em um ponto estratégico da 
cidade. Para isso será necessário construir duas novas 
estradas, uma ligando o novo terminal ao aeroporto e 
outra à principal rodovia de acesso à cidade. Sabe-se 
que o aeroporto está localizado 8 km a oeste e 6 km 
ao sul do novo terminal, enquanto que em um trecho 
sem curvas da rodovia são conhecidos dois pontos de 
referência A e B. O ponto A dista 2 km a leste e 14 km ao 
norte do terminal a ser construído, enquanto o ponto 
B está localizado 8 km a leste e 4 km ao sul do mesmo 
terminal. Nessas condições, a quantidade mínima x em 
km de estradas a ser construída pertence ao intervalo: 
a) 9,5 < x < 10,5. 
b) 16,5 < x < 17,5. 
c) 15,5 < x < 16,5. 
d) 30 < x < 31. 
e) 31 < x < 32. 
7. (Insper) No plano cartesiano da figura, feito fora de 
escala, o eixo x representa uma estrada já existente, os 
pontos A(8, 2) e B(3, 6) representam duas cidades e a 
reta r, de inclinação 45°, representa uma estrada que 
será construída.
Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até 
a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova 
estrada intercepta a existente, deverá ter coordenadas: 
a) ( 1 __ 2 , 0 ) .
b) (1,0).
c) ( 3 __ 2 , 0 ) .
d) (2, 0).
CompetênCias: 2, 3 e 5 Habilidades:
6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 19, 
20, 21, 22 e 23
59
e) ( 5 __ 2 , 0 ) .
8. (Ufrgs) Um círculo com centro C = (2,–5) tangencia a 
reta de equação x – 2y – 7 = 0. O valor numérico da área 
da região limitada pelo círculo é:
a) 4p.
b) 5p.
c) 6p.
d) 7p.
e) 8p.
9. (PUC-SP) Sejam A, B, C, D vértices consecutivos de um 
quadrado tais que A = (1; 3) e B e D pertencem à reta 
de equação x – y – 4 = 0. A área desse quadrado, em 
unidades de superfície, é igual a: 
a) 36 dXX 2 .
b) 36.
c) 32 dXX 2 .
d) 32.
e) 24 dXX 2 .
10. (UEL) 
A distância do centro C da circunferência l à reta r é: 
a) 
dXX 2 ___ 2 .
b) dXX 2 .
c) 2 dXX 2 .
d) 3 dXX 2 .
e) 4 dXX 2 .
E.O. FixAçãO
1. (Fatec) As retas r e s interceptam o eixo das abcissas 
nos pontos A e B e são concorrentes no ponto P.
Se suas equações são y = 3x + 1 e y = –2x + 4, então a 
área do triângulo ABP é: 
a) 7 ___ 10 .
b) 7 __ 3 .
c) 27 ___ 10 .
d) 49 ___ 15 .
e) 28 ___ 5 .
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
Arquimedes, candidato a um dos cursos da Faculdade de 
Engenharia, visitou a PUC-RS para colher informações. 
Uma das constatações que fez foi a de que existe grande 
proximidade entre Engenharia e Matemática. 
2. (PUC-RS) Em uma aula de Geometria Analítica, o pro-
fessor salientava a importância do estudo de triângulos 
em Engenharia, e propôs a seguinte questão:
O triângulo determinado pelos pontos A(0,0), B(5,4) e 
C(3,8) do plano cartesiano tem área igual a:
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 14. 
e) 28. 
3. (Mackenzie) Na figura, a área do triângulo assinalado 
é 6. Então a distância entre as retas paralelas r e s é:
a)2.
b) 3 __ 2 .
c) 6 __ 5 .
d) 7 __ 5 .
e) 8 __ 5 .
4. (UEPB) As retas r e s de equações cartesianas 
3x – 4y – 8 = 0 e 4y – 3x – 12 = 0 respectivamente, são 
tangentes a um círculo C. O perímetro de C em cm é: 
a) 4p.
b) 2p.
c) 8p.
d) 4p.
e) 16p.
5. (UEL) Dois dos pontos A = (2, –1), B = (2, –3), 
C = (1, 4), D = (4, –3) estão numa das bissetrizes das 
retas 3y – 4x – 3 = 0 e 4y – 3x – 4 = 0. 
Nessas condições, a equação dessa bissetriz é: 
a) y + x – 1 = 0. 
b) y + 7x – 11 = 0. 
c) y - x – 1 = 0. 
d) x = 2. 
e) y + x – 5 = 0. 
6. (Mackenzie) Considere os triângulos, nos quais um 
dos vértices é sempre o ponto (0, 2) e os outros dois 
60
pertencem à reta r, como mostra a figura. Para x = 1, 2, 
3, ..., n, a soma das áreas dos n triângulos é:
a) n
2
 __ 2 .
b) 3n.
c) 6n.
d) 
 ( n dXX 3 ) 
 ____ 2 .
e) 
 [ n(n + 1) ] 
 _________ 2 .
7. (UFMG) Sejam A e B dois pontos da reta de equação 
y = 2x + 2, que distam duas unidades da origem.
Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é: 
a) 5 __ 8 . 
b) – 8 __ 5 
c) – 5 __ 8 . 
d) 8 __ 5 . 
8. (IFSP) Considere duas retas, r e s, passando pelo pon-
to (3; 1) e equidistantes da origem do plano cartesiano.
Se a equação da reta r é y = 1, então a equação da reta 
s é: 
a) x + 3y + 2 = 0. 
b) 3x + y + 2 = 0. 
c) 3x – y – 2 = 0. 
d) 3x – 4y – 5 = 0. 
e) 3x – 4y + 1 = 0. 
9. (UEL) Considere os pontos distintos A, B, C e D do plano 
cartesiano. Sabendo que A = (2, 3), B = (5, 7) e os pontos 
C e D pertencem ao eixo y de modo que as áreas dos 
triângulos DABC e DABD sejam iguais a 47 ___ 2 u
2, onde u é 
a unidade de medida usada no sistema. A distância d 
entre os pontos C e D é: 
a) d = 2 __ 3 u.
b) d = 30 u. 
c) d = 94 ___ 3 u. 
d) d = –10 u. 
e) d = 47 ___ 5 u. 
10. (ITA) Considere o paralelogramo ABCD onde A=(0, 0), 
B=(–1, 2) e C=(–3, –4). Os ângulos internos distintos e o 
vértice D deste paralelogramo são, respectivamente: 
a) p __ 4 , 
3p ___ 4 e D = (–2, –5).
b) p __ 3 , 
2p ___ 3 e D = (–1, –5).
c) p __ 3 , 
2p ___ 3 e D = (–2, –6).
d) p __ 4 , 
3p ___ 4 e D = (–2, –6).
e) p __ 3 , 
2p ___ 3 e D = (–2, –5).
E.O. COmplEmEntAr
1. (UECE) Seja (r) a reta que passa pelos pontos P1 (–1,0) e P2 (0, 3). Considere M (n, q) um ponto de (r). Se a 
distância do ponto O (0, 0) ao ponto M é 3 ____ 
 dXXX 10 
 cm, então 
q − n é igual a: 
a) 4 __ 5 .
b) 1.
c) 6 __ 5 .
d) 7 __ 5 .
2. (FGV) Dados os pontos A(0, 0), B(5, 0), C(8, 5) e D(11, 
8) no plano cartesiano ortogonal, P é um ponto do 1º 
quadrante tal que as áreas dos triângulos APB e CPD 
são, respectivamente, iguais a 25 ___ 2 e 6. Em tais condições, 
o produto da abscissa pela ordenada de P pode ser 
igual a: 
a) 18. 
b) 20. 
c) 21. 
d) 24. 
e) 25. 
3. (Epcar (Afa)) Sejam a e b dois números reais positivos.
As retas r e s se interceptam no ponto (a, b) Se ( a __ 2 , 0 ) [ r 
e ( 0, b __ 2 ) [ s então uma equação para a reta t, que passa 
por (0, 0) e tem a tangente do ângulo agudo formado 
entre r e s como coeficiente angular, é: 
a) 3abx + (2a2 – b2) y = 0. 
b) 3bx – b (a2 + b2) y = 0. 
c) 3ax – a (a2 + b2) y = 0. 
d) 3abx – 2 (a2 + b2) y = 0. 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 
N: Conjunto dos números naturais;
R: Conjunto dos números reais;
R+: Conjunto dos números reais não negativos;
i: unidade imaginária; i2 = –1;
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A;
n(A): número de elementos do conjunto finito A;
  AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z: argumento do número complexo z;
[a, b] = {x [ R : a ≤ x ≤ b}
A/B = {x : x [ A e x Ó B}
61
AC: complementar do conjunto A;
n
k = 0
 akx
k = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anx
n, n [ N
Observação: os sistemas de coordenadas considerados 
são cartesianos retangulares. 
4. (ITA) Dados os pontos A = (0, 0), B = (2, 0) e C = (1, 1), 
o lugar geométrico dos pontos que se encontram a uma 
distância d = 2 da bissetriz interna, por A, do triângulo 
ABC é um par de retas definidas por: 
a) r1,2 : dXX 2 y – x ± 2 d
XXXXXX 4 + dXX 2 = 0.
b) r1,2 : 
 dXX 2 ___ 2 y – x ± 2 
dXXXXXXX 10 + dXX 2 .
c) r1,2 : 2y – x ± 2 d
XXXXXXX 10+ dXX 2 = 0.
d) r1,2 : ( dXX 2 + 1 ) y – x ± dXXXXXXX 2 + 4 dXX 2 = 0.
e) r1,2 : ( dXX 2 + 1 ) y – x ± 2 √
_______
 4 + 2 √
__
 2 = 0.
5. (UEL) Considere, no plano cartesiano, todos os pontos 
que distam 2 unidades da reta de equação x – y – 3 = 0. 
Esses pontos pertencem todos: 
a) às retas de equações -x + y + 5 = 0 ou 
–x + y + 1 = 0.
b) ao 1º ou 4º quadrantes.
c) às retas de equações –x + y + 3 – √
__
 2 = 0 
ou –x + y + 3 + √
__
 2 = 0.
d) à circunferência de equação x² + y² – 9 = 0.
e) às retas de equações –x – y – 3 __ 2 = 0 ou 
–x – y + 3 __ 2 = 0.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFMG) Considere as retas r, s e t de equações, res-
pectivamente:
y = 2x – 4, y = –x + 11 e y = x + 7 _____ 5 .
a) Trace, no plano coordenado abaixo, os gráficos des-
sas três retas.
b) Calcule as coordenadas dos pontos de interseção 
A = r > s, B = r > t e C = s > t.
c) Determine a área do triângulo ABC. 
2. (UFC) Dada a reta r : y = 2x do plano cartesiano xy, 
determine a equação da reta s, a qual é paralela à r, e 
está, de r, a uma distância igual a 1 e não intercepta o 
quarto quadrante do plano cartesiano. 
3. (UEL) Um pássaro sobrevoa uma rampa conforme 
mostra a figura. A ave faz seu voo em linha reta e para-
lela à calçada.
a) Sabendo-se que a rampa forma um ângulo de 135º 
com a calçada, conforme mostra a figura, e que a dis-
tância do muro de apoio até o pé da rampa é de 3 
metros, calcule o comprimento da rampa.
b) Determine a menor distância entre o pássaro e a 
rampa no instante em que o pássaro se encontra a 5 
metros do muro e a 6 metros da calçada em que se 
apoia a rampa. Apresente os cálculos realizados na re-
solução de cada item. 
4. (Ufrrj) No gráfico a seguir, o ponto P é equidistante da 
origem e da reta r.
Determine as coordenadas de P. 
5. (Ufrrj) Multiplicando as coordenadas dos vértices 
A(0, 0), B(2, 0) e C(4, 3) de um triângulo ABC por uma 
constante K > 1, obtemos um outro triângulo de vér-
tices A1, B1 e C1. 
Encontre a área do triângulo A1 B1 C1 em função da 
constante K. 
6. (UFF) Determine as coordenadas dos pontos da reta 
de equação y = 3x + 4 que distam quatro unidades da 
origem. 
7. (FGV) Na figura, 

