Estudo Orientado 6 - Hexag Medicina

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MATEMÁTICA
e suas tecnologiasM
MATEMÁTICA
T
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CARO ALUNO
Desde 2010, o Hexag Medicina é referência na preparação pré-vestibular de candidatos às melhores 
universidades do Brasil.
Você está recebendo o livro Estudo Orientado 6 do Hexag Medicina. Com o objetivo de verificar se você 
aprendeu os conteúdos estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios a serem trabalhados 
como Estudo Orientado (E.O.):
 § E.O. Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixação da 
matéria dada em aula;
 § E.O. Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio, buscando 
a consolidação do aprendizado;
 § E.O. Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade;
 § E.O. Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais vestibulares 
do Brasil;
 § E.O. Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, preparan-
do o aluno para esse tipo de exame;
 § E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios de múltipla escolha das faculdades 
públicas de São Paulo;
 § E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios dissertativos da segunda fase 
das faculdades públicas de São Paulo;
 § E.O. Uerj (Exame de Qualificação): exercícios de múltipla escolha, buscando a consolidação do 
aprendizado para o vestibular da Uerj;
 § E.O. Uerj (Exame Discursivo): exercícios dissertativos nos moldes da segunda fase da Uerj.
A edição 2019 foi elaborada com muito empenho e dedicação, oferecendo ao aluno um material moder-
no e completo, um grande aliado para o seu sucesso nos vestibulares mais concorridos de Medicina.
Bons estudos!
Herlan Fellini
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
GEOMETRIA ANALÍTICA
Aulas 45 e 46: Números complexos: representação geométrica e módulo 7
Aulas 47 e 48: Números complexos: forma trigonométrica 15
Aulas 49 e 50: Polinômios 23
Aulas 51 e 52: Operações com polinômios 31
Aulas 45 e 46: Matrizes e operações 41
Aulas 47 e 48: Matriz inversa e equações matriciais 55
Aulas 49 e 50: Determinantes 61
Aulas 51 e 52: Sistemas lineares 69
Aulas 45 e 46: Distância de ponto à reta, ângulos e áreas 85
Aulas 47 a 50: Circunferência: equações reduzida e normal 95
Aulas 51 e 52: Secções cônicas: elipse 111
FUVEST
Números complexos e polinômios são temas frequentemente cobrados na segunda fase. Domí-
nio pleno das formas trigonométricas, no caso dos números complexos e para os polinômios, as 
relações de Girard e pesquisas de raízes são temas comumente cobrados.
UNESP
Números complexos e polinômios são temas pouco cobrados. Das poucas ve-
zes que foram cobrados, os domínios de teorema do resto e das relações de 
Girard eram exigidos.
UNICAMP
Na primeira fase, polinômios passou a ser um tema frequentemente cobrado. Já na segunda 
fase, polinômios é um tema tradicionalmente cobrado, junto com progressões, determinantes e 
números complexos. Habilidade para trabalhar com as relações de Girard e pesquisas de raízes 
são fundamentais.
UNIFESP
Com baixa incidência em suas provas, polinômios e números complexos foram cobrados exigindo 
do candidato, para números complexos,: domínio da forma trigonométrica e, para polinômios,: 
teorema do resto e pesquisa de raízes.
ENEM/UFMG/UFRJ
Números complexos e polinômios nunca foram cobrados nas provas do Enem.
UERJ
Números complexos e polinômios são temas com baixa incidência nos vestibulares da Uerj, 
portanto, a abordagem é de difícil caracterização.
FA
CU
LDADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de NÚMEROS COMPLEXOS e de POLINÔMIOS nos principais 
vestibulares.
45 46
M
MATEMÁTICA
T
Números complexos:
representação geométrica e 
módulo
Competência
5
Habilidades
20, 21 e 23
45 46
M
MATEMÁTICA
T
Números complexos:
representação geométrica e 
módulo
Competência
5
Habilidades
20, 21 e 23
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relaçõesentre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
9
E.O. AprEndizAgEm
 1. (UEL) A forma algébrica do número comple-
xo z = (1 + 3i)/(2 – i) é: 
a) 1/2 – 3i. 
b) 5/3 + (7i/3). 
c) –1/5 + (7i/5). 
d) –1/5 + 7i. 
e) 3/5 + (4i/5). 
 2. (FEI) Escrevendo o número complexo
z = 1 _____ 
1 – i
 + 1 _____ 
1 + i
 
na forma algébrica obtemos: 
a) 1 – i.
b) i – 1.
c) 1 + i.
d) i. 
e) 1. 
 3. (PUC-RS) O número complexo a + bi, dife-
rente de zero, está assinalado, no plano com-
plexo, sobre o eixo real. É correto afirmar 
que seu conjugado está situado: 
a) sobre o eixo real. 
b) sobre o eixo imaginário. 
c) no primeiro quadrante. 
d) no segundo quadrante. 
e) no terceiro quadrante. 
 4. (Espcex (Aman)) Seja o número complexo 
z = 
x + yi
 ______ 
3 + 4i
 , com x e y reais e i2 = –1.
Se x2 + y2 = 20, então o módulo de z é igual a: 
a) 0. 
b) dXX 5 .
c) 2 dXX 5 ____ 5 .
d) 4.
e) 10.
 5. (Mackenzie) Se y = 2x, sendo x = 1+i _____ 
1–i
 e 
i = dXXX –1 , o valor de (x + y)2 é:
a) 9i. 
b) –9 + i. 
c) –9. 
d) 9. 
e) 9 – i. 
 6. (UFSM) Os edifícios “verdes” têm sido uma 
nova tendência na construção civil. Na exe-
cução da obra desses prédios, há uma preo-
cupação toda especial com o meio ambiente 
em que estão inseridos e com a correta uti-
lização dos recursos naturais necessários ao 
seu funcionamento, além da correta destina-
ção dos resíduos gerados por essa utilização.
A demarcação do terreno onde será cons-
truído um edifício “verde” foi feita 
através dos pontos P1, P2, P3 e P4, sendo o 
terreno delimitado pelas poligonais 
 P1P2 , 
 —— P2P3 , 
 P3P4 e 
 P4P1 , medidas em metros. Sa-
bendo que P1, P2, P3 e P4 representam, res-
pectivamente, a imagem dos complexos 
z1 = 20 + 40i, z2 = –15 + 50i, z3 = –15 – 10i e 
z4 = 1 ___ 16 z1 – 5 __ 4  z3 , qual é a área, em m2, desse 
terreno?
a) 1.595. 
b) 1.750. 
c) 1.795. 
d) 1.925. 
e) 2.100. 
 7. (PUC-RS) Na figura abaixo, o ponto A é o afi-
xo de um número complexo z no plano de 
Argand-Gauss.
Se a distância do ponto A até a origem O é 4, 
então a diferença entre z e o seu conjugado 
é igual a: 
a) –4 dXX 2 – 4 dXX 2 i.
b) –4 dXX 2 + 4 dXX 2 i.
c) –4 dXX 2 i.
d) 4 dXX 2 i.
e) 4 dXX 2 .
 8. (Ufrgs) O argumento do número complexo z 
é p __ 6 , e o seu módulo é 2.
Então, a forma algébrica de z é: 
a) –i.
b) i.
c) dXX 3 i.
d) dXX 3 – i.
e) dXX 3 + i. 
 9. (UEPB) O módulo e o argumento do número 
complexo z = (1 + i)(1 – i)2 são respectiva-
mente: 
a) dXX 2 e 3p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
b) dXX 2 e p __ 4 + 2kp, k [ Z.
c) 2 dXX 2 e 3p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
d) 2 dXX 2 e 7p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
e) 2 dXX 2 e 5p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
10
 6. (PUC-RS) A área da figura representada no 
plano de Argand Gauss pelo conjunto de 
pontos {z [ C: |z| ≤ 1} é: 
a) 1 __ 2 .
b) 1.
c) p __ 2 .
d) p.
e) 2p.
 7. (UECE) Se x e y são números reais não nulos, 
pode-se afirmar corretamente que o módulo 
do número complexo z = 
x – iy
 ______ 
x + iy
 é igual a: 
a) 1.
b) 2.
c) x2 + y2
d) |xy|.
 8. (UFC) Seja z0 o número complexo que é raiz 
da equação 
iz + (1 – 3i)
 ___________ 
1 + i
 = 4i (lembre-se que 
i2 = –1).
Então, |z0| é igual a:
a) 2 dXXX 11 .
b) 3 dXX 6 .
c) 8.
d) dXXX 74 .
e) 2 dXXX 21 .
 9. (Espcex - AMAN) Sendo z o número comple-
xo obtido na rotação de 90°, em relação à 
origem, do número complexo 1 + i, determi-
ne z3 
a) 1 – i. 
b) – 1 + i. 
c) – 2i. 
d) – 1 – 2i. 
e) 2 + 2i.
 10. (UECE 2017) Se i é o número complexo cujo 
quadrado é igual a −1, então, o valor de 
5 − i227 + i6 − i13 é igual a:
a) i + 1.
b) 4i − 1.
c) −6i − 1.
d) − 6i.
E.O. COmplEmEntAr
 1. (UEPB) Dado o número complexo z = x + yi, 
o sistema 
|z| = 5
 
|iz – 3| = 2
 tem como solução: 
a) z = 5i. 
b) z = –5i. 
c) z = 5. 
d) z = −5. 
e) z = 5 + 5i.
 10. (IFSP) Sendo i a unidade imaginária, con-
sidere os números complexos z = 1 + i e 
w = z2 − z. Um argumento de w é: 
a) p __ 3 .
b) p __ 2 .
c) 2p ___ 3 .
d) 3p ___ 4 .
e) 5p ___ 4 .
E.O. FixAçãO
 1. (Ufrgs) A forma a + bi de z = (1 + 2i )/(1 – i) 
é: 
a) 1/2 + 3/2i.
b) –1/2 + 3/2i.
c) –1/2 + 2/3i.
d) –1/2 – 2/3i.
e) 1/2 – 3/2i.
 2. (Insper) Considere um número complexo z, 
de módulo 10, tal que z = (K + i)2, em que K 
é um número real. A parte real desse número 
complexo é igual a: 
a) 5 dXX 3 .
b) 8.
c) 5 dXX 2 .
d) 6.
e) 5.
 3. (UERN) Seja z = a + bi um número complexo, 
tal que 4z – zi + 5 = –1 + 10i. Assim, o mó-
dulo do complexo z é: 
a) dXX 2 .
b) 2 dXX 2 .
c) 3 dXX 2 .
d) 4 dXX 2 .
 4. O módulo do número complexo z = i2014 – i1987 
é igual a:
a) dXX 2 .
b) 0.
c) dXX 3 .
d) 1.
 5. (UEL) Seja z um número complexo de módu-
lo 2 e argumento principal 120°. O conjuga-
do de z é: 
a) 2 – 2i dXX 3 .
b) 2 + 2i dXX 3 .
c) –1 – i dXX 3 .
d) –1 + i dXX 3 .
e) 1 + i dXX 3 .
11
 2. (UFSJ) Na figura abaixo, estão representa-
dos os números complexos Z1 e Z2 por meio 
de seus afixos A e B, respectivamente.
Considerando essa figura, é CORRETO afir-
mar que:
a) o afixo de (Z1 · Z2) é um ponto do 2º qua-
drante.
b) (Z1)
2 = 2i. 
c) |Z1 + Z2| = dXX 3 .
d) o afixo de 
Z1 __ 
Z2
 é um ponto do 2º quadrante.
 3. A representação geométrica, no Plano de Ar-
gand-Gauss, do conjunto de pontos que satis-
fazem a condição |z + 2 – 3i| = |z – 1 + 4i|, 
com z = x + yi, sendo x e y números reais, é 
reta de equação: 
a) 2x – 3y + 7 = 0. 
b) 3x – 7y – 2 = 0. 
c) 2x – 3y + 3 = 0 
d) 4x – 3y + 3 = 0. 
e) 2x – y = 0. 
 4. (UECE) No plano complexo, o número 
z = 2 – 3i é o centro de um quadrado e 
w = 5 – 5i é um de seus vértices. O vértice 
do quadrado não consecutivo a w é o número 
complexo: 
a) 2 – 2i.
b) 1 – i.
c) –1 – i.
d) –2 – 2i.
 5. (FGV) Os quatro vértices de um quadrado no 
plano Argand-Gauss são números complexos, 
sendo três deles 1 + 2i, –2 + i e –1 – 2i. O 
quarto vértice do quadrado é o número com-
plexo: 
a) 2 + i.
b) 2 – i.
c) 1 – 2i.
d) –1 + 2i.
e) –2 – i.
E.O. dissErtAtivO
 1. (Ufrrj) Encontre o conjunto solução da equa-
ção (1 + i)x + (1 – i) = 0, onde i é a unidade 
imaginária. 
 2. (Ufrrj) Determine o módulo, o argumento e 
represente graficamente o número complexo 
z = 2 + 2( dXX 3 ) i. 
 3. (UFRJ) Seja z o número complexo 2 + 3i ______ 
a + i
 ; 
onde a = a + bi. Determineo valor de a para 
que z seja um imaginário puro. Justifique. 
 4. (FGV) Seja f uma função que, a cada número 
complexo z, associa f(z) = iz, onde i é a uni-
dade imaginária. Determine os complexos z 
de módulo igual a 4 e tais que f(z) =  z , onde 
 z é o conjugado de z.
 5. (UFSC 2017) Em circuitos elétricos como, 
por exemplo, o das instalações residenciais, 
as grandezas elétricas são analisadas com o 
auxílio dos números complexos. A relação 
U = Z·J fornece a tensão U em função da 
impedância Z e da corrente elétrica j. Nesses 
termos, essas variáveis são expressas atra-
vés de números complexos a + bi. Considere 
agora U = 110(cos0° + isen0°) e Z = 5 + 5i. 
Determine o valor da expressão 2a + b, sendo 
j = a + bi.
 6. (UFPR) Considere o número complexo 
z0 = 4i + 13 ______ 
2 + 3i
 .
a) Determine a parte real e a parte imaginária 
de z0.
b) Determine a e b, de modo que z = 1 − i seja 
solução da equação z2 + az + b = 0.
 7. (FGV-RJ)
a) Considere os números complexos z1 = 1 + i; 
z2 = 2(1 + i) em que i é o número complexo 
tal que i2 = −1. Represente, no plano carte-
siano, o triângulo cujos vértices são os afi-
xos dos números complexos z1 + z2, z2 − z1 e 
z1z2. Calcule a sua área.
b) A razão de semelhança entre um novo triân-
gulo, semelhante ao triângulo original, e o 
triângulo original, é igual a 3. Qual é a área 
desse novo triângulo?
 8. (UFG) Considerando os números comple-
xos z e w tais que z + w = (9 − 3 √
__
 3 ) + 1 e 
z − w = (−3 + 3 √
__
 3 ) + i(3 − 3 √
__
 3 ), determi-
ne a área do paralelogramo de lados z e w 
sabendo-se que o ângulo entre eles é p __ 3 .
12
 9. (IME 2017) Sejam os complexos z = a + bi e 
w = 47 + ci, tais que z3 + w = 0. Determine o 
valor de a, b e c sabendo que esses números 
são inteiros e positivos.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
 1. (UERJ) João desenhou um mapa do quintal 
de sua casa, onde enterrou um cofre. Para 
isso, usou um sistema de coordenadas re-
tangulares, colocando a origem O na base 
de uma mangueira, e os eixos OX e OY com 
sentidos oeste-leste e sul-norte, respecti-
vamente. Cada ponto (x, y), nesse sistema, 
é a representação de um número complexo 
z = x + iy, x [ R, y [ R e i2 = –1.
Para indicar a posição (x1, y1) e a distância d 
do cofre à origem, João escreveu a seguinte 
observação no canto do mapa:
x1 + iy1 = (1 + i)9
Calcule:
a) as coordenadas (x1, y1);
b) o valor de d.
 2. (UERJ) Considere a equação a seguir, que se 
reduz a uma equação do terceiro grau:
(x + 2)4 = x4
Uma de suas raízes é real e as outras são 
imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest) Sabendo que k é um número real e 
que a parte imaginária do número complexo 
(2 + i)/(k + 2i) é zero, então k é:
a) –4.
b) –2.
c) 1.
d) 2.
e) 4.
 2. (Unicamp 2016) Considere o número com-
plexo z = 1 + ai/a − i, onde a é um núme-
ro real e i é a unidade imaginária, isto é, 
i2 = − 1, O valor de z2016 é igual a:
a) a2016.
b) 1.
c) 1 + 2016i.
d) i.
 3. (Unicamp) Sejam x e y números reais tais 
que x + yi = √
______
 3 + 4i onde i é a unidade ima-
ginária. O valor de xy é igual a:
a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.
 4. (Unicamp) Chamamos de unidade imaginá-
ria e denotamos por i o número complexo tal 
que i2 = −1.
Então i0 + i1 + i2 + i3 +...+ i2013 vale:
a) 0.
b) 1.
c) i.
d) 1 + i
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest)
a) Sendo i a unidade imaginária, determine as 
partes real e imaginária do número comple-
xo Z0 = 1 ____ 
1 + i
 – 1 __ 
2i
 + i
b) Determine um polinômio de grau 2, com co-
eficientes inteiros, que tenha z0 como raiz.
c) Determine os números complexos w tais que 
z0 · w tenha módulo igual a 5 dXX 2 e tais que 
as partes real e imaginária de z0 · w sejam 
iguais.
d) No plano complexo, determine o número 
complexo z1 que é o simétrico de z0 com re-
lação à reta de equação y – x = 0. 
 2. (Fuvest) Nos itens abaixo, z denota um nú-
mero complexo e i a unidade imaginária 
(i2 = –1). Suponha z ≠ i.
a) Para quais valores de z tem-se z + i _____ 
1 + iz
 = 2?
b) Determine o conjunto de todos os valores de 
z para os quais z + i _____ 
1 + iz
 é um número real. 
 3. (Unesp) Considere os números complexos 
w = 4 + 2i e z = 3a + 4ai, onde a é um número 
real positivo e i indica a unidade imaginá-
ria. Se, em centímetros, a altura de um tri-
ângulo é |z| e a base é a parte real de z · w, 
determine a de modo que a área do triângulo 
seja 90 cm2.
 4. (Fuvest) Determine os números complexos z 
que satisfazem, simultaneamente, 
|z|= 2 e Im = z – 1 _____ 
1 + i
 = 1 __ 2 .
Lembretes: i2 = – 1, se w = a + bi, com a e 
b reais, então |w| = √
________
 (a2 + b2) e Im (w) = b.
13
 5. (Unesp) Considere os números complexos 
z = 2 – i e w = –3 – i, sendo i a unidade 
imaginária.
a) Determine z · w e |w – z|.
b) Represente z e w no plano complexo (Ar-
gand-Gauss) e determine b [ R, b ≥ 0, de 
modo que os números complexos z, w e 
t = bi sejam vértices de um triângulo, no 
plano complexo, cuja área é 20. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. E 3. A 4. C 5. C
6. D 7. D 8. E 9. D 10. D
E.O. Fixação
1. B 2. B 3. B 4. A 5. C
6. D 7. A 8. D 9. E 10. C
E.O. Complementar
1. B 2. A 3. B 4. C 5. B
E.O. Dissertativo
 1. S = {i}.
 2. |z| = 4; u = p __ 3 rad. 
 3. a = a − [ (2a + 3)
 ________ 3 ] i, a ≠ 0. 
 4. 2 dXX 2 – 2 dXX 2 i e –2 dXX 2 + 2 dXX 2 i.
 5. 11.
 6. 
a) Re(z0) = 2; Im (z0) = 1.
b) a = -2 e b = 2.
 7. 
a) 4 u.a.
b) 36 u.a.
 8. 18 · (2 √
__
 3 - 3).
 9. c = 52.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
 1. 
a) (16, 16).
b) d = 16 dXX 2 u.c.
 2. x = −1 ou x = −1 ou x = −1 − i.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. E 2. B 3. D 4. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
a) Parte real = 1 __ 2 e parte imaginária = 1 · i
b) 4x2 – 4x + 5 = 0.
14
c) –6 + 2i ou 6 – 2i.
d) Z1 = 1 + 1 __ 2 · i.
 2. 
a) z = (4/5) + (3/5 i).
b) {z [ C |  z  = 1 e z ≠ i}.
 3. a = 3 cm.
 4. z = 2i ou z = –2.
 5. 
a) z · w = –7 + i
 |w – z| = 5.
b) b = 7.
47 48
M
MATEMÁTICA
T
Números complexos:
forma trigonométrica
Competência
5
Habilidades
20, 21 e 23
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezaspara a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
17
E.O. AprEndizAgEm
 1. (UEL) O número complexo [ 1 __ 2 + i √
__
 3 ___ 2 ] 2 escri-
to na forma trigonométrica a + bi = r[cos(q) 
+ isen(q)] é:
a) cos(0) + isen(0).
b) cos ( π __ 6 ) + isen ( π __ 6 ) . 
c) cos ( 2π ___ 3 ) + isen ( 2π ___ 3 ) .
d) 3cos ( 2π ___ 3 ) + isen ( 2π ___ 3 ) .
e) 2 [ cos ( 5π ___ 6 ) + isen ( 5π ___ 6 ) ] .
 2. (UFSM) Na iluminação da praça, três novas 
luminárias são instaladas do seguinte modo: 
uma dessas luminárias é instalada na bisse-
triz do primeiro quadrante; a distância de 
cada uma delas ao ponto de encontro das li-
nhas centrais dos dois passeios é 20 metros; 
a distância entre cada par dessas luminárias 
é a mesma. Quais números complexos a se-
guir representam os pontos onde foram ins-
taladas as três luminárias? 
a) z1 = 20 ( cos π __ 4 + i sen π __ 4 ) 
 z2 = 20 ( cos 11π ____ 12 + i sen 11π ____ 12 ) 
 z3 = 20 ( cos 19π ____ 12 + i sen 19π ____ 12 ) 
b) z1 = 20 ( cos π __ 4 + i sen π __ 4 ) 
 z2 = 20 ( cos π __ 6 + i sen π __ 6 ) 
 z3 = 20 ( cos 2π ___ 3 + i sen 2π ___ 3 ) 
c) z1 = cos π __ 4 + i sen π __ 4 
 z2 = cos 11π ____ 12 + i sen 11π ____ 12 
 z3 = cos 19π ____ 12 + i sen 19π ____ 12 
d) z1 = cos π __ 3 + i sen π __ 3 
 z2 = cos π ___ 12 + i sen π ___ 12 
 z3 = cos 2π ___ 3 + i sen 2π ___ 3 
e) z1 = 20 ( cos π __ 3 + i sen π __ 3 ) 
 z2 = 20 (cos π + i sen π)
 z3 = 20 ( cos 5π ___ 6 + i sen 5π ___ 6 ) 
 3. (UFC) Sabendo que i2 = –1 e que 0 < q < 
p
 __ 2 , o 
número complexo 
(cos q + isen q)
 ______________ 
(cos q - isen q)
 é igual a: 
a) cos(2q) + isen(2q).
b) 
(1 + i)
 ______ 
(1 - i)
 . 
c) cos ( q __ 2 ) + isen ( q __ 2 ) . 
d) 
(1 - i)
 ______ 
(1 + i)
 .
e) cos (q)2 + isen (q)2 .
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Notações
: Conjunto dos números naturais;
R: Conjunto dos números reais;
R+: Conjunto dos números reais não nega-
tivos;
i: unidade imaginária; i2 = –1;
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do 
conjunto A;
n(A): número de elementos do conjunto fi-
nito A;
 
 AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z: argumento do número complexo z;
[ab] = x ∈ i: {a ≤ x ≤ b}
A/B = x { x ∈ A e x ∉ B}
AC: complementar do conjunto A;
∑ 
akx
k
k = 0
n
 = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anx
n, n ∈ Z
Observação: Os sistemas de coordenadas con-
siderados são cartesianos retangulares. 
 4. (ITA) Sejam z = n2(cos45º + i sen 45°) e 
w = n(cos 15º + i sen 15º), em que n é o 
menor inteiro positivo tal que (1 + i)n é real. 
Então, z __ w é igual a: 
a) dXX 3 + i.
b) 2 ( dXX 3 + i).
c) 2 ( dXX 2 + i).
d) 2 ( dXX 2 – i).
e) 2 ( dXX 3 – i).
 5. Sendo o complexo z = 2 [cos(p/6) + sen (p/6) i], 
calculando z6 obtemos: 
a) –32i. 
b) –32. 
c) –64i. 
d) –64.
 6. (UFSM) Dados dois números complexos na 
forma
z = r(cosa + i sena)
w = s(cosb + i senb),
pode-se afirmar que z · w é igual a:
a) rs[cos(ab) – sen(ab)].
b) rs[cos(a + b) + i sen(a + b)].
c) rs[cos(a – b) – i sen(a - b)].
d) (r + s)(cosa · cosb – i sena · senb).
e) (r + s)[cos(a + b) + i sen(a + b)].
18
 7. (Ufrgs) Se w = cos 30° + i sen 30° e 
z = cos 120° + i sen 120°, então: 
a) w2+ z2 = 0.
b) w + z = 0. 
c) w2 − z2 = 0. 
d) w − z = 0. 
e) w4 + z4 = 0. 
 8. (PUC-RS) A superfície e os parafusos de afi-
nação de um tímpano da Orquestra da PUC-
-RS estão representados no plano complexo 
Argand-Gauss por um disco de raio 1, cen-
trado na origem, e por oito pontos uniforme-
mente distribuídos, respectivamente, como 
mostra a figura:
Nessa representação, os parafusos de afina-
ção ocupam os lugares dos números comple-
xos z que satisfazem a equação:
a) z8 = i. 
b) z8 = –i. 
c) z8 = 1. 
d) z8 = –1. 
e) z8 = 1 + i.
 9. (Ulbra) O produto das raízes cúbicas do nú-
mero complexo z = –1 é igual a: 
a) 1 – √
__
 3 i _______ 4 .
b) [ cos π __ 3 + i sen π __ 3 ] .
c) – 1 __ 2 + 
dXX 3 ___ 4 i.
d) 1 + dXX 2 ______ 3 i.
e) -1.
 10. (IFAL 2016) O número complexo z = 1 + i 
representado na forma trigonométrica é:
a) 21/2 (cos 45º + isen 45º).
b) 2 (cos 90º + isen 90º).
c) 4 (cos 60º + isen 60º).
d) 4 (cos 60º + isen 60º).
e) 2 (cos 90º + isen 90º).
E.O. FixAçãO
 1. (Esc. Naval) Qual valor de n,n inteiro maior 
que zero, para que (1 + i)n seja um número 
real? 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 2. A figura geométrica formada pelos afixos 
das raízes complexas da equação x3 – 8 = 0 
tem área igual a:
a) 7 dXX 3 .
b) 6 dXX 3 .
c) 5 dXX 3 .
d) 4 dXX 3 .
e) 3 dXX 3 .
 3. (UFSM) Observe a vista aérea do planetário e a 
representação, no plano Argand-Gauss, dos nú-
meros complexos z1, z2, ..., z12, obtida pela divi-
são do círculo de raio 14 em 12 partes iguais.
Considere as seguintes informações:
I. z2 = 7 dXX 3 + 14 i
II. z11 =  z 3
III. z5 = z4 · 
 z 11
Está(ão) correta(s): 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) apenas II e III.
 4. (PUC-SP) Seja Sn = 
n ⋅ (n – 1)
 __________ 2 + 
n ⋅ (3 – n) ⋅ i
 ____________ 2 , 
em que n ∈ R* e i é a unidade imaginária, a 
expressão da soma dos n primeiros termos de 
uma progressão aritmética. Se an é o enésimo 
termo dessa progressão aritmética, então a 
forma trigonométrica da diferença a15 – a16 é:
a) 2 dXX 2 ( cos 3π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
b) 2 dXX 2 ( cos 5π ___ 4 + i ⋅ sen 5π ___ 4 ) .
c) 2 dXX 2 ( cos 7π ___ 4 + i ⋅ sen 7π ___ 4 ) .
d) dXX 2 ( cos 5π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
e) dXX 2 ( cos 3π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
19
 5. (Ufrgs) O menor número inteiro positivo n 
para o qual a parte imaginária do número 
complexo( cos π __ 8 + i · sen π __ 8 ) n é negativa é:
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 9.
 6. (UFC) A área do polígono cujos vértices são 
as representações geométricas das raízes do 
polinômio p(x) = x6 – 1 é: 
a) 3 dXX 3 ____ 2 .
b) 2 dXX 3 ____ 3 .
c) 3 dXX 2 ____ 2 .
d) 2 dXX 2 ____ 3 .
e) 3 dXX 3 ____ 4 .
 7. (UEL) A potência (cos 60° + i sen 60°)601 é 
igual a: 
a) ( 1 __ 2 ) (1 – i dXX 3 ).
b) ( 1 __ 2 ) (– 1 + i dXX 3 ).
c) ( 1 __ 2 ) (1 + i dXX 3 ).
d) ( 1 __ 2 ) ( dXX 3 + i).
e) ( 1 __ 2 ) ( dXX 3 – i).
 8. (PUC-SP) Dado o número complexo 
z = cos π __ 6 + i · sen π __ 6 , então, se P1, P2 e P3 são 
as respectivas imagens de z, z2 e z3 no plano 
complexo, a medida do maior ângulo interno 
do triângulo P1P2P3 é:
a) 75°. 
b) 100°. 
c) 120°. 
d) 135°. 
e) 150°.
 9. (IME) As raízes cúbicas da unidade, no con-
junto dos números complexos, são represen-
tadas por 1, w e w2, onde w é um número 
complexo. O intervalo que contém o valor de 
(1 – w)6 é: 
a) (–∞, –30].
b) (–30, –10].
c) (–10, 10].
d) (10, 30].
e) (30, ∞).
 10. Considerando os números complexos z1 e z2, 
tais que:
 § z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no 
segundo quadrante;
 § z2 é raiz da equação x4 + x2 – 12 = 0 e 
Im(z2) > 0.
Pode-se afirmar que |z1 + z2| é igual a: 
a) 2 dXX 3 .
b) 3 + dXX 3 .
c) 1 + 2 dXX 2 .
d) 2 + 2 dXX 2 .
E.O. COmplEmEntAr
 1. (Cefet-MG) Considere as raízes complexas 
w0, w1, w2, w3 e w4 da equação w5 = z, onde 
z ∈  representadas graficamente por:
O número complexo z é:
a) 16i. 
b) 32i. 
c) 16 + 16i. 
d) 16 + 16 √
__
 3 i. 
e) 32 + 32 √
__
 3 i. 
 2. (Ufrgs) O polígono ABCDE da figura é um 
pentágono regular inscrito no círculo unitá-
rio de centro na origem.
As coordenadas polares p e q do vértice A 
são, respectivamente: 
a) 1 e π __ 5 .
b) 1 e π __ 6 .
c) 1 e π __ 8 .
d) 1 e π ___ 10 .
e) 1 e π ___ 12 .
20
 3. (UFC) Considere o número complexo z = (1 + i) · 
( dXX 3 – i). Assinale a opção na qual consta o 
menor inteiro positivo n, tal que zn seja um 
número real positivo. 
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 24. 
e) 30. 
 4. (Esc. Naval ) Seja p a soma dos módulos das 
raízes da equação x3 + 8 = 0 e q o módulo do 
número complexo Z, tal que Z  Z = 108, onde 
 Z é o conjugado de Z. Uma representação tri-
gonométrica do número complexo p + qi é:
a) 12 ( cos π __ 3 + i sen π __ 3 ) . 
b) 20 ( cos π __ 3 + i sen π __ 3 ) . 
c) 12 ( cos π __ 6 + i sen π __ 6 ) . 
d) 20 dXX 2 ( cos π __ 6 + i sen π __ 6 ) . 
e) 10 ( cos π __ 3 + i sen π __ 3 ) .
 5. (Unigranrio - Medicina 2017) Sejam x1, x2 e 
x3 as raízes da equação x3 + 1 = 0 tomando 
como base o conjunto dos números comple-
xos. Ao representarmos geometricamente 
essas raízes no plano de Argand-Gauss, obte-
mos um triângulo, cujos vértices são os afi-
xos de x1, x2 e x3. A área do triângulo é:
a) √
__
 3 ___ 4 .
b) 3 __ 4 .
c) 2 √
__
 3 ____ 4 .
d) 3 √
__
 3 ____ 4 .
e) 3 __ 2 .
E.O. dissErtAtivO
 1. (UFPR) Considere os números complexos 
z = cos π ___ 18 + i sen π ___ 18 e w = 2 cos π __ 9 + i sen π __ 9 . 
a) Mostre que o produto z.w é igual a ( dXX 3 ) + i.
b) Mostre que z18 é igual a – 1. 
 2. (UFC) Os números complexos distintos z e w 
são tais que z + w = 1 e z · w = 1.
a) Calcule |z|.
b) Calcule o valor z4 + w4 sabendo-se que z está 
no primeiro quadrante do plano complexo. 
 3. (UFPE) Encontre o menor inteiro positivo n 
tal que a potência ( dXX 3 + i)n seja um número 
real.
 4. (UFBA) Sendo z1 e z2 números complexos tais 
que:
 § z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no 
segundo quadrante,
 § z2 satisfaz a equação x4 + x2 − 12 = 0 e 
Im(z2) > 0, calcule | √__
 3 
z1 __ z2
 + z2 | 
 5. (UFPR) Considere os pontos z1, z2 e z3, indi-
cados no plano complexo abaixo, e que cor-
respondem às raízes cúbicas de 1.
a) Qual é o menor inteiro n > 1, de modo que 
(z2)
n = 1? Justifique sua resposta.
b) Calcule (z3)
100.
 6. (UnB) 
A figura acima ilustra um triângulo equi-
látero ABC inscrito em uma circunferência 
de raio 2 centrada na origem de um sistema 
de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, 
em que um ponto (x, y) é identificado com 
o número complexo z = x + iy. Esse triângulo 
foi obtido a partir da representação plana de 
uma molécula de amônia (NH3), na qual os 
três átomos de hidrogênio estão posiciona-
dos nos seus vértices e o átomo de nitrogê-
nio encontra-se na origem.
Com base nessas informações e consideran-
do o centímetro como a unidade de medida 
de comprimento, em ambos os eixos, julgue 
os itens a seguir.
a) Se z1 corresponde ao ponto C e se z2 corres-
ponde ao ponto B, então 
z1 __ z2
 = 
z2 __ 2 .
b) Considerando-se 10 pontos distintos sobre 
a circunferência em questão, com vértices 
nesses pontos, a quantidade de triângulos 
que é possível formar é superior à de heptá-
gonos convexos.
21
c) Os vértices A, B e C correspondem às raízes 
complexas do polinômio f(z) = z3 – 8.
d) A área do triângulo ABC é inferior a 5 cm2. 
 7. (ITA) Considere, no plano complexo, um po-
lígono regular cujos vértices são as soluções 
da equação z6 = 1. A área deste polígono, em 
unidades de área, é igual a:
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unesp) Considere o número complexo 
z = cos(p/6) + i sen (p/6). O valor de 
z3 + z6 + z12 é: 
a) –i.
b) 1 __ 2 + 
dXX 3 ___ 2 i.
c) i – 2.
d) i.
e) 2i.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest) Resolva os três itens abaixo.
a) Calcule cos(3p/8) e sen(3p/8). 
b) Dado o número complexo
 z = dXXXXXX 2 – dXX 2 + i dXXXXXX 2 + dXX 2 ,
 encontre o menor inteiro n > 0 para o qual 
zn seja real.
c) Encontre um polinômio de coeficientes in-
teiros que possua z como raiz e que não pos-
sua raiz real. 
 2. (Unicamp) Um número complexo z = x + iy, 
z ≠ 0, pode ser escrito na forma trigonométri-
ca: z = |z|(cosq + isenq), onde |z| = dXXXXXXX x2 + y2 , 
cos q = x ___ 
|z|
 e sen q = 
y
 ___ 
|z|
 . Essa forma de re-
presentar os números complexos não nulos 
é muito conveniente, especialmente para 
o cálculo de potências inteiras de números 
complexos, em virtude da fórmula de De 
Moivre:
[|z|(cos q + isen q)]t = |z|t(cos tq + isen tq)
que é válida para todo t ∈ Z . Use essas in-
formações para:
a) Calcular ( dXX 3 + i)12.
b) Sendo z = 
dXX 2 ___ 2 + i 
dXX 2 ___ 2 , calcular o valor de 
1 + z + z2 + z2 + ... + z15.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. A 3. A 4. B 5. D
6. B 7. A 8. C 9. E 10. A
E.O. Fixação
1. C 2. E 3. B 4. E 5. E
6. A 7. C 8. E 9. B 10. A
E.O. Complementar
1. D 2. D 3. D 4. A 5. D
E.O. Dissertativo
 1. 
a) z · w = 1 · 2 · {cos[(π/18) + (π/9)] + i · 
sen[(π/18) + (π/9)]}
 z · w = 2 · [cos(π/6) + i · sen(π/6)]
 z · w = dXX 3 + i.
b) z18 = 118 · {cos[18 · (π/18)] + i · sen[18 · 
(π/18)]
 z18 = cos π + i · sen π = –1. 
 2. 
a) |z| = 1.
b) z4 + w4 = z4 +  z 4 = –1.
 3. n = 6.
 4.  dXX 3 
z1 __ z2
 +  z2  = 1.
 5. 
a) n deverá ser 3, pois cos(3 · 120º) + i · 
sen(3 · 120º) = 1.
b) (z3)
100 = z3.
 6. 
22
a) Correto. Temos que A 
 ̂ 
 O B = 2p ___ 3 rad. 
 O complexo z1 pode ser obtido através de 
uma rotação de 2p ___ 3 rad no sentido anti-
-horário, do complexo z0 = 2, ou seja, 
z1 = z0 · ( cos 2p ___ 3 + isen 2p ___ 3 ) = –1 + i dXX 3 .
 Portanto, como z2 é o conjugado de z1, se-
gue que 
 z1/z2 = –1 + i √
__
 3 ________ 
–1 – i √
__
 3 
 
 = –1 + i √
__
 3 ________ 
–1 – i √
__
 3 
 = –1 + i √
__
 3 ________ 
–1 + i √
__
 3 
 
 = –1 – i √
__
 3 ________ 2 
 = 
z2 __ 2 .
b) Incorreto. O número de triângulos que é 
possível formar com 10 pontos distintos 
sobre a circunferência é dado por ( 10 ___ 3 ) .
 Por outro lado, podemosformar ( 10 ___ 7 ) 
heptágonos convexos com os mesmos 10 
pontos. Portanto, como ( 10 ___ 3 ) e ( 10 ___ 7 ) são 
números binomiais complementares, se-
gue que ( 10 ___ 3 ) = ( 10 ___ 7 ) . 
c) Correto. Temos que f(z) = 0 ⇔ z3 = 8 ⇔ 
z = 3 dXXXXXXXX 8 + i · 0 .
 Pela segunda fórmula de De Moivre, seue 
que as raízes cúbicas de 8 + i · 0 são dadas 
por zk = 3 dXX 8 [ cos ( k · 2p ___ 3 ) + i sen ( k · 2p ___ 3 ) ] , 
com k ∈ Z. 
 Daí, z0 = 2, z1 = –1 + i dXX 3 e z2 = –1 – i dXX 3 
que são os resultados obtidos em [A].
d) Incorreto. A medida do lado do triângulo 
ABC é Im(z1) – Im(z2) = dXX 3 – (– dXX 3 ) = 2 dXX 3 
cm.
 Logo, a área de ABC é dada por:
 
(2 dXX 3 )2 · dXX 3 
 __________ 4 = dXXX 27 cm2 > dXXX 25 cm2 = 5 cm2.
 7. 
3 dXX 3 
 ____ 2 .
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
a) cos ( 3p ___ 8 ) = 
dXXXXXXX 2 – dXX 2 _______ 2 .
 sen ( 3p ___ 8 ) = 
dXXXXXXX 2 + dXX 2 _______ 2 .
b) n = 8.
c) z8 + 256 = 0.
 2. 
a) 4096.
b) 0.
49 50
M
MATEMÁTICA
T
Polinômios
Competência
5
Habilidades
20, 21 e 23
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
25
E.O. AprEndizAgEm
 1. (UEPB) O produto entre as raízes da equação 
x4 + 3x2 + 2 = 0 é: 
a) 2. 
b) 1. 
c) 2 . 
d) –1. 
e) 2i. 
 2. Sabendo-se que –5, a e b são raízes da equação 
x3 + 6x2 + 3x – 10 = 0, logo, o valor de a + b é: 
a) –3. 
b) –2. 
c) –1. 
d) 0. 
 3. (Ufrgs) Se 2 é raiz dupla do polinômio p(x) 
= 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x – 4, então a soma das 
outras raízes é 
a) –1. 
b) –0,5. 
c) 0. 
d) 0,5. 
e) 1. 
 4. (Ufrgs) As raízes do polinômio p(x) = x3 + + 
5x2 + 4x são: 
a) –4, –1 e 0. 
b) –4, 0 e 1 
c) –4, 0 e 4 
d) –1, 0 e 1. 
e) 0, 1 e 4. 
 5. Se 3 e 1 __ 3 são as raízes da equação ax2 – 6x + p = 0, 
então o valor de a + p é: 
a) –5. 
b) –9 ___ 5 . 
c) 0. 
d) 18 ___ 5 . 
e) 4. 
 6. (FGV-RJ) A equação polinomial 
x3 – x2 – 16x – 20 = 0 tem raízes x1, x2 e 
x3. O valor da expressão 1 __ x1
 + 1 __ x2
 + 1 __ x3
 é: 
a) 1. 
b) – 3 __ 4 . 
c) 4 __ 5 . 
d) 3 __ 4 . 
e) – 4 __ 5 . 
 7. (Ufrgs) Um polinômio de 5º grau com coefi-
cientes reais que admite os números comple-
xos –2 + i e 1 – 2i; como raízes, admite: 
a) no máximo mais uma raiz complexa. 
b) 2 – i e –1 + 2i como raízes. 
c) uma raiz real. 
d) duas raízes reais distintas. 
e) três raízes reais distintas. 
 8. (UECE) Se os números m, p e q são as solu-
ções da equação x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0, então 
o valor da soma log2m + log2p + log2q é: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
 9. (AMAN) Os polinômios A(x) e B(x) são tais 
que A(x) = B(x) + 3x3 + 2x2 + x + 1. Sabendo-
-se que –1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), 
então A(3) – B(–1) é igual a: 
a) 98. 
b) 100. 
c) 102. 
d) 103. 
e) 105.
 10. (CPS 2017) No século XVI, divertidos duelos 
intelectuais entre professores das academias 
contribuíram para o avanço da Matemática.
Motivado por um desses duelos, o matemáti-
co italiano Niccólo Fontana (Tartaglia) (1500 
– 1557) encontrou uma fórmula para resol-
ver equações polinomiais de terceiro grau. 
No entanto, os outros matemáticos da época 
não tinham acesso a tal descoberta, tendo 
que encontrar formas alternativas para re-
solver aqueles problemas.
Uma dessas formas alternativas é a fatora-
ção, que facilita a observação das raízes (so-
luções), pois transforma a adição dos termos 
da equação em uma multiplicação igualada a 
zero. Veja o exemplo.
x3 + 6x2 + 5x - 12 = 0⇔(x - 1)·(x + 3)·(x + 4) = 0
Analisando o exemplo dado, é correto afir-
mar que essa equação:
a) possui três raízes naturais distintas.
b) possui três raízes inteiras distintas.
c) possui duas raízes naturais distintas e uma 
raiz irracional.
d) possui duas raízes irracionais distintas e 
uma raiz inteira.
e) não possui raízes reais.
26
E.O. FixAçãO
 1. (UEPB) Se uma das raízes do polinômio 
p(x) = x3 + x2 + 4x + 4 é o número complexoz = –2i, as outras raízes são: 
a) 1 e –1. 
b) –1 e 2i. 
c) –1 e 2. 
d) –1 e 3. 
e) 2 e 2i. 
 2. (AFA) As raízes da equação algébrica 
2x3 – ax2 + bx + 54 = 0 formam uma progres-
são geométrica.
Se a, b ∈ R, b ≠ 0, então a __ 
b
 é igual a: 
a) 2 __ 3 . 
b) 3. 
c) – 3 __ 2 . 
d) – 1 __ 3 . 
 3. (Mackenzie) Se a, b e g são as raízes da 
equação x3 + x2 + px + q = 0, onde p e q são 
coeficientes reais e a = 1 – 2i é uma das raí-
zes dessa equação, então a ⋅ b ⋅ g é igual a: 
a) 15. 
b) 9. 
c) –15. 
d) –12. 
e) –9. 
 4. (Mackenzie) Se a, b e c são as raízes do po-
linômio p(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8, tais que 
a = –2bc , o valor de a __ 
b
 + a __ c : 
a) 2. 
b) 1 __ 2 . 
c) –2. 
d) 3. 
e) – 1 __ 4 . 
 5. (Insper) A equação x5 = 8x2 possui duas raí-
zes imaginárias, cuja soma é: 
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
 6. (FGV 2017) A equação algébrica x3 − 7x2 + 
kx + 216 = 0, em que k é um número real, 
possui três raízes reais. Sabendo-se que o 
quadrado de uma das raízes dessa equação 
é igual ao produto das outras duas, então o 
valor de k é igual a.
a) -64.
b) -42.
c) -36.
d) 18.
e) 24.
 7. (UECE 2017) Se os números de divisores po-
sitivos de 6, de 9 e de 16 são as raízes da 
equação x3 + ax2 + bx + c = 0, onde os coefi-
cientes a, b e c são números reais, então, o 
valor do coeficiente b é:
a) 41.
b) 45.
c) 43.
d) 47.
 8. (UECE 2017) Sejam P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + 
x + 1 um polinômio e M o conjunto dos nú-
meros reais k tais que P(k) = 0. O número de 
elementos de M é:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
 9. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017) Um 
polinômio de quinto grau tem 2 como uma 
raiz de multiplicidade 3. A razão entre o co-
eficiente do termo de quarto grau e o coefi-
ciente do termo de quinto grau é igual a -7. A 
razão entre o termo independente e o coefi-
ciente do termo de quinto grau é igual a 96.
A menor raiz desse polinômio vale:
a) 0.
b) -1.
c) -2.
d) -3.
 10. (Esc. Naval 2017) Seja P(x) = x6 + bx5 + cx4 
+ dx3 + ex2 + fx + g um polinômio de coefi-
cientes inteiros e que P( √
__
 2 + 3 3 ) = 0. O poli-
nômio R(x) é o resto da divisão de P(x) por 
x3 − 3x − 1. Determine a soma dos coeficien-
tes de R(x) e assinale a opção correta.
a) -51.
b) -52.
c) -53.
d) -54.
e) -55.
E.O. COmplEmEntAr
 1. (ITA) Considere os polinômios em x ∈ R da 
forma p(x) = x5 + a3x
3 + a2x
2 + a1x. As raízes 
de p(x) = 0 constituem uma progressão arit-
mética de razão 1 __ 2 quando (a1,a2,a3) é igual a: 
a) ( 1 __ 4 , 0, 5 __ 4 ) .
b) ( 1 __ 4 , 1, 5 __ 4 ) . 
c) ( 1 __ 4 , 0, – 5 __ 4 ) . 
d) ( 5 __ 4 , 0, 1 __ 4 ) . 
e) ( 1 __ 4 , –1, – 1 __ 4 ) . 
27
 2. (AFA) O polinômio P(x) = x4 – 75x2 + 250x 
tem uma raiz dupla.
Em relação à P(x) é correto afirmar que: 
a) apenas uma de suas raízes é negativa. 
b) a sua raiz dupla é negativa. 
c) três de suas raízes são negativas. 
d) nenhuma de suas raízes é negativa. 
 3. (Fatec) Se x = 2 é uma das raízes da equação 
x3 – 4x2 + mx – 4 = 0, m ∈ R, então as suas 
outras raízes são números: 
a) negativos. 
b) inteiros. 
c) racionais não inteiros. 
d) irracionais. 
e) não reais. 
 4. (FGV) A função polinomial P(x) = x3 + ax2 
+ bx + c tem a propriedade de que a mé-
dia aritmética dos seus zeros, o produto dos 
seus zeros e a soma dos seus coeficientes são 
todos iguais. Se o intercepto do gráfico de 
y = P(x) com o eixo y ocorre no ponto de 
coordenadas (0,2), b é igual a: 
a) 5. 
b) 1. 
c) –9. 
d) –10. 
e) –11. 
 5. (IFAL 2017) Podemos dizer que o polinômio 
p(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6
a) tem três raízes reais.
b) tem duas raízes reais e uma imaginária.
c) tem uma raiz real e duas imaginárias.
d) não tem raiz real.
e) tem duas raízes reais e duas imaginárias.
E.O. dissErtAtivO
 1. (UFPE) Se as raízes da equação 
x3 – 7x2 – 28x + k = 0 são termos de uma 
progressão geométrica, determine e assinale 
o valor do termo constante k.
 2. (UFJF) Seja p(x) = x3 + ax2 + bx + c um poli-
nômio com coeficientes reais. Sabe-se que as 
três raízes desse polinômio são o quarto, o 
sétimo e o décimo sexto termos de uma pro-
gressão aritmética, cuja soma de seus vinte 
primeiros termos é igual a 80 ___ 3 e o seu décimo 
terceiro termo é igual a 3. Encontre os valo-
res de a, b e c. 
 3. (UFG) Com base no polinômio p(x) = x4 – 25:
a) determine os valores de x, no conjunto dos 
números reais, tais que p(x) < 0; 
b) escreva p(x) como um produto de três poli-
nômios com coeficientes reais; 
c) considerando-se a representação dos núme-
ros complexos em um plano cartesiano, cal-
cule a área do polígono cujos vértices são as 
raízes de p(x). 
 4. (IME) O polinômio P(x) = x5 – 3 x4 + 10x3 – 
30x2 + 81x – 243 possui raízes complexas 
simétricas e uma raiz com valor igual ao mó-
dulo das raízes complexas. Determine todas 
as raízes do polinômio. 
 5. (UFPE) O polinômio x3 + ax2 + bx + 19 tem co-
eficientes a, b números inteiros, e suas raízes 
são inteiras e distintas. Indique |a| + |b|.
 6. (UFPR 2017) Dada a função polinomial 
p(x) = x3 + 2x2 − 7x − 2, faça o que se pede:
a) Calcule p ( - 2 __ 5 ) .
b) Encontre as raízes de p(x).
 7. (UFJF-PISM) Considere o polinômio 
p(x) = 16x5 - 48x4 - 40x3 + 120x2 + 9x − 27.
a) Sabendo que p(x) possui uma raiz r natural 
menor que 5, determine r.
b) Determine o polinômio q(x) = 
p(x)
 ____ x - r .
c) Determine todas as raízes de q(x) especifi-
cando suas multiplicidades.
 8. (UFES) Considere o polinômio f(x) = 3x3 − 
7x2 + 8x − 2.
a) Verifique se f(x) possui raízes inteiras. Justi-
fique.
b) Verifique se f(x) possui raízes racionais não 
inteiras. Justifique.
c) Determine todas as raízes de f(x).
Informações:
1. Se um polinômio de grau n com coefi-
cientes inteiros anx
n + an-1x
n-1 +...+ a1x + 
a0 possui uma raiz da forma r _ s com r e s 
inteiros primos entre si, então r é um di-
visor de a0 e s é um divisor de an.
2. Dois inteiros r e s são primos entre si 
quando mdc(r,s) = 1.
3. Dados os inteiros a e b é divisor de b quan-
do existe um inteiro c tal que b = a·c.
 9. (PUC-RJ) O retângulo ABCD tem dois vérti-
ces no gráfico da função polinomial dada por 
f(x) = 5x3 − 65x2 + 235x − 155 e dois vérti-
ces no eixo x como na figura abaixo.
28
Sabendo que o vértice A = (1,0), faça o que 
se pede.
 