 AC e  BD são diagonais do quadrado 
ABCD de lado x, M e N são pontos médios de  AB e  BC , 
respectivamente.
62
a) Calcule a área da região sombreada na figura, em 
função de x.
b) Calcule o perímetro do quadrilátero PQRS, em fun-
ção de x. 
8. (PUC-RJ) Sejam os pontos A = (0,0) e B = (3,4).
a) Qual é a distância entre A e B?
b) Sabemos que a área do triângulo ABC é igual a 4 e 
que o vértice C pertence à reta de equação x + y = 2. 
Determine o ponto C.
9. (UEMA) Buscando incentivar a inserção das pessoas 
com deficiência no mercado de trabalho, uma filial dos 
Correios da cidade de São Luís contratou um cadeiran-
te como encarregado da separação de correspondên-
cias. Para executar este trabalho, o novo funcionário foi 
designado para uma sala que dispunha de três mesas. 
Suponha que os centros dessas mesas sejam represen-
tados pelos pontos A, B e C de coordenadas (5,4), (3,7) 
e (1,2), respectivamente, tomando como origem o canto 
da sala. Nessas condições,
a) esboce a figura que representa a disposição das 
mesas na sala em questão.
b) quais as distâncias que cada mesa mantém entre 
si, em metros? 
c) qual a área do espaço compreendido entre as mesas?
10. (PUC-RJ) Seja a função real h(x) = 1 - x2. 
a) Calcule a área do triângulo de vértices (-1, h(-1)), 
(0, h(0)) e (1, h(1)). Justifique sua resposta.
b) Calcule a área do triângulo de vértices (0, h(0)), 
[ ( 1 __ 2 ) , h ( 1 __ 2 ) ] e (1, h(1)). Justifique sua resposta.
c) Calcule a área do polígono convexo de vértices 
(-1, h(-1)), [ ( - 3 __ 4 ) , h ( - 3 __ 4 ) ] , [ ( 1 __ 2 ) ,h ( - 1 __ 2 ) ] [ ( - 1 __ 4 ) , h ( - 1 __ 4 ) ] 
(0, h(0)), [ ( 1 __ 4 ) ,h ( 1 __ 4 ) ] , [ ( 1 __ 2 ) ,h ( 1 __ 2 ) ] , [ ( 3 __ 4 ) ,4 ( 3 __ 4 ) ] e (1,h(1)). 
Justifique sua resposta. 
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) A figura abaixo representa a superfície plana 
de uma mesa retangular BFGH na qual estão apoiados 
os seguintes instrumentos para desenho geométrico, 
ambos de espessuras desprezíveis:
 § um transferidor com a forma de um semicírculo 
de centro O e diâmetro  AB ;
 § um esquadro CDE, com a forma de um triângulo 
retângulo isósceles.
Considere as informações abaixo:
  ED está contido em  BF ;
 

 OA está contido em  BH ;
  AB = 10 cm;
  BD = 13 cm.
Calcule a medida, em centímetros, do menor segmento 
que liga a borda do transferidor à borda do esquadro.
2. (UERJ)
No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1, 0), 
B(2, 1) e C(0, 1), que são fixos, e os pontos P e Q, que 
se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no 
segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se 
desloca no segmento de A até B. Nesses deslocamentos, 
a cada instante, a abscissa de P é igual à ordenada de Q.
Determine a medida da maior área que o triângulo PAQ 
pode assumir.
3. (UERJ) Na região conhecida como Triângulo das 
Bermudas, localizada no oceano Atlântico, é possível 
formar um triângulo com um vértice sobre a cida-
de porto-riquenha de San Juan, outro sobre a cidade 
estadunidense de Miami e o terceiro sobre as ilhas 
Bermudas.
A figura abaixo mostra um sistema de coordenadas car-
tesianas ortogonais, com os vértices do triângulo devida-
mente representados. A escala utilizada é 1:17.000.000, 
e cada unidade nos eixos cartesianos equivale ao com-
primento de 1 cm.
 
Calcule, em km2, a área do Triângulo das Bermudas, con-
forme a representação plana da figura.
63
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no plano xy.
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas 
retas do plano passam por P e formam um ângulo de 
45° com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine 
as equações das retas mencionadas noitem (a). 
2. (Fuvest) No plano cartesiano, Oxy, a circunferência C 
tem centro no ponto P = (2,1) e a reta t é tangente a C 
no ponto Q = (-1,5).
a) Determine o raio da circunferência C.
b) Encontre uma equação para a reta t.
c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto 
de interseção de t com o eixo 0x.
3. (Unicamp) Considere no plano cartesiano os pontos 
A = (-1,1) e B = (2,2).
a) Encontre a equação que representa o lugar geo-
métrico dos centros dos círculos que passam pelos 
pontos A e B.
b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das or-
denadas. Determine C de modo que o triângulo ABC 
tenha área igual a 8.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. A 3. A 4. C 5. D
6. C 7. C 8. B 9. B 10. B
E.O. Fixação
1. D 2. D 3. C 4. A 5. A
6. B 7. B 8. D 9. C 10. D
E.O. Complementar
1. C 2. B 3. D 4. E 5. C
E.O. Dissertativo
1. 
a) 
b) A(5, 6), B(3, 2), C(8, 3).
c) 9 u.a.
2. s : y = 2x + dXX 5 .
3. 
a) 3 dXX 2 m.
b) Calculando a distância do ponto P(pássaro) à reta r:
d = 
 5 + 6 – 3  _________ 
 dXXXXXXX 12 + 12 
 = 8 ___ 
 dXX 2 
 = 4 dXX 2 m
4. P = ( 4 __ 3 , 0 ) 
5. 3k2 u.a.
6. (0,4) e ( – 12 ___ 5 , – 16 ___ 5 ) 
7. 
a) 2x
2 
 ___ 5 .
b) 
(5 √
__
 2 + 3 √
__
 5 )x 
 ____________ 15 u.c.
8. 
a) d = 5.
b) C(2,0) ou C (-2/7, 16/7).
9. 
a) Considere a figura.
 