a) Determine as coordenadas do vértice D.
b) Determine as coordenadas do vértice C.
c) Calcule a área do retângulo ABCD. 
 10. (FGV) A editora aplicou o lucro obtido em 
2011, R$100.000,00, em um fundo de ren-
da fixa, a certa taxa de juro composta. 
Após 3 anos, deve receber um montante de 
R$172.000,00. 
a) A que taxa de juro anual aplicou seu dinheiro?
Use as informações do gráfico abaixo para 
justificar a sua resposta.
b) Qual é a soma das duas raízes complexas da 
equação x3 + 3x2 + 3x − 0,728 = 0, que não 
são números reais?
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
 1. (UERJ 2012) Considere a equação a seguir, 
que se reduz a uma equação do terceiro grau:
(x + 2)4 = x4
Uma de suas raízes é real e as outras são 
imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unesp) Dado que as raízes da equação 
x3 – 3x2 – x + k = 0, onde k é uma constante 
real, formam uma progressão aritmética, o 
valor de k é: 
a) –5. 
b) –3. 
c) 0. 
d) 3. 
e) 5. 
 2. (Unesp) Sabe-se que, na equação x3 + 4x2 + 
x – 6 = 0, uma das raízes é igual à soma das 
outras duas. O conjunto solução (S) desta 
equação é: 
a) S = {–3, –2, –1}. 
b) S = {–3, –2, +1}. 
c) S = {+1, +2, +3}. 
d) S = {–1, +2, +3}. 
e) S = {–2, +1, +3}.
 3. (Unicamp) Sejam r, s e t as raízes do polinô-
mio p(x) = x3 + ax2 + bx + ( b __ a ) 3, em que a e 
b são constantes reais não nulas. Se s2 = rt, 
então a soma de r + t é igual a: 
a) b __ a + a.
b) – b __ a – a.
c) a – b __ a .
d) b __ a – a.
 4. (Fuvest) As três raízes de 9x3 – 31x – 10 = 0 
são p, q e 2. O valor de p2 + q2 é: 
a) 5/9.
b) 10/9.c) 20/9.
d) 26/9.
e) 31/9.
 5. (Unifesp) Sejam p, q, r as raízes distintas 
da equação x3 – 2x2 + x – 2 = 0. A soma dos 
quadrados dessas raízes é igual a: 
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 8.
e) 9.
 6. (Fuvest) Sabe-se que o produto de duas raí-
zes da equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 
0 é igual a 1.
Então o valor de k é:
a) –8.
b) –4.
c) 0.
d) 4.
e) 8.
29
 7. (Unicamp) Considere o polinômio p(x) = x3 – x2 + 
ax – a, onde a é um número real. Se x = 1 é a única 
raiz real de p(x), então podemos afirmar que: 
a) a < 0.
b) a < 1.
c) a > 0.
d) a > 1.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest) As raízes do polinômio 
p(x) = x3 – 3x2 + m, onde m é um número 
real, estão em progressão aritmética. Deter-
mine:
a) o valor de m;
b) as raízes desse polinômio.
 2. (Fuvest) Um polinômio de grau 3 possui três 
raízes reais que, colocadas em ordem cres-
cente, formam uma progressão aritmética 
em que a soma dos termos é igual a 9/5. A 
diferença entre o quadrado da maior raiz e o 
quadrado da menor raiz é 24/5.
Sabendo-se que o coeficiente do termo de 
maior grau do polinômio é 5, determine:
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse poli-
nômio. 
 3. (Fuvest) O polinômio p(x) = x4 + ax3 + bx2 
+ cx – 8, em que a, b, c são números reais, 
tem o número complexo 1 + i como raiz, bem 
como duas raízes simétricas.
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) 
e determine todos os polinômios com coe-
ficientes reais, de menor grau, que possuam 
esses novos valores como raízes. 
 4. (Unicamp) Dada a equação polinomial com 
coeficientes reais 
x3 – 5x2 + 9x – a = 0:
a) Encontre o valor numérico de a de modo que 
o número complexo 2 + i seja uma das raízes 
da referida equação.
b) Para o valor de a encontrado no item ante-
rior, determine as outras duas raízes da mes-
ma equação. 
 5. (Unesp) Seja z = 1 + i um número complexo.
a) Escreva z e z3 na forma trigonométrica.
b) Determine o polinômio de coeficientes reais, 
de menor grau, que tem z e |z|2 como raízes 
e coeficiente dominante igual a 1.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. C 3. B 4. A 5. D
6. E 7. C 8. C 9. C 10. B
E.O. Fixação
1. B 2. D 3. C 4. C 5. A
6. B 7. D 8. A 9. D 10. E
E.O. Complementar
1. C 2. A 3. E 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
 1. k = 64.
 2. a = –1, b = –17, c = –15.
 3. 
a) x ∈ R | – 5 < x < 5 .
b) Fatorando o polinômio, temos:
 p(x) = (x2)2 – 52 = (x2 + 5) ⋅ (x2 – 5 2) = (x2 
+ 5)⋅(x + 5 )⋅(x – 5 ) = 0.
c) A área do quadrilátero pedido é 10. 
 4. As raízes de P(x) são 3, 7 + 2 i, 7 – 2 i, – 7 + 
2 i e – 7 – 2 i.
 5. 20.
 6. 
a) 132 ____ 125 .
b) Logo, as raízes de P(x) são 2, −2 + √
__
 3 e 
−2 − √
__
 3 .
 7. 
a) Como 3 é a única raiz natural menor do 
que 5, segue que r = 3.
b) 16 ( x - 3 __ 2 ) ( x + 3 __ 2 ) ( x - 1 __ 2 ) . ( x + 1 __ 2 ) .
c) As raízes de q são − 3 __ 2 , − 1 __ 2 , 1 __ 2 e 3 __ 2 , todas de 
multiplicidade um.
 8. 
a) Por inspeção, concluímos que nenhum 
dos possíveis candidatos a raiz inteira, 
x = ±1 e x = ±2, são raízes de f.
b) Por inspeção, tem-se que dos candidatos 
a raiz racional não inteira, apenas x = 1 __ 3 é 
raiz de f.
c) Sabendo que x = 1 __ 3 é raiz de f, pelo dispo-
sitivo de Briot-Ruffini, vem 1 − i e 1 + i.
 9. 
a) y0= 20.
b) xC = xB = 5.
c) 80 u.a.
30
 10. 
a) Assim, f(x) = (x - 0,2) · (x2 + 3,2x + 3,64). 
Daí, como x2 + 3,2x + 3,64 = 0 não possui 
raízes reais, concluímos que x = 0,2 = 20% 
é a única raiz real de f.
b) Das Relações de Girard e do item (a), se-
gue que a soma das raízes de f que não 
são números reais é -3,2.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
 1. x = −1 ou x = −1 + i ou x = −1 −i.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. D 2. B 3. D 4. D 5. B
6. A 7. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
a) 2.
b) 1 – 3 , 1 e 1 + 3 . 
 2. 
a) (–7/5, 3/5, 13/5).
b) –73/5. 
 3. 
a) a = –2, b = –2 e c = 8. 
b) q(x) = k ⋅ (x2 + 1)⋅(x – 1)⋅(x + 3) (k ≠ 0).
 4. 
a) a = 5.
b) 2 – i e 1. 
 5. 
a) z = 2 [cos(p/4) + i sen(p/4)] e 
z3 = 2 2 [cos(3p/4) + i sen(3p/4)].
b) x3 – 4x2 + 6x – 4.
51 52
M
MATEMÁTICA
T
Operações com polinômios
Competência
5
Habilidades
20, 21 e 23
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolvaconhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
33
E.O. AprEndizAgEm
 1. (ESPM) O resto da divisão do polinômio 
x5 – 3x2 + 1 pelo polinômio x2 – 1 é:
a) x – 1.
b) x + 2.
c) 2x – 1.
d) x + 1.
e) x – 2.
 2. (Cefet-MG) Os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 
e B(x) = x4 – 2x3 + kx2 – 3x – 2 têm uma úni-
ca raiz em comum. Os valores possíveis para 
k são números:
a) pares.
b) primos.
c) inversos.
d) ímpares.
e) simétricos.
 3. (UEG) A divisão do polinômio x3 + 2x2 – 5x – 6 
por (x + 1) (x – 2) é igual a: 
a) x – 3. 
b) x + 3. 
c) x – 6. 
d) x + 6.
 4. Quais são os polinômios que representam o 
quociente q(x) e o resto r(x) da divisão do 
polinômio p(x) = x3 + 5x2 + 6 pelo polinômio 
d(x) = x2 – 3?
a) q(x) = –(x + 5) e r(x) = 3x + 21.
b) q(x) = x + 5 e r(x) = –(3x + 21).
c) q(x) = x – 5 e r(x) = –3x + 21.
d) q(x) = –(x + 5) e r(x) = 3x – 21.
e) q(x) = x + 5 e r(x) = 3x + 21.
 5. (PUC-PR) Se (x – 2) é um fator do polinômio 
x3 + kx2 + 12x – 8, então, o valor de k é igual a: 
a) –3.
b) 2.
c) 3.
d) 6.
e) –6.
 6. (AMAN) O polinômio f(x) = x5 – x3 + x2 + 1, 
quando dividido por q(x) = x3 – 3x + 2 dei-
xa resto r(x).
Sabendo disso, o valor numérico de (r – 1) é: 
a) –10.
b) –4.
c) 0.
d) 4.
e) 10.
 7. (UFTM) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x4 
– 2x3 + mx + 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os 
restos são iguais. Nesse caso, o valor de m é 
igual a: 
a) –2. 
b) –1. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 3. 
 8. (PUC-RJ) Sabendo que 1 é raiz do polinômio 
p(x) = 2x3 – ax2 – 2x, podemos afirmar que 
p(x) é igual a: 
a) 2x2 (x – 2). 
b) 2x (x – 1) (x + 1). 
c) 2x (x2 – 2). 
d) x (x – 1)(x + 1). 
e) x(2x2 – 2x – 1). 
 9. Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio 
(x – 2)(x – 4)(x – 5) obtém-se resto x + 3. Se 
os restos das divisões de p(x) por x – 2, x – 4 
e x – 5 são, respectivamente, os números A, 
B e C, então ABC vale: 
a) 100. 
b) 180. 
c) 200. 
d) 280. 
e) 360. 
 10. (UPE) Para que o polinômio 6x3 – 4x2 + 2mx – 
–(m + 1) seja divisível por x – 3, o valor 
da raiz quadrada do módulo de m deve ser 
igual a: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 5. 
E.O. FixAçãO
 1. (UFJF) Dados dois polinômios A(x) e B(x), 
sabe-se que S(x) = A(x) + B(x) é um polinô-
mio de grau 8 e que D(x) = A(x) – B(x) é um 
polinômio de grau 5. É correto afirmar: 
a) O polinômio W(x) = B(x) – A(x) tem grau 8. 
b) Os polinômios A(x) e B(x) têm o mesmo 
grau. 
c) O polinômio C(x) = A(x) ⋅ B(x) tem grau 13. 
d) O polinômio A(x) tem grau 5. 
e) O grau do polinômio B(x) é menor que 7. 
 2. (IME) Seja ∆ o determinante da matriz 
1 2 3
x x2 x3
x x 1
. O número de possíveis va-
lores de x reais que anulam ∆ é:
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
34
 3. (FGV) O quociente da divisão do polinômio 
P(x) = (x2 + 1)4 ⋅ (x3 + 1)3 por um polinômio 
de grau 2 é um polinômio de grau: 
a) 5. 
b) 10. 
c) 13. 
d) 15. 
e) 18. 
 4. (UECE) Se a expressão algébrica x2 + 9 se es-
creve identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) 
+ c onde a, b e c são números reais, então o 
valor de a – b + c é: 
a) 9. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 13. 
 5. Sejam p (x) = 2x2010 – 5x2 – 13x + 7 e q (x) = 
x2 + x + 1. Tomando r(x) como sendo o resto 
na divisão de p(x) por q(x), o valor de r(2) 
será: 
a) –8. 
b) –6. 
c) –4. 
d) –3. 
e) –2. 
 6. (UPF) Se o polinômio P(x) = x4 – 2x2 + mx + p 
é divisível por D(x) = x2 + 1, o valor de m – p é: 
a) –3. 
b) –1. 
c) 0. 
d) 2. 
e) 3.
 7. (ESPM) O trinômio x2 + ax + b é divisível por 
x + 2 e por x – 1. O valor de a – b é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4.
 8. (Ibmec-RJ) Se o resto da divisão do po-
linômio P(x) = x3 + ax + b pelo polinômio 
Q(x) = x2 + x + 2 é igual a 4, então podemos 
afirmar que a + b vale: 
a) 2. 
b) –2. 
c) 3. 
d) –3. 
e) 4.
 9. (ITA) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da 
equação x4 + x2 + ax + b = 0, com a, b ∈ R, 
então a2 – b3 é igual a: 
a) –64. 
b) –36. 
c) –28. 
d) 18. 
e) 27. 
 10. (PUC-RS 2017) Os polinômios p(x), q(x), 
f(x), h(x) em C, nessa ordem, estão com seus 
graus em progressão geométrica. Os graus de 
p(x) e h(x) são, respectivamente, 16 e 2. A 
soma do número de raízes de q(x) com o nú-
mero de raízes de f(x) é:
a) 24.
b) 16.
c) 12.
d) 8.
e) 4.
E.O. COmplEmEntAr
 1. (Udesc) Um polinômio p(x) dividido por 
x + 1 deixa resto 16; por x – 1 deixa resto 
12, e por x deixa resto –1. Sabendo que o 
resto da divisão de p(x) por (x + 1)(x – 1)
x é da forma ax2 + bx + c, então o valor nu-
mérico da soma das raízes do polinômio ax2 
+ bx + c é:
a) 3 __ 5 .
b) 2.
c) 2 ___ 15 .
d) 4.
e) –2.
 2. (AFA) Considere o polinômio p(x) = ax4 + bx3 
+ 2x2 + 1, {a, b} ∈ R e marque a alternativa 
FALSA. 
a) x = 0 não é raiz do polinômio p(x).
b) Existem valores distintos para a e b tais que 
x = 1 ou x = –1 são raízes de p(x).
c) Se a = 0 e b = 3, o resto da divisão de p(x) 
por 3x2 – x + 1 é zero.
d) Se a = b = 0, tem-se que x = – 1 __ 2 i é uma raiz 
de p(x), considerando que i2 = –1.
 3. (UEPB) Os valores de m e n para os quais a 
expressão 5x4 + 8x2 + mx + n _________________ 
x2 + 2
 seja um polinô-
mio são, respectivamente:
a) 2 e –4.
b) 0 e –2.
c) 0 e –4.
d) 2 e 4.
e) 8 e –4.
 4. (UEL) O polinômio p(x) = x3 + x2 – 3ax – 4a 
é divisível pelo polinômio q(x) = x2 – x – 4. 
Qual o valor de a?
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
35
 5. (Udesc) Considere o polinômio f(x) = 8x3 – 
– 6x2 – 3x + 1. Sabe-se que as raízes de f(x) 
são os primeiros termos de uma progressão 
geométrica infinita, cujo primeiro termo é a 
maior raiz de f(x), e a soma desta progressão 
é raiz do polinômio g(x) = x + a. Então, o 
resto da divisão de f(x), por g(x) é: 
a) – 35 ___ 27 . 
b) – 1 __ 2 . 
c) – 2 __ 3 . 
d) –2. 
e) –81. 
E.O. dissErtAtivO
 1. (UFF) Considere o polinômio p(x) = x4 + 2x3 
+ 3x2 + 2x + 2.
a) Verifique se o número complexo i é raiz de 
p(x).
b) Calcule todas as raízes complexas de p(x). 
 2. (UFLA) O polinômio P(x) = 2x3 + px2 + 11x + q 
é divisível por x – 2, e P(1) = –4. Calcule os 
valores de p e q. 
 3. (UPE) Analise as afirmações abaixo e conclua: 
( ) Um polinômio de grau ímpar e coeficientes 
reais possui, necessariamente, pelo menos, 
uma raiz real. 
( ) Se todos os coeficientes de um polinômio 
são reais, suas raízes serão, necessariamen-
te, reais. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas 
não reais, então seu grau é, necessariamen-
te, um número par. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas 
não reais, então seu grau é, necessariamen-
te, um número ímpar. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas, e 
todos seus coeficientes são números intei-
ros, então os conjugados complexos de cada 
raiz, também, são raízes do mesmo polinô-
mio. 
 4. (UFV) O inteiro 2 é raiz do polinômio p(x) = 
4x3 – 4x2 – 11x + k, onde k é uma constante 
real.
a) Determine o valor de k.
b) Determine as outras raízes de p(x).
c) Determine os intervalos onde p(x) > 0.
 5. (UFJF-PISM 3 2017) O resto da divisão de um 
polinômio p(x) por um polinômio q(x) é o po-
linômio r(x) = x5 - 7x4 - 8x3 + 56x2 + 15x - 105.
Sabendo que 7 é raiz de p(x) e de q(x), de-
termine todas as raízes de r(x).
 6. (UFU 2017) Considere os polinômios p(x) = 
x3 + 2a + b e h(x) = x4 + a − 2b, em que a e b 
são constantes reais e x é uma variável real. 
Determine os valores de a e b para os quais 
esses polinômios sejam divisíveis por x - 4.
 7. (UFJF-PISM 3 2016) Sabendo que o polinô-
mio p(x) = ax3 + bx + 2 é divisível por (x + 
1)2, determine a e b.
 8. (UFPE) Determine o polinômio com coefi-
cientes reais p(x) = ax3 + bx2 + cx, tal que 
p(x + 1) − p(x) = 6x2 e indique a2 + b2 + c2.
 9. (UFTM) Seja o polinômio P(x) = x3 − 2x2 − 4x + 
m, sendo m um número real. Sabendo-se que 
P(x) é divisível por (x − 2) determine:
a) O valor de m.
b) Todas as raízesde P(x).
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
 1. (UERJ) Observe o gráfico da função polino-
mial de R em R definida por P(x) = 2x3 – 6x2 
+ 3x + 2:
Determine o conjunto solução da inequação 
P(x) > 0. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unesp) O polinômio P(x) = a ⋅ x3 + 2 ⋅ x + b 
é divisível por x – 2 e, quando divisível por 
x + 3, deixa resto –45. Nessas condições, os 
valores de a e b, respectivamente, são: 
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) –1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e –12.
36
 2. (Unicamp 2017) Considere o polinômio 
p(x) = xn + xm + 1, em que n > m ≥ 1. Se o 
resto da divisão de p(x) por x + 1 é igual a 
3, então:
a) n é par e m é par.
b) n é ímpar e m é ímpar.
c) n é par e m é ímpar.
d) n é ímpar e m é par.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest) O produto de duas das raízes do po-
linômio p(x) = 2x3 – mx2 + 4x + 3 é igual a 
–1. Determinar: 
a) o valor de m.
b) as raízes de p.
 2. (Unicamp) O polinômio p(x) = x3 – 2x2 – 9x 
+ 18 tem três raízes: r, –r e s.
a) Determine os valores de r e s.
b) Calcule p(z) para z = 1 + i, onde i é a unidade 
imaginária. 
 3. (Unicamp) As três raízes da equação x3 – 3x2 
+ 12x – q = 0, onde q é um parâmetro real, 
formam uma progressão aritmética.
a) Determine q.
b) Utilizando o valor de q determinado no item 
(a), encontre as raízes (reais e complexas) 
da equação. 
 4. (Unicamp) Seja a um número real e seja:
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equa-
ção p(x) = 0.
b) Encontre os valores de a para os quais a 
equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real. 
 5. (Unicamp) Determine o quociente e o resto 
da divisão de x100 + x + 1 por x2 – 1. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. A 3. B 4. E 5. E
6. A 7. D 8. B 9. D 10. E
E.O. Fixação
1. B 2. C 3. D 4. D 5. E
6. E 7. D 8. C 9. C 10. C
E.O. Complementar
1. C 2. D 3. C 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
 1. 
a) i4 + 2 . i3 + 3 . i2 + 2 . i + 2 = 1 – 2i – 3 + 2i + 2 = 0, 
logo, i é raiz da equação.
b) Se i é raiz, –i também é raiz (teorema das 
raízes conjugadas).
Logo, p(x0 é divisível por (x + i) . (x – i) 
= x2 + 1
P(x) = (x2 + 1) . (x2 + 2x + 2)
Resolvendo a equação produto, temos:
x2 + 1 = 0
x = i ou x = –1
x2 + 2x + 2 = 0 
x = –1 – i ou x = –1 + i.
 2. p = –7 e q = –10.
 3. V-F-F-F-V.
(V) As raízes complexas aparecerão sempre 
aos pares;
(F) Poderá ter raízes não reais;
(F) Poderá ter grau par ou ímpar;
(F) Poderá ter grau par ou ímpar;
(V) Verdadeiro: as raízes complexas apare-
cem aos pares (a própria raiz e sua conju-
gada) para coeficientes reais. 
 4.
a) k = 2.
b) x = –3/2 e x = 1/2.
c) ]–3/2, 1/2[ e ]2, +∞[.
 5. 7, ± √
__
 3 , ± √
__
 5 .
 6. − 384 ____ 5 e 448 ____ 5 .
 7. a = − 1 e b = 3.
 8. P(x) = 2x3 − 3x2 + x e a2 + b2 + c2 = 22 + (−3)2 
+ 12 = 14. 
 9. P(x) = x3 − 2x2 − 4x + 8 = (x − 2) (x2 − 4) = 
(x − 2)2 (x + 2), ou seja, as raízes de P(x) são 
2 e –2.
37
E.O. UERJ
Exame Discursivo
 1. O número 2 é raiz, pois p(2) = 0.
Dividindo p(x) por (x – 2), temos:
Logo, P(x) = (x – 2) . (2x2 + 2x + 1) 
Onde suas raízes são x = 2, x = 1 ± dXX 3 ______ 2 .
Resolvendo, agora a inequação P(x) > 0 atra-
vés do gráfico do polinômio P(x). 
Portanto, a solução da inequação será dada 
por: 
S = { x ∈ R | 1 – √
__
 3 ___ 2 ≤ x≤ 1 + dXX 3 ______ 2 ou x ≥ 2 } 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E 2. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1.
a) m = 7.
b) 3/2; 1 – dXX 2 e 1 + dXX 2 .
 2.
a) Fatorando P(x), obtemos 
 p(x) = x3 – 2x2 – 9x + 18
 = x2 (x – 2) – 9 (x – 2)
 = (x – 2)(x2 – 9)
 Portanto, r = 3 e s = 2.
b) Se z = 1 + i, então z2 = (1 + i)2 = 2i. 
Logo, p(z) = (1 + i – 2) (2i – 9) 
 = 2i2 – 9i – 2i + 9 
 = 7 – 11i. 
 3. 
a) q = 10.
b) 1, 1 – 3i e 1 + 3i. 
 4.
a) 3; 1 – 2i; 1 + 2i.
b) {a ∈ R | –3 < a ≤ 5}. 
 5. quociente: Q(x) = x98 + x96 + ... + x2 + 1
resto: R(x) = x + 2.
FUVEST
Frequentemente cobrados, matrizes, determinantes e sistemas lineares aparecem nas duas fases 
do vestibular, exigindo do candidato domínio da teoria e das aplicações, com a resolução de 
questões interdisciplinares ou de outra área da própria matemática.
UNESP
Nos últimos anos, a Vunesp procurou cobrar matrizes, determinantes e sistemas lineares apenas 
na primeira fase, com questões teóricas de médio e alto grau de dificuldade.
UNICAMP
O vestibular da Comvest exige do candidato o domínio completo da teoria de matrizes, determinantes 
e sistemas lineares, com questões teóricas e de alto grau de abstração.
UNIFESP
Cobradas com baixíssima frequência, as questões de matrizes, sistemas lineares e determinantes 
são, em geral, teóricas, que visam apenas verificar o domínio formal teórico do candidato.
ENEM/UFMG/UFRJ
Matrizes é um tema pouquíssimo recorrente no Enem, mas, quando cobrado, é sempre com auxílio de 
tabelas para a disposição dos valores. No entanto, sistemas lineares possui mais incidência com aplicações 
em situações-problema.
UERJ
Matrizes e determinantes são cobrados com auxílios de tabelas nos exames de qualificação. Nas 
questões discursivas, a ênfase está no domínio teórico das fórmulas e resolução de sistemas 
lineares.
FA
CU
LDADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de MATRIZES, DETERMINANTES 
e SISTEMAS LINEARES nos principais vestibulares.
45 46
M
MATEMÁTICA
T
Matrizes e operações
Competência
6
Habilidades
24, 25 e 26
45 46
M
MATEMÁTICA
T
Matrizes e operações
Competência
6
Habilidades
24, 25 e 26
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolvaconhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
43
E.O. AprEndizAgEm
 1. (PUC-RS) Dada a matriz A = 1 1
1 1
 e a função 
f, definida no conjunto das matrizes 2 x 2 
por f(x) = x2 – 2x, então f(A) é: 
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
 2. (UFG) Um modelo matemático usado para 
a ampliação de uma imagem consiste em 
considerar uma transformação linear dada 
pela multiplicação de uma matriz escala Es 
por uma matriz coluna A, composta pelas co-
ordenadas do ponto P, que forma a imagem 
que será ampliada. Considerando as matri-
zes A e Es dadas por 
A = x
y
 e Es = Ex 0
 0 Ey
em que Ex e Ey são fatores multiplicativos 
que indicam a mudança da escala, então a 
matriz Q que indica as novas coordenadas do 
ponto P, obtidas pela multiplicação das ma-
trizes Es e A, é: 
a) xEx
yEy
.
b) Ex + x
Ey + y
.
c) yEx
xEy
.
d) xEx 0
 0 yEy
.
e) Ex x
 y Ey
.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
Arquimedes, candidato a um dos cursos da 
Faculdade de Engenharia, visitou a PUC-RS 
para colher informações. Uma das constata-
ções que fez foi a de que existe grande proxi-
midade entre Engenharia e Matemática. 
 3. (PUC-RS) Numa aula de Álgebra Matricial 
dos cursos de Engenharia, o professor pediu 
que os alunos resolvessem a seguinte ques-
tão:
Se A = 1 2
3 4
 então A2 é igual a:
a) 1 3
2 4
.
b) 1 4
9 16
.
c) 7 10
15 22
.
d) 5 11
11 25
.
e) 5 5
25 25
.
 4. (UERN) Sejam as matrizes M = 2 3
–1 0
, 
N = 4 0
1 5
 e P = M ⋅ N + N ⋅ M. O menor 
 
elemento da matriz P é: 
a) –7.
b) –1.
c) –5.
d) 2.
 5. (UEL) Uma indústria utiliza borracha, couro 
e tecido para fazer três modelos de sapatos. 
A matriz Q fornece a quantidade de cada 
componente na fabricação dos modelos de 
sapatos, enquanto a matriz C fornece o custo 
unitário, em reais, destes componentes.
A matriz V que fornece o custo final, em re-
ais, dos três modelos de sapatos é dada por: 
a) V = ( 110 ____ 120 
 ____ 80 ) .
b) V = ( 90 ____ 100 
 ____ 60 ) .
c) V = ( 80 ____ 110 
 ____ 80 ) .
d) V = ( 120 ____ 110 
 ____ 100 ) .
e) V = ( 100 ____ 110 
 ____ 80 ) .
44
 6. (UEG) Tatiana e Tiago comunicam-se entre 
si por meio de um código próprio dado pela 
resolução do produto entre as matrizes A e 
B, ambas de ordem 2 x 2 onde cada letra do 
alfabeto corresponde a um número, isto é, 
a = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26. Por exemplo, se 
a resolução de A · B for igual a 1 13
15 18
 logo 
a mensagem recebida é amor. Dessa forma, 
se a mensagem recebida por Tatiana foi flor 
e a matriz B = 1 -1
2 1
, então a matriz A é: 
a) –8 7
–8 10
b) –6 6
–7 11
c) –8 5
–7 11
d) –6 –7
 6 11
 7. (UECE) Considerando as matrizes 
M1= ( 0 1 1 1 ) , M2 = M1 . M1, M3 = M2 . M1 ..., 
Mn = Mn-1 · M1 o número situado na segunda 
linha e segunda coluna da matriz M10 é: 
a) 56.
b) 67.
c) 78.
d) 89.
 8. (ESPM) A distribuição dos n moradores de 
um pe queno prédio de apartamentos é dada 
pela matriz 
4 x 5
1 3 y
6 y x+1
 onde cada elemento 
aij 
 
representa a quantidade de moradores do 
apartamento j do andar i. 
Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas 
a mais que no 2º e que os apartamentos de 
número 3 comportam 12 pessoas ao todo. O 
valor de n é:
a) 30.
b) 31.
c) 32.
d) 33.
e) 34.
 9. (PUC-RS) Num jogo, foram sorteados 6 nú-
meros para compor uma matriz M = (mij) de 
ordem 2 × 3. Após o sorteio, notou-se que 
esses números obedeceram à regra mij = 4i – j. 
Assim, a matriz M é igual a:
a) 
1 2 3
5 6 7
b) 
1 2 3
4 5 6
c) 
3 2 1
7 6 5
d) 
3 2
7 6
11 10
e) 
3 7
2 6
1 5
 10. (FEI) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) estão 
assim definidas:
aij = 1 se i = j
aij = 0 se i ≠ j
bij = 1 se i + j = 4
bij = 0 se i + j ≠ 4
onde 1 ≤ 1, j ≤ 3, então a matriz A + B é:
a) 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
b) 
0 0 1
0 1 0
1 0 0
c) 
1 0 1
0 1 0
1 0 1
d) 
1 0 1
0 2 0
1 0 1
e) 
1 1 0
0 1 1
0 1 0
 11. (UFG) Seja M = [aij] n × n uma matriz quadrada 
de ordem n, onde aij = i + j.
Nessas condições, a soma dos elementos da 
diagonal principal desta matriz é: 
a) n2.
b) 2n + 2n2.
c) 2n + n2.
d) n2 + n.
e) n + 2n2.
45
 12. (IFPE) Rodrigo, Otavio e Ronaldo gostam 
muito de comida japonesa e saíram para co-
mer temaki, também conhecido como sushi 
enrolado à mão, cujo o formato lembra o de 
um cone.
Foram, então, visitando vários restauran-
tes, tanto no sábado quanto no domingo. As 
matrizes a seguir resumem quantos temakis 
cada um consumiu e como a despesa foi di-
vidida:
S – [ 3 
 
 1 
0
 
2
 
 
 1 
3
 
0
 
 
 2 
2
 ] e D – [ 2 3 0
 
 
 0 2 1 
1 0 2
 ] . S refere-se às quan-
tidades de temakis de sábado e D às de do-
mingo. Cada elemento aij nos dá o número de 
cones que a pessoa i pagou para a pessoa j, 
sendo Rodrigo o número 1, Otávio, o número 
2 e Ronaldo, o número 3 (aij) representa o 
elemento da linha i e da coluna j de cada 
matriz).
Assim, por exemplo, no sábado, Rodrigo 
pagou 3 temakis que ele próprio consumiu 
(a11), 2 temakis consumidos por Otávio (a12) 
e nenhum por Ronaldo (a13) que correspon-
de à primeira linha da matriz S. Quantos 
temakis Otávio ficou devendo para Rodrigo 
neste fim de semana? 
a) nenhum. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
E.O. FixAçãO
 1. (Insper) Três amigos foram a uma papelaria 
para comprar material escolar. As quantida-
des adquiridas de cada produto e o total pago 
por cada um deles são mostrados na tabela.
Amigo
Quantidades compradas de Total pago 
(R$)cadernos canetas lápis
Júlia 5 5 3 96,00
Bruno 6 3 3 105,00
Felipe 4 5 2 79,00
Os preços unitários, em reais, de um caderno, 
de uma caneta e de um lápis, são, respectiva-
mente, x, y e z. Dessa forma, das igualdades 
envolvendo matrizes fornecidas a seguir, a 
única que relaciona corretamente esses pre-
ços unitários com os dados da tabela é: 
a) x y z ⋅ 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 = 96 105 79
b) 
x
y
z
 ⋅ 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 = 
96
105
79
c) 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 ⋅ x y z = 96 105 79 
d) 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 ⋅ 
x
y
z
 = 
96
105
79
e) 
x
y
z
 ⋅ 
96
105
79
 = 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 2. (UFC) O valor 2A2 + 4B2 quando A = 2 0
 0 –2
 
e B = 0 –1
1 0
 é igual a: 
a) 
4 4
4 4
b) 
4 0
0 4
c) 
0 0
0 0
d) 
0 4
4 0
e) 
6 0
0 6
 3. (UEL) Sobre as sentenças:
I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma 
matriz 3 x 1.
II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma 
matriz 4 x 2.
III. O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma 
matriz quadrada 2 x 2.
É verdade que:
a) somente I é falsa. 
b) somente II é falsa. 
c) somente III é falsa. 
d) somente I e III são falsas. 
e) I, II e III são falsas. 
 4. (UEL)Uma reserva florestal foi dividida em 
quadrantes de 1 m2 de área cada um. Com o 
objetivo de saber quantas samambaias havia 
na reserva, o número delas foi contado por 
quadrante da seguinte forma:
O elemento aij da matriz A corresponde 
ao elemento bij da matriz B, por exemplo, 
8 quadrantes contêm 0 (zero) samambaia, 
12 quadrantes contêm 1 samambaia. 
46
Assinale a alternativa que apresenta, corre-
tamente, a operação efetuada entre as ma-
trizes A e B, que resulta no número total de 
samambaias existentes na reserva florestal. 
a) At x B. 
b) Bt x At. 
c) A x B. 
d) At + Bt. 
e) A + B. 
 5. (UERN) Considere a seguinte operação entre 
matrizes:
 ( 6 4 2 3 ) · k = ( –6 1 ) 
A soma de todos os elementos da matriz K é: 
a) 1.
b) 3.
c) 4.
d) 7.
 6. (UFPR) Um criador de cães observou que as 
rações das marcas A, B, C e D contêm diferen-
tes quantidades de três nutrientes, medidos 
em miligramas por quilograma, como indica-
do na primeira matriz abaixo. O criador de-
cidiu misturar os quatro tipos de ração para 
proporcionar um alimento adequado para 
seus cães. A segunda matriz abaixo dá os per-
centuais de cada tipo de ração nessa mistura.
A B C D percentuais 
de mistura
nutriente 1
nutriente 2
nutriente 3
370
340
225
450
305
190
A
B
C
D
Quantos miligramas do nutriente 2 estão 
presentes em um quilograma da mistura de 
rações?
a) 389 mg.
b) 330 mg.
c) 280 mg.
d) 210 mg.
e) 190 mg. 
 7. (UFSM) Sabendo-se que a matriz
A = 
 y 36 –7
 x2 0 5x
4–y –30 3
é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é: 
a) –23.
b) –11.
c) –1.
d) 11.
e) 23.
 8. (UEL) Uma matriz quadrada A se diz ANTIS-
SIMÉTRICA se At = –A. Nessas condições, se a 
matriz A mostrada na figura adiante é uma 
matriz antissimétrica, então x + y + z é igual a:
A = 
 x y z
 2 0 –3
–1 3 0
a) 3. 
b) 1. 
c) 0. 
d) –1. 
e) –3. 
 9. (UFSM) Na planilha de cálculos do setor de 
Engenharia, responsável pelas obras de um 
shopping, foram encontradas as matrizes:
A = log 1 log 0,01
log 100 log 10
e
B = 
 cos π __ 2 tg π __ 4 
sen3 π __ 2 cos π __ 3 
É correto, então, afirmar que A é igual a: 
a) ( 1 __ 2 ) B.
b) B.
c) –B.
d) 2Bt.
e) 2B.
 10. (UEG) Dada a matriz A = e2x2 0
 0 |y + x| e 
seja B uma matriz identidade de ordem 2 os 
valores de x e y não negativos, tal que as ma-
trizes A e B sejam iguais, são respectivamente: 
a) 0 e 1.
b) 1 e 1.
c) 0 e 
dXX 2 ___ 2 .
d) 
dXX 2 ___ 2 e 1– 
dXX 2 ___ 2 .
 11. (UFF) Toda matriz de ordem 2 × 2, que é 
igual a sua transposta, possui: 
a) pelo menos dois elementos iguais. 
b) os elementos da diagonal principal iguais a 
zero. 
c) determinante nulo. 
d) linhas proporcionais. 
e) todos os elementos iguais a zero. 
47
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO. 
O levantamento sobre a dengue no Brasil tem 
como objetivo orientar as ações de controle, 
que possibilitam aos gestores locais de saúde 
antecipar as prevenções a fim de minimizar 
o caos gerado por uma epidemia. O Minis-
tério da Saúde registrou 87 mil notificações 
de casos de dengue entre janeiro e fevereiro 
de 2014, contra 427 mil no mesmo período 
em 2013. Apesar do resultado expressivo de 
diminuição da doença, o Ministério da Saú-
de ressalta a importância de serem mantidos 
o alerta e a continuidade das ações preven-
tivas. Os principais criadouros em 2014 são 
apresentados na tabela a seguir.
Região
Armaze-
namento 
da água 
%
Depósitos 
domici-
liares %
Lixo %
Norte 20,2 27,4 52,4
Nordeste 75,3 18,2 6,5
Sudeste 15,7 55,7 28,6
Centro-
-Oeste
28,9 27,3 43,8
Sul 12,9 37,0 50,1
(Adaptado de: BVS Ministério da Saúde. 
Disponível em: <www.brasil.gov.br/
saude/2014>. Acesso em: 21 abr. 2015.)
 12. (UEL) Seja A a matriz formada pelos ele-
mentos aij em que i são as regiões e j os tipos 
de criadouros apresentados na tabela. Consi-
derando que cada região tenha seus tipos de 
criadouros aumentados em 10% devido a um 
desequilíbrio ambiental, assinale a alterna-
tiva que apresenta, corretamente, a matriz B 
resultante. 
a) B3x5 = k . A3x5, em que k = 10,0 
b) B3x5 = (1 + k) . A3x5, em que k = 0,1 
c) B5x3 = (1 + k) . A5x3, em que k = 0,1 
d) B5x3 = (10 + k) . A5x3, em que k = 0,1 
e) B5x3 = k . A5x3, em que k = 0,1 
 13. (UEL) Conforme dados da Agência Nacional 
de Aviação Civil (ANAC), no Brasil, existem 
720 aeródromos públicos e 1814 aeródromos 
privados certificados. Os programas compu-
tacionais utilizados para gerenciar o tráfego 
aéreo representam a malha aérea por meio 
de matrizes. Considere a malha aérea entre 
quatro cidades com aeroportos por meio de 
uma matriz. Sejam as cidades A, B, C e D in-
dexadas nas linhas e colunas da matriz 4 x 4 
dada a seguir. Coloca-se 1 na posição X e Y 
da matriz 4 x 4 se as cidades X e Y possuem 
conexão aérea direta, caso contrário coloca-
-se 0. A diagonal principal, que corresponde 
à posição X = Y, foi preenchida com 1.
A B C D
A 1 0 0 1
B 0 1 1 1
C 0 1 1 0
D 1 1 0 1
 
 
 
 
 
 
Considerando que, no trajeto, o avião não 
pode pousar duas ou mais vezes em uma 
mesma cidade nem voltar para a cidade de 
origem, assinale a alternativa correta. 
a) Pode-se ir da cidade A até B passando por 
outras cidades. 
b) Pode-se ir da cidade D até B passando por 
outras cidades. 
c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C. 
d) Existem dois diferentes caminhos entre as 
cidades A e B. 
e) Existem dois diferentes caminhos entre as 
cidades A e C. 
E.O. COmplEmEntAr
 1. (UPF) Dadas as matrizes quadradas A, B e 
C, de ordem n, e a matriz identidade In, de 
mesma ordem, considere as proposições a 
seguir, verificando se são verdadeiras (V) ou 
falsas (F). 
( ) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
( ) (A – B)2 = A2 – B2
( ) CI = C
A sequência correta de preenchimento dos 
parênteses, de cima para baixo, é: 
a) V – V – V.
b) V – F – V.
c) F – V – V.
d) F – F – V.
e) F – F – F.
 2. (Unioeste) Sendo A uma matriz quadrada e 
n um inteiro maior ou igual a 1, define-se An 
como a multiplicação de A por A , n vezes. No 
caso de A ser a matriz ( 0 ___ –1 –1 ___ 0 ) 
 
é correto 
afirmar que a soma A+ A2 + A3 + ...+ A39 + A40 
é igual à matriz: 
a) ( 20 ____ –20 –20 ____ 20 ) 
b) ( 40 ____ –20 –20 ____ 40 ) 
c) ( 0 ____ –40 –40 ____ 0 ) 
d) ( 40 ____ –40 –40 ____ 40 ) 
e) ( 20 ___ 0 0 ___ 20 ) 
48
 3. (ESPM) Sendo A = [ a __ c b __ 
d
 ] uma matriz qua-
drada de ordem 2, a soma de todos os ele-
mentos da matriz M = A ⋅ At é dada por: 
a) a2 + b2 + c2 + d2. 
b) (a + b + c + d) 2. 
c) (a + b) 2 + (c + d)2. 
d) (a + d) 2 + (b + c)2. 
e) (a + c) 2 + (b + d)2. 
 4. (Mackenzie) Se a matriz
 1 x + y + z 3y – z + 2
 4 5 –5
y – 2z + 3 z 0
é simétrica, o valor de x é: 
a) 0.
b) 1.
c) 6.
d) 3.
e) –5.
 5. (UFSM)
O diagrama dado representa a cadeia ali-
mentar simplificada de um determinado 
ecossistema. As setas indicam a espécie de 
que a outra espécie se alimenta.
Atribuindo valor 1 quando uma espécie se 
alimenta de outra e zero, quando ocorre o 
contrário, tem-se a seguinte tabela:
Urso Esquilo Inseto Planta
Urso 0 1 1 1
Esquilo 0 0 1 1
Inseto 0 0 0 1
Planta 0 0 0 0
A matriz A = (aij)4×4, associada à tabela, pos-
sui a seguinte lei de formação: 
a) aij = 
b) aij = 
c) aij = 
d) aij = 
e) aij = 
 6. (FGV) O total de matrizes distintas que pos-
suem apenas os números 1, 2, 3, 4, 5,...,15, 
16 como elementos, sem repetição, é igual a: 
a) (4!)4.
b) 16.4!.
c) 5.16!.
d) (16!)5.
e) 1616.
 7. (Udesc) Considere as matrizes da forma 
A = [ a c 
b d ] com a, b, c, d e {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Se 
os elementos destas matrizes não são múlti-
plos, então o número máximo de tais matri-
zes distintas que pode ser formado é: 
a) 96. 
b) 120. 
c) 48. 
d) 72. 
e) 360. 
E.O. dissErtAtivO
 1. (UDESC) Dadas as matrizes A = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) e 
B = ( 1 ___ 3 0 __ 2 ) calcule as matrizes (C, D, E, F,e G) resultantes das seguintes operações:
a) C = A + Bt.
b) D = A2.
c) E = 2A - Bt.
d) F = 3A – 2B.
e) G = A ⋅ B.
Obs.: Bt é a matriz transposta da matriz B.
 2. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados 
nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizan-
tes X, Y e Z.
A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de 
cada cultura, em hectares, por região.
A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de 
cada fertilizante, em kg, por hectare, em 
cada cultura.
a) Calcule a matriz C = AB.
b) Explique o significado de c23, o elemento da 
segunda linha e terceira coluna da matriz C.
 
49
 3. (UFV) Dada a matriz mostrada na figura 
adiante
A = 
 1 2 3
 0 1 2
–1 1 –1
 ,
determine:
a) A2.
b) A ⋅ At.
c) 2A + 3At.
Determine:
a) o instante e o dia em que o paciente apre-
sentou a maior temperatura;
b) a temperatura média do paciente no terceiro 
dia de observação. 
 4. (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram 
para tomar chope, de bar em bar, tanto no 
sábado quanto no domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos cho-
pes cada um consumiu e como a despesa foi 
dividida:
S = 
4 1 4
0 2 0
3 1 5
 e D = 
5 5 3
0 3 0
2 1 3
S refere-se às despesas de sábado e D às de 
domingo.
Cada elemento aij nos dá o número de chopes 
que i pagou para j, sendo Antônio o número 
1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 
3 (aij representa o elemento da linha i, colu-
na j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes 
que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo 
e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para 
Antônio?
 5. (FGV 2017) Uma fábrica decide distribuir os 
excedentes de três produtos alimentícios A, 
B e C a dois países da América Central, P1 e P2 
As quantidades, em toneladas, são descritas 
mediante a matriz Q:
1
2
A B C
P200 100 150
Q
P100 150 200
↓ ↓ ↓
← 
=   ← 
Para o transporte aos países de destino, a 
fábrica recebeu orçamentos de duas empre-
sas, em reais por toneladas, como indica a 
matriz P:
500 300 1ª empresa
P
400 200 2ª empresa
← 
=   ← 
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem 
que for possível. Que elemento da matriz pro-
duto indica o custo de transportar o produto 
A, com a segunda empresa, aos dois países? 
b) Para transportar os três produtos aos dois pa-
íses, qual empresa deveria ser escolhida, con-
siderando que as duas apresentam exatamen-
te as mesmas condições técnicas? Por quê?
 6. (UEMA) Uma matriz A (m × n) é uma tabe-
la retangular formada por m × n números 
reais (aij), dispostos em m linhas e n colu-
nas. O produto de duas matrizes A = (aij)m×n e 
B = (bij)n×p é uma matriz C = (cij)m×p, em que 
o elemento cij é obtido da multiplicação or-
denada dos elementos da linha i da matriz A 
pelos elementos da coluna j, da matriz B, e 
somando os elementos resultantes das mul-
tiplicações. A soma de matrizes é comutati-
va, ou seja, A + B = B + A.
Faça a multiplicação das matrizes A e B, e 
verifique se esse produto é comutativo, ou 
seja: A × B = B × A.
A = 
1 2 3
A 0 1 2
0 0 1
 
 =  
  
 e B= 
0 1 2
B 1 2 3
0 1 0
− 
 = − 
  
 7. (UnB) Uma equipe de pesquisa de mercado 
conduziu, durante vários meses, um levan-
tamento para determinar a preferência dos 
consumidores em relação a duas marcas de 
detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-se, 
inicialmente, que, entre 200 pessoas pesqui-
sadas, 120 usavam a marca 1 e 80, a marca 2. 
Com base no levantamento inicial, a equipe 
compilou a seguinte estatística:
a) 70% dos usuários da marca 1, em qual-
quer mês, continuaram a utilizá-la no 
mês seguinte, e 30% mudaram para a 
marca 2;
b) 80% dos usuários da marca 2, em qual-
quer mês, continuaram a utilizá-la no 
mês seguinte, e 20% mudaram para a 
marca 1.
Esses resultados podem ser expressos pela 
matriz P = (pij) = ( 0,7 0,3 
0,2 0,8 ) em que pij, 1 ≤ 
i, j ≤ 2, representa a probabilidade do con-
sumidor da marca j consumir a marca i após 
um mês, supondo-se que tais probabilidades 
sejam mantidas constantes de um mês para 
o outro. Dessa forma, obtém-se a fórmula de 
recorrência Xk+1 = PXk, k ≥ 0, em que Xk ( ak bk
 ) 
representa a distribuição, no mercado, ao 
final do mês k, dos usuários de cada deter-
gente pesquisados; ak e bk representam os 
percentuais de usuários das marcas 1 e 2, 
respectivamente, no referido período.
Com base nessas informações, julgue os 
itens subsequentes.
a) A sequência b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2 represen-
ta uma progressão geométrica decrescente 
de razão 0,5.
50
b) Se Xk = ( a b ) é tal que Xk+1 = Xk, para algum 
k ≥ 0, então a = 0,4 e b = 0,6.
c) A probabilidade de um consumidor do deter-
gente da marca 1 comprar o da marca 2 ao 
final do 2.º mês é superior a 50%.
 8. (UFU) Em computação gráfica, é frequen-
te a necessidade de movimentar, alterar e 
manipular figuras em um sistema 2D (bidi-
mensional). A realização destes movimentos 
é feita, em geral, utilizando-se transforma-
ções geométricas, as quais são representadas 
por matrizes T2x2. Assim — considerando um 
polígono P no plano cartesiano xOy de vérti-
ces (a1,b1), ..., (an,bn), o qual é representado 
pela matriz M2xn = ( a1 ... an b1 ... bn
 ) , em que n é o 
número de vértices do polígono — a trans-
formação de P por T2x2 é feita pela realização 
do produto matricial T2x2 · M2xn obtendo a 
matriz resultante ( c1 ... cn d1 ... dn
 ) cujas colunas 
determinam os vértices (c1,d1), ..., (cn,dn) do 
polígono obtido.
Nesse contexto, para o que se segue, consi-
dere a transformação T2x2 = ( 2cosθ −2senθ 2senθ 2cosθ ) 
e P o triângulo cujos vértices são os pontos 
A(0, 0), B(4, 0) e C(2,2 √
__
 3 ).
Execute planos de resolução de maneira a 
encontrar:
a) os vértices do triângulo resultante Q obti-
do da transformação do triângulo P por T2x2 
quando θ = 840°;
b) a área do triângulo resultante Q obtido na 
transformação do item A.
 9. (FGV) Um determinado produto deve ser 
distribuído a partir de 3 fábricas para 4 lo-
jas consumidoras. Seja C = (cij)3x4 a matriz 
do custo unitário de transporte da fábri-
ca i para a loja j, com cij = (2i − 3j)2. Seja 
B = (bij)3x4 a matriz que representa a quanti-
dade de produtos transportados da fábrica i 
para a loja j, em milhares de unidades, com 
bij = i + j
a) Determine as matrizes C = (cij)3x4 e Bt sendo 
que Bt é a transposta da matriz B (bij)3x4.
b) Sendo D = 
4 1
1
1
D
1
1 ×
 
 
 =
 
 
 
e E [1 0 0]1x3 determine as 
 matrizes X = (xij)3x1 e Y = (yij)1x3 tais que 
X = B · D e Y = E · (C·Bt). Em seguida, 
determine o significado econômico de xij e 
de yij.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
 1. (UERJ) Observe a matriz A, quadrada e de 
ordem três.
A = ( 0,3
 
 
 0,47 
0,6
 
0,47
 
 
 0,6 
x 
 
0,6
 
 
 x 
0,77
 ) 
Considere que cada elemento aij dessa matriz 
é o valor do logaritmo decimal de (i + j).
O valor de x é igual a:
a) 0,50.
b) 0,70.
c) 0,77.
d) 0,87.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
 1. (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de 
medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio 
de Janeiro em 2007(tabela I).
Com base na tabela, é possível formar a ma-
triz quadrada A cujos elementos aij represen-
tam o número de medalhas do tipo j que o 
país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao 
conjunto {1, 2, 3}.
Para fazer outra classificação desses países, são 
atribuídos às medalhas os seguintes valores:
 § ouro: 3 pontos;
 § prata: 2 pontos;
 § bronze: 1 ponto.
Esses valores compõem a matriz V = 
3
2
1
Tabela I – Quadro de medalhas 
Jogos Pan-americanos RJ 2007
País
Medalhas
Total
Tipos
1. 
Ouro
2. 
Prata
3. 
Bronze
1. Estados Unidos 97 88 52 237
2. Cuba 59 35 41 135
3. Brasil 54 40 67 161
Determine a partir do cálculo do produto 
A.V, o número de pontos totais obtidos pelos 
três países separadamente. 
51
 2. (UERJ) A temperatura corporal de um pacien-
te foi medida, em graus Celsius, três vezes ao 
dia, durante cinco dias. Cada elemento aij da 
matrizabaixo corresponde à temperatura ob-
servada no instante i do dia j.
35,6 36,4 38,6 38,0 36,0
36,1 37,0 37,2 40,5 40,4
35,5 35,7 36,1 37,0 39,2
Determine:
a) O instante e o dia em que o paciente apre-
sentou a maior temperatura.
b) A temperatura média do paciente no terceiro 
dia de observação.
 3. (UERJ) Considere as matrizes A e B:
A = (axj) é quadrada de ordem n em que 
axj = 1, se x é par e axj = –1, se x é ímpar
B = (bxj) é de ordem n × p em que bxj = jx
a) Calcule a soma dos elementos da diagonal 
principal da matriz A.
b) O elemento da quarta linha e da segunda 
coluna da matriz produto AB é igual a 4094.
 Calcule o número de linhas da matriz B. 
 4. (UERJ) Considere a sequência de matrizes 
(A1, A2, A3,...), todas quadradas de ordem 4, 
respectivamente iguais a:
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
16 17 18 19
20 21 22 23
24 25 26 27
28 29 30 31
32 33 34 35
36 37 38 39
40 41 42 43
44 45 46 47 
...
Sabendo que o elemento a ij = 75432 é da ma-
triz An, determine os valores de n, i e j.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unicamp) Em uma matriz, chamam-se ele-
mentos internos aqueles que não pertencem 
à primeira nem à última linha ou coluna. O 
número de elementos internos em uma ma-
triz com 5 linhas e 6 colunas é igual a: 
a) 12. 
b) 15. 
c) 16. 
d) 20. 
 2. (Fuvest) Sejam a e b números reais com 
–π/2 < a < π/2 e 0 < b < π. Se o sistema de 
equações, dado em notação matricial,
3 6
6 8
 tg a
cos b
 = 0
–2 dXX 3 
 ,
for satisfeito, então a + b é igual a: 
a) – π __ 3 .
b) – π __ 6 .
c) 0.
d) π __ 6 .
e) π __ 3 .
 3. (Unicamp 2017) Sendo a um número real, 
considere a matriz ( 1 a 0 -1 ) . Então, A2017 é igual 
a 
a) ( 1 0 0 1 ) .
b) ( 1 a 0 -1 ) .
c) ( 1 1 1 1 ) .
d) ( 1 a2017
 0 -1 ) .
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unesp) Considere as matrizes reais 2 x 2 do 
tipo A(x) = [ cos x sen x sen x cos x ] .
a) Calcule o produto A(x) ⋅ A(x).
b) Determine todos os valores de x e [0, 2π] 
para os quais A(x) ⋅ A(x) = A(x). 
 2. (Fuvest) Diz-se que a matriz quadrada A tem 
posto 1 se uma de suas linhas é não nula e as 
outras são múltiplas dessa linha. Determine 
os valores de a, b e c para os quais a matriz 
3 × 3
A = 
 2 1 __ 2 3
 3a – b + 2c 1 6
 b + c – 3a 1 __ 2 c – 2a + b
tem posto 1.
52
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. A 3. C 4. A 5. E
6. B 7. D 8. C 9. C 10. D
11. D 12. E
E.O. Fixação
1. D 2. B 3. B 4. A 5. A
6. A 7. C 8. D 9. D 10. A
11. A 12. C 13. A
E.O. Complementar
1. D 2. A 3. E 4. C 5. C
6. C 7. D
E.O. Dissertativo
 1. 
a) C = A + Bt = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) + ( 1 __ 0 3 __ 2 ) = ( 0 __ 1 8 __ 5 ) 
b) D = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) ⋅ ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) = ( 6 __ 2 10 ___ 14 ) 
c) E = 2 ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) + ( 1 __ 0 3 __ 2 ) = ( –1 ___ 2 13 ___ 8 ) 
d) F = 3 ⋅ ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) – 2 ⋅ ( 1 __ 3 0 __ 2 ) = ( –5 ___ –3 15 ___ 5 ) 
e) G = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) ⋅ ( 1 __ 3 0 __ 2 ) = ( 14 ___ 10 10 ___ 6 ) 
 2. 
a) 3a 50 20 20
40 10 30
 
10 20 15
15 20 20
30 20 30 
 
=
 
1400 1800 1750
1450 1600 1700
 
b) c23 = 1700 significa que serão necessários 
1700 kg do fertilizante Z para as culturas 
de milho, soja e feijão na região Q. 
 3. Observe as matrizes a seguir:
a) A2 = [ –2 ___ –2 
 ___ 0 
 7 __ 3 
 ___ –2 
 4 __ 0 
 __ 0 ] 
b) A · At = [ 14 ___ 8 
 ___ –2 
 8 __ 5 
 ___ –1 
 –2 ___ –1 
 ___ 3 ] 
c) 2A + 3At = [ 5 __ 6 
 __ 7 
 4 __ 5 
 __ 8 
 3 __ 7 
 ___ –5 ] 
 4. 
a) Cláudio.
b) 2 chopes
 5. 
a) 100000.
b) CE2
 < CE1. 6. 
B × A = 
0 1 0
1 0 2
0 1 2
 e A × B = 
2 0 4
1 0 3
0 1 0
 7. 
a) Correto. Temos que a0 = 120 ____ 200 = 0,6 e 
b0 = 80 ____ 200 = 0,4. Então, como X0 = ( 0,6 0,4 ) 
vem
X1 = ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) · ( 0,6 0,4 ) = ( 0,5 0,5 ) 
X2 = ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) · ( 0,5 0,5 ) = ( 0,45 0,55 ) e
X3 = ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) · ( 0,45 0,55 ) = ( 0,425 0,575 ) .
e Segue que b1 = 0,5, b2 = 0,55 e 
b3 = 0,575. Portanto, a sequência 
(b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2) = 
= (0,1; 0, 0,5; 0, 0,025) é uma progres-
são geométrica de razão 0,05 _____ 0,1 = 0,5.
b) Correto. Sabendo que a + b = 1, vem 
 XK+1 = XK ⇔ ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) ( a 
b
 ) = ( a 
b
 ) 
 ⇔ ( 0,7a + 0,2b
 0,3a + 0,8b
 ) = ( a 
b
 ) 
 ⇔ b = 1,5a.
Desse modo, a + 1,5a ⇔ a + 1,4a e, por-
tanto, b = 0,6.
c) Incorreto. A probabilidade de um consu-
midor do detergente da marca 1 comprar 
o da marca 2 ao final do 2º mês, corres-
ponde ao elemento p21 da matriz P2 En-
tão, como
P2 = ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) ⋅ ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) = ( 0,55 0,30 0,45 0,70 ) ,
segue que p21 = 0,45 < 0,50 = 50%.
 8. 
a) Os vértices do triângulo Q são A' (0, 0), B' 
(–4, 4 √
__
 3 ) e C' (-8, 0).
b) 16 √
__
 3 u.a.
 9. 
a) 
t
2 3 4
3 4 5
B .
4 5 6
5 6 7
 
 
 =  
 
  
b) y11 indica o custo total com transporte, da 
fábrica 1, para as quatro lojas; e y1k, com 
2 ≤ k ≤ 3, indica o custo total que a fábri-
ca 1 teria para transportar a produção das 
fábricas 2 e 3 para as quatro lojas.
53
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. B
E.O. UERJ
Exame Discursivo
 1. Estados Unidos: 519
Cuba: 288
Brasil: 309.
 2. 
a) Na segunda medição do 4º dia.
b) 37,3° C. 
 3. 
a) 0, se n é par
 –1, se n é ímpar.
b) n = 11.
 4. 75432 = 4714 . 16 + 8
Logo, n = 4714 + 1 = 4715 e i = 3 e j = 1. 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. A 2. B 3. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
a) ( 1 sen2x sen2x 1 ) .
b) x = 0 ou x = 2π.
 2. a = 1, b = 3 e c = 2 .
47 48
M
MATEMÁTICA
T
Matriz inversa 
e equações matriciais
Competência
6
Habilidades
24, 25 e 26
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variaçãode grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
57
E.O. AprEndizAgEm
 1. (Ufrrj) Dada uma matriz A = [ 1 ___ –1 2 __ 0 ] , de-
notamos por A-1 a matriz inversa de A. Então 
A+A-1 é igual a: 
a) [ 2 __ 1 3 __ 0 ] .
b) [ 1 __ 2 –1 ___ 0 ] .
c) [ 1 ___ 
– 1 __ 2 
 1 __ 
 1 __ 2 
 ] .
d) [ 0 __ 
 1 __ 2 
 –1 ___ 
 1 __ 2 
 ] .
e) [ 2 ___ –2 4 __ 0 ] .
 2. (FGV-RJ) Seja X a matriz que satisfaz a equa-
ção matricial X ⋅ A = B, em que:
A = [ 2 __ 5 1 __ 3 ] e B = [8 5]
Ao multiplicar os elementos da matriz X, 
obteremos o número: 
a) –1.
b) –2.
c) 1.
d) 2.
e) 0.
 3. (FGV) Sendo A = [ 1 __ 0 1 __ 1 ] e B = [ 170 ____ 10 ] , a ma-
triz X = [ x __ y ] na equação A16 . X = B será: 
a) [ 5 __ 5 ] .
b) [ 0 ___ 10 ] .
c) [ 10 ___ 5 ] .
d) [ 10 ___ 10 ] .
e) [ 5 ___ 10 ] .
 4. (Fatec) A matriz inversa da matriz em desta-
que, mostrada adiante é ( 1 __ 0 0 __ 1 ) :
a) ( 1 __ 1 0 __ 0 ) 
b) ( 1 __ 0 0 __ 1 ) 
c) ( 0 __ 0 1 __ 1 ) 
d) ( 0 __ 1 1 __ 0 ) 
e) 
 5. (ITA) Se M = [ 1 ___ 2 -1 __ 0 ] e N = [ 2 ___ -1 1 __ 3 ] , então 
MNT – M–1 N é igual a: 
a) [ 3 __ 2 
 
 5 __ 2 
 
– 5 __ 2 
 
– 3 __ 2 
 ] 
b) [ 3 __ 2 
 
 7 __ 2 
 
– 1 __ 2 
 
– 5 __ 2 
 ] 
c) [ 3 __ 2 
 
 13 ___ 2 
 
– 11 ___ 2 
 
 – 5 __ 2 
 ] 
d) [ 3 __ 2 – 5 __ 2 
 
– 13 ___ 2 – 3 __ 2 
 ] 
e) [ 3 __ 2 
 
 13 ___ 2 
 
– 11 ___ 2 
 
– 3 __ 2 
 ] 
 6. (Fac. Albert Einstein - Medicina) Uma ma-
triz quadrada se diz ortogonal se sua inver-
sa é igual à sua transposta. Dada a matriz 
A = ( x–3 
 √
__
 5 
 – √
__
 5 x–3 ) , em que X e C* a soma dos 
valores de x que a tornam uma matriz orto-
gonal é igual a: 
a) 6 + 4i. 
b) 6 – 4i. 
c) 6. 
d) 4. 
 7. (UFSJ) A matriz inversa de 
2 0 1
A 2 1 10
0 0 1
− 
 =  
 − 
 é:
a) 
2 0 1
A 2 1 10
0 0 1
− 
 = − − − 
  
b) 
1 2 0 1 2
A 1 1 11
0 0 1
− 
 = − 
 − 
c) 
2 2 0
A 0 1 0
1 10 1
 
 =  
 − − 
d) 
2 2 0
A 0 1 0
1 10 1
− − 
 = − 
 − 
58
E.O. FixAçãO
 1. (FGV) Sabendo que a inversa de uma matriz 
A é A–1 = [ 3 ___ –5 –1 ___ 2 ] , e que a matriz X é so-
lução da equação matricial X ⋅ A = B em que 
B = [8 3] podemos afirmar que a soma dos 
elementos da matriz X é: 
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 11.
 2. (Insper) Considere as matrizes 
A = [ 3 __ 0 0 __ 1 ] B = [ 0 __ 8 3 __ 0 ] X = [ x __ y ] e Y = [ x2
 __ 
y2 ] .
Se x e y são as soluções não nulas da equação 
A ⋅ Y + B ⋅ X = [ 0 __ 0 ] , então x ⋅ y é igual a: 
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
 3. (Espcex-Aman) O elemento da segunda linha 
e terceira coluna
da matriz inversa da matriz ( 1 __ 2 
 __ 0 
 0 __ 1 
 __ 1 
 1 __ 0 
 __ 1 ) é: 
a) 2 __ 3 .
b) 3 __ 2 .
c) 0.
d) –2.
e) – 1 __ 3 .
 4. (Ufrrj) Dada uma matriz A = ( 1 2 –1 0 ) , deno-
tamos por A-1 a matriz inversa de A. Então 
A+A-1 é igual a:
a) ( 2 3 1 0 ) 
b) [ 1 -1 2 0 ] 
c) ( 1 1 
- 1 __ 2 1 __ 2 
 ) 
d) ( 0 -1 
- 1 __ 2 1 __ 2 
 ) 
e) ( 2 4 -2 0 ) 
 5. (FGV 2016) Dada a matriz B = [ 3 -4 ] e sabendo 
que a matriz A1 = [ 2 -1 5 3 ] é a matriz inversa da 
matriz A, podemos concluir que a matriz X, 
que satisfaz a equação matricial AX = B, tem 
como soma de seus elementos o número: 
a) 14.
b) 13.
c) 15.
d) 12.
e) 16.
 6. (FGV 2001) A matriz A é inversa da matriz B.
A = [ x 1 5 3 ] B = [ 3 - 1 y 2 ] 
Nessas condições, podemos afirmar que a 
soma x+y vale:
a) − 1.
b) − 2.
c) − 3.
d) − 4.
e) − 5.
 7. (Udesc) Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes 
quadradas de ordem 3 de tal forma que:
 § aij = i + j
 § bij = j e os elementos de cada coluna, de 
cima para baixo, formam uma progressão 
geométrica de razão 2.
Analise as proposições abaixo:
( ) A = AT
( ) Os elementos de cada uma das linhas da 
matriz B estão em progressão aritmética.
( ) Os elementos de cada uma das linhas e de 
cada uma das colunas da matriz AB estão 
em progressão aritmética.
( ) Existe a matriz inversa da matriz C = A − B.
O número de proposição(ões) verdadeira(s) é:
a) 0.
b) 3.
c) 1.
d) 2.
e) 4.
 8. (UFPR) Identifique as afirmativas a seguir 
como verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) Sabe-se que uma matriz A é inversível se 
existir uma matriz B tal que AB = BA = In, 
onde In é a matriz unidade de ordem n. A 
inversa da matriz [ 3 7 5 11 ] [ - 11 ___ 2 7 __ 2 
 
 5 __ 2 - 3 __ 2 
 ] .
( ) Um restaurante típico da região do litoral 
oferece as seguintes entradas: casquinha 
de siri, panqueca de siri, ostras, saladas, 
caranguejo. Os pratos principais são: pei-
xe com gengibre, indaiá, caldeirada, filé 
de linguado. As sobremesas disponíveis 
59
são bolinho de polvilho, bolo de pinhão, 
mbojape (bolo de milho), canjica, arroz 
doce, milho. Com toda essa variedade, um 
cliente pode escolher de noventa formas 
diferentes uma entrada, um prato princi-
pal e uma sobremesa.
( ) Se numa pesca típica no estuário de Gua-
ratuba um pescador pesca seis garoupas, 
dois robalos e dez betaras, e se um peixe 
destes for escolhido ao acaso, a probabi-
lidade de ele não ser betara é igual à pro-
babilidade de ele ser robalo ou garoupa.
( ) É verdadeira a igualdade 
sen ( π __ 8 ) = √
_______
 2 + √
__
 2 ________ 2 
Assinale a alternativa que apresenta a 
sequência correta, de cima para baixo.
a) V – F – V – F.
b) V – F – F – F.
c) V – F – V – V.
d) F – V – F – F.
e) F – V – V – V.
E.O. COmplEmEntAr
 1. (FGV) A matriz [ a __ 
b
 