b) d(A,B) = √
___
 13 m 
 d(A,C) = 2 √
__
 5 m
 d(B,C) = √
___
 29 m
c) AABC = 8 m
2
64
10.
a) 1 u.a.
b) 1 __ 
8
 u.a.
c) 21 ___ 
16
 u.a.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. ( 4 dXX 2 – 5 ) cm.
2. Amáx = 
1 __ 
4
 .
3. S = 28900 · 38,5 = 1.112.650 km2.
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 2 retas.
b) 2x – y + 1 = 0 e x + 2y – 12 = 0.
2. 
a) r = 5.
b) 3x - 4y + 23 = 0.
c) S = 125 ____ 
6
 .
3. 
a) 3x + y - 3 = 0.
b) a = 20 ___ 
3
 ou a = - 4.
Porém, sendo a < 0, só pode ser a = -4.
65
 circunferência: equações 
reDuziDa e normal
AULAS 
47 e 48
E.O. AprEndizAgEm
1. (UFSM) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, 
depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de 
igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da 
circunferência que limita o círculo é x2 + y2 – 4x – 6y – 36 = 0 
e adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a área 
da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, 
respectivamente:
a) 7 e 113,04. 
b) 7 e 153,86. 
c) 12 e 113,04. 
d) 14 e 113,04. 
e) 14 e 153,86. 
2. (Ufrgs) A área de um quadrado inscrito na circunfe-
rência de equação x2 – 2y + y2 = 0 é:
a) 1 __ 2 .
b) 1.
c) dXX 2 .
d) 2.
e) 2 dXX 2 .
3. A figura mostra uma criança brincando em um balan-
ço no parque. A corda que prende o assento do balan-
ço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma 
cuidado para não sofrer um acidente, então se balança 
de modo que a corda não chegue a alcançar a posição 
horizontal.
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a 
trajetória do assento do balanço, no qual a origem está 
localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é 
paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação 
positiva para cima.
A curva determinada pela trajetória do assento do ba-
lanço é parte do gráfico da função: 
a) f(x) = – dXXXXXX 2 – x2 .
b) f(x) = dXXXXXX 2 – x2 .
c) f(x) = x2 – 2.
d) f(x) = – dXXXXXX 4 – x2 .
e) f(x) = dXXXXXX 4 – x2 .
4. (UFSM) Uma antena de telefone celular rural cobre 
uma região circular de área igual a 900π km2. Essa an-
tena está localizada no centro da região circular e sua 
posição no sistema cartesiano, com medidas em quilô-
metros, é o ponto (0, 10).
Assim, a equação da circunferência que delimita a re-
gião circular é: 
a) x2 + y2 – 20y – 800 = 0.
b) x2 + y2 – 20y + 70 = 0.
c) x2 + y2 – 20x – 800 = 0.
d) x2 + y2 – 20y – 70 = 0.
e) x2 + y2 = 900.
5. (UFT) Considere as equações das circunferências 
C1: x
2 – 2x + y2 – 2y = 0
C2: x
2 – 4x + y2 – 4y = 0
cujos gráficos estão representados abaixo:
A área da região hachurada é:
a) 3π unidades de área. 
b) π unidades de área. 
c) 5π unidades de área. 
d) 6π unidades de área. 
e) π __ 2 unidades de área. 
6. (UFPR) Considerando a circunferência C de equação 
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 5, avalie as seguintes afirmativas:
1. O ponto P(4, 2) pertence a C.
2. O raio de C é 5.
3. A reta y = 4 __ 3 x passa pelo centro de C. 
Assinale a alternativa correta. 
CompetênCias: 2, 3 e 5 Habilidades:
6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 19, 
20, 21, 22 e 23
66
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
c) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
7. (PUC-RS) A distância entre o centro da circunferência 
de equação (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9 e a reta de equação 
2 y + 5 x = 0 é: 
a) –5. 
b) 0. 
c) 2. 
d) 5. 
e) 9. 
8. (Cefet-MG) Considere as circunferências
l1: (x + 2)
2 + (y + 1)2 = 5 e
l2: (x – 4)
2 + (y – 3)2 = 9.
A área do triângulo, cujos vértices são os centros dessas 
circunferências, e o ponto P ( 0, 5 __ 2 ) , em unidades de área, 
é igual a:
a) 13 ___ 2 .
b) 11 ___ 2 .
c) 9 __ 4 .
d) 7 __ 4 .
e) 5 __ 4 .
9. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas car-
tesianas ortogonal usual, a reta tangente à circunferên-
cia x2 + y2 = 1 no ponto ( 1 __ 2 , √
__
 3 ___ 2 ) intercepta o eixo y no 
ponto: 
a) ( 0, 2 ___ dXX 3 ) .
b) (0, dXX 3 ).
c) (0, 2 dXX 3 ).
d) ( 0, 1 ___ dXX 3 ) .
10. O segmento AB é diâmetro da circunferência de 
equação x2 + y2 = 10y. Se A é o ponto (3, 1), então B é 
o ponto: 
a) (–3, 9). 
b) (3, 9). 
c) (0, 10). 
d) (–3, 1). 
e) (1, 3). 
11. (ESPM) As coordenadas do centro e a medida do 
raio da circunferência de equação x2 – 4x + (y + 1)2 = 0 
são, respectivamente: 
a) (–2, 1) e 4.
b) (2, – 1) e 2.
c) (4, – 1) e 2.
d) (–1, 2) e dXX 2 .
e) (2, 2) e dXX 2 .
E.O. FixAçãO
1. O ponto da circunferência x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0 
que tem ordenada máxima é: 
a) (0, –6) 
b) (–1, –3)
c) (–1, 0)
d) (2, 3)
e) (2, –3)
2. (UFTM) Sabe-se que M, ponto médio do segmento AB, 
é centro de uma circunferência que passa pela origem 
(0, 0). Sendo A(–1, 4) e B(5, 2), conclui-se que o raio des-
sa circunferência é igual a: 
a) 4 dXX 5 .
b) 3 dXX 5 .
c) 3 dXX 2 .
d) dXXX 17 .
e) dXXX 13 .
3. (Ufrgs) Observe, abaixo, o círculo representado no sis-
tema de coordenadas cartesianas. 
Uma das alternativas a seguir apresenta a equação des-
se círculo. Essa alternativa é: 
a) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 10. 
b) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 13. 
c) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 13. 
d) (x – 2)2 + y2 = 10. 
e) x2 + (y + 3)2 = 13. 
4. (UPF) Sabendo que o ponto P(4,1) é o ponto médio 
de uma corda AB da circunferência x2 – 6x + y2 + 4 = 0, 
então a equação da reta que passa por A e B é dada por:
a) y = –x + 5.
b) y = x + 5.
c) y = –x + 3.
d) y = x – 3.
e) y = – 1 __ 2 x + 5.
5. (Ufrgs) Os pontos de interseção do círculo de equa-
ção (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 com os eixos coordenados 
são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é: 
a) 22.
b) 24.
c) 25.
d) 26.
e) 28.
67
6. (ITA) Seja C uma circunferência tangente simultanea-
mente às retas r: 3x + 4y – 4 = 0 e s: 3x + 4y – 19 = 0. A 
área do círculo determinado por C é igual a: 
a) 5π ___ 7 .
b) 4π ___ 5 .
c) 3π ___ 2 .
d) 8π ___ 3 .
e) 9π ___ 4 .
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
No plano cartesiano, considere o triângulo ABC, sendo 
A = (0,0), B = (3 dXX 3 , 3) e C = (0,6).
7. (Insper) Uma equação da circunferência circunscrita 
ao triângulo ABC é:
a) (x – dXX 3 )2 + (y – 3)2 = 12.
b) (x – dXX 3 )2 + (y – 3)2 = 9.
c) ( x – 3 dXX 3 ____ 2 ) 
2
 + (y – 3)2 = 27 ___ 4 .
d) (x – 3)2 + (y – dXX 3 )2 = 9.
e) (x – 3)2 + ( y – 3 dXX 3 ____ 2 ) 
2
 = 27 ___ 4 .
8. Considere a circunferência (l) x2 + y2 – 4x = 0 e o ponto 
P (1, dXX3 ). Se a reta t é tangente a l no ponto P, então a 
abscissa do ponto de intersecção de t com o eixo hori-
zontal do sistema de coordenadas cartesianas é: 
a) –2.
b) 2 + dXX 3 .
c) 3.
d) 3 + dXX 3 .
e) 3 + 3 dXX 3 .
9. (Unigranrio - Medicina) Se (p,q) são as coorde-
nadas cartesianas do centro da circunferência 
x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0, então é correto afirmar que 
5p - 3q é igual a:
a) 7.
b) 10.
c) 13.
d) 16.
e) 19
10. (Upe-ssa 3) Em qual das alternativas a seguir, o 
ponto P pertence à circunferência b?
a) P(5,6); b (x - 3)2 + (y - 6)2 = 4.
b) P(1,2); b (x - 2)2 + (y - 2)2 = 5.
c) P(1,5); b x2 + y2 - 8x + 6 = 0.
d) P(1,3); b: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 16.
e) P(3,1); b x2 + y2 - 4x + 2y + 2 = 0.
E.O. COmplEmEntAr
1. A equação x2 + Ay2 + Bxy + 2x – 4y + C = 0 representa 
uma circunferência, cujo diâmetro mede 10 unidades 
de distância. Esta afirmação nos permite determinar o 
valor dos coeficientes reais A, B e C e também garantir 
que a expressão A – B – C é igual a: 
a) –20. 
b) –10. 
c) 11. 
d) 21. 
e) 30. 
2. (UECE) Em um plano, munido do sistema de 
coordenadas cartesianas usual, as equações 
x2 + y2 − 10 √
__
 3 x − 25 = 0 e x2 + y2 + 10 √
__
 3 x - 25 = 0 
representam circunferências. Cada uma dessas circun-
ferências limitam uma área no plano. O comprimento 
da linha que contorna a união das áreas limitadas por 
cada uma destas circunferências é:
Dados: u.c. ≡ unidade de comprimento:
a) 200π _____ 3 u.c.
b) 80π _____ 3 u.c.
c) 50π ____ 3 u.c.
d) 100π _____ 3 u.c.
3. (PUC-SP) A circunferência l = x2 + y2 - 4x - 10y + y + 13 = 0 
de centro C, e a reta r: x + y − 11 = 0 se interceptam nos 
pontos P e Q A área do triângulo PCQ, em unidades de 
área, é:
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
4. (ITA) Considere dois círculos no primeiro quadrante:
 § C1 com centro (x1, y1), raio r1 e área 
π ___ 16 .
 § C2 com centro (x2, y2), raio r2 e área 144π.
Sabendo que (x1, y1, r1) e (x2, y2, r2) são duas progressões 
geométricas com somas dos termos iguais a 7 __ 4 e 21, res-
pectivamente, então a distância entre os centros de C1 
e C2 é igual a:
a) √
____
 123 _____ 2 .
b) √
____
 129 _____ 2 .
c) √
____
 131 _____ 2 .
d) √
____
 135 _____ 2 .
e) √
____
 137 _____ 2 .
5. (Efomm) Sejam as circunferências 
c1: x
2 + y2 - 16 = 0 e c2: (x - 2)
2 + (y + 2)2 = 4. Considere 
A e B os pontos de intersecção dessas circunferências. 
Determine a distância entre A e B.
a) 2 √
__
 7 .
b) √
___
 14 .
c) 2 √
___
 14 .
68
d) √
__
 7 .
e) √
__
 7 ___ 2 .
E.O. dissErtAtivO
1. (UFPR) Uma reta passando pelo ponto P(16, – 3) é 
tangente ao círculo x2 + y2 = r2 em um ponto Q. Saben-
do que a medida do segmento 