 __ c ] é a solução da equação 
matricial AX = M em que: A = [ 1 __ 0 
 __ 0 
 2 __ 1 
 __ 0 
 5 __ 4 
 __ 3 ] e 
M = [ 28 ___ 15 
 ___ 9 ] .Então a2 + b2 + c2 vale: 
a) 67.
b) 68.
c) 69.
d) 70.
e) 71.
 2. (Espcex-Aman) Considere as matrizes
A = [ 3 __ 1 5 __ x ] e B = [ x __ y 
y + 4
 _____ 3 ] .
Se x e y são valores para os quais B é a trans-
posta da Inversa da matriz A, então o valor 
de x + y é: 
a) –1.
b) –2.
c) –3.
d) –4.
e) –5.
 3. (ITA) Considere as matrizes A = [ 1 __ 0 0 ___ –1 –1 ___ 2 ] , 
I = [ 1 __ 0 0 __ 1 ] , X = [ x __ y ] , B = [ 1 __ 2 ] .
Se x e y são soluções do sistema (AAt - 3I) X = B, 
então x + y é igual a: 
a) 2.
b) 1.
c) 0.
d) –1.
e) –2.
E.O. dissErtAtivO
 1. (UFTM) Considere as matrizes
A = (aij)2x2, tal que aij = i2 + j2, e
B = (bij)2x2, tal que b ij = (i + j)2
.
Determine:
a) pela lei de formação, a matriz C resultante 
da soma das matrizes A e B.
b) a matriz M de ordem 2 que é solução da 
equação matricial A . M + B = 0, em que 0 
representa a matriz nula de ordem 2. 
 2. (UFPE) Seja [ a __ c b __ 
d
 ] a inversa da matriz
 [ 3 ___ 11 1 __ 4 ] . Indique |a| + |b| + |c| + |d|. 
 3. (UFC) A matriz quadrada A de ordem 3 é tal 
que A2 = [ 2 __ 1 
 __ 1 
 1 __ 2 
 __ 1 
 1 __ 1 
 __ 2 ] . 
a) Calcule A2 – 3 · I, em que I é a matriz iden-
tidade de ordem 3.
b) Sabendo-se que A cumpre a propriedade 
A3 – 3 · A = 2 · I, determine a matriz inversa 
de A. 
 4. (Udesc) Sejam A = (aij) e B = (b ij) matrizes 
quadradas de ordem 2 cujas entradas são de-
finidas por aij = i2 – i ⋅ j e bij = 
3j – i, se i ≤ j
i3 – j2, se i > j
Explicitando seus cálculos, determine a ma-
triz X que satisfaz a equação matricial (A + 
B)T + mX = n (A . B), onde m e n são, res-
pectivamente, a maior e a menor raiz real do 
polinômio p(t) = t4 + t3 – 6t2. 
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest) Considere a matriz 
A = [ a a – 1 2a + 1 a + 1 ] em que a é um número 
real. Sabendo que A admite inversa A–1 cuja 
primeira coluna é
 [ 2a – 1 –1 ] , a soma dos elementos da diagonal 
principal de A–1 é igual a: 
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
60
 2. (Unesp) Considere a equação matricial 
A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e 
todas as matrizes são quadradas de ordem n. 
A condição necessária e suficiente para que 
esta equação tenha solução única é que: 
a) B – I ≠ 0, onde I é a matriz identidade de 
ordem n e O é a matriz nula de ordem n. 
b) B seja invertível. 
c) B ≠ 0, onde O é a matriz nula de ordem n. 
d) B – I seja invertível, onde I é a matriz iden-
tidade de ordem n. 
e) A e C sejam invertíveis. 
 3. (Unicamp) Considere a matriz A = [ a __ 
b
 0 __ 1 ] 
onde a e b são números reais. Se A2 = A e A é 
invertível, então: 
a) a = 1 e b = 1.
b) a = 1 e b = 0.
c) a = 0 e b = 0.
d) a = 0 e b = 1.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unicamp) Uma matriz real quadrada P 
é dita ortogonal se Pt = P-1, ou seja, se sua 
transposta é igual a sua inversa.
a) Considere a matriz P = . 
 Determine os valores de a e b para que P seja 
ortogonal.
 Dica: você pode usar o fato de que P-1P = I, 
em que I é a matriz identidade.
b) Uma certa matriz A pode ser escrita na for-
 ma A = QR, sendo Q = 
 e R = . Sabendo que Q é ortogonal,
 determine a solução do sistema Ax = b, para 
 o vetor b = [ 6 –2 
0
 ] , sem obter explicitamente a 
 matriz A.
 Dica: lembre-se de que x = A-1b. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. B 3. D 4. B 5. C
6. C 7. B
E.O. Fixação
1. A 2. C 3. A 4. C 5. B
5. C 7. B 8. A
E.O. Complementar
1. A 2. C 3. D
E.O. Dissertativo
 1. 
a) ( 6 ___ 14 14 ___ 24 ) 
b) B = ( 4 __ 9 9 ___ 16 ) ; M = ( – 13 ___ 9 
 ____ 
– 2 __ 9 
 
– 8 __ 9 
 ____ 
– 13 ___ 9 
 ) 
 2. |a| + |b| + |c| + |d| = |4| + |–1| + |–11| + |3| = 19.
 3. 
a) A2 –3 ⋅ I = [ 2 __ 1 
 __ 1 
 1 __ 2 
 __ 1 
 1 __ 1 
 __ 2 ] –3 ⋅ [ 1 __ 0 
 __ 0 
 0 __ 1 
 __ 0 
 0 __ 0 
 __ 1 ] = 
 = [ –1 ___ 1 
 ___ 1 
 1 ___ –1 
 ___ 1 
 1 __ 1 
 ___ –1 ] 
b) A–1 = 
 4. X = ( 19 ___ 2 
 ___ –8 
 3 __ 2 
 ____ –17 ) 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. A 2. D 3. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
a) a = 2 __ 3 e b = – 1 __ 3 .
b) x = [ 1 
 
 1 
–4
 ] .
49 50
M
MATEMÁTICA
T
Determinantes
Competência
6
Habilidades
24, 25 e 26
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dadosexpressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
63
E.O. AprEndizAgEm
 1. (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades:
I.  2 ___ –1 2 __ 4  >  3 __ 1 4 __ 5  
II.  3 __ 5 –6 ___ –2  <  4 ___ –1 7 __ 5  
III.  8 ___ –2 1 ___ –6  >  9 ___ –1 2 ___ –7  
É correto afirmar que: 
a) são verdadeiras apenas as desigualdades I e II.
b) são verdadeiras apenas as desigualdades II e III.
c) são verdadeiras apenas as desigualdades I e III.
d) as três desigualdades são verdadeiras.
e) as três desigualdades são falsas.
 2. (UFTM) É dada a matriz A = ( a ___ 
–b
 b __ a ) , onde 
a e b são números reais. Se ( 0 __ 3 1 __ 5 ) ⋅ ( a __ 
b
 ) = 
= ( 2 ___ 22 ) , então o determinante de A é igual a: 
a) 3b + 4a.
b) 2b2 + a2.
c) b2 + 5.
d) 5a + 2.
e) 5a.
 3. (UFC) Uma matriz é dita singular quando 
seu determinante é nulo. Então os valores 
de c que tornam singular a matriz 
 [ 1 __ 1 
 __ 1 
 1 __ 9 
 __ c 
 1 __ c __ 3 ] 
são: 
a) 1 e 3.
b) 0 e 9.
c) –2 e 4.
d) –3 e 5.
e) –9 e –3.
 4. (Mackenzie) Dadas as matrizes A = (aij)3x3 
tal que aij = 10, se i = j
aij = 0, se i ≠ j
 
e B = (bij)3x3 tal que
bij = 3, se i = j
bij = 0, se i ≠ j
, o valor de det(AB) é: 
a) 27 x 103. 
b) 9 x 103. 
c) 27 x 102. 
d) 32 x 102. 
e) 27 x 104. 
 5. (Fatec) Se A-1 é a matriz inversa de A = [ 1 ___ –1 0 __ 2 ] 
e M = A + A-1, então o determinante da matriz M é: 
a) 5. 
b) 4. 
c) 3. 
d) 2. 
e) 1. 
 6. (Epcar (Afa)) Seja a matriz [ 0 2 
1/2
 0 ] Sabe-
-se que An = A · A · A ... · A (n vezes). 
Então, o determinante da matriz 
S = A + A2 + A3 + ... + A11 é igual a: 
a) 1. 
b) –31. 
c) –875. 
d) –11. 
 7. (UECE) Sobre a equação detM = –1, na qual 
M é a matriz [ 1 
 
 2 
x
 
2
 
 
 x 
1
 
x
 
 
 1 
x
 ] e detM é o determinan-
te da matriz M, pode-se afirmar corretamen-
te que a equação: 
a) não possui raízes reais. 
b) possui três raízes reais e distintas. 
c) possui três raízes reais, das quais duas são 
iguais e uma é diferente. 
d) possui três raízes reais e iguais. 
 8. (ESPM) Dadas as matrizes A = e 
B = a diferença entre os valores de x, 
tais que det(A · B) = 3x, pode ser igual a:
a) 3.
b) –2.
c) 5.
d) –4.
e) 1.
 9. (FGV) A é uma m atriz quadrada de ordem 
2 e det(A) = 7. Nessas condições, det(3A) e 
det(A–1) valem, respectivamente:
a) 7 e –7. 
b) 21 e 1/7. 
c) 21 e –7. 
d) 63 e –7. 
e) 63 e 1/7. 
 10. (PUC-MG) M é uma matriz quadrada de or-
dem 3, e seu determinante é det(M) = 2. 
O valor da expressão det(M) + det(2M) + 
det(3M) é:
a) 12. 
b) 15. 
c) 36. 
d) 54. 
e) 72. 
64
 11. (Udesc) Considerando que A é uma ma-
triz quadrada de ordem 3 e inversível, se 
det(3A) = det(A2), então det(A) é igual a: 
a) 9. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 6. 
e) 27. 
 12. (IFAL) Se A = e B = , o deter-
minante da matriz (AB)-1 é:
a) – 1 ___ 10 .
b) 21 ___ 10 .
c) 13 ___ 10 .
d) – 13 ___ 10 .
e) nda. 
 13. Se a matriz [ 3 4 x x+1 ] for multiplicada pelo va-
lor do seu determinante, este ficará multi-
plicado por 49. Um dos possíveis valores de 
x é: 
a) 5. 
b) –3. 
c) 1. 
d) –4. 
e) 2. 
 14. Considerando-se log2 = 0,3, o valor do deter-
minante abaixo é igual a:
 [ 1
 
 
 log4 
(log2)2
 
1
 
 
 log16 
(log4)2
 
1
 
 
 log400 
(log20)2
 ] 
a) 0,36. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 0,74. 
e) 0,42. 
E.O. FixAçãO
 1. (UEL) Sejam as matrizes A = (aij)3x2, tal que 
aij = 2i – 3j e B = (bjy)2x3, tal que bjy = y – j . O 
determinante da matriz A . B é igual a: 
a) –12.
b) –6.
c) 0.
d) 6.
e) 12.
 2. (Mackenzie) Dadas as matrizes A = ( 3 __ 1 4 __ 2 ) e
B = ( 8 __ 1 7 __ 1 ) . Se M ⋅ A – 2B = 0, det M–1 vale:
a) 2.
b) 1 __ 2 .
c) 4.
d) 1 __ 4 .
e) 1.
 3. (UEL) Se o determinante da matriz
A = [ x __ 1 
 ___ 2x 
 2 ___ –1 
 ___ –1 
 1 __ 1 
 __ 3 ] 
é nulo, então: 
a) x = –3.
b) x = – 7 __ 4 .
c) x = –1.
d) x = 0.
e) x = 7 __ 4 .
 4. (Feevale) Sendo  x __ 1 
y
 __ 1  = 6, o valor de 
 3x + 1 ______ 3y + 1 8 __ 8  é: 
a) 6. 
b) 8. 
c) 24. 
d) 128. 
e) 144. 
 5. (UERN) Considere a seguinte matriz 
A = (aij)3x3:
 
 ( 2 
 
 1 
3
 
1
 
 
 -2 
log24
 
log28
 
 
 4 
1
 ) 
Pela regra de Sarrus, o determinante dessa 
matriz é: 
a) 8. 
b) 9. 
c) 15. 
d) 24. 
 6. (Ifsul) Sejam as matrizes A2x2, onde 
aixj = 
2j, se i ≤ j
 
ji, se i > j
 , B = I2 e I é a matriz iden-
tidade. Sabendo que At é a matriz transposta 
de A, qual é o determinante de (At + B)? 
a) 11.
b) –11.
c) 9.
d) –9
65
 7. (UFC) Sejam A e B matrizes 3 × 3 tais que 
detA = 3 e detB = 4. Então det(A × 2B) é 
igual a:
a) 32.
b) 48.
c) 64.
d) 80.
e) 96.
 8. (IFCE) Considere a matriz A = . 
Sabendo-se que sen u = –cos u, em que 
0 ≤ u ≤ 2p, o determinante da matriz inversa 
de A, indicado por Det A-1, vale:
a) –1. 
b) 0. 
c) 1. 
d) 2. 
e) –5. 
 9. (Mackenzie) Seja A uma matriz quadrada de 
ordem 2 com determinante maior que zero e 
A-1 a sua inversa. Se 16 · det A-1 = det (2A), 
então o determinante de A vale: 
a) 4. 
b) 6. 
c) 8. 
d) 2. 
e) 16. 
 10. (Mackenzie) Na igualdade:
log 3 [det ( 2 . A-1)] = log 27 [det (2A)-1],
A é uma matriz quadrada de quinta ordem 
com determinante não nulo. Então det A 
vale: 
a) 25.
b) 210.
c) 35.
d) 310.
e) 65.
 11. (Fatec) Se x é um número real posi-
tivo tal que A = [ 1 x –1 0 ] . B = [ –x 1 1 –1 ] e 
det(A ∙ B) =2, então x–x é igual a: 
a) –4. 
b) 1/4. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 4. 
 12. Sendo I a matriz identidade de ordem 2,
A = [ 1 1 –1 1 ] e B = [ √
__
 3 /2
 
 1/2
 
 1/2
 
– √
__
 3 /2
 ] , considere 
as afirmativas a seguir:
1. A + At = 2 . I
2. det (A . B) = – √
__
 3 
3. B2007 = B
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadei-
ras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
E.O. COmplEmEntAr
 1. (UERN) Sejam as matrizes A = [ 3 __ x 
 ___ –1 
 1 __ 4 
 __ 6 
 2 __ 1 
 __ y ] 
e B = [ 6 __ 1 
 __ x 
 
y
 __ 4 
 ___ –1 
 2 __ 3 
 __ 1 ] , cujos determinantes são, 
respectivamente, iguais a 63 e 49. Sendo 
y = x + 3, então a soma dos valores de x e y é: 
a) 7.
b) 8.
c) 10.
d) 12.
 2. (Udesc) Se AT e A-1 representam, respectiva-
mente, a transposta e a inversa da matriz 
A = [ 2 __ 4 3 __ 8 ] , então o determinante da matriz
B = AT – 2A-1 é igual a: 
a) –111 _____ 2 .
b) –83 ___ 2 .
c) –166.
d) 97 ___ 2 .
e) 62.
 3. (FGV) O sistema linear nas incógnitas x, y e z:
pode ser escrito na forma matricial AX = B, 
em que:
X = [ x __ y 
 __ z ] e B = [ 10 ___ 5 
 ___ 7 ] .
Nessas condições, o determinante da matriz 
A é igual a: 
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
66
 4. (FGV) As matrizes A = (aij)4x4 e B = (bij)4x4 
são tais que 2aij = 3bij. Se o determinante da 
matriz A é igual a 3/4, então o determinante 
da matriz B é igual a: 
a) 0.
b) 4 ___ 27 .
c) 9 __ 8 .
d) 2.
e) 243 ____ 64 .
 5. (ITA) Seja M uma matriz quadrada de ordem 
3, inversível, que satisfaz a igualdade
det(2M2) – det( 3 dXX 2 M3) = 2 __ 9 det(3M).
Então, um valor possível para o determinan-
te da inversa de M é:
a) 1 __ 3 .
b)1 __ 2 .
c) 2 __ 3 .
d) 4 __ 5 .
e) 5 __ 4 .
 6. (UFSM) Seja A uma matriz 2 × 2 com deter-
minante não nulo. Se det A2 = det (A + A), 
então det A é:
a) –4. 
b) 1. 
c) 4. 
d) 8. 
e) 16. 
 7. (UEL) Considere as seguintes matrizes
A = [ 1 3 2 4 ] B = [ 0 –1 1 2 ] C = [ 2 1 2 3 ] 
Assinale a alternativa correta: 
a) A ∙ B = C.
b) A ∙ B-1 = C.
c) det (k ∙ A) = k det(A) para todo k ∈ R.
d) det (A + B) = det(A) + 2 det(B).
e) det (A + B + C) = 10.
E.O. dissErtAtivO
 1. (UFSCar) Sejam as matrizes
A = [ 3 ______ 
log0,1
 2 __ 5 ] e B = [ log0,01
 _______ 4 0 ___ –3 ] .
Calcule:
a) o determinante da matriz (B - A).
b) a matriz inversa da matriz (B - A). 
 2. (UFSC) Considere as matrizes A = [ 1 
 
 –1 
1
 
0
 
 
 –1 
1
 ] e 
B = [ 0 3 1 4 2 5 ] e n = det(AB).
Calcule 7n. 
 3. (UFPR) Considere a função f definida pela 
expressão
f(x) = det [ cos(2x)
 _______ cosx 
 _______ 1 
 senx _____ ½ 
 _____ 0 
 0 __ 0 
 __ 2 ] 
a) Calcule f(0) e f = ( p __ 4 ) .
b) Para quais valores de x se tem f(x) = 0? 
 4. (UFPR) Considere o polinômio
p(x) = [ 3 __ 3 
 __ x 
 x __ x 
 __ 3 
 –x ___ –4 
 ___ –3 ] .
Calcule as raízes de p(x). Justifique sua res-
posta, deixando claro se utilizou proprieda-
des de determinantes ou algum método para 
obter as raízes do polinômio. 
 5. (UEPG) Sobre a matriz
A = ,
assinale o que for correto. 
01) A2 = 
02) det A = 1
04) A + At = 
08) det(2A) = – 1 __ 2 
16) det A2 = 0
 6. (UFAL)A matriz A-1 é a inversa da matriz
A = .
Se o determinante de A–1 é igual a – 1 __ 2 , calcu-
le o determinante da matriz A + A–1.
 7. (UFSCar) Sejam as matrizes
A = e B = 
Calcule:
a) o determinante da matriz (B – A).
b) a matriz inversa da matriz (B – A). 
67
 8. (UEM) Considerando as matrizes de núme-
ros reais, quadradas e de ordem 3, A = (aij) e 
B = (bij), definidas, respectivamente, por: 
aij = e bij = 
e que At indica a transposta da matriz A, as-
sinale o que for correto. 
01) A matriz B é invertível. 
02) AB ≠ BA.
04) Existe um valor inteiro positivo n para o 
qual Bn é a matriz quadrada nula de ordem 3. 
08) A matriz A – At = (cij) satisfaz cij = – cji para 
todo i e para todo j. 
16) A matriz A . At = (dij) satisfaz dij = dji para 
todo i e para todo j.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
 1. (UERJ) Considere a matriz A3X3 abaixo:
A = [ 1 __ 2 
 
 
 a21 
a31
 
a12
 
 
 1 
1
 
a13
 
 
 1 
1
 ] 
Cada elemento desta matriz é expresso pela 
seguinte relação:
aij = 2 x (senθ i) x (cosθ j) ∀i,j e {1,2,3}
Nessa relação, os arcos θ 1, θ2 e θ 3 são positi-
vos e menores que p __ 3 radianos.
Calcule o valor numérico do determinante da 
matriz A.
 2. (UERJ 2016) Considere uma matriz a com 3 
linhas e 1 coluna, na qual foram escritos os 
valores 1,2 e 13, nesta ordem, de cima para 
baixo.
Considere, também, uma matriz B com 1 li-
nha e 3 colunas, na qual foram escritos os 
valores 1,2 e 13, nesta ordem, da esquerda 
para a direita.
Calcule o determinante da matriz obtida 
pelo produto de A × B.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unicamp) Considere a matriz 
M = ( 1 
 
 b 
1
 
a
 
 
 1 
b
 
1
 
 
 a 
1
 ) onde a e b são números re-
ais distintos. Podemos afirmar que:
a) a matriz M não é invertível.
b) o determinante de M é positivo.
c) o determinante de M é igual a a2 – b2
d) a matriz M é igual à sua transposta.
 2. (Unesp) Seja A uma matriz. Se
A3 = ,
o determinante A é:
a) 8.
b) 2 dXX 2 .
c) 2.
d) 3 dXX 2 .
e) 1.
 3. (Unicamp 2016) Considere a matriz quadra-
da de ordem 3, A = [ cos x 0 - sen x
 
 
 0 1 0 
sen x 0 cos x
 ] , onde 
x é um número real.
Podemos afirmar que:
a) A não é invertível para nenhum valor de x.
b) A é invertível para um único valor de x.
c) A é invertível para exatamente dois valores 
de x.
d) A é invertível para todos os valores de x.
 4. (Unifesp) Se |A| denota o determinante da 
matriz A, e se A = [ |A| 1
 
 2 |A|
 ] , Então,
a) A = [ 0 1 2 0 ] 
b) A = [ 2 1 2 2 ] , se |A| < 0
c) A = [ -1 2 1 -1 ] se |A| > 0
d) A = [ 2 1 2 2 ] ou A = [ -1 1 2 -1 ] 
e) A = [ -2 1 2 -2 ] ou A = [ 1 1 2 1 ] 
68
gAbAritO 
E.O. Aprendizagem
1. B 2. E 3. D 4. A 5. A
6. D 7. C 8. C 9. E 10. E
11. E 12. E 13. D 14. E
E.O. Fixação
1. C 2. B 3. E 4. E 5. C
6. A 7. E 8. C 9. D 10. B
11. B 12. D
E.O. Complementar
1. A 2. B 3. B 4. B 5. A
6. C 7. D
E.O. Dissertativo
 1. 
a) 50.
b) (B – A)–1 = [ – 4 ___ 25 
 ____ 
– 1 ___ 10 
 
 1 ___ 25 
 ____ 
– 1 ___ 10 
 ] 
 2. 01.
 3. 
a) f(0) = cos(2.0) – sen(2.0) = 1,
b) f ( π __ 4 ) = cos ( 2π ___ 4 ) – sen ( 2π ___ 4 ) 
f ( π __ 4 ) = cos ( π __ 2 ) – sen ( π __ 2 ) 
f ( π __ 4 ) = 0 – 1 = –1
 4. p(x) =  3 __ 3 
 __ x 
 x __ x 
 __ 3 
 –x ___ –4 
 ___ –3  .
 p (x) =  3 __ 3 
 __ x 
 x __ x 
 __ 3 
 –x ___ –4 
 ___ –3 
 3 __ 3 
 __ x 
 x __ x 
 __ 3  =
= x3 – 4x2 – 9x + 36
x = ± 3 ou x = 4
Portanto: (fatorando o polinômio)
p(x) = x3 – 4x2 – 9x + 36 
⇒ p(x) = x2(x – 4) – 9(x – 4) 
⇒ p(x) = (x2 – 9) (x – 4)
⇒ 
x2 – 9 = 0 ⇒ x = 63
x – 4 = 0 ⇒ x = + 4
.
 5. 01 + 02 = 03.
 6. det (A + A–1) = –9.
Aplicando a 
Regra de Sarrus
 7. 
a) 50.
b) 
– 4 ___ 25 1 ___ 25 
– 1 ___ 10 – 1 ___ 10 
 8. 02 + 04 + 08 + 16 = 30.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
 1. det A = 0.
 2. Portanto, observando que a matriz A×B apre-
senta filas proporcionais, podemos concluir 
que det (A×B) = 0.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. B 2. C 3. D 4. D
 
 
51 52
M
MATEMÁTICA
T
Sistemas lineares
Competência
6
Habilidades
21, 24, 25 e 26
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliarpropostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
71
 5. (UFSJ) A respeito do sistema 
é CORRETO afirmar que:
a) se a ≠ 1, o sistema tem solução única. 
b) se b = 2, o sistema tem infinitas soluções. 
c) se a = 1 e b = 2, o sistema não tem solução. 
d) se a = 1, o sistema tem infinitas soluções. 
 6. (UPE) Considerando o sistema 
analise as afirmativas abaixo e conclua. 
a) O sistema é impossível. 
b) O sistema é possível e indeterminado. 
c) O sistema é possível e determinado. 
d) O sistema admite como solução única x = 4, 
y = 8, z = –11.
e) O sistema admite como solução, para qual-
quer valor de x a terna (x, x, 5x). 
 7. (IFAL) Analise as afirmativas abaixo.
I. O sistema é possível e indeter-
minado.
II. O sistema é possível e 
determinado.
III. O sistema é impossível.
Marque a alternativa correta.
a) Apenas I é verdadeira. 
b) Apenas II é verdadeira. 
c) Apenas III é verdadeira. 
d) Apenas I é falsa. 
e) Apenas III é falsa. 
 8. (Espcex (Aman)) Para que o sistema linear 
 seja possível e indeterminado, o 
valor de a + b é:
a) –1. 
b) 4. 
c) 9. 
d) 14. 
e) 19. 
E.O. AprEndizAgEm
 1. (UPE) Em uma floricultura, é possível mon-
tar arranjos diferentes com rosas, lírios e 
margaridas. Um arranjo com 4 margaridas, 
2 lírios e 3 rosas custa 42 reais. No entanto, 
se o arranjo tiver uma margarida, 2 lírios e 
uma rosa, ele custa 20 reais. Entretanto, se 
o arranjo tiver 2 margaridas, 4 lírios e uma 
rosa, custará 32 reais. Nessa floricultura, 
quanto custará um arranjo simples, com uma 
margarida, um lírio e uma rosa?
a) 5 reais.
b) 8 reais.
c) 10 reais.
d) 15 reais.
e) 24 reais.
 2. (Ufrgs) Rasgou-se uma das fichas onde fo-
ram registrados o consumo e a despesa cor-
respondente de três mesas de uma lancho-
nete, como indicado abaixo.
Nessa lanchonete, os sucos têm um preço 
único, e os sanduíches também. O valor da 
despesa da mesa 3 é:
a) R$ 5,50.
b) R$ 6,00.
c) R$ 6,40.
d) R$ 7,00.
e) R$ 7,20.
 3. (Ufrgs) O sistema de equações
possui:
a) nenhuma solução. 
b) uma solução. 
c) duas soluções. 
d) três soluções. 
e) infinitas soluções.
 4. (IFSC) O sistema é pos-
sível e determinado, quando o valor de k for: 
a) k ≠ 3.
b) k = 5.
c) k = 3.
d) k ≠ 5.
e) k = 0.
72
 9. (ESPM) O sistema em x e y, é 
possível e indeterminado se, e somente se: 
a) a ≠ –2.
b) a ≠ 2.
c) a = ±2.
d) a = –2.
e) a = 2.
 10. (FGV) O sistema linear abaixo, nas incógni-
tas x e y:
Será impossível quando: 
a) Nunca.
b) p ≠ –6 e m = 1.
c) p ≠ –6 e m ≠ 1.
d) p = –6 e m = 1.
e) p = –6 e m ≠ 1.
 11. (Espcex (Aman)) Para que o sistema linear
 { x + y + az = 1
 