 PQ é de 12 unidades, 
calcule:
a) a distância do ponto P à origem do sistema car-
tesiano; 
b) a medida do raio r da circunferência.
2. (FGV) Um funcionário do setor de planejamento da 
Editora Progresso verificou que as livrarias dos três 
clientes mais importantes estão localizadas nos pontos 
A(0, 0) B(1, 7) e C(8, 6), sendo que as unidades estão em 
quilômetros.
a) Em que ponto P(x, y) deve ser instalado um depósi-
to para que as distâncias do depósito às três livrarias 
sejam iguais?
b) Qual é a área do quadrado inscrito na circunferên-
cia que contém os pontos A, B e C?
3. (UFPR) A figura a seguir mostra uma circunferência 
tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâ-
metro de 10 unidades.
a) Sabendo que A = (8, 4) e que r: 3y + x = 20 é a reta 
que passa por A e B, calcule a área do triângulo CAB.
b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na 
figura acima, no qual a reta r intercepta a circunfe-
rência.
4. (UFRJ) Os pontos (–6, 2), (3,–1), e ( –5, –5) pertencem 
a uma circunferência.
Determine o raio dessa circunferência. 
5. (UEMA) O proprietário de um lote, visando a sua or-
namentação, dividiu-o em área circular, tendo subdivi-
dido-o em dois triângulos idênticos opostos, inscritos 
no círculo, cujos vértices são A(–14, 9), B(–4, 9) e C(–9, 
14), sendo AB o diâmetro da circunferência.
Considerando as condições descritas e as medidas em 
metros: 
a) faça a ilustração gráfica desse lote no sistema car-
tesiano ortogonal do plano. 
b) calcule a equação da circunferência.
c) determine a área correspondente aos triângulos 
idênticos.
E.O. EnEm
1. (Enem) Considere que os quarteirões de um bairro 
tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo 
a origem o cruzamento das duas ruas mais movimen-
tadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas 
larguras desconsideradas e todos os quarteirões são 
quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a 
unidade do sistema.
A seguir há uma representação dessa situação, em que 
os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos co-
merciais desse bairro.
 
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, ga-
rante área de cobertura para todo estabelecimento que 
se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à 
inequação: x2 + y2 − 2x − 31 ≤ 0.
A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar 
uma futura melhora, a assistência técnica da rádio rea-
lizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos 
estavam dentro da área de cobertura, pois estes conse-
guem ouvir a rádio enquanto os outros não.
Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são 
apenas:
69
a) A e C.
b) B e C.
c) B e D.
d) A, B e C.
e) B, C e D.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Um objeto de dimensões desprezíveis, preso 
por um fio inextensível, gira no sentido anti-horário em 
torno de um ponto O. Esse objeto percorre a trajetória T, 
cuja equação é x2 + y2 = 25. Observe a figura:
Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto 
se encontra no ponto P(4, 3). A partir desse instante, o 
objeto segue na direção da reta tangente a T no ponto P.
Determine a equação dessa reta. 
2. (UERJ) Um disco metálico de centro O e diâmetro 
AB = 4 dm, utilizado na fabricação de determinada 
peça, é representado pelo seguinte esquema:
PJ
cortes retilíneos
PK



M − ponto médio do raio OB
N − ponto médio do raio AO
P − ponto médio do raio OC
J − intersecção da semirreta PM com a circunferência
K − intersecção da semirreta PN com a circunferência
Calcule a distância entre os pontos J e K.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é 
tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o 
ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale: 
a) dXX 5 . 
b) 2 dXX 5 . 
c) 5. 
d) 3 dXX 5 . 
e) 10. 
2. (Fuvest) A equação x2 + 2x + y2 + my = n, em que m e n 
são constantes, representa uma circunferência no plano 
cartesiano. Sabe-se que a reta y = –x + 1 contém o centro 
da circunferência e a intersecta no ponto (–3, 4). Os valo-
res de m e n são, respectivamente:
a) –4 e 3. 
b) 4 e 5. 
c) –4 e 2.
d) –2 e 4. 
e) 2 e 3.
3. (Fuvest) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circun-
ferência C de equação (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 e sejam P 
e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, 
respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, 
e com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a: 
a) 2 dXX 2 – 2.
b) 2 dXX 2 – 1.
c) 2 dXX 2 .
d) 2 dXX 2 + 2.
e) 2 dXX 2 + 4.
4. (Fuvest) A circunferência dada pela equação 
x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordena-
dos x e y nos pontos A e B, conforme a figura.
O segmento 