 x + 2x + z = 2 
2x + 5y – 3z = b
 } 
em que a e b são reais, seja possível e inde-
terminado, o valor de a + b é igual a: 
a) 10. 
b) 11. 
c) 12. 
d) 13. 
e) 14. 
12. (PUC-RS) Nas olimpíadas de 2016, serão dis-
putadas 306 provas com medalhas, que serão 
distribuídas entre competidores de esportes 
masculinos, femininos e, ainda, de esportes 
mistos. Sabe-se que o total de competições 
femininas e mistas é 145. Sabe-se, também, 
que a diferença entre o número de provas 
disputadas somente por homens e somente 
por mulheres é de 25. Então, o número de 
provas mistas é: 
a) 3. 
b) 9. 
c) 25. 
d) 136. 
e) 161. 
 13. (PUC-RJ) Considere o sistema
 { 2x + ay = 3
 x + 2y = 1 } 
e assinale a alternativa correta. 
a) O sistema tem solução para todo a e .
b) O sistema tem exatamente uma solução para 
a = 2.
c) O sistema tem infinitas soluções para a = 1. 
d) O sistema tem solução para a = 4. 
e) O sistema tem exatamente três soluções 
para a = –1. 
E.O. FixAçãO
 1. (IFPE) Com a proximidade do final do ano, 
uma papelaria quis antecipar as promoções 
de material didático para o ano letivo de 
2012. Foram colocados em promoção caneta, 
caderno e lápis. As três ofertas eram:
1. 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por 
R$ 62,00;
2. 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por 
R$ 66,00;
3. 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por 
R$ 44,00.
Para comparar os preços unitários dessa pa-
pelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo 
calculou os preços de uma caneta, um cader-
no e um lápis. A soma desses preços é: 
a) R$ 20,00. 
b) R$ 18,00. 
c) R$ 16,00. 
d) R$ 14,00. 
e) R$ 12,00. 
 2. (Unioeste) Sabe-se que x, y e z são números 
reais. Se (2x + 3y – z)2 + (2y + x – 1)2 + (z – 
3 – y)2 = 0, então x + y + z é igual a:
a) 7. 
b) 6. 
c) 5. 
d) 4. 
e) 3. 
 3. (UFSJ) Observe o sistema linear de variáveis 
x, y e z:
Com base no sistema, é CORRETO afirmar 
que se:
a) k = 3, o sistema admite solução única. 
b) k = 6, o sistema é impossível. 
c) k = –2, o sistema admite infinitas soluções. 
d) k = –6, o sistema é homogêneo e admite so-
lução (0,0,0).
 4. (IFSC) A alternativa CORRETA que indica o 
valor de a para que a seguinte equação ma-
tricial admita somente a solução trivial é:
a) a = 10 ___ 3 .
b) a = 20 ___ 3 . 
73
c) a ≠ – 20 ___ 3 .
d) a ≠ 20 ___ 3 . 
e) a ≠ 10 ___ 3 . 
 5. (Ufrgs) O sistema a seguir admite mais de 
uma solução.
Então, segue-se que:
a) a ≠ –3 e b = 1 __ 3 . 
b) a = –3 e b ≠ 1 __ 3 . 
c) a = – 1 __ 3 e b ≠ 3. 
d) a ≠ – 1 __ 3 e b = 3. 
e) a = – 1 __ 3 e b = 3. 
 6. Na peça “Um xadrez diferente”, que encena-
va a vida de um preso condenado por crime 
de “colarinho branco”, foi utilizado como 
cenário um mosaico formado por retângulos 
de três materiais diferentes, nas cores ver-
de, violeta e vermelha. Considere que x, y e 
z são, respectivamente, as quantidades, em 
quilos, dos materiais verde, violeta e verme-
lho utilizados na confecção do painel e que 
essas quantidades satisfazem o sistema line-
ar
Sobre a solução desse sistema e a quantidade 
dos materiais verde, violeta e vermelho uti-
lizada no painel, afirma-se:
I. O sistema tem solução única e x + y + z = 
120, isto é, a soma das quantidades dos 
três materiais empregados é 120 quilo.
II. O sistema não tem solução, é impossível 
determinar a quantidade de cada mate-
rial empregado.
III. O determinante da matriz dos coeficien-
tes a qual está associada ao sistema é di-
ferente de zeroe x = 2y e y = 3z.
IV. O determinante da matriz dos coeficien-
tes a qual está associada ao sistema é 
zero. O sistema tem solução, porém, para 
determinar a quantidade dos materiais 
utilizados, é necessário saber previamen-
te a quantidade de um desses materiais.
Está(ão) correta(s):
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e III. 
e) apenas IV. 
 7. (UEL) O sistema é possível e de-
terminado:
a) para qualquer valor de a. 
b) somente para a = 0. 
c) somente para a = 6. 
d) se a ≠ 0.
e) se a ≠ –6.
 8. (Fatec) Sejam a e b números reais tais que o 
sistema, nas incógnitas x e y,
Nessas condições, pode-se afirmar que, sen-
do k um número inteiro: 
a) b ≠ a + k · p __ 2 .
b) b ≠ a + k · p.
c) b ≠ a + k · 2p ___ 3 .
d) b ≠ a + p __ 2 + k · p.
e) b ≠ a + p __ 2 + k · 2p ___ 3 .
 9. (Mackenzie) Relativas ao sistema 
 k [ R,
considere as afirmações I, II e III abaixo.
I. Apresenta solução única para, exatamen-
te, dois valores distintos de k.
II. Apresenta mais de 1 solução para um 
único valor de k.
III. É impossível para um único valor de k.
Dessa forma: 
a) somente I está correta. 
b) somente II e III estão corretas. 
c) somente I e III estão corretas. 
d) somente III está correta. 
e) I, II e III estão corretas. 
 10. (Fac. Albert Einstein - Medicina) Saulo sa-
cou R$ 75,00 do caixa eletrônico de um Ban-
co num dia em que este caixa emitia apenas 
cédulas de R$ 5,00 e R$ 10,00. De quantos 
modos poderiam ter sido distribuídas as cé-
dulas que Saulo recebeu? 
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) Mais do que 8.
74
E.O. COmplEmEntAr
 1. (Epcar (Afa)) Irão participar do EPEMM, En-
contro Pedagógico do Ensino Médio Militar, 
um Congresso de Professores das Escolas Mi-
litares, 87 professores das disciplinas de Ma-
temática, Física e Química. Sabe-se que cada 
professor leciona apenas uma dessas três 
disciplinas e que o número de professores 
de Física é o triplo do número de professores 
de Química.
Pode-se afirmar que:
a) se o número de professores de Química for 
16, os professores de Matemática serão a 
metade dos de Física. 
b) o menor número possível de professores de 
Química é igual a 3. 
c) o número de professores de Química será no 
máximo 21. 
d) o número de professores de Química será 
maior do que o de Matemática, se o de Quí-
mica for em quantidade maior ou igual a 17.
 2. (UFSJ) Considere o seguinte sistema de 
equações lineares, nas incógnitas x, y e z:
Sobre seu conjunto solução, é CORRETO afir-
mar que ele:
a) possui infinitas soluções quando
 det ≠ 0.
b) possui uma única solução quando
 det = 0.
c) possui infinitas soluções quando
 det = 0.
d) não possui solução quando 
 det ≠ 0.
 3. (ITA) Considere o sistema de equações 
, com a, b, c, d, p e q reais, 
abcd ≠ 0, a + b = m e d = nc. Sabe-se que o 
sistema é indeterminado. O valor de p + q é:
 11. (Cefet-MG) Analise o esquema seguinte.
 
Se os pratos da balança estão equilibrados, 
então a soma dos pesos dos objetos , 
e , em kg, é: 
a) menor que 1. 
b) maior que 2,5. 
c) maior que 1 e menor que 1,5. 
d) maior que 1,5 e menor que 2. 
e) maior que 2 e menor que 2,5. 
 12. (UERN) Pedro e André possuem, juntos, 20 
cartões colecionáveis. Em uma disputa en-
tre ambos, em que fizeram apostas com seus 
cartões, Pedro quadriplicou seu número de 
cartões, enquanto André ficou com apenas 
2/3 do número de cartões que possuía ini-
cialmente. Dessa forma, o número de cartões 
que Pedro ganhou na disputa foi: 
a) 6. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 14. 
 13. (UECE) Em relação ao sistema 
 { x + y + z = 0
 
 
 x – my + z = 0 
mx – y – z = 0
 } 
pode-se afirmar corretamente que :
a) o sistema admite solução não nula apenas 
quando m = –1. 
b) para qualquer valor de m a solução nula 
(x = 0, y = 0, z = 0) é a única solução do 
sistema. 
c) o sistema admite solução não nula quando 
m = 2 ou m = –2.
d) não temos dados suficientes para concluir 
que o sistema tem solução não nula. 
75
a) m. 
b) m __ n . 
c) m2 − n2. 
d) mn.
e) m + n.
 4. (Fatec) Sobre o sistema linear, nas incógni-
tas x, y e z,
em que k e m são constantes reais, pode-se 
afirmar que: 
a) não admite solução se k = 4. 
b) admite infinitas soluções se k = m = 3. 
c) admite infinitas soluções se k = 3 e m = 5. 
d) admite solução única se k = 3 e m é qualquer 
real. 
e) admite solução única se k ≠ 5 e m = 3. 
 5. (Mackenzie) Um teste de matemática tem 
questões valendo 1 ponto, 2 pontos e 3 pon-
tos. Se um estudante obteve 55 pontos em 
30 questões desse teste e acertou 5 questões 
de 2 pontos a mais do que o número de ques-
tões de 1 ponto que ele acertou, o número de 
questões de 3 pontos, respondidas correta-
mente por ele, foi: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 6. (PUC-RS) O sistema 
 { 2x – y = 3
 –x + 2y = 4 } 
pode ser apresentado como: 
a) 
−     
=     −     
2 1 x 3
1 2 y 4
 
b) 
−     
=     −     
1 2 x 3
2 1 y 4
 
c) 
−     
=     −     
1 2 x 3
1 2 y 4
 
d) −     
=     −     
2 1 x 3
1 2 y 4
 
e) 
−     
=     −     
2 1 x 3
1 2 y 4
 
E.O. dissErtAtivO
 1. (UFMG) DETERMINE os valores de a e b para 
que o sistema
a) tenha solução única.
b) tenha infinitas soluções.
c) não tenha soluções.
 2 (UFTM) Seja o sistema linear nas variáveis 
x, y e z:
a) Determine os valores do parâmetro m para 
que o sistema tenha apenas a solução nula.
b) Resolva o sistema para m = –1.
 3. (UEM) Considere o seguinte sistema linear:
em que a e b são coeficientes reais.
A respeito desse sistema e de seus conheci-
mentos sobre o assunto, assinale o que for 
correto.
01) Se a tripla (1, 2, 3) é uma solução do sistema 
linear, então o sistema é possível e indeter-
minado. 
02) Se a = b = 0, o sistema linear é impossível. 
04) Existem a, b reais, tais que a tripla (1, 0, 1) 
é uma solução do sistema linear. 
08) Se a = 2 e b = –1, o sistema linear é impos-
sível. 
16) Se y = z e b = 0, o sistema linear é possível 
para qualquer valor de a. 
 4. (UFMG) Considere o seguinte sistema linear 
nas incógnitas x e y 
Observando-se que o coeficiente de y na se-
gunda equação é um parâmetro a:
a) DETERMINE para quais valores de a o sistema 
tem solução.
b) DETERMINE as soluções x e y em função do 
parâmetro a, caso o sistema tenha solução.
c) DETERMINE todos os valores de a para os 
quais o sistema tenha como solução núme-
ros inteiros x e y. 
76
 5. (UFPE) Sobre o sistema de equações lineares 
apresentado abaixo, analise as proposições a 
seguir, sendo a um parâmetro real.
( ) Se a = 2, então o sistema admite infinitas 
soluções. 
( ) O sistema sempre admite solução. 
( ) Quando o sistema admite solução, temos que 
x = 1.
( ) Se a ≠ 2, então o sistema admite uma única 
solução. 
( ) Se a = 1, então o sistema admite a solução 
(1, 2, –1). 
 6. (UEPG) Considerando o sistema de equações, 
, assinale o que for correto. 
01) Se p = 0 e q ≠ 0, o sistema não possui solução.
02) O sistema possui solução quaisquer que se-
jam p e q. 
04) O sistema possui solução única, se p ≠ 2q.
08) Se p = q = 0, o sistema é impossível.
16) O sistema possui infinitas soluções se 
det ≠ 0.
E.O. EnEm
 1. (Enem) Na aferição de um novo semáforo, os 
tempos são ajustados de modo que, em cada 
ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a 
luz amarela permaneça acesa por 5 segun-
dos, e o tempo em que a luz verde perma-
neça acesa igual a 2 __ 3 do tempo em que a luz 
vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, 
em cada ciclo, durante X segundos e cada ci-
clo dura Y segundos.
Qual a expressão que representa a relação 
entre X e Y?
a) 5X – 3Y + 15 = 0.
b) 5X – 2Y + 10 = 0.
c) 3X – 3Y + 15 = 0.
d) 3X – 2Y + 15 = 0.
e) 3X – 2Y + 10 = 0.
 2. (Enem) Uma companhia de seguros levantou 
dados sobre os carros de determinada cida-
de e constatou que são roubados,em média, 
150 carros por ano.
O número de carros roubados da marca X é o 
dobro do número de carros roubados da mar-
ca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por 
cerca de 60% dos carros roubados.
O número esperado de carros roubados da 
marca Y é:
a) 20.
b) 30.
c) 40.
d) 50.
e) 60.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
 1. (UERJ) Uma família comprou água mineral 
em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao 
todo, foram comprados 94 L de água, com 
o custo total de R$65,00. Veja na tabela os 
preços da água por embalagem:
Volume da embalagem (L) Preço (R$)
20 10,00
10 6,00
2 3,00
Nessa compra, o número de embalagens de 
10 L corresponde ao dobro do número de 
embalagens de 20 L, e a quantidade de em-
balagens de 2 L corresponde a n.
O valor de n é um divisor de: 
a) 32.
b) 65.
c) 77.
d) 81.
 2. (UERJ) Um conjunto de 100 copos descar-
táveis, dispostos em um suporte, será usado 
em uma festa.
Considere, agora, as seguintes informações:
 § sempre se tenta retirar apenas 1 copo de 
cada vez desse suporte;
 § quando se tenta retirar 1 copo, e exata-
mente 2 saem juntos, 1 deles é desper-
diçado;
 § quando se tenta retirar 1 copo, e exata-
mente 3 saem juntos, 2 deles são desper-
diçados;
 § quando se tenta retirar 1 copo, nunca 
saem 4 ou mais de 4 juntos;
 § foram retirados todos os copos desse su-
porte, havendo desperdício de 35% deles.
77
 § a razão entre o número de vezes em que 
foram retirados exatamente 2 copos jun-
tos e o número de vezes em que foram 
retirados exatamente 3 juntos foi de 3 __ 2 .
O número de vezes em que apenas 1 copo foi 
retirado do suporte é igual a: 
a) 30.
b) 35.
c) 40.
d) 45.
 3. (UERJ) Um comerciante deseja totalizar a 
quantia de R$ 500,00 utilizando cédulas de 
um, cinco e dez reais, num total de 92 cédu-
las, de modo que as quantidades de cédulas 
de um e de dez reais sejam iguais.
Neste caso, a quantidade de cédulas de cin-
co reais de que o comerciante precisará será 
igual a:
a) 12.
b) 28.
c) 40.
d) 92.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
 1. (UERJ) A ilustração abaixo mostra seis car-
tões numerados organizados em três linhas. 
Em cada linha, os números estão dispostos 
em ordem crescente, da esquerda para a di-
reita. Em cada cartão, está registrado um 
número exatamente igual à diferença posi-
tiva dos números registrados nos dois car-
tões que estão imediatamente abaixo dele. 
Por exemplo, os cartões 1 e Z estão imedia-
tamente abaixo do cartão X.
 
Determine os valores de X, Y e Z. 
 2. (UERJ) Ao final de um campeonato de fute-
bol, foram premiados todos os jogadores que 
marcaram 13, 14 ou 15 gols cada um. O nú-
mero total de gols realizados pelos premia-
dos foi igual a 125 e, desses atletas, apenas 
cinco marcaram mais de 13 gols.
Calcule o número de atletas que fizeram 15 
gols.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unicamp) Considere o sistema linear nas 
variáveis reais x, y, z e w. 
 { x – y = 1,
 
 
 y + z = 2, 
w – z = 3.
 } 
Logo, a soma x + y + z + w é igual a: 
a) –2. 
b) 0. 
c) 6. 
d) 8. 
 2. (Fuvest) Em uma festa com n pessoas, em 
um dado instante, 31 mulheres se retiraram 
e restaram convidados na razão de 2 homens 
para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 
homens se retiraram e restaram, a seguir, 
convidados na razão de 3 mulheres para cada 
homem. O número n de pessoas presentes 
inicialmente na festa era igual a: 
a) 100. 
b) 105. 
c) 115. 
d) 130. 
e) 135. 
 3. (Unicamp) Considere o sistema linear nas 
variáveis x, y e z , onde m 
é um número real. Sejam a < b < c números 
inteiros consecutivos tais que (x, y, z) = (a, 
b, c) é uma solução desse sistema. O valor de 
m é igual a:
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 0.
 4. (Fuvest 2016) Uma dieta de emagrecimento 
atribui a cada alimento um certo número de 
pontos, que equivale ao valor calórico do ali-
mento ao ser ingerido. Assim, por exemplo, 
as combinações abaixo somam, cada uma, 
85 pontos:
 § 4 colheres de arroz + 2 colheres de azeite 
+ 1 fatia de queijo branco.
 § 1 colher de arroz + 1 bife + 2 fatias de 
queijo branco.
 § 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + 
2 fatias de queijo branco.
 § 4 colheres de arroz + 1 bife.
78
Note e adote:
1 colher 
de arroz
1 colher 
de azeite
1 
bife
Massa de alimento (g) 20 5 100
% de umidade + ma-
cronutriente 
minoritário + mi-
cronutrientes
75 0 60
% de macronutriente 
majoritário 25 100 40
São macronutrientes as proteínas, os carboidratos e os lipídeos.
Com base nas informações fornecidas, e na 
composição nutricional dos alimentos, con-
sidere as seguintes afirmações:
I. A pontuação de um bife de 100 g é 45.
II. O macronutriente presente em maior 
quantidade no arroz é o carboidrato.
III. Para uma mesma massa de lipídeo de 
origem vegetal e de carboidrato, a ra-
zão número de pontos do lípideo 
_____________________________número 
de ponto do carboidrato é 1,5.
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) I e II, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
 5. (Unesp) Uma coleção de artrópodes é for-
mada por 36 exemplares, todos eles íntegros 
e que somam, no total da coleção, 113 pa-
res de patas articuladas. Na coleção não há 
exemplares das classes às quais pertencem o 
caranguejo, a centopeia e o piolho-de-cobra.
Sobre essa coleção, é correto dizer que é com-
posta por exemplares das classes Insecta e 
a) Arachnida, com maior número de exempla-
res da classe Arachnida.
b) Diplopoda, com maior número de exempla-
res da classe Diplopoda.
c) Chilopoda, com igual número de exemplares 
de cada uma dessas classes.
d) Arachnida, com maior número de exempla-
res da classe Insecta.
e) Chilopoda, com maior número de exemplares 
da classe Chilopoda.
 6. (Fuvest) No sistema linear 
ax y 1
y z 1 ,
x z m
− =
 + =
 + =
, nas 
variáveis x, y e z, a e m são constantes reais. 
É correto afirmar:
a) No caso em que a = 1, o sistema tem solução 
se, e somente se, m = 2.
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam 
os valores de a e de m.
c) No caso em que m = 2, o sistema tem solução 
se, e somente se, a = 1.
d) O sistema só tem solução se a = m = 1.
e) O sistema não tem solução, quaisquer que 
sejam os valores de a e de m.
 7. (Unesp) Em uma floricultura, os preços dos 
buquês de flores se diferenciam pelo tipo 
e pela quantidade de flores usadas em sua 
montagem. Quatro desses buquês estão re-
presentados na figura a seguir, sendo que 
três deles estão com os respectivos preços.
 
De acordo com a representação, nessa flori-
cultura, o buquê 4, sem preço indicado, custa 
a) R$ 15,30.
b) R$ 16,20.
c) R$ 14,80.
d) R$ 17,00.
e) R$ 15,50.
 8. (Unicamp) As companhias aéreas costumam 
estabelecer um limite de peso para a baga-
gem de cada passageiro, cobrando uma taxa 
por quilograma de excesso de peso. Quando 
dois passageiros compartilham a bagagem, 
seus limites são considerados em conjun-
to. Em um determinado voo, tanto um casal 
como um senhor que viajava sozinho trans-
portaram 60 kg de bagagem e foram obriga-
dos a pagar pelo excesso de peso. O valor que 
o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o 
valor pago pelo casal.
Para determinar o peso excedente das baga-
gens do casal (x) e do senhor que viajava 
sozinho (y), bem como o limite de peso que 
um passageiro pode transportar sem pagar 
qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguin-
te sistema linear: 
a) 
 x 2z 60
 y z 60
3,5x y 0
+ =
 + =
 − =
b) 
 x z 60
 y 2z 60
3,5x y 0
+ =
 + =
 − =
c) 
 x 2z 60
 y z 60
3,5x y 0
+ =
 + =
 + =
d) 
 x z 60
 y 2z 60
3,5x y 0
+ =
 + =
 + =
79
 9. (Unicamp) Recentemente, um órgão governa-
mental de pesquisa divulgou que, entre 2006 
e 2009, cerca de 5,2 milhões de brasileiros sa-
íram da condição de indigência. Nesse mesmo 
período, 8,2 milhões de brasileiros deixaram 
a condição de pobreza. Observe que a faixa de 
pobreza inclui os indigentes.
O gráfico a seguir mostra os percentuais da 
populaçãobrasileira enquadrados nessas 
duas categorias, em 2006 e 2009.
 
Após determinar a população brasileira em 
2006 e em 2009, resolvendo um sistema li-
near, verifica-se que:
a) o número de brasileiros indigentes passou de 
19,0 milhões, em 2006, para 13,3 milhões, 
em 2009.
b) 12,9 milhões de brasileiros eram indigentes 
em 2009.
c) 18,5 milhões de brasileiros eram indigentes 
em 2006.
d) entre 2006 e 2009, o total de brasileiros in-
cluídos nas faixas de pobreza e de indigência 
passou de 36% para 28% da população.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest) João entrou na lanchonete BOG e 
pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 
2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao 
lado, algumas pessoas pediram 8 hambúr-
gueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gas-
tando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de 
um hambúrguer, mais o de um suco de laran-
ja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, 
calcule o preço de cada um desses itens. 
 2. (Fuvest) Em uma transformação química, há 
conservação de massa e dos elementos quí-
micos envolvidos, o que pode ser expresso 
em termos dos coeficientes e índices nas 
equações químicas. 
a) Escreva um sistema linear que represente as 
relações entre os coeficientes x, y, z e w na 
equação química
 x C8H18 + y O2 ∫ z CO2 + w H2O
b) Encontre todas as soluções do sistema em 
que x, y, z e w são inteiros positivos.
 3. (Unicamp) Considere a matriz 
onde a, b e c são números reais.
a) Encontre os valores de a, b e c de modo que 
AT = –A.
b) Dados a = 1 e b = –1, para que os valores 
de c e d o sistema linear tem 
infinitas soluções?
 4. (Fuvest) Considere o sistema de equações 
nas variáveis x e y, dado por:
Desse modo:
a) Resolva o sistema para m = 1.
b) Determine todos os valores de m para os 
quais o sistema possui infinitas soluções.
c) Determine todos os valores de m para os 
quais o sistema admite uma solução da for-
ma (x, y) = (a, 1), sendo a um número irra-
cional.
 5. (Unicamp 2017) A figura abaixo exibe três 
círculos no plano, tangentes dois a dois, com 
centros em A, B e C e raios de comprimentos 
a, b e c respectivamente.
 
a) Determine os valores de a, b e c, sabendo 
que a distância entre A e B é de 5 cm, a 
distância entre A e C é de 6 cm e a distância 
entre B e C é de 9 cm.
b) Para a = 2 cm e b = 3 cm, determine o valor 
de c > b de modo que o triângulo de vértices 
em A, B e C seja retângulo.
80
 6. (Unicamp 2017) Sabendo que m é um núme-
ro real, considere o sistema linear nas variá-
veis x, y e z:
mx 2z 4,
x y z 3,
2x mz 4.
+ =
 − + =
 + =
a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sis-
tema. Determine os valores de m para os 
quais a soma dos quadrados dos elementos 
da matriz A é igual à soma dos elementos da 
matriz A2 = A · A.
b) Para m = 2, encontre a solução do sistema 
linear para a qual o produto xyz é mínimo.
 7. (Fuvest 2016) As constantes A, B, C e D são 
tais que a igualdade
 1 ___________________ 
(x2 + 2x + 2) (x2 + 4)
 = Ax + B __________ 
x2 + 2x + 2
 + Dx + C ______ 
x2 + 4
 
é válida para x ∈ ℜ.
a) Deduza, da igualdade acima, um sistema li-
near com quatro equações, satisfeito pelas 
constantes A, B, C e D.
b) Resolva esse sistema e encontre os valores 
dessas constantes.
 8. (Fuvest) Em uma transformação química, há 
conservação de massa e dos elementos quí-
micos envolvidos, o que pode ser expresso 
em termos dos coeficientes e índices nas 
equações químicas.
a) Escreva um sistema linear que represente as 
relações entre os coeficientes x, y, z e w na 
equação química xC8H18 + yO2 → zCO2 + wH2O
b) Encontre todas as soluções do sistema em 
que x, y, z e w são inteiros positivos.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. A 3. B 4. D 5. A
6. F V F F F 7. B 8. D 9. D 10. E
11. B 12. B 13. B
E.O. Fixação
1. D 2. D 3. A 4. D 5. E
6. E 7. E 8. B 9. B 10. C
11. E 12. A 13. A
E.O. Complementar
1. C 2. C 3. D 4. B 5. E
6. A
E.O. Dissertativo
 1. 
a) (SPD) à a ≠ 2 __ 5 .
b) (SPI) à a = 2 __ 5 e b = 0.
c) (SI) à a = 2 __ 5 e b ≠ 0.
 2. 
a) m [ R* –{–1}.
b) S = {(0, a, a), a [ R}.
 3. 01 + 04 + 08 = 13.
 4. 
a) a ≠ 9.
b) y = 3 _____ 9 – a 
 x = 2a – 9 __________ 
2 · (a – 9)
 .
c) a = 18n – 3 _______ 2n , com n [ R*.
 5. F – F – V – V – V. 
 6. 04 + 08 = 12.
E.O. Enem
1. B 2. B
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. C 2. C 3. A
81
E.O. UERJ
Exame Discursivo
 1. De acordo com as informações, obtemos
Y X 4 X Z 1
Z 1 X Y Z 3
15 Z Y Y 15 Z
X 5
Y 9.
Z 6
− = = − 
 − = = + 
 − = = − 
=
 =
 =