 MN é paralelo ao segmento 

 AB e contém 
o centro C da circunferência. É correto afirmar que a 
área da região hachurada vale:
a) π – 2.
b) π + 2. 
c) π + 4. 
d) π + 6. 
e) π + 8.
5. (Unicamp) Considere a circunferência de equação 
cartesiana x2 + y2 = x - y. Qual das equações a seguir 
representa uma reta que divide essa circunferência em 
duas partes iguais?
a) x + y = − 1.
b) x − y = − 1.
c) x − y = 1.
d) x + y = 1.
70
6. (Unicamp) Considere o círculo de equação cartesiana 
x2 + y2 = ax + by onde a e b são números reaisnão nulos. 
O número de pontos em que esse círculo intercepta os 
eixos coordenados é igual a:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Suponha um trecho retilíneo de estrada, 
com um posto rodoviário no quilômetro zero. Suponha, 
também, que uma estação da guarda florestal esteja lo-
calizada a 40 km do posto rodoviário, em linha reta, e a 
24 km de distância da estrada, conforme a figura a seguir.
a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de 
cobertura da primeira antena, localizada na estação 
da guarda florestal, corresponde a um círculo que tan-
gencia a estrada. O alcance da segunda, instalada no 
posto rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto da 
estrada que está mais próximo da estação da guarda 
florestal. Explicite as duas desigualdades que definem 
as regiões circulares cobertas por essas antenas, e es-
boce essas regiões no gráfico abaixo, identificando a 
área coberta simultaneamente pelas duas antenas.
b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma 
única antena, mais potente, a ser instalada em um 
ponto da estrada, de modo que as distâncias dessa 
antena ao posto rodoviário e à estação da guarda 
florestal sejam iguais. Determine em que quilômetro 
da estrada essa antena deve ser instalada. 
2. (Fuvest) Considere a circunferência l de equação 
cartesiana x2 + y2 – 4y = 0 e a parábola a de equação 
y = 4 – x2.
a) Determine os pontos pertencentes à interseção de 
l com a.
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de res-
postas, a circunferência l e a parábola a. Indique, 
no seu desenho, o conjunto dos pontos (x, y), que 
satisfazem, simultaneamente, as inequações 
x2 + y2 – 4y ≤ 0 e y ≥ 4 – x2.
3. (Fuvest) No sistema ortogonal de coordenadas car-
tesianas Oxy da figura, estão representados a circunfe-
rência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico 
da função 
y = 
dXX 8 ___ 
|x|
 .
Nessas condições, determine:
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de intersec-
ção da circunferência com o gráfico da função.
b) a área do pentágono OABCD. 
71
4. (Unifesp) Considere o sistema de inequações
 { x2 + y2 – 2x ≥ 0 (x–1)2 + ( y – √__ 3 ___ 2 ) 2 ≤ 1 __ 4 } 
a) Represente graficamente, em sistema cartesiano 
de eixos ortogonais, a solução desse sistema de ine-
quações.
b) Calcule a área da superfície que representa a solu-
ção gráfica do sistema de inequações. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. D 3. D 4. A 5. D
6. E 7. B 8. A 9. A 10. A
11. B
E.O. Fixa5ção
1. C 2. E 3. C 4. A 5. B
6. E 7. A 8. A 9. C 10. A
E.O. Complementar
1. D 2. D 3. C 4. E 5. B
E.O. Dissertativo
1. 
a) dXXXX 265 .
b) 11 u.c.
2. 
a) (4, 3).
b) 50 km2.
3. 
a) 30 unidades quadradas.
b) x = 5 e y = 5.
4. 5.
5. 
a) Considere a figura.
b) (x + 9)2 + (y – 9)2 = 25.
c) 50 m2.
E.O. Enem
1. D
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. y = – 4 __ 
3
 x + 25 ___ 
3
 .
2. (1 + dXX 7 ) dm.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. C 2. A 3. D 4. B 5. C
6. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) Se o posto rodoviário encontra-se na origem do 
sistema de coordenadas cartesianas, e a estrada está 
sobre o eixo das abscissas, temos que o pé da per-
pendicular baixada do ponto (a, 24) sobre o eixo das 
abscissas determina um triângulo retângulo com a 
origem. Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos 
calcular a abscissa do ponto (a, 0): 
402 = 242 + a2 ä a = 32.
Daí, segue que a região de alcance da antena situada 
na estação da guarda florestal é dada por:
(x – 32)2 + (y – 24)2 ≤ 242.
Sabendo que o alcance da antena situada no posto 
rodoviário atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada 
que está mais próximo da estação da guarda florestal, 
temos que esse ponto é (32, 0) e, portanto, a região de 
alcance da segunda antena é dada por x2 + y2 ≤ 322.
b) 25 km.
72
2. 
a) (0, 4) ou (± dXX 3 , 1)
b) 
3. 
a) A(2 dXX 2 ; 1), B(1; 2 dXX 2 ), C (–1; 2 dXX 2 ) e D(–2 dXX 2 ; 1).
b) 7 + 2 dXX 2 .
4. 
a) 
b) 6 
dXX 3 – p 
 ________ 24 u.a.
73
 circunferência: posições relativasAULAS 
49 e 50
E.O. AprEndizAgEm
1. (UFSJ) No plano cartesiano, a reta de equação 2y = x + 2 
intercepta o eixo y no ponto C.
A equação da circunferência que tem centro em C e raio 
2 é:
a) x2 + y2 – 2x – 3 = 0.
b) x2 + y2 – 2y – 3 = 0.
c) x2 + y2 + 2y – 3 = 0.
d) x2 + y2 + 2x – 3 = 0.
2. (Ufrgs) Um círculo tangencia a reta r, como na figura 
abaixo.
O centro do círculo é o ponto (7, 2) e a reta r é definida 
pela equação 3x – 4y + 12 = 0.
A equação do círculo é:
a) (x – 7)2 + (y – 2)2 = 25.
b) (x + 7)2 + (y + 2)2 = 25.
c) (x – 7)2 + (y + 2)2 = 36.
d) (x – 7)2 + (y – 2)2 = 36.
e) (x + 7)2 + (y – 2)2 = 36.
3. (Ufrgs) Na figura abaixo, o círculo está inscrito no 
triângulo equilátero.
Se a equação do círculo é x2 + y2 = 2y, então, o lado do 
triângulo mede: 
a) 2.
b) 2 dXX 3 .
c) 3.
d) 4.
e) 4 dXX 3 .
4. (FGV) No plano cartesiano, uma circunferência tem cen-
tro C(5, 3) e tangencia a reta de equação 3x + 4y – 12 = 0.
A equação dessa circunferência é:
a) x2 + y2 – 10x – 6y + 25 = 0.
b) x2 + y2 – 10x – 6y + 36 = 0.
c) x2 + y2 – 10x – 6y + 49 = 0.
d) x2 + y2 + 10x + 6y + 16 = 0.
e) x2 + y2 + 10x + 6y + 9 = 0.
5. No desenho abaixo, que não está em escala, a reta 
y = 3x é perpendicular à reta que passa pelo ponto (2, 
0). O ponto de interseção dessas retas é A. A equação 
da circunferência com centro em A e tangente ao eixo 
x é dada por:
a) ( x – 1 __ 5 ) 
2
 + ( y – 3 __ 5 ) 
2
 = 3 __ 5 . 
b) ( x – 3 __ 5 ) 
2
 + ( y – 1 __ 5 ) 
2
 = 1 __ 5 .
c) ( x – 1 __ 5 ) 
2
 + ( y – 3 __ 5 ) 
2
 = 9 ___ 25 . 
d) ( x – 3 __ 5 ) 
2
 + ( y – 1 __ 5 ) 
2
 = 1 ___ 25 .
6. (Cesgranrio) As circunferências x2 + y2 + 8x + 6y = 0 e 
x2 + y2 – 16x – 12y = 0 são: 
a) exteriores. 
b) secantes. 
c) tangentes internamente. 
d) tangentes externamente. 
e) concêntricas. 
CompetênCias: 2, 3 e 5 Habilidades:
6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 19, 
20, 21, 22 e 23
74
7. (UEPB) Uma circunferência e uma reta têm equações 
cartesianas x2 + y2 = r2 e x + y = 4 respectivamente, 
e são tangentes em um ponto P do sistema de eixos 
cartesianos xy. A área em cm2 da região entre os dois 
gráficos e os semieixos positivos é:
a) 2(4 – p). 
b) 4(2 – p).
c) 2(p – 4).
d) 4(2 + p).
e) 2(4 + p).
8. (FGV-RJ) No plano cartesiano, os pontos A (1, 2) e B 
(–2, –2) são extremidades de um diâmetro de uma cir-
cunferência; essa circunferência intercepta o eixo das 
abscissas em dois pontos. Um deles é: 
a) (4, 0).
b) ( 7 __ 2 , 0 ) .
c) (3, 0).
d) ( 5 __ 2 , 0 ) .
e) (2,0).
9. (Mackenzie) Vitória-régia é uma planta aquática típica 
da região amazônica. Suas folhas são grandes e têm for-
mato circular, com uma capacidade notável de flutuação, 
graças aos compartimentos de ar em sua face inferior.
Em um belo dia, um sapo estava sobre uma folha 
de vitória-régia, cuja borda obedece à equação 
x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0, apreciando a paisagem ao seu 
redor. Percebendo que a folha que flutuava à sua frente era 
maior e mais bonita, resolveu pular para essa folha, cuja 
borda é descrita pela equação x2 + y2 – 2x – 3y + 1 = 0.
A distância linear mínima que o sapo deve percorrer em 
um salto para não cair na água é: 
a) 2 ( dXX 2 – 1). 
b) 2. 
c) 2 dXX 2 . 
d) dXX 2 – 2.
e) dXX 5 .
E.O. FixAçãO
1. (Cefet-MG) Em um plano, uma reta que passa pelo 
ponto P(8,10) tangencia a circunferência 
x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 no ponto A. A medida do seg-
mento PA, em unidades de comprimento, é: 
a) dXXX 12 .
b) dXXX 34 .
c) dXXX 45 .
d) dXXX 69 .
e) dXXX 85 .
2. (FGV) No plano cartesiano, a reta tangente à circunfe-
rência de equação x2 + y2 = 8, no ponto P de coordena-
das (2, 2), intercepta a reta de equação y = 2x no ponto: 
a) ( 7 ___ 16 , 14 ___ 6 ) .
b) ( 6 __ 5 , 12 ___ 5 ) .
c) ( 5 __ 4 , 10 ___ 4 ) .
d) (4 __ 3 , 8 __ 3 ) .
e) ( 3 __ 2 , 3 ) .
3. (UPE) Em um sistema de coordenadas cartesianas or-
togonais, os pontos A (–2, 4), B (6, –2) e C (-2,-2) são os 
vértices do triângulo ABC. Qual a equação da circunfe-
rência circunscrita a esse triângulo?
a) x2 – 12x + y2 – 16y + 100 = 0.
b) x2 – 4x + y2 – 2y – 95 = 0.
c) x2 – 4x + y2 – 4y – 92 = 0.
d) x2 – 4x + y2 – 4y – 17 = 0.
e) x2 – 4x + y2 – 2y – 20 = 0.
4. (UFPB) O Governo pretende construir armazéns com o 
intuito de estocar parte da produção da safra de grãos, 
de modo que não haja desperdícios por situações ad-
versas. A seção transversal da cobertura de um desses 
armazéns tem a forma de um arco de circunferência, 
apoiado em colunas de sustentação que estão sobre 
uma viga. O comprimento dessa viga é de 24 m e o com-
primento da maior coluna de sustentação é de 8 m, con-
forme figura a seguir.
Considerando um sistema cartesiano de eixos orto-
gonais xy, com origem no ponto C, de modo que o se-
mieixo x positivo esteja na direção CD e o semieixo y 
positivo apontando para cima, é correto afirmar que a 
equação da circunferência que contém o arco CD da se-
ção transversal do telhado, com relação ao sistema de 
eixos xy, é dada por: 
a) (x −12)2 + (y + 5)2 = 169. 
b) (x −12)2 + (y − 7)2 = 193. 
c) (x −12)2 + (y − 6)2 = 180. 
d) (x −12)2 + (y + 6)2 = 180. 
e) (x −12)2 + (y − 5)2 = 169. 
5. (FGV) No plano cartesiano, a circunferência que pas-
sa pelos pontos A(2, 0), B(0, 3) e pela origem O(0, 0) 
intercepta a reta y = x em dois pontos. Um deles tem 
coordenadas cuja soma é:
a) 5.
b) 4,5.
c) 4. 
d) 3,5.
e) 3.
6. (Acafe) O comprimento da corda determinada pela 
reta x – y = 2 sobre a circunferência, cujo centro é (2, 3) 
e o raio mede 3 cm é igual a: 
a) 4 dXX 2 cm.
b) 5 dXX 3 cm. 
75
c) 4 cm.
d) 3 dXX 2 cm.
7. (Insper) Os pontos A (–1, –3) e B (6, –2) pertencem a 
uma circunferência do plano cartesiano, cujo centro é o 
ponto C. Se a área do triângulo ABC é 25 ___ 2 , então a medida 
do raio dessa circunferência é igual a: 
a) 5. 
b) 5 dXX 2 .
c) 5 dXX 3 . 
d) 10. 
e) 10 dXX 2 .
8. (ESPM) Seja C a região do plano cartesiano definida 
pela desigualdade (x – 2)2 + (y – 2)2 ≤ 4 e seja P a região 
definida por x ≥ 2 ou y ≥ 2. A área da região intersec-
ção entre C e P é: 
a) p. 
b) 2p. 
c) 3p. 
d) 4p. 
e) 5p.
9. (Mackenzie) Os pontos (x, y) do plano tais que x2 + y2 ≤ 36, 
com x + y ≥ 6 definem uma região de área: 
a) 6(p – 2). 
b) 9 – p.
c) 9(p – 2).
d) 6 – p.
e) 18(p – 2).
10. (Unemat) Dada uma circunferência de centro C (3; 1) 
e raio r = 5 e, seja o ponto P (0; a), com a ∈ R, é correto 
afirmar:
a) Se –3 < a < 5, então P é externo à circunferência. 
b) Se –3 < a < 5, então P é pertence à circunferência. 
c) Se a = 5 ou a = –3, então P é interno à circunfe-
rência. 
d) Se a < –3 ou a > 5, então P é externo à circunfe-
rência. 
e) Se a < –3 ou a > 5, então P é interno à circunfe-
rência.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Udesc) Considerando que as retas y = – x + 4, y = – x, 
y = x – 2 e y = x + 2 tangenciam a circunferência C, é 
correto afirmar que a equação de C é:
a) (x + 1)2 + (y + 1)2 = dXX 2 . 
b) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 2. 
c) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1.
d) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 2. 
e) (x – 1)2 + (y - 1)2 = dXX 2 . 
2. (FGV) No plano cartesiano, há duas retas paralelas à 
reta de equação 3x + 4y + 60 = 0 e que tangenciam a 
circunferência x2 + y2 = 4.
Uma delas intercepta o eixo y no ponto de ordenada:
a) 2,9. 
b) 2,8. 
c) 2,7. 
d) 2,6. 
e) 2,5. 
3. (AFA) Considerando a circunferência de equação 
l: x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0, é correto afirmar que: 
a) l é concêntrica com a: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1.
b) o ponto O(0, 0) é exterior a l. 
c) a reta r: x – y + 3 = 0 é tangente a l. 
d) l é simétrica da circunferência b: (x – 1)2 + (y + 2)2 
= 9, em relação ao ponto O (0, 0).
4. (ESPM) A circunferência de equação (x + 1)2 + (y – 1)2 = 1 
tangencia os eixos coordenados nos pontos A e B. A cir-
cunferência l, de centro C, passa pelo ponto B e tangen-
cia o eixo das abscissas no ponto D.
Se os pontos A, B e C estão alinhados, podemos concluir 
que a abscissa do centro C é igual a: 
a) 2 + dXX 2 .
b) 1 + dXX 2 .
c) 2 dXX 2 – 1.
d) 2 dXX 2 + 1.
e) 2 dXX 2 .
5. (Epcar (Afa) ) Seja l = 3x2 + 3y2 - 6x - 12y + k = 0 uma 
circunferência que no plano cartesiano tem intersecção 
vazia com os eixos coordenados.
Considerando k∈R é correto afirmar que:
a) P ( k __ 3 , k __ 3 ) é interior a l
b) existem apenas dois valores inteiros para k.
c) a reta r : x = k intersecta l.
d) se c é o comprimento de l, então c > 2π unidades 
de comprimento.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFJF) No plano cartesiano, considere os pontos A (–1, 2) 
e B (3, 4).
a) Encontre a equação da reta r que passa por A e 
forma com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, 
medido do eixo para a reta no sentido anti-horário.
76
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à 
reta r. Encontre as coordenadas do ponto P, determi-
nado pela intersecção das retas r e s.
c) Determine a equação da circunferência que possui 
centro no ponto Q(2, 1) e tangencia as retas r e s. 
2. (UFTM) Na figura, as retas r e s estão representadas 
no plano cartesiano, e P é o ponto de intersecção entre 
elas.
Determine:
a) As equações das retas r e s.
b) A equação e o perímetro da circunferência de cen-
tro P que tangencia o eixo das ordenadas. 
3. (UFPE) Na ilustração a seguir, temos a circunferência 
com equação x2 + y2 + 6x + 8y = 75 e a reta passando 
pela origem e pelo centro da circunferência. Determine 
o ponto da circunferência mais distante da origem e in-
dique esta distância.
4. (UFPE) Uma circunferência tem centro no primeiro 
quadrante, passa pelos pontos com coordenadas (0, 0) 
e (4, 0) e é tangente, internamente, à circunferência com 
equação x2 + y2 = 64. Abaixo, estão ilustradas as duas 
circunferências.
Indique o inteiro mais próximo da soma das coordena-
das do ponto de interseção das duas circunferências. 
5. (UFJF) Considere a circunferência l: x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 
e a reta r: x + y = 0.
a) Determine a equação da reta que passa pelo cen-
tro da circunferência l e é perpendicular à reta r.
b) Determine a equação da circunferência concêntrica 
à circunferência l e tangente à reta r. 
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Considere a circunferência C de equação 
x2 + y2 − 8x + 8 = 0, representada graficamente a seguir.
 