 2. O número de atletas que fizeram 15 gols é 
igual a 3.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. D 2. D 3. A 4. E 5. D
6. A 7. A 8. A 9. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. hambúrguer: R$ 4,00
suco de laranja: R$ 2,50
cocada: R$ 3,50.
 2. 
a) .
b) S = {(2a, 25a, 16a, 18a) para a [ R}.
 3. 
a) a = 0, b = 2 e c = –1.
b) c = 0 e d = –4.
 4. 
a) S = {(a, – 2a); a [ R}.
b) m = 1 ou m = 
(–1 + dXX 5 )
 __________ 2 ou m = 
(–1 – dXX 5 )
 _________ 2 .
c) m = 
(–1 + dXX 5 )
 _________ 2 ou m = 
(–1 – √
__
 5 )
 _________ 2 .
 5. 
a) c = 5 cm.
b) c = 10 cm.
 6. 
a) m = 0.
b) (1, - 1,1).
 7. 
a) 4B + 2C = 1.
b) B = 3 ___ 10 .
 8. 
a) .
b) S = {(2a, 25a, 16a, 18a) para a ∈ℜ.
FUVEST
Geometria analítica é cobrada sempre com matérias intradisciplinares como matrizes, determi-
nantes, geometria plana e gráficos.
UNESP
 A Vunesp aborda todos os temas da geometria analítica, como cônicas, circunferências, intersec-
ções de curvas, cálculo de áreas de triângulos com questões bem distribuídas, tanto na primeira 
como na segunda fase. 
UNICAMP
Exigidos regularmente na segunda fase, cones e esferas são cobrados com representações grá-
ficas e questões com elevado grau de dificuldade. Em geometria analítica, é pedido ao vestibu-
lando um amplo domínio das fórmulas e relações de distâncias, de áreas, de perpendicularidades 
e de paralelismos.
UNIFESP
Geometria analítica é cobrada com maior frequência. Equações de reta, intradisciplinaridade com 
números complexos e áreas de figuras são quesitos com os quais o candidato deve se preparar.
ENEM/UFMG/UFRJ
 Geometria analítica é frequentemente cobrada com auxílio de gráficos no eixo cartesiano pela 
banca do Enem. A dificuldade geralmente reside nos enunciados extensos e cálculos trabalhosos, 
pois a teoria exigida é simples, tal como distância de pontos e equações de retas. Uma leitura 
bem atenta e minuciosa, nesse caso, é recomendada ao candidato.
UERJ
Questões de geometria analítica são apresentadas com situações-problema de elevado grau de 
dificuldade, exigindo do candidato domínio das fórmulas, interpretação dos coeficientes angula-
res, cálculos de áreas e distâncias de pontos e de ponto a retas e relações com circunferências.
FA
CU
LDADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de GEOMETRIA ANALÍTICA nos principais vestibulares.
45 46
M
MATEMÁTICA
T
Distância de ponto à reta,
ângulos e áreas
Competências
2, 3 e 5
Habilidades
6, 7, 8, 9, 11, 12, 14,
19, 20, 21, 22 e 23
45 46
M
MATEMÁTICA
T
Distância de ponto à reta,
ângulos e áreas
Competências
2, 3 e 5
Habilidades
6, 7, 8, 9, 11, 12, 14,
19, 20, 21, 22 e 23
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
87
 6. (Udesc) A prefeitura de uma cidade plane-
ja construir um terminal rodoviário em um 
ponto estratégico da cidade. Para isso será 
necessário construir duas novas estradas, 
uma ligando o novo terminal ao aeroporto 
e outra à principal rodovia de acesso à cida-
de. Sabe-se que o aeroporto está localizado 8 
km a oeste e 6 km ao sul do novo terminal, 
enquanto que em um trecho sem curvas da 
rodovia são conhecidos dois pontos de refe-
rência A e B. O ponto A dista 2 km a leste e 
14 km ao norte do terminal a ser construído, 
enquanto o ponto B está localizado 8 km a 
leste e 4 km ao sul do mesmo terminal. Nes-
sas condições, a quantidade mínima x em 
km de estradas a ser construída pertence ao 
intervalo: 
a) 9,5 < x < 10,5. 
b) 16,5 < x < 17,5. 
c) 15,5 < x < 16,5. 
d) 30 < x < 31. 
e) 31 < x < 32. 
 7. (Insper) No plano cartesiano da figura, fei-
to fora de escala, o eixo x representa uma 
estrada já existente, os pontos A(8, 2) e 
B(3, 6) representam duas cidades e a reta r, 
de inclinação 45°, representa uma estrada 
que será construída.
Para que as distâncias da cidade A e da cida-
de B até a nova estrada sejam iguais, o ponto 
C, onde a nova estrada intercepta a existen-
te, deverá ter coordenadas: 
a) ( 1 __ 2 , 0 ) .
b) (1,0).
c) ( 3 __ 2 , 0 ) .
d) (2, 0).
e) ( 5 __ 2 , 0 ) .
E.O. AprEndizAgEm
 1. (UFC) Considere a reta r cuja equação é 
y = 3x. Se P0 é o ponto de r mais próximo 
do ponto Q(3, 3) e d é a distância de P0 a Q, 
então d dXXX 10 é igual a: 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 2. (Cesgranrio) A área do triângulo, cujos vér-
tices são (1, 2), (3, 4) e (4, –1), é igual a: 
a) 6. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
e) 12. 
 3. (UFG) Para medir a área de uma fazenda de 
forma triangular, um agrimensor, utilizan-
do um sistema de localização por satélite, 
encontrou como vértices desse triângulo os 
pontos A(2, 1), B(3, 5) e C(7, 4) do plano 
cartesiano, com as medidas em km. A área 
dessa fazenda, em km2, é de: 
a) 17 ___ 2 .
b) 17.
c) 2 dXXX 17 .
d) 4 dXXX 17 .
e) 
dXXX 17 ____ 2 .
 4. (UFPI) A medida do ângulo agudo formado 
pelas retas 3x + y – 10 = 0 e –2x + y – 15 = 0 
é: 
a) 15°. 
b) 30°. 
c) 45°. 
d) 60°. 
e) 75°. 
 5. (FGV-RJ) A distância entre duas retas para-
lelas é o comprimento do segmento de per-
pendicular às retas que tem uma extremida-
de em uma reta e a outra extremidade na 
outra reta. No plano cartesiano, a distância 
entre as retas de equações 3x + 4 y = 0 e 
3x + 4y + 10 = 0 é:
a) 0,5.
b) 1.
c) 1,5.
d) 2.
e) 2,5. 
88
 8. (Ufrgs) Um círculo com centro C = (2,–5) 
tangencia a reta de equação x – 2y – 7 = 0. 
O valor numérico da área da região limitada 
pelo círculo é:
a) 4p.
b) 5p.
c) 6p.
d) 7p.
e) 8p.
 9. (PUC-SP) Sejam A, B, C, D vértices consecuti-
vos de um quadrado tais que A = (1; 3) e B e 
D pertencem à reta de equação x – y – 4 = 0. 
A área desse quadrado, em unidades de su-
perfície, é igual a: 
a) 36 dXX 2 .
b) 36.
c) 32 dXX 2 .
d) 32.
e) 24 dXX 2 .
 10. (UEL) 
A distância do centro C da circunferência l 
à reta r é: 
a) 
dXX 2 ___ 2 .
b) dXX 2 .
c) 2 dXX 2 .
d) 3 dXX 2 .
e) 4 dXX 2 .
E.O. FixAçãO
 1. (Fatec) As retas r e s interceptam o eixo das 
abcissas nos pontos A e B e são concorrentes 
no ponto P.
Se suas equações são y = 3x + 1 e y = –2x + 4, 
então a área do triângulo ABP é: 
a) 7 ___ 10 .
b) 7 __ 3 .
c) 27 ___ 10 .
d) 49 ___ 15 .
e) 28 ___ 5 .
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
Arquimedes, candidato a um dos cursos da 
Faculdade de Engenharia, visitou a PUC-RS 
para colher informações. Uma das constata-
ções que fez foi a de que existe grande proxi-
midade entre Engenharia e Matemática. 
 2. (PUC-RS) Em uma aula de Geometria Analí-
tica, o professor salientava a importância do 
estudo de triângulos em Engenharia, e pro-
pôs a seguinte questão:
O triângulo determinado pelos pontos 
A(0,0), B(5,4) e C(3,8) do plano cartesiano 
tem área igual a:
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 14. 
e) 28. 
 3. (Mackenzie) Na figura, a área do triângulo 
assinalado é 6. Então a distância entre as re-
tas paralelas r e s é:
a) 2.
b) 3 __ 2 .
c) 6 __ 5 .
d) 7 __ 5 .
e) 8 __ 5 .
 4. (UEPB) As retas r e s de equações cartesia-
nas 3x – 4y – 8 = 0 e 4y – 3x – 12 = 0 res-
pectivamente, são tangentes a um círculo C. 
O perímetro de C em cm é: 
a) 4p.
b) 2p.
c) 8p.
d) 4p.
e) 16p.
89
 5. (UEL) Dois dos pontos A = (2, –1), B = (2, –3), 
C = (1, 4), D = (4, –3) estão numa das bisse-
trizes das retas 3y – 4x – 3 = 0 e 4y – 3x – 4 = 0. 
Nessas condições, a equação dessa bissetriz é: 
a) y + x – 1 = 0. 
b) y + 7x – 11 = 0. 
c) y - x – 1 = 0. 
d) x = 2. 
e) y + x – 5 = 0. 
 6. (Mackenzie) Considere os triângulos, nosquais um dos vértices é sempre o ponto (0, 
2) e os outros dois pertencem à reta r, como 
mostra a figura. Para x = 1, 2, 3, ..., n, a 
soma das áreas dos n triângulos é:
a) n
2
 __ 2 .
b) 3n.
c) 6n.
d) 
( n dXX 3 ) _____ 2 .
e) 
 [ n(n + 1) ] 
 _________ 2 .
 7. (UFMG) Sejam A e B dois pontos da reta de 
equação y = 2x + 2, que distam duas unida-
des da origem.
Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é: 
a) 5 __ 8 . 
b) – 8 __ 5 
c) – 5 __ 8 . 
d) 8 __ 5 . 
 8. (IFSP) Considere duas retas, r e s, passando 
pelo ponto (3; 1) e equidistantes da origem 
do plano cartesiano.
Se a equação da reta r é y = 1, então a equa-
ção da reta s é: 
a) x + 3y + 2 = 0. 
b) 3x + y + 2 = 0. 
c) 3x – y – 2 = 0. 
d) 3x – 4y – 5 = 0. 
e) 3x – 4y + 1 = 0. 
 9. (UEL) Considere os pontos distintos A, B, C e 
D do plano cartesiano. Sabendo que A = (2, 3), 
B = (5, 7) e os pontos C e D pertencem ao 
eixo y de modo que as áreas dos triângulos 
DABC e DABD sejam iguais a 47 ___ 2 u2, onde u 
é a unidade de medida usada no sistema. A 
distância d entre os pontos C e D é: 
a) d = 2 __ 3 u.
b) d = 30 u. 
c) d = 94 ___ 3 u. 
d) d = –10 u. 
e) d = 47 ___ 5 u. 
 10. (ITA) Considere o paralelogramo ABCD onde 
A=(0, 0), B=(–1, 2) e C=(–3, –4). Os ângulos 
internos distintos e o vértice D deste parale-
logramo são, respectivamente: 
a) p __ 4 , 3p ___ 4 e D = (–2, –5).
b) p __ 3 , 2p ___ 3 e D = (–1, –5).
c) p __ 3 , 2p ___ 3 e D = (–2, –6).
d) p __ 4 , 3p ___ 4 e D = (–2, –6).
e) p __ 3 , 2p ___ 3 e D = (–2, –5).
E.O. COmplEmEntAr
 1. (UECE) Seja (r) a reta que passa pelos pontos 
P1 (–1, 0) e P2 (0, 3). Considere M (n, q) um 
ponto de (r). Se a distância do ponto O (0, 0) 
ao ponto M é 3 ____ 
 dXXX 10 
 cm, então q − n é igual a: 
a) 4 __ 5 .
b) 1.
c) 6 __ 5 .
d) 7 __ 5 .
 2. (FGV) Dados os pontos A(0, 0), B(5, 0), C(8, 
5) e D(11, 8) no plano cartesiano ortogonal, 
P é um ponto do 1º quadrante tal que as áre-
as dos triângulos APB e CPD são, respectiva-
mente, iguais a 25 ___ 2 e 6. Em tais condições, o 
produto da abscissa pela ordenada de P pode 
ser igual a: 
a) 18. 
b) 20. 
c) 21. 
d) 24. 
e) 25. 
90
E.O. dissErtAtivO
 1. (UFMG) Considere as retas r, s e t de equa-
ções, respectivamente:
y = 2x – 4, y = –x + 11 e y = x + 7 _____ 5 .
a) Trace, no plano coordenado abaixo, os gráfi-
cos dessas três retas.
b) Calcule as coordenadas dos pontos de inter-
seção A = r > s, B = r > t e C = s > t.
c) Determine a área do triângulo ABC. 
 2. (UFC) Dada a reta r : y = 2x do plano carte-
siano xy, determine a equação da reta s, a 
qual é paralela à r, e está, de r, a uma dis-
tância igual a 1 e não intercepta o quarto 
quadrante do plano cartesiano. 
 3. (UEL) Um pássaro sobrevoa uma rampa con-
forme mostra a figura. A ave faz seu voo em 
linha reta e paralela à calçada.
a) Sabendo-se que a rampa forma um ângulo 
de 135º com a calçada, conforme mostra a 
figura, e que a distância do muro de apoio 
até o pé da rampa é de 3 metros, calcule o 
comprimento da rampa.
b) Determine a menor distância entre o pássaro 
e a rampa no instante em que o pássaro se 
encontra a 5 metros do muro e a 6 metros da 
calçada em que se apoia a rampa. Apresente os 
cálculos realizados na resolução de cada item. 
 3. (Epcar (Afa)) Sejam a e b dois números re-
ais positivos.
As retas r e s se interceptam no ponto (a, b)
Se ( a __ 2 , 0 ) [ r e ( 0, b __ 2 ) [ s então uma equação 
para a reta t, que passa por (0, 0) e tem a 
tangente do ângulo agudo formado entre r e 
s como coeficiente angular, é: 
a) 3abx + (2a2 – b2) y = 0. 
b) 3bx – b (a2 + b2) y = 0. 
c) 3ax – a (a2 + b2) y = 0. 
d) 3abx – 2 (a2 + b2) y = 0. 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 
N: Conjunto dos números naturais;
R: Conjunto dos números reais;
R+: Conjunto dos números reais não negativos;
i: unidade imaginária; i2 = –1;
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do 
conjunto A;
n(A): número de elementos do conjunto fi-
nito A;
 
 AB : segmento de reta unindo os pontos A e 
B;
arg z: argumento do número complexo z;
[a, b] = {x [ R : a ≤ x ≤ b}
A/B = {x : x [ A e x Ó B}
AC: complementar do conjunto A;n
k = 0
 akx
k = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anx
n, n [ N
Observação: os sistemas de coordenadas con-
siderados são cartesianos retangulares. 
 4. (ITA) Dados os pontos A = (0, 0), B = (2, 0) 
e C = (1, 1), o lugar geométrico dos pontos 
que se encontram a uma distância d = 2 da 
bissetriz interna, por A, do triângulo ABC é 
um par de retas definidas por: 
a) r1,2 : dXX 2 y – x ± 2 dXXXXXX 4 + dXX 2 = 0.
b) r1,2 : 
 dXX 2 ___ 2 y – x ± 2 dXXXXXXX 10 + dXX 2 .
c) r1,2 : 2y – x ± 2 dXXXXXXX 10+ dXX 2 = 0.
d) r1,2 : ( dXX 2 + 1 ) y – x ± dXXXXXXX 2 + 4 dXX 2 = 0.
e) r1,2 : ( dXX 2 + 1 ) y – x ± 2 √
_______
 4 + 2 √
__
 2 = 0.
 5. (UEL) Considere, no plano cartesiano, todos 
os pontos que distam 2 unidades da reta de 
equação x – y – 3 = 0. Esses pontos perten-
cem todos: 
a) às retas de equações -x + y + 5 = 0 ou 
–x + y + 1 = 0.
b) ao 1º ou 4º quadrantes.
c) às retas de equações –x + y + 3 – √
__
 2 = 0 
ou –x + y + 3 + √
__
 2 = 0.
d) à circunferência de equação x² + y² – 9 = 0.
e) às retas de equações –x – y – 3 __ 2 = 0 ou 
–x – y + 3 __ 2 = 0.
91
de três mesas. Suponha que os centros des-
sas mesas sejam representados pelos pontos 
A, B e C de coordenadas (5,4), (3,7) e (1,2), 
respectivamente, tomando como origem o 
canto da sala. Nessas condições,
a) esboce a figura que representa a disposição 
das mesas na sala em questão.
b) quais as distâncias que cada mesa mantém 
entre si, em metros? 
c) qual a área do espaço compreendido entre as 
mesas?
 10. (PUC-RJ 2016) Seja a função real h(x) = 1 - x2. 
a) Calcule a área do triângulo de vértices (-1, 
h(-1)), (0, h(0)) e (1, h(1)). Justifique sua 
resposta.
b) Calcule a área do triângulo de vértices 
(0, h(0)), [ ( 1 __ 2 ) , h ( 1 __ 2 ) ] e (1, h(1)). Justifique 
sua resposta.
c) Calcule a área do polígono convexo de vér-
tices (-1, h(-1)), [ ( - 3 __ 4 ) , h ( - 3 __ 4 ) ] , [ ( 1 __ 2 ) ,h ( - 1 __ 2 ) ] 
 [ ( - 1 __ 4 ) , h ( - 1 __ 4 ) ] (0, h(0)), [ ( 1 __ 4 ) ,h ( 1 __ 4 ) ] , 
 [ ( 1 __ 2 ) ,h ( 1 __ 2 ) ] , [ ( 3 __ 4 ) ,4 ( 3 __ 4 ) ] e (1,h(1)). Justifi-
que sua resposta. 
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
 1. (UERJ) A figura abaixo representa a super-
fície plana de uma mesa retangular BFGH na 
qual estão apoiados os seguintes instrumen-
tos para desenho geométrico, ambos de es-
pessuras desprezíveis:
 § um transferidor com a forma de um se-
micírculo de centro O e diâmetro 
 AB ;
 § um esquadro CDE, com a forma de um tri-
ângulo retângulo isósceles.
Considere as informações abaixo:
 
 ED está contido em 
 BF ;
 
 OA está contido em 
 BH ;
 
 AB = 10 cm;
 
 BD = 13 cm.
Calcule a medida, em centímetros, do menor 
segmento que liga a borda do transferidor à 
borda do esquadro.
 4. (Ufrrj) No gráfico a seguir, o ponto P é equi-
distante da origem e da reta r.
Determine as coordenadas de P. 
 5. (Ufrrj) Multiplicando as coordenadas dos vér-
tices A(0, 0), B(2, 0) e C(4, 3) de um triângu-
lo ABC por uma constante K > 1, obtemos um 
outro triângulo de vértices A1, B1 e C1. 
Encontre a área do triângulo A1 B1 C1 em fun-
ção da constante K. 
 6. (UFF) Determine as coordenadas dos pontos 
da reta de equação y = 3x + 4 que distam 
quatro unidades da origem. 
 7. (FGV) Na figura, 
 AC e 
 BD são diagonais do 
quadrado ABCD de lado x, M e N são pontos 
médios de 
 AB e 
 BC , respectivamente.
a) Calcule a área da região sombreada na figu-
ra, em função de x.
b) Calcule o perímetro do quadrilátero PQRS, 
em função de x. 
 8. (PUC-RJ 2016) Sejam os pontos A = (0,0) e 
B = (3,4).
a) Qual é a distância entre A e B?
b) Sabemos que a área do triânguloABC é igual 
a 4 e que o vértice C pertence à reta de equa-
ção x + y = 2. Determine o ponto C.
 9. (UEMA) Buscando incentivar a inserção das 
pessoas com deficiência no mercado de traba-
lho, uma filial dos Correios da cidade de São 
Luís contratou um cadeirante como encarre-
gado da separação de correspondências. Para 
executar este trabalho, o novo funcionário 
foi designado para uma sala que dispunha 
92
 2. (UERJ)
No gráfico acima, estão indicados os pontos 
A(1, 0), B(2, 1) e C(0, 1), que são fixos, e os 
pontos P e Q, que se movem simultaneamen-
te. O ponto P se desloca no segmento de reta 
de C até A, enquanto o ponto Q se desloca no 
segmento de A até B. Nesses deslocamentos, 
a cada instante, a abscissa de P é igual à or-
denada de Q.
Determine a medida da maior área que o tri-
ângulo PAQ pode assumir.
 3. (UERJ 2016) Na região conhecida como Tri-
ângulo das Bermudas, localizada no oceano 
Atlântico, é possível formar um triângulo 
com um vértice sobre a cidade porto-rique-
nha de San Juan, outro sobre a cidade es-
tadunidense de Miami e o terceiro sobre as 
ilhas Bermudas.
A figura abaixo mostra um sistema de co-
ordenadas cartesianas ortogonais, com os 
vértices do triângulo devidamente represen-
tados. A escala utilizada é 1:17.000.000, e 
cada unidade nos eixos cartesianos equivale 
ao comprimento de 1 cm.
 
Calcule, em km2, a área do Triângulo das Ber-
mudas, conforme a representação plana da 
figura.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unicamp) Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no 
plano xy.
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quan-
tas retas do plano passam por P e formam 
um ângulo de 45° com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), de-
termine as equações das retas mencionadas 
no item (a). 
 2. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, Oxy, a 
circunferência C tem centro no ponto P = 
(2,1) e a reta t é tangente a C no ponto Q = 
(-1,5).
a) Determine o raio da circunferência C.
b) Encontre uma equação para a reta t.
c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o 
ponto de interseção de t com o eixo 0x.
 3. (Unicamp) Considere no plano cartesiano os 
pontos A = (-1,1) e B = (2,2).
a) Encontre a equação que representa o lugar 
geométrico dos centros dos círculos que pas-
sam pelos pontos A e B.
b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo 
das ordenadas. Determine C de modo que o 
triângulo ABC tenha área igual a 8.
93
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. A 3. A 4. C 5. D
6. C 7. C 8. B 9. B 10. B
E.O. Fixação
1. D 2. D 3. C 4. A 5. A
6. B 7. B 8. D 9. C 10. D
E.O. Complementar
1. C 2. B 3. D 4. E 5. C
E.O. Dissertativo
 1. 
a) 
b) A(5, 6), B(3, 2), C(8, 3).
c) 9 u.a.
 2. s : y = 2x + dXX 5 .
 3. 
a) 3 dXX 2 m.
b) Calculando a distância do ponto 
P(pássaro) à reta r:
d = 
 5 + 6 – 3  _________ 
 dXXXXXXX 12 + 12 
 = 8 ___ 
 dXX 2 
 = 4 dXX 2 m
 4. P = ( 4 __ 3 , 0 ) 
 5. 3k2 u.a.
 6. (0,4) e ( – 12 ___ 5 , – 16 ___ 5 ) 
 7. 
a) 2x2
 ___ 5 .
b) 
(5 √
__
 2 + 3 √
__
 5 )x
 _____________ 15 u.c.
 8. 
a) d = 5.
b) C(2,0) ou C (-2/7, 16/7).
 9. 
a) Considere a figura.
 