Determine as equações das retas r e s que passam pela 
origem e são tangentes à circunferência.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) São dados, no plano cartesiano, o ponto P 
de coordenadas (3, 6) e a circunferência C de equação 
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 1. Uma reta t passa por P e é tangente a 
C em um ponto Q. Então, a distância de P a Q é: 
a) dXXX 15 .
b) dXXX 17 .
c) dXXX 18 .
d) dXXX 19 .
e) dXXX 20 . 
2. (Fuvest) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (–1, 0) 
pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, 
de centro em (–1/2, 4) é tangente a C no ponto (0, 3). 
Então, o raio de C vale:
a) 
dXX 5 ____ 8 .
b) 
dXX 5 ____ 4 .
c) 
dXX 5 ____ 2 .
d) 3 
dXX 5 ____ 4 .
e) dXX 5 .
3. (Fuvest) No plano cartesiano x0y, a reta de equação 
x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0, 2).
77
Além disso, o ponto (1, 0) pertence a C. Então, o raio de 
C é igual a:
a) 3 
dXX 2 ____ 2 .
b) 5 
dXX 2 ____ 2 .
c) 7 
dXX 2 ____ 2 .
d) 9 
dXX 2 ____ 2 .
e) 11 
dXX 2 _____ 2 .
4. (Fuvest) Duas circunferências com raios 1 e 2 têm 
centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e 
ambas tangenciam os dois eixos coordenados. Essas 
circunferências se interceptam em dois pontos distintos 
de coordenadas (x1, y1) e (x2, y2).
O valor de (x1, + y1)
2 + (x2 + y2)
2 é igual a:
a) 5 __ 2 .
b) 7 __ 2 .
c) 9 __ 2 .
d) 11 ___ 2 .
e) 13 ___ 2 .
5. (Fuvest) No plano cartesiano, um círculo de centro 
P =(a,b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P 
pertence à parábola de equação y = x2 e a > 0 a ordenada 
a do ponto P é igual a:
a) 2 + 2 √
__
 2 .
b) 3 + 2 √
__
 2 .
c) 4 + 2 √
__
 2 .
d) 5 + 2 √
__
 2 .
e) 6 + 2 √
__
 2 .
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Considere a família de retas no plano cartesia-
no descrita pela equação (2 – p)x + (2p + 1)y + 8p + 4 = 0, 
nas variáveis x e y, em que p é um parâmetro real.
a) Determine o valor do parâmetro p para que a reta 
correspondente intercepte perpendicularmente o eixo 
y. Encontre o ponto de interseção neste caso.
b) Considere a reta x + 3y + 12 = 0 dessa família 
para p = 1. Denote por A o seu ponto de interseção 
com o eixo x e por O a origem do plano cartesiano. 
Exiba a equação da circunferência em que o segmen-
to OA é um diâmetro. 
2. (Fuvest) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C 
tem centro no ponto A = (–5, 1) e é tangente à reta t de 
equação 4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o 
ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox.
Assim:
a) determine as coordenadas do ponto P.
b) escreva uma equação para a circunferência C.
c) calcule a área do triangulo APQ. 
3. (Fuvest) São dados, no plano cartesiano de ori-
gem O, a circunferência de equação x2 + y2 = 5, o 
ponto P = (1, dXX 3 ) e a reta s que passa por P e é paralela 
ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que 
a reta s intercepta a circunferência.
Assim sendo, determine:
a) a reta tangente à circunferência no ponto E.
b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE. 
4. (Fuvest)
a) As extremidades de um diâmetro de uma circunfe-
rência são (–3, 1) e (5, –5). Determine a equação da 
circunferência.
b) Determine a equação da circunferência que passa 
pelo ponto (9, dXX 3 ) e que é tangente às retas y = 0 e 
y = dXX 3x 
5. (Unesp) Uma empresa oferece frete gratuito para 
entregas do seu produto em um raio de até 25 km do 
depósito. Para a distância que ultrapassar 25 km medi-
da em linha reta desde o depósito, a empresa cobra R$ 
20,00 por quilômetro que ultrapasse os 25 km iniciais 
gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma pro-
porcional em caso de frações de quilômetros.
Um consumidor do produto reside 25 km a leste do de-
pósito e x km ao sul. Apresente uma figura represen-
tando a situação descrita e determine o valor máximo 
de x para que esse consumidor tenha direito ao frete 
gratuito na entrega do produto em sua residência. Em 
seguida, determine o custo do frete C (em reais), em 
função de x, para o caso em que C(x) ≠ 0.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. A 3. B 4. A 5. C
6. D 7. A 8. E 9. A
E.O. Fixação
1. D 2. D 3. E 4. A 5. A
6. D 7. A 8. C 9. C 10. D
E.O. Complementar
1. D 2. E 3. B 4. B 5. B
E.O. Dissertativo
1. 
a) y = –x + 1.
b) P(0, 1).
c) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 2.
78
2. 
a) A equação da reta r é dada por:
x + y = 6.
A equação da reta r é dada por:
x – y = 2.
b) O perímetro mede 2p · 2 = 8p u.c.
Sua equação é:
(x – 4)2 + (y – 2)2 = 4.
3. O ponto da circunferência mais distante da origem é (–9, –12) 
e sua distância ao ponto de intersecção dos eixos cartesianos 
vale 15.
4. 11.
5. 
a) x – y = –1.
b) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 ___ 
2
 .
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. Portanto, as equações das retas r e s são, respectivamente, 
y = x e y = - x.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. D 2. E 3. B 4. C 5. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) Reta intercepta o eixo y no ponto (0, –4).
b) (x + 6)2 + y2 = 36.
2. 
a) P(–1, –2).
b) (x + 5)2 + (y – 1)2 = 25.
c) 25 ___ 4 u.a. 
3. 
a) x + 2y – 5 = 0.
b) (2 dXX 3 + 1; 0).
4. 
a) (x – 1)2 + (y + 2) 2 = 25.
b) l1: (x – 6)
2 + (y – 2 dXX 3 )2 = 12
l2: (x – 14)
2 + ( y – 14 √
__
 3 _____ 
3
 ) 2 = 196 ____ 3 .
5. x > 15 Km.
79
 secções cônicas: elipseAULAS 
51 e 52
E.O. AprEndizAgEm
1. (UFPB) A secretaria de infraestrutura de um municí-
pio contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma 
praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto pro-
posto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular 
medindo 80 m x 120 m, onde deverá ser construído um 
jardim em forma de elipse na parte central.
Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que 
são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, 
bem como os pontos F1 e F2, que são os focos da elipse 
onde deverão ser colocados dois postes de iluminação.
Com base nessas informações, conclui-se que a distân-
cia entre os postes de iluminação será, aproximada-
mente, de: 
a) 68 m.
b) 72 m.
c) 76 m.
d) 80 m.
e) 84 m.
2. Num estádio de futebol em forma de elipse, o gra-
mado é o retângulo MNPQ, inscrito na cônica, conforme 
mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas 
cartesianas indicado e tomando o metro como unidade, 
a elipse é descrita pela equação x
2
 ___ 
362
 + 
y2
 ___ 
602
 = 1. 
Sabe-se também que os focos da elipse estão situados 
em lados do retângulo MNPQ.
Assim, a distância entre as retas MN e PQ é: 
a) 48 m.
b) 68 m.
c) 84 m.
d) 92 m.
e) 96 m
3. (UFRN) Um arquiteto projetou, para um salão de di-
mensões 22 m por 18 m, um teto de gesso em formato 
de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo me-
nor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo.
O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a 
elipse, desde que o arquiteto informasse as posições 
dos focos. 
Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto infor-
mou que, na direção do eixo maior, a distância entre 
cada foco e a parede mais próxima é de: 
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 6 m.
4. (Udesc) A área delimitada por uma elipse cuja equação 
é x
2
 __ 
a2
 + 
y2
 __ 
b2
 = 1 é dada por A = abπ. Então, a área da região 
situada entre as elipses de equações 16x2 + 25y2 = 400 
e 16 x2 + 9y2 = 144 é: 
a) 12 p u.a.
b) 20 p u.a.
c) 8 p u.a.
d) 256 p u.a. 
e) p u.a. 
5. (FGV) Sendo m o maior valor real que x pode assumir 
na equação analítica (x – 2)2 + 4(y + 5)2 = 36 e n o maior 
valor real que y pode assumir nessa mesma equação, 
então, m + n é igual a: 
CompetênCias: 2, 3 e 5 Habilidades:
6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 19, 
20, 21, 22 e 23
80
a) 8.
b) 7.
c) 6.
d) 4.
e) 3.
6. Sobre a curva 9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0, assi-
nale a alternativa correta. 
a) Seu centro é (–2, 1).
b) A medida do seu eixo maior é 25.
c) A medida do seu eixo menor é 9.
d) A distância focal é 4.
e) Sua excentricidade é 0,8. 
7. (UEPB) Deseja-se construir uma praça em forma de 
elipse em um terreno retangular de dimensões x metros 
e y metros, com x > y, de perímetro 300 m e área 5000 
m2, conforme nos mostra a figura. 
Estando previstas as instalações de duas torres de ilu-
minação, uma em cada foco da elipse, F1 e F2, local de 
melhor distribuição e aproveitamento das mesmas, 
concluímos qe a distância, em metros, entre as torres é: 
a) 100 3 .
b) 25 3 . 
c) 50 3 .
d) 40 3 . 
e) 30 3 .
8. (UEL) Existem pessoas que nascem com problemas 
de saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A 
pequena Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este 
problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma 
cabra que pasta em um campo retangular medindo 20 
m de comprimento e 16 m de largura. Acontece que as 
cabras comem tudo o que aparece à sua frente, inva-
dindo hortas, jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio 
resolveu amarrar a cabra em uma corda presa pelas ex-
tremidades nos pontos A e B que estão 12 m afastados 
um do outro. A cabra tem uma argola na coleira por 
onde é passada a corda, de tal modo que ela possa des-
lizar livremente por toda a extensão da corda. Observe 
a figura e responda a questão a seguir.
Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra 
possa pastar na maior área possível, dentro do campo 
retangular?
a) 10 m.
b) 15 m.
c) 20 m.
d) 25 m.
e) 30 m.
9. (UEM) Baseado em conhecimentos sobre cônicas, as-
sinale o que for correto.
01) Elipse é o lugar geométrico dos pontos equidis-
tantes de dois pontosdistintos fixos chamados focos.
02) A equação 4x2 − 9y2 − 25 = 0 determina uma 
hipérbole de focos no eixo x.
04) Seja r uma reta e P um ponto fora dela, ambos no 
mesmo plano. O lugar geométrico dos pontos equi-
distantes a r e a P será uma parábola.
08) A elipse de focos (−1,0) e (1,0) com seu eixo maior de 
extremidades em (−3,0) e (3,0) tem equação x
2
 __ 
9
 + 
y2
 __ 
8
 = 1.
16) O eixo maior da elipse x
2 
 ___ 
49
 + 
y2 
 ___ 
36
 = 1. tem extremi-
dades (7,0) e (−7,0)
10. (IFPE) Bira adquiriu uma cabra que pasta em um cam-
po retangular. Para delimitar o gramado, ele pretende 
traçar uma elipse inscrita num terreno retangular de 10 
m por 8 m. Para isso, ele deve utilizar um fio esticado 
preso por duas estacas M e N, conforme mostra a figura.
 
Qual deve ser a distância entre as estacas M e N?
a) 5.
b) 4.
c) 8.
d) 6.
e) 9.
E.O. FixAçãO
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
O vento solar é uma emissão contínua, em todas as 
direções, de partículas carregadas que têm origem na 
coroa solar. As partículas emitidas podem ser elétrons, 
prótons ou neutrinos. A velocidade dessas partículas 
varia entre 400 km/s e 800 km/s.
Essa emissão contínua gera uma distribuição de íons, 
prótons e elétrons em todo o espaço do sistema solar. 
Esse plasma de partículas carregadas é comumente de-
nominado mar de prótons, ou mar de elétrons. Ao se 
aproximarem da Terra, esses íons sofrem alterações em 
81
suas trajetórias devido à presença do campo magnéti-
co terrestre. Na região do espaço que circunda a Terra, 
a densidade desse plasma é de aproximadamente 10 
partículas por centímetro cúbico. O bombardeamento 
da atmosfera terrestre pelo vento solar tem efeitos 
profundos, uma vez que as partículas e a radiação solar 
interagem com os gases presentes na atmosfera, tais 
como H2, N2, O2, CO2, CO, NO2, N2O, SO2.
Planeta Distância média do Sol, em 106 km
Mercúrio 57,9
Vênus 108
Terra 150
Marte 228
Júpiter 778
Saturno 1.430
Urano 2.870
Netuno 4.500
Plutão 5.900
1. (UnB) 
A figura acima ilustra a situação em que um cometa 
(C) percorre uma órbita elíptica de centro na origem de 
um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais x0y. 
Nessa órbita elíptica, o Sol (S) aparece em um dos focos. 
Considere que a elipse seja representada pela equa-
ção x
2
 __ 
a2
 + 
y2
 __ 
b2
 = 1, em que a > b > 0, e tenha excentricidade 
igual a 0,96. Nesse caso, se a distância mínima desse co-
meta ao Sol for igual a 0,58 UA (unidade astronômica), 
em que 1 UA = 150 · 106 km é a distância média da Terra 
ao Sol, então a distância máxima do cometa ao Sol, em 
milhões de km, será: 
a) inferior a 3.700.
b) superior a 3.700 e inferior a 4.000.
c) superior a 4.000 e inferior a 4.300.
d) superior a 4.300.
2. (UFT) Considere R o conjunto dos números reais e b 
[ R. Encontre os valores de b, tais que no plano carte-
siano xy, a reta y = x + b intercepta a elipse x
2
 __ 4 + y
2 = 1 
em um único ponto. A soma dos valores de b é: 
a) 0.
b) 2.
c) 2 5 .
d) 5 .
e) –2 5 .
3. Sobre a circunferência de menor raio possível que cir-
cunscreve a elipse de equação x2 + 9y2 – 8x – 54y + 88 = 0, 
é correto afirmar que: 
a) tem raio igual a 1.
b) tangencia o eixo das abscissas.
c) é secante ao eixo das ordenadas.
d) intercepta a reta de equação 4x – y = 0.
4. (UEL) Em uma praça dispõe-se de uma região retan-
gular de 20 m de comprimento por 16 m de largura 
para construir um jardim. A exemplo de outros cantei-
ros, este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nes-
sa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois 
aspersores nos pontos que correspondem aos focos da 
elipse. Qual será a distância entre os aspersores? 
a) 4 m.
b) 6 m.
c) 8 m.
d) 10 m.
e) 12 m.
5. (ITA) A distância focal e a excentricidade da elipse 
com centro na origem e que passa pelos pontos (1, 0) e 
(0, –2) são, respectivamente: 
a) 3 e 1 __ 2 .
b) 1 __ 2 e 3 .
c) 3 ___ 2 e 
1 __ 2 .
d) 3 e 3 ___ 2 .
e) 2 3 e 3 ___ 2 .
6. (UFRN) Uma seção cônica é obtida a partir da interse-
ção de um cone com um plano. Na figura a seguir, temos 
um exemplo de uma seção cônica, denominada Elipse. A 
figura consiste de duas esferas S1 e S2 que tangenciam 
o cone em duas circunferências C1 e C2 e tangenciam o 
plano p nos pontos F1 e F2. Os pontos P1, P2 e P estão, 
respectivamente, na interseção de uma reta do cone 
com as circunferências e a Elipse.
A soma das distâncias de P aos pontos F1 e F2 é igual à 
distância: 
a) entre as duas circunferências.
b) entre P1 e P2.
82
c) entre os centros das duas esferas.
d) entre F1 e F2.
7. (IME) Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com 
lados iguais a m. A área da figura FHCG é igual à me-
tade da área da figura ABHFG. Determine a equação da 
elipse de centro na origem e eixos formados pelos seg-
mentos FC e GH.
a) 48x2 + 36y2 – 2 m2 = 0.
b) 8x2 + 16y2 – 3 m2 = 0.
c) 16x2 + 48y2 – 3m2 = 0.
d) 8x2 + 24y2 – m2 = 0.
e) 16x2 – 24 y2 – m2 = 0
8. (Espcex (Aman) Os valores reais de n para os quais a 
reta (t) y = x + n seja tangente à elipse de equação 
2x2 + 3y2 = 6 são iguais a:
a) − 5 e 5 .
b) − 3 e 3 .
c) -3 e 3.
d) -2 e 2.
e) -5 e 5.
9. (Esc. Naval) Seja P(x, y) um ponto da elipse 
 x
2
 __ 
a2
 + 
y2
 __ 
b2
 = 1, de focos F1 e F2 e excentricidade e. 
Calcule 
 ______
 
›
 PF1 · 
 ______
 
›
 FP2 e assinale a opção correta. 
a) ex2 + a(1 + 2e2).
b) e2x − a2(1 + 2).
c) e2x2 + a2(1 − 2e).
d) e2x − a(1 + e2).
e) e2x2 + a2(1 − 2e2).
10. (Mackenzie) Com relação às equações das elipses 
25x2 + 16y2 + 150x + 256y − 351 = 0 e 
16x2 + 25y2 − 96x - 200y 144 = 0, podemos afirmar que:
a) as elipses têm centros coincidentes.
b) as elipses têm a mesma distância focal.
c) as elipses têm a mesma excentricidade.
d) as elipses têm focos sobre o eixo das abscissas.
e) o eixo maior de uma delas é o dobro do eixo menor 
da outra.
E.O. COmplEmEntAr
1. (IME) Seja M um ponto de uma elipse com centro O 
e focos F e F'. A reta r é tangente à elipse no ponto M 
e s é uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas 
suportes dos raios vetores MF e MF' interceptam a reta 
s em H e H', respectivamente. Sabendo que o segmento 
FH mede 2 cm, o comprimento F'H' é: 
a) 0,5 cm.
b) 1,0 cm.
c) 1,5 cm.
d) 2,0 cm.
e) 3,0 cm.
2. (ITA) Os focos de uma elipse são F1(0, –6) e F2(0, 6). Os 
pontos A(0, 9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A área do 
triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a: 
a) 22 10.
b) 18 10.
c) 15 10 .
d) 12 10 .
e) 6 10 .
3. (ITA) Considere todos os números z = x + iy que têm 
módulo ( 7 __ 2 ) e estão na elipse x2 + 4y2 = 4. Então, o pro-
duto deles é igual a: 
a) 25 ___ 9 .
b) 49 ___ 16 .
c) 81 ___ 25 .
d) 25 ___ 7 .
e) 4.
4. (IME) Uma elipse, cujo centro encontra-se na origem 
e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesia-
nos, possui comprimento da semi distância focal igual a 
3 e excentricidade igual a 3 __ 2 . Considere que os pontos A, 
B, C e D representam as interseções da elipse com as retas 
de equações y = x e y = –x. A área do quadrilátero ABCD é: 
a) 8.
b) 16.
c) 16 ___ 3 .
d) 16 ___ 5 .
e) 16 ___ 
7
 .
 5. (FGV) No plano cartesiano, a curva de equações pa-
ramétricas x = 2cost e y = 5sent com t [ R é: 
a) uma senoide.
b) uma cossenoide.
c) uma hipérbole.
d) uma circunferência.
e) uma elipse.
E.O. dissErtAtivO
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
A questão consiste em 5 (cinco) alternativas, das quais 
algumas são verdadeiras e outras, falsas, podendo 
83
ocorrer que todas as alternativas sejam verdadeiras 
ou que todas sejam falsas.
As alternativas verdadeiras devem ser marcadas com 
(V) e as falsas, com (F). 
1. (UFAL) Em um sistema de eixos cartesianos ortogonais, 
considere os pontos A(5; 0), B(0; 3), C(–5; 0) e D(0; –3). 
a) ( ) A equação da reta que contém os pontos A e B 
é 3x + 5y + 15 = 0.
b) ( ) A área do quadrilátero ABCD, em unidades de 
área do sistema, é igual a 60.c) ( ) A equação da circunferência inscrita no quadri-
látero ABCD é x2 + y2 = 225 ____ 34 .
d) ( ) A equação da elipse que contém os pontos A, B, 
C e D é 9x2 + 25y2 = 225.
e) ( ) O ponto P(3; 2) é interior à elipse que contém 
os pontos A, B, C e D, e é exterior ao quadrilátero 
ABCD.
2. (UEM) Sobre a cônica de equação x2 + 4 y2 = 9, assi-
nale o que for correto. 
01) Trata-se de uma elipse.
02) A cônica intercepta o eixo das abscissas em (3, 
0) e (−3, 0).
04) Se A e B são pontos da cônica que não são coline-
ares com os focos D e E da cônica, os triângulos ADE 
e BDE possuem o mesmo perímetro.
08) A circunferência centrada na origem e de raio 2 
tangencia essa cônica.
16) O ponto ( 2 2 , 1 __ 2 ) pertence à cônica. 
3. (UFRJ) Uma elipse, cuja distância focal mede 1 cm, 
está inscrita em um retângulo (de lados paralelos aos 
eixos principais da elipse) de área igual a 2 cm2. Deter-
mine as medidas dos lados do retângulo. 
4. (FGV) No livro Teoria Microeconômica, de Mario Hen-
rique Simonsen, discute-se um caso em que existe uma 
certa quantidade fixa N de mão de obra (trabalhadores) 
para fabricar dois produtos, A e B, cujas quantidades 
produzidas são x e y, respectivamente. Admite-se no 
problema que a função de produção de x e y seja dada 
por x = N1 e y = 2 · N2 , sendo N1 e N2 a quantidade de 
mão de obra destinada à fabricação de A e B, de forma 
que N1 + N2 + ≤ N. Considerando, no problema, que x, 
y, N1, N2 e N podem ser quaisquer números reais não 
negativos, responda o que se pede a seguir.
a) Faça um esboço do gráfico do lugar geométrico 
dos pares (x, y) que atendem às restrições do proble-
ma para o caso em que N = 81.
b) Assuma que N = 80, 8 e que x e y estão subme-
tidos à restrição y = x – 2. Determine o maior valor 
possível de N1. 
5. (UFRJ) Sejam F1 e F2 os pontos do plano cartesiano 
de coordenadas F1 = (– 3 , 0) e F2 = ( 3 , 0). Determine as 
coordenadas dos pontos da reta r de equação x – y = 1, 
cujas somas das distâncias a F1 e F2 sejam iguais a 4 (isto 
é: determine as coordenadas dos pontos P sobre a reta r 
que satisfazem PF1 + PF2 = 4). 
6. (ITA) Determine o conjunto dos números complexos z, 
para os quais o número 
W = z + 
 z + 2 _________________ 
  z – 1  +  z + 1  – 3 
 
pertence ao conjunto dos números reais. Interprete (ou 
identifique) este conjunto geometricamente e faça um 
esboço do mesmo. 
7. (ITA) Sabe-se que uma elipse de equação x
2
 __ 
a2
 + 
y2
 __ 
b2
 = 1 
tangencia internamente a circunferência de equação 
x2 + y2 = 5 e que a reta de equação 3x + 2y = 6 é tan-
gente à elipse no ponto P. Determine as coordenadas 
de P. 
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Um holofote situado na posição (–5, 0) ilumina 
uma região elíptica de contorno x2 + 4y2 = 5, projetando 
sua sombra numa parede representada pela reta x = 3, 
conforme ilustra a figura a seguir.
Considerando o metro a unidade dos eixos, o compri-
mento da sombra projetada é de: 
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Uma porta colonial é formada por um retângu-
lo de 100 cm × 200 cm e uma semielipse.
Observe as figuras: 
Na semielipse o eixo maior mede 100 cm e o semieixo 
menor, 30 cm.
Calcule a medida da corda PQ, paralela ao eixo maior, 
que representa a largura da porta a 224 cm de altura. 
84
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Suponha que um planeta P descreva uma ór-
bita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, 
considerando um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a 
órbita possa ser descrita aproximadamente pela equa-
ção x2 ____ 100 + y
2
 ___ 25 = 1, com x e y em milhões de quilômetros. 
A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo pla-
neta e sua posição no instante em que o ângulo P 
 ̂ 
 O A 
mede π __ 4 . 
A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, 
no instante representado na figura, é: 
a) 2 5 .
b) 2 10 .
c) 5 2 .
d) 10 2.
e) 5 10 .
2. (Unesp) A figura mostra a representação de algumas 
das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calça-
das de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 
m de largura. Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma 
área iluminada na forma de uma elipse de excentrici-
dade 0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abai-
xo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem 
exatamente a largura da rua (calçadas e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem 
nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em 
metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de, 
aproximadamente:
Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e 0,111 ≈ 0,333
a) 35.
b) 30.
c) 25.
d) 20.
e) 15.
3. (Unesp) A figura representa uma elipse.
A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é: 
a) ( x2 __ 5 ) + ( y
2
 __ 7 ) = 1.
b) [ (x + 5)2 _______ 9 ] + [ (y – 7)
2 
 _______ 16 ] = 1.
c) (x + 5)2 + (y – 7)2 = 1.
d) [ (x – 5)2 _______ 9 ] + [ (y + 7)
2 
 _______ 16 ] = 1.
e) [ (x + 3)2 _______ 5 ] + [ (y – 4)
2 
 _______ 7 ] = 1.
4. (Unifesp) A área sombreada na figura,
limitada pela elipse e pela reta indicadas, é: 
a) p.
b) 2p.
c) 3p.
d) 4p.
e) 6p.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) A figura mostra um plano cartesiano no qual 
foi traçada uma elipse com eixos paralelos aos eixos 
coordenados.
4
85
Valendo-se das informações contidas nesta representa-
ção, determine a equação reduzida da elipse.
2. (Unesp) Considere a elipse de equação ( x2 ___ 25 ) + ( y
2
 __ 9 ) = 1.
a) Mostre que o ponto P = ( 3, 12 ___ 5 ) pertence à elipse e 
calcule a distância de P ao eixo das abscissas.
b) Determine os vértices Q e R da elipse que perten-
cem ao eixo das abscissas e calcule a área do triân-
gulo PQR, onde P = ( 3, 12 ___ 5 ) .
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. E 3. C 4. C 5. C
6. E 7. C 8. C
9. 02 + 04 + 08 + 16 = 30 10. D
E.O. Fixação
1. C 2. A 3. B 4. E 5. E
6. B 7. D 8. A 9. E 10. C
E.O. Complementar
1. D 2. D 3. B 4. D 5. E
E.O. Dissertativo
1. F-F-V-V-V. 
2. 01 + 02 + 04 + 16 = 23.
3. 1 e 2 .
4. 
a) 
b) 70,56.
5. Os pontos são (0, –1) e ( 8 ___ 5 , 3 ___ 5 ) .
6. 
7. P ( 8 __ 9 , 5 __ 3 ) .
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. C
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. 60 cm.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. B 2. B 3. B 4. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
(x – 2)2 
 ______ 4 + 
(y – 3)2 
 _____ 
9
 = 1.
2. 
a) 
I. Substituindo as coordenadas do ponto P na equa-
ção da elipse, temos:
 3
2
 ___ 25 + 
 12 ___ 
52
 
 ___ 
9
 = 1, ou seja: 1=1
Logo, as coordenadas de P satisfazem à equação da 
elipse. Portanto, P pertence à elipse.
II. Como a ordenada P é positiva, a distância pedida é 12 ___ 5 .
b) Q(–5, 0), R(5,0) e A = 12.
	EO_MAT_6_1
	EO_MAT_6_2
	EO_MAT_6_3