b) d(A,B) = √
___
 13 m
 d(A,C) = 2 √
__
 5 m
 d(B,C) = √
___
 29 m
c) AABC = 8 m2
 10.
a) 1 u.a.
b) 1 __ 8 u.a.
c) 21 ___ 16 u.a.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
 1. ( 4 dXX 2 – 5 ) cm.
 2. Amáx = 1 __ 4 .
 3. S = 28900 · 38,5 = 1.112.650 km2.
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
a) 2 retas.
b) 2x – y + 1 = 0 e x + 2y – 12 = 0.
 2. 
a) r = 5.
b) 3x - 4y + 23 = 0.
c) S = 125 ____ 6 .
 3. 
a) 3x + y - 3 = 0.
b) a = 20 ___ 3 ou a = - 4.
Porém, sendo a < 0, só pode ser a = -4.
47 50
M
MATEMÁTICA
T
Circunferência: equações
reduzida e normal
Competências
2, 3 e 5
Habilidades
6, 7, 8, 9, 11, 12, 14,
19, 20, 21, 22 e 23
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
97
E.O. AprEndizAgEm
 1. (UFSM) A massa utilizada para fazer pastéis 
folheados, depois de esticada, é recortada em 
círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo 
que a equação matemáticada circunferência 
que limita o círculo é x2 + y2 – 4x – 6y – 36 = 0 
e adotando π = 3,14, o diâmetro de cada dis-
co e a área da massa utilizada para confec-
cionar cada pastel são, respectivamente:
a) 7 e 113,04. 
b) 7 e 153,86. 
c) 12 e 113,04. 
d) 14 e 113,04. 
e) 14 e 153,86. 
 2. (Ufrgs) A área de um quadrado inscrito na 
circunferência de equação x2 – 2y + y2 = 0 é:
a) 1 __ 2 .
b) 1.
c) dXX 2 .
d) 2.
e) 2 dXX 2 .
 3. A figura mostra uma criança brincando em 
um balanço no parque. A corda que pren-
de o assento do balanço ao topo do suporte 
mede 2 metros. A criança toma cuidado para 
não sofrer um acidente, então se balança de 
modo que a corda não chegue a alcançar a 
posição horizontal.
Na figura, considere o plano cartesiano que 
contém a trajetória do assento do balanço, 
no qual a origem está localizada no topo do 
suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao 
chão do parque, e o eixo Y tem orientação 
positiva para cima.
A curva determinada pela trajetória do assen-
to do balanço é parte do gráfico da função: 
a) f(x) = – dXXXXXX 2 – x2 .
b) f(x) = dXXXXXX 2 – x2 .
c) f(x) = x2 – 2.
d) f(x) = – dXXXXXX 4 – x2 .
e) f(x) = dXXXXXX 4 – x2 .
 4. (UFSM) Uma antena de telefone celular 
rural cobre uma região circular de área igual 
a 900 p km2. Essa antena está localizada no 
centro da região circular e sua posição no 
sistema cartesiano, com medidas em quilô-
metros, é o ponto (0, 10).
Assim, a equação da circunferência que deli-
mita a região circular é: 
a) x2 + y2 – 20y – 800 = 0.
b) x2 + y2 – 20y + 70 = 0.
c) x2 + y2 – 20x – 800 = 0.
d) x2 + y2 – 20y – 70 = 0.
e) x2 + y2 = 900.
 5. (UFT) Considere as equações das circunfe-
rências 
C1: x
2 – 2x + y2 – 2y = 0
C2: x
2 – 4x + y2 – 4y = 0
cujos gráficos estão representados abaixo:
A área da região hachurada é:
a) 3p unidades de área. 
b) p unidades de área. 
c) 5p unidades de área. 
d) 6p unidades de área. 
e) p __ 2 unidades de área. 
 6. (UFPR) Considerando a circunferência C de 
equação (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5, avalie as se-
guintes afirmativas:
1. O ponto P(4, 2) pertence a C.
2. O raio de C é 5.
3. A reta y = 4 __ 3 x passa pelo centro de C. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
c) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
 7. (UFSJ) No plano cartesiano, a reta de equa-
ção 2y = x + 2 intercepta o eixo y no ponto C.
A equação da circunferência que tem centro 
em C e raio 2 é:
a) x2 + y2 – 2x – 3 = 0.
b) x2 + y2 – 2y – 3 = 0.
c) x2 + y2 + 2y – 3 = 0.
d) x2 + y2 + 2x – 3 = 0.
98
 8. (PUC-RS) A distância entre o centro da cir-
cunferência de equação (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9 
e a reta de equação 2 y + 5 x = 0 é: 
a) –5. 
b) 0. 
c) 2. 
d) 5. 
e) 9. 
 9. (Ufrgs) Um círculo tangencia a reta r, como 
na figura abaixo.
O centro do círculo é o ponto (7, 2) e a reta 
r é definida pela equação 3x – 4y + 12 = 0.
A equação do círculo é:
a) (x – 7)2 + (y – 2)2 = 25.
b) (x + 7)2 + (y + 2)2 = 25.
c) (x – 7)2 + (y + 2)2 = 36.
d) (x – 7)2 + (y – 2)2 = 36.
e) (x + 7)2 + (y – 2)2 = 36.
 10. (Ufrgs) Na figura abaixo, o círculo está ins-
crito no triângulo equilátero.
Se a equação do círculo é x2 + y2 = 2y, então, 
o lado do triângulo mede: 
a) 2.
b) 2 dXX 3 .
c) 3.
d) 4.
e) 4 dXX 3 .
 11. (Cefet-MG) Considere as circunferências
l1: (x + 2)2 + (y + 1)2 = 5 e
l2: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 9.
A área do triângulo, cujos vértices são os 
centros dessas circunferências, e o ponto 
P ( 0, 5 __ 2 ) , em unidades de área, é igual a:
a) 13 ___ 2 .
b) 11 ___ 2 .
c) 9 __ 4 .
d) 7 __ 4 .
e) 5 __ 4 .
 12. (FGV) No plano cartesiano, uma circunferên-
cia tem centro C(5, 3) e tangencia a reta de 
equação 3x + 4y – 12 = 0.
A equação dessa circunferência é:
a) x2 + y2 – 10x – 6y + 25 = 0.
b) x2 + y2 – 10x – 6y + 36 = 0.
c) x2 + y2 – 10x – 6y + 49 = 0.
d) x2 + y2 + 10x + 6y + 16 = 0.
e) x2 + y2 + 10x + 6y + 9 = 0.
 13. No desenho abaixo, que não está em escala, a 
reta y = 3x é perpendicular à reta que passa 
pelo ponto (2, 0). O ponto de interseção des-
sas retas é A. A equação da circunferência com 
centro em A e tangente ao eixo x é dada por:
.
a) ( x – 1 __ 5 ) 2 + ( y – 3 __ 5 ) 2 = 3 __ 5 . 
b) ( x – 3 __ 5 ) 2 + ( y – 1 __ 5 ) 2 = 1 __ 5 .
c) ( x – 1 __ 5 ) 2 + ( y – 3 __ 5 ) 2 = 9 ___ 25 . 
d) ( x – 3 __ 5 ) 2 + ( y – 1 __ 5 ) 2 = 1 ___ 25 .
 14. (Cesgranrio) As circunferências x2 + y2 + 8x 
+ 6y = 0 e x2 + y2 – 16x – 12y = 0 são: 
a) exteriores. 
b) secantes. 
c) tangentes internamente. 
d) tangentes externamente. 
e) concêntricas. 
 15. (UECE) No plano, com o sistema de coorde-
nadas cartesianas ortogonal usual, a reta 
tangente à circunferência x2 + y2 = 1 no pon-
to ( 1 __ 2 , √
__
 3 ___ 2 ) intercepta o eixo y no ponto: 
a) ( 0, 2 ___ 
 dXX 3 
 ) .
b) (0, dXX 3 ).
c) (0, 2 dXX 3 ).
d) ( 0, 1 ___ 
 dXX 3 
 ) .
99
 16. (UEPB) Uma circunferência e uma reta têm 
equações cartesianas x2 + y2 = r2 e x + y = 4 
respectivamente, e são tangentes em um 
ponto P do sistema de eixos cartesianos xy. A 
área em cm2 da região entre os dois gráficos 
e os semieixos positivos é:
a) 2(4 – p). 
b) 4(2 – p).
c) 2(p – 4).
d) 4(2 + p).
e) 2(4 + p).
 17. O segmento AB é diâmetro da circunferência 
de equação x2 + y2 = 10y. Se A é o ponto (3, 
1), então B é o ponto: 
a) (–3, 9). 
b) (3, 9). 
c) (0, 10). 
d) (–3, 1). 
e) (1, 3). 
 18. (ESPM) As coordenadas do centro e a medida 
do raio da circunferência de equação x2 – 4x 
+ (y + 1)2 = 0 são, respectivamente: 
a) (–2, 1) e 4.
b) (2, – 1) e 2.
c) (4, – 1) e 2.
d) (–1, 2) e dXX 2 .
e) (2, 2) e dXX 2 .
 19. (FGV-RJ) No plano cartesiano, os pontos A 
(1, 2) e B (–2, –2) são extremidades de um 
diâmetro de uma circunferência; essa cir-
cunferência intercepta o eixo das abscissas 
em dois pontos. Um deles é: 
a) (4, 0).
b) ( 7 __ 2 , 0 ) .
c) (3, 0).
d) ( 5 __ 2 , 0 ) .
e) (2,0).
 20. (Mackenzie) Vitória-régia é uma planta aquá-
tica típica da região amazônica. Suas folhas 
são grandes e têm formato circular, com uma 
capacidade notável de flutuação, graças aos 
compartimentos de ar em sua face inferior.
Em um belo dia, um sapo estava sobre uma 
folha de vitória-régia, cuja borda obedece à 
equação x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0, aprecian-
do a paisagem ao seu redor. Percebendo que 
a folha que flutuava à sua frente era maior 
e mais bonita, resolveu pular para essa fo-
lha, cuja borda é descrita pela equação 
x2 + y2 – 2x – 3y + 1 = 0.
A distância linear mínima que o sapo deve per-
correr em um salto para não cair na água é: 
a) 2 ( dXX 2 – 1). 
b) 2. 
c) 2 dXX 2 . 
d) dXX 2 – 2.
e) dXX 5 .
E.O. FixAçãO
 1. O ponto da circunferência x2 + y2 + 2x + 6y + 
1 = 0 que tem ordenada máxima é: 
a) (0, –6) 
b) (–1, –3)
c) (–1, 0)
d) (2, 3)
e) (2, –3)
 2. (UFTM) Sabe-se que M, ponto médio do seg-
mento AB, é centro de uma circunferência 
que passa pela origem (0, 0). Sendo A(–1, 4) 
e B(5, 2), conclui-se que o raio dessa circun-
ferência é igual a: 
a) 4 dXX 5 .
b) 3 dXX 5 .
c) 3 dXX 2 .
d) dXXX 17 .
e) dXXX 13 .
 3. (Ufrgs) Observe, abaixo, o círculo represen-
tado no sistema de coordenadas cartesianas. 
Uma das alternativas a seguir apresenta a 
equação desse círculo. Essa alternativa é: 
a) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 10. 
b) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 13. 
c) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 13. 
d) (x – 2)2 + y2 = 10. 
e) x2 + (y + 3)2 = 13. 
 4. (Cefet-MG) Em um plano, uma reta que pas-
sa pelo ponto P(8,10) tangencia a circunfe-
rência x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 no ponto A. 
A medida do segmento PA, em unidades de 
comprimento, é: 
a) dXXX 12 .
b) dXXX 34 .
c) dXXX 45 .
d) dXXX 69 .
e) dXXX 85 .
 5. (UPF) Sabendo que o ponto P(4,1) é o pon-
to médio de uma corda AB da circunferência 
x2 – 6x + y2 + 4 =0, então a equação da reta 
que passa por A e B é dada por:
a) y = –x + 5.
b) y = x + 5.
c) y = –x + 3.
d) y = x – 3.
e) y = – 1 __ 2 x + 5.
100
 6. (FGV) No plano cartesiano, a reta tangente 
à circunferência de equação x2 + y2 = 8, no 
ponto P de coordenadas (2, 2), intercepta a 
reta de equação y = 2x no ponto: 
a) ( 7 ___ 16 , 14 ___ 6 ) .
b) ( 6 __ 5 , 12 ___ 5 ) .
c) ( 5 __ 4 , 10 ___ 4 ) .
d) ( 4 __ 3 , 8 __ 3 ) .
e) ( 3 __ 2 , 3 ) .
 7. (Ufrgs) Os pontos de interseção do círculo de 
equação (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 com os eixos 
coordenados são vértices de um triângulo. A 
área desse triângulo é: 
a) 22.
b) 24.
c) 25.
d) 26.
e) 28.
 8. (ITA) Seja C uma circunferência tangente si-
multaneamente às retas r: 3x + 4y – 4 = 0 e 
s: 3x + 4y – 19 = 0. A área do círculo deter-
minado por C é igual a: 
a) 5p ___ 7 .
b) 4p ___ 5 .
c) 3p ___ 2 .
d) 8p ___ 3 .
e) 9p ___ 4 .
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
No plano cartesiano, considere o triân-
gulo ABC, sendo A = (0,0), B = (3 dXX 3 , 3) e 
C = (0,6).
 9. (Insper) Uma equação da circunferência cir-
cunscrita ao triângulo ABC é:
a) (x – dXX 3 )2 + (y – 3)2 = 12.
b) (x – dXX 3 )2 + (y – 3)2 = 9.
c) ( x – 3 dXX 3 ____ 2 ) 2 + (y – 3)2 = 27 ___ 4 .
d) (x – 3)2 + (y – dXX 3 )2 = 9.
e) (x – 3)2 + ( y – 3 dXX 3 ____ 2 ) 2 = 27 ___ 4 .
 10. Considere a circunferência (l) x2 + y2 – 4x = 0 
e o ponto P (1, dXX 3 ). Se a reta t é tangente 
a l no ponto P, então a abscissa do ponto 
de intersecção de t com o eixo horizontal do 
sistema de coordenadas cartesianas é: 
a) –2.
b) 2 + dXX 3 .
c) 3.
d) 3 + dXX 3 .
e) 3 + 3 dXX 3 .
 11. (UPE) Em um sistema de coordenadas car-
tesianas ortogonais, os pontos A (–2, 4), 
B (6, –2) e C (-2,-2) são os vértices do triân-
gulo ABC. Qual a equação da circunferência 
circunscrita a esse triângulo?
a) x2 – 12x + y2 – 16y + 100 = 0.
b) x2 – 4x + y2 – 2y – 95 = 0.
c) x2 – 4x + y2 – 4y – 92 = 0.
d) x2 – 4x + y2 – 4y – 17 = 0.
e) x2 – 4x + y2 – 2y – 20 = 0.
 12. (UFPB) O Governo pretende construir arma-
zéns com o intuito de estocar parte da pro-
dução da safra de grãos, de modo que não 
haja desperdícios por situações adversas. A 
seção transversal da cobertura de um desses 
armazéns tem a forma de um arco de circun-
ferência, apoiado em colunas de sustentação 
que estão sobre uma viga. O comprimento 
dessa viga é de 24 m e o comprimento da 
maior coluna de sustentação é de 8 m, con-
forme figura a seguir.
Considerando um sistema cartesiano de ei-
xos ortogonais xy, com origem no ponto C, 
de modo que o semieixo x positivo esteja na 
direção CD e o semieixo y positivo apontan-
do para cima, é correto afirmar que a equa-
ção da circunferência que contém o arco CD 
da seção transversal do telhado, com relação 
ao sistema de eixos xy, é dada por: 
a) (x −12)2 + (y + 5)2 = 169. 
b) (x −12)2 + (y − 7)2 = 193. 
c) (x −12)2 + (y − 6)2 = 180. 
d) (x −12)2 + (y + 6)2 = 180. 
e) (x −12)2 + (y − 5)2 = 169. 
 13. (FGV) No plano cartesiano, a circunferência 
que passa pelos pontos A(2, 0), B(0, 3) e 
pela origem O(0, 0) intercepta a reta y = x 
em dois pontos. Um deles tem coordenadas 
cuja soma é:
a) 5.
b) 4,5.
c) 4. 
d) 3,5.
e) 3.
 14. (Acafe) O comprimento da corda determina-
da pela reta x – y = 2 sobre a circunferência, 
cujo centro é (2, 3) e o raio mede 3 cm é 
igual a: 
a) 4 dXX 2 cm.
b) 5 dXX 3 cm. 
c) 4 cm.
d) 3 dXX 2 cm.
101
 15. (Insper) Os pontos A (–1, –3) e B (6, –2) 
pertencem a uma circunferência do plano 
cartesiano, cujo centro é o ponto C. Se a 
área do triângulo ABC é 25 ___ 2 , então a medida 
do raio dessa circunferência é igual a: 
a) 5. 
b) 5 dXX 2 .
c) 5 dXX 3 . 
d) 10. 
e) 10 dXX 2 .
 16. (ESPM) Seja C a região do plano cartesiano de-
finida pela desigualdade (x – 2)2 + (y – 2)2 ≤ 4 
e seja P a região definida por x ≥ 2 ou y ≥ 2. A 
área da região intersecção entre C e P é: 
a) p. 
b) 2p. 
c) 3p. 
d) 4p. 
e) 5p.
 17. (Mackenzie) Os pontos (x, y) do plano tais 
que x2 + y2 ≤ 36, com x + y ≥ 6 definem uma 
região de área: 
a) 6(p – 2). 
b) 9 – p.
c) 9(p – 2).
d) 6 – p.
e) 18(p – 2).
 18. (Unemat) Dada uma circunferência de 
centro C (3; 1) e raio r = 5 e, seja o ponto 
P (0; a), com a ∈ R, é correto afirmar:
a) Se –3 < a < 5, então P é externo à circunfe-
rência. 
b) Se –3 < a < 5, então P é pertence à circunfe-
rência. 
c) Se a = 5 ou a = –3, então P é interno à cir-
cunferência. 
d) Se a < –3 ou a > 5, então P é externo à cir-
cunferência. 
e) Se a < –3 ou a > 5, então P é interno à cir-
cunferência.
 19. (Unigranrio - Medicina 2017) Se (p,q) são 
as coordenadas cartesianas do centro da cir-
cunferência x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0, então é 
correto afirmar que 5p - 3q é igual a:
a) 7.
b) 10.
c) 13.
d) 16.
e) 19
 20. (Upe-ssa 3 2017) Em qual das alternativas a 
seguir, o ponto P pertence à circunferência b?
a) P(5,6); b (x - 3)2 + (y - 6)2 = 4.
b) P(1,2); b (x - 2)2 + (y - 2)2 = 5.
c) P(1,5); b x2 + y2 - 8x + 6 = 0.
d) P(1,3); b: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 16.
e) P(3,1); b x2 + y2 - 4x + 2y + 2 = 0.
E.O. COmplEmEntAr
 1. (Udesc) Considerando que as retas 
y = – x + 4, y = – x, y = x – 2 e y = x + 2 tan-
genciam a circunferência C, é correto afir-
mar que a equação de C é:
a) (x + 1)2 + (y + 1)2 = dXX 2 . 
b) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 2. 
c) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1.
d) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 2. 
e) (x – 1)2 + (y - 1)2 = dXX 2 . 
 2. (FGV) No plano cartesiano, há duas retas pa-
ralelas à reta de equação 3x + 4y + 60 = 0 e 
que tangenciam a circunferência x2 + y2 = 4.
Uma delas intercepta o eixo y no ponto de 
ordenada:
a) 2,9. 
b) 2,8. 
c) 2,7. 
d) 2,6. 
e) 2,5. 
 3. A equação x2 + Ay2 + Bxy + 2x – 4y + C = 0 
representa uma circunferência, cujo diâme-
tro mede 10 unidades de distância. Esta afir-
mação nos permite determinar o valor dos 
coeficientes reais A, B e C e também garantir 
que a expressão A – B – C é igual a: 
a) –20. 
b) –10. 
c) 11. 
d) 21. 
e) 30. 
 4. (AFA) Considerando a circunferência de 
equação l: x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0, é correto 
afirmar que: 
a) l é concêntrica com a: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1.
b) o ponto O(0, 0) é exterior a l. 
c) a reta r: x – y + 3 = 0 é tangente a l. 
d) l é simétrica da circunferência b: (x – 1)2 + 
(y + 2)2 = 9, em relação ao ponto O (0, 0).
 5. (ESPM) A circunferência de equação 
(x + 1)2 + (y – 1)2 = 1 tangencia os eixos 
coordenados nos pontos A e B. A circunfe-
rência l, de centro C, passa pelo ponto B e 
tangencia o eixo das abscissas no ponto D.
102
Se os pontos A, B e C estão alinhados, po-
demos concluir que a abscissa do centro C é 
igual a: 
a) 2 + dXX 2 .
b) 1 + dXX 2 .
c) 2 dXX 2 – 1.
d) 2 dXX 2 + 1.
e) 2 dXX 2 .
 6. (UECE 2017) Em um plano, munido do 
sistema de coordenadas cartesianas usu-
al, as equações x2 + y2 − 10 √
__
 3 x − 25 = 0 e 
x2 + y2 + 10 √
__
 3 x - 25 = 0 representam circun-
ferências. Cada uma dessas circunferências 
limitam uma área no plano. O comprimento 
da linha que contorna a união das áreas limi-
tadas por cada uma destas circunferências é:
Dados: u.c. ≡ unidade de comprimento:
a) 200p _____ 3 u.c.
b) 80p _____ 3 u.c.
c) 50p ____ 3 u.c.
d) 100p _____ 3 u.c.
 7. (PUC-SP 2017) A circunferência l = x2 + y2 
− 4x − 10y + y + 13 = 0 de centro C, e a reta 
r: x + y − 11 = 0 se interceptam nos pontos 
P e Q A área do triângulo PCQ, em unidades 
de área, é:
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
 8. (Epcar (Afa) 2017) Seja l = 3x2 + 3y2 - 6x - 
12y + k = 0 uma circunferência que no plano 
cartesiano tem intersecção vazia com os ei-
xos coordenados.
Considerando k∈R é correto afirmar que:
a) P ( k __ 3 , k __ 3 ) é interior a l
b) existem apenas dois valores inteiros para k.
c) a reta r : x = k intersecta l.
d) se c é o comprimento de l, então c > 2p 
unidades de comprimento.
 9. (ITA 2017) Considere dois círculos no pri-
meiro quadrante:
 § C1 com centro (x1, y1), raio r1 e área p ___ 16 .
 § C2 com centro(x2, y2), raio r2 e área 144p.
Sabendo que (x1, y1, r1) e (x2, y2, r2) são duas 
progressões geométricas com somas dos ter-
mos iguais a 7 __ 4 e 21, respectivamente, então 
a distância entre os centros de C1 e C2 é igual a:
a) √
____
 123 _____ 2 .
b) √
____
 129 _____ 2 .
c) √
____
 131 _____ 2 .
d) √
____
 135 _____ 2 .
e) √
____
 137 _____ 2 .
 10. (Efomm 2017) Sejam as circunferências 
c1: x
2 + y2 - 16 = 0 e c2: (x - 2)2 + (y + 2)2 = 4. Con-
sidere A e B os pontos de intersecção dessas 
circunferências. Determine a distância entre 
A e B.
a) 2 √
__
 7 .
b) √
___
 14 .
c) 2 √
___
 14 .
d) √
__
 7 .
e) √
__
 7 ___ 2 .
E.O. dissErtAtivO
 1. (UFJF) No plano cartesiano, considere os 
pontos A (–1, 2) e B (3, 4).
a) Encontre a equação da reta r que passa por A 
e forma com o eixo das abscissas um ângulo 
de 135º, medido do eixo para a reta no sen-
tido anti-horário.
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendi-
cular à reta r. Encontre as coordenadas do 
ponto P, determinado pela intersecção das 
retas r e s.
c) Determine a equação da circunferência que 
possui centro no ponto Q(2, 1) e tangencia 
as retas r e s. 
 2. (UFTM) Na figura, as retas r e s estão repre-
sentadas no plano cartesiano, e P é o ponto 
de intersecção entre elas.
Determine:
a) As equações das retas r e s.
b) A equação e o perímetro da circunferência 
de centro P que tangencia o eixo das orde-
nadas. 
103
 3. (UFPR) Uma reta passando pelo ponto 
P(16, – 3) é tangente ao círculo x2 + y2 = r2 
em um ponto Q. Sabendo que a medida do 
segmento 
 PQ é de 12 unidades, calcule:
a) a distância do ponto P à origem do sistema 
cartesiano; 
b) a medida do raio r da circunferência.
 4. (FGV) Um funcionário do setor de planeja-
mento da Editora Progresso verificou que as 
livrarias dos três clientes mais importantes 
estão localizadas nos pontos A(0, 0) B(1, 7) 
e C(8, 6), sendo que as unidades estão em 
quilômetros.
a) Em que ponto P(x, y) deve ser instalado um 
depósito para que as distâncias do depósito 
às três livrarias sejam iguais?
b) Qual é a área do quadrado inscrito na circun-
ferência que contém os pontos A, B e C?
 5. (UFPR) A figura a seguir mostra uma circun-
ferência tangente ao eixo y, com centro C so-
bre o eixo x e diâmetro de 10 unidades.
a) Sabendo que A = (8, 4) e que r: 3y + x = 20 
é a reta que passa por A e B, calcule a área 
do triângulo CAB.
b) Encontre as coordenadas do ponto D, indica-
do na figura acima, no qual a reta r intercep-
ta a circunferência.
 6. (UFPE) Na ilustração a seguir, temos a circun-
ferência com equação x2 + y2 + 6x + 8y = 75 e 
a reta passando pela origem e pelo centro 
da circunferência. Determine o ponto da cir-
cunferência mais distante da origem e indi-
que esta distância.
 7. (UFPE) Uma circunferência tem centro no 
primeiro quadrante, passa pelos pontos com 
coordenadas (0, 0) e (4, 0) e é tangente, in-
ternamente, à circunferência com equação 
x2 + y2 = 64. Abaixo, estão ilustradas as duas 
circunferências.
Indique o inteiro mais próximo da soma das 
coordenadas do ponto de interseção das duas 
circunferências. 
 8. (UFRJ) Os pontos (–6, 2), (3,–1), e 
( –5, –5) pertencem a uma circunferência.
Determine o raio dessa circunferência. 
 9. (UFJF) Considere a circunferência l: x2 + y2 
– 4x – 6y – 3 = 0 e a reta r: x + y = 0.
a) Determine a equação da reta que passa pelo 
centro da circunferência l e é perpendicular 
à reta r.
b) Determine a equação da circunferência con-
cêntrica à circunferência l e tangente à reta r. 
 10. (UEMA) O proprietário de um lote, visando a 
sua ornamentação, dividiu-o em área circu-
lar, tendo subdividido-o em dois triângulos 
idênticos opostos, inscritos no círculo, cujos 
vértices são A(–14, 9), B(–4, 9) e C(–9, 14), 
sendo AB o diâmetro da circunferência.
Considerando as condições descritas e as 
medidas em metros: 
a) faça a ilustração gráfica desse lote no siste-
ma cartesiano ortogonal do plano. 
b) calcule a equação da circunferência.
c) determine a área correspondente aos triân-
gulos idênticos.
104
E.O. EnEm
 1. (Enem) Considere que os quarteirões de um 
bairro tenham sido desenhados no sistema 
cartesiano, sendo a origem o cruzamento das 
duas ruas mais movimentadas desse bairro. 
Nesse desenho, as ruas têm suas larguras 
desconsideradas e todos os quarteirões são 
quadrados de mesma área e a medida de seu 
lado é a unidade do sistema.
A seguir há uma representação dessa situ-
ação, em que os pontos A, B, C e D repre-
sentam estabelecimentos comerciais desse 
bairro.
 
Suponha que uma rádio comunitária, de fra-
co sinal, garante área de cobertura para todo 
estabelecimento que se encontre num ponto 
cujas coordenadas satisfaçam à inequação: 
x2 + y2 − 2x − 31 ≤ 0.
A fim de avaliar a qualidade do sinal, e pro-
porcionar uma futura melhora, a assistência 
técnica da rádio realizou uma inspeção para 
saber quais estabelecimentos estavam den-
tro da área de cobertura, pois estes conse-
guem ouvir a rádio enquanto os outros não.
Os estabelecimentos que conseguem ouvir a 
rádio são apenas:
a) A e C.
b) B e C.
c) B e D.
d) A, B e C.
e) B, C e D.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
 1. (UERJ) Um objeto de dimensões desprezí-
veis, preso por um fio inextensível, gira no 
sentido anti-horário em torno de um ponto 
O. Esse objeto percorre a trajetória T, cuja 
equação é x2 + y2 = 25. Observe a figura:
Admita que o fio arrebente no instante em 
que o objeto se encontra no ponto P(4, 3). 
A partir desse instante, o objeto segue na 
direção da reta tangente a T no ponto P.
Determine a equação dessa reta. 
 2. (UERJ) Um disco metálico de centro O e di-
âmetro AB = 4 dm, utilizado na fabricação 
de determinada peça, é representado pelo 
seguinte esquema:
PJ
cortes retilíneos
PK



M − ponto médio do raio OB
N − ponto médio do raio AO
P − ponto médio do raio OC
J − intersecção da semirreta PM com a cir-
cunferência
K − intersecção da semirreta PN com a cir-
cunferência
Calcule a distância entre os pontos J e K.
 3. (UERJ 2017) Considere a circunferência C de 
equação x2 + y2 − 8x + 8 = 0, representada 
graficamente a seguir.
 
Determine as equações das retas r e s que 
passam pela origem e são tangentes à cir-
cunferência.
105
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest) No plano cartesiano Oxy, a circun-
ferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de 
abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas 
condições, o raio de C vale: 
a) dXX 5 . 
b) 2 dXX 5 . 
c) 5. 
d) 3 dXX 5 . 
e) 10. 
 2. (Fuvest) São dados, no plano cartesiano, o 
ponto P de coordenadas (3, 6) e a circunfe-
rência C de equação (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1. 
Uma reta t passa por P e é tangente a C em 
um ponto Q. Então, a distância de P a Q é: 
a) dXXX 15 .
b) dXXX 17 .
c) dXXX 18 .
d) dXXX 19 .
e) dXXX 20 . 
 3. (Fuvest) A equação x2 + 2x + y2 + my = n, em 
que m e n são constantes, representa uma 
circunferência no plano cartesiano. Sabe-se 
que a reta y = –x + 1 contém o centro da cir-
cunferência e a intersecta no ponto (–3, 4). 
Os valores de m e n são, respectivamente:
a) –4 e 3. 
b) 4 e 5. 
c) –4 e 2.
d) –2 e 4. 
e) 2 e 3.
 4. (Fuvest) No plano cartesiano, os pontos 
(0, 3) e (–1, 0) pertencem à circunferência 
C. Uma outra circunferência, de centro em 
(–1/2, 4) é tangente a C no ponto (0, 3). 
Então, o raio de C vale:
a) 
dXX 5 ___ 8 .
b) 
dXX 5 ___ 4 .
c) 
dXX 5 ___ 2 .
d) 3 dXX 5 ____ 4 .
e) dXX 5 .
 5. (Fuvest) No plano cartesiano x0y, a reta de 
equação x + y = 2 é tangente à circunferência 
C no ponto (0, 2).
Além disso, o ponto (1, 0) pertence a C. En-
tão, o raio de C é igual a:
a) 3 dXX 2 ____ 2 .
b) 5 dXX 2 ____ 2 .
c) 7 dXX 2 ____ 2 .
d) 9 dXX 2 ____ 2 .
e) 11 dXX 2 _____ 2 .
 6. (Fuvest) Considere, no plano cartesia-
no Oxy, a circunferência C de equação 
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 e sejam P e Q os pon-
tos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, 
respectivamente.Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, 
de base PQ, e com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a: 
a) 2 dXX 2 – 2.
b) 2 dXX 2 – 1.
c) 2 dXX 2 .
d) 2 dXX 2 + 2.
e) 2 dXX 2 + 4.
 7. (Fuvest) A circunferência dada pela equação 
x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos 
coordenados x e y nos pontos A e B, confor-
me a figura.
O segmento 

 MN é paralelo ao segmento 

 AB e 
contém o centro C da circunferência. É correto 
afirmar que a área da região hachurada vale:
 
a) p – 2.
b) p + 2. 
c) p + 4. 
d) p + 6. 
e) p + 8.
 8. (Fuvest 2017) Duas circunferências com 
raios 1 e 2 têm centros no primeiro quadran-
te do plano cartesiano e ambas tangenciam 
os dois eixos coordenados. Essas circunfe-
rências se interceptam em dois pontos dis-
tintos de coordenadas (x1, y1) e (x2, y2).
O valor de (x1, + y1)
2 + (x2 + y2)
2 é igual a:
a) 5 __ 2 .
b) 7 __ 2 .
c) 9 __ 2 .
d) 11 ___ 2 .
e) 13 ___ 2 .
106
 9. (Unicamp 2017) Considere a circunferência 
de equação cartesiana x2 + y2 = x - y. Qual das 
equações a seguir representa uma reta que 
divide essa circunferência em duas partes 
iguais?
a) x + y = − 1.
b) x − y = − 1.
c) x − y = 1.
d) x + y = 1.
 10. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, um cír-
culo de centro P = (a,b) tangencia as retas 
de equações y = x e x = 0. Se P pertence à 
parábola de equação y = x2 e a > 0 a ordenada 
a do ponto P é igual a:
a) 2 + 2 √
__
 2 .
b) 3 + 2 √
__
 2 .
c) 4 + 2 √
__
 2 .
d) 5 + 2 √
__
 2 .
e) 6 + 2 √
__
 2 .
 11. (Unicamp 2016) Considere o círculo de 
equação cartesiana x2 + y2 = ax + by onde a 
e b são números reais não nulos. O número 
de pontos em que esse círculo intercepta os 
eixos coordenados é igual a:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unicamp) Considere a família de retas 
no plano cartesiano descrita pela equação 
(2 – p)x + (2p + 1)y + 8p + 4 = 0, nas vari-
áveis x e y, em que p é um parâmetro real.
a) Determine o valor do parâmetro p para que 
a reta correspondente intercepte perpendi-
cularmente o eixo y. Encontre o ponto de 
interseção neste caso.
b) Considere a reta x + 3y + 12 = 0 dessa família 
para p = 1. Denote por A o seu ponto de inter-
seção com o eixo x e por O a origem do plano 
cartesiano. Exiba a equação da circunferência 
em que o segmento OA é um diâmetro. 
 2. (Unicamp) Suponha um trecho retilíneo de 
estrada, com um posto rodoviário no quilô-
metro zero. Suponha, também, que uma es-
tação da guarda florestal esteja localizada a 
40 km do posto rodoviário, em linha reta, e 
a 24 km de distância da estrada, conforme a 
figura a seguir.
a) Duas antenas de rádio atendem a região. A 
área de cobertura da primeira antena, loca-
lizada na estação da guarda florestal, corres-
ponde a um círculo que tangencia a estrada. 
O alcance da segunda, instalada no posto 
rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto 
da estrada que está mais próximo da estação 
da guarda florestal. Explicite as duas desi-
gualdades que definem as regiões circulares 
cobertas por essas antenas, e esboce essas re-
giões no gráfico abaixo, identificando a área 
coberta simultaneamente pelas duas antenas.
b) Pretende-se substituir as antenas atuais por 
uma única antena, mais potente, a ser insta-
lada em um ponto da estrada, de modo que 
as distâncias dessa antena ao posto rodovi-
ário e à estação da guarda florestal sejam 
iguais. Determine em que quilômetro da es-
trada essa antena deve ser instalada. 
107
 3. (Fuvest) Considere a circunferência l de 
equação cartesiana x2 + y2 – 4y = 0 e a pará-
bola a de equação y = 4 – x2.
a) Determine os pontos pertencentes à interse-
ção de l com a.
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de 
respostas, a circunferência l e a parábola a. 
Indique, no seu desenho, o conjunto dos pon-
tos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, 
as inequações x2 + y2 – 4y ≤ 0 e y ≥ 4 – x2.
 4. (Fuvest) No sistema ortogonal de coordena-
das cartesianas Oxy da figura, estão repre-
sentados a circunferência de centro na ori-
gem e raio 3, bem como o gráfico da função 
 y = 
dXX 8 ___ 
|x|
 .
Nessas condições, determine:
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de in-
tersecção da circunferência com o gráfico da 
função.
b) a área do pentágono OABCD. 
 5. (Fuvest) No plano cartesiano Oxy, a cir-
cunferência C tem centro no ponto 
A = (–5, 1) e é tangente à reta t de equação 
4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o 
ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox.
Assim:
a) determine as coordenadas do ponto P.
b) escreva uma equação para a circunferência C.
c) calcule a área do triangulo APQ. 
 6. (Unifesp) Considere o sistema de inequa-
ções
 { x2 + y2 – 2x ≥ 0
 
(x–1)2 + ( y – √
__
 3 ___ 2 ) 2 ≤ 1 __ 4 
 } 
a) Represente graficamente, em sistema carte-
siano de eixos ortogonais, a solução desse 
sistema de inequações.
b) Calcule a área da superfície que representa a 
solução gráfica do sistema de inequações. 
 7. (Fuvest) São dados, no plano cartesiano 
de origem O, a circunferência de equação 
x2 + y2 = 5, o ponto P = (1, dXX 3 ) e a reta s que 
passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o 
ponto de ordenada positiva em que a reta s 
intercepta a circunferência.
Assim sendo, determine:
a) a reta tangente à circunferência no ponto E.
b) o ponto de encontro das alturas do triângulo 
OPE. 
 8. (Fuvest)
a) As extremidades de um diâmetro de uma cir-
cunferência são (–3, 1) e (5, –5). Determine 
a equação da circunferência.
b) Determine a equação da circunferência que 
passa pelo ponto (9, dXX 3 ) e que é tangente às 
retas y = 0 e y = dXX 3x 
 9. (Unesp 2016) Uma empresa oferece frete 
gratuito para entregas do seu produto em 
um raio de até 25 km do depósito. Para a 
distância que ultrapassar 25 km medida em 
linha reta desde o depósito, a empresa cobra 
R$ 20,00 por quilômetro que ultrapasse os 
25 km iniciais gratuitos. Essa cobrança tam-
bém é feita de forma proporcional em caso 
de frações de quilômetros.
Um consumidor do produto reside 25 km a 
leste do depósito e x km ao sul. Apresente 
uma figura representando a situação descri-
ta e determine o valor máximo de x para que 
esse consumidor tenha direito ao frete gra-
tuito na entrega do produto em sua residên-
cia. Em seguida, determine o custo do frete 
C (em reais), em função de x, para o caso em 
que C(x) ≠ 0.
108
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. D 3. D 4. A 5. D
6. E 7. B 8. B 9. A 10. B
11. A 12. A 13. C 14. D 15. D
16. A 17. A 18. B 19. E 20. A
E.O. Fixação
1. C 2. E 3. C 4. D 5. A
6. D 7. B 8. E 9. A 10. A
11. E 12. A 13. A 14. D 15. A
16. C 17. C 18. D 19. C 20. A
E.O. Complementar
1. D 2. E 3. D 4. B 5. B
6. D 7. C 8. B 9. E 10. B
E.O. Dissertativo
 1. 
a) y = –x + 1.
b) P(0, 1).
c) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 2.
 2. 
a) A equação da reta r é dada por:
 x + y = 6.
 A equação da reta r é dada por:
 x – y = 2.
b) O perímetro mede 2p · 2 = 8p u.c.
 Sua equação é:
 (x – 4)2 + (y – 2)2 = 4.
 3. 
a) dXXXX 265 .
b) 11 u.c.
 4. 
a) (4, 3).
b) 50 km2.
 5. 
a) 30 unidades quadradas.
b) x = 5 e y = 5.
 6. O ponto da circunferência mais distante da 
origem é (–9, –12) e sua distância ao ponto 
de intersecção dos eixos cartesianos vale 15.
 7. 11.
 8. 5.
 9. 
a) x – y = –1.
b) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 ___ 2 .
 10. 
a) Considere a figura.
b) (x + 9)2 + (y – 9)2 = 25.
c) 50 m2.
E.O. Enem
1. D
E.O. UERJ
Exame Discursivo
 1. y = – 4 __ 3 x + 25 ___ 3 .
 2. (1 + dXX 7 ) dm.
 3. Portanto, as equações das retas r e s são, res-
pectivamente, y = x e y = - x.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. C 2. D 3. A 4. E 5. B
6. D 7. B 8. C 9. C 10. B
11. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
a) Reta intercepta o eixo y no ponto (0, –4).
b) (x + 6)2 + y2 = 36.
 2. 
a) Se o posto rodoviário encontra-se na ori-
gem do sistemade coordenadas cartesia-
nas, e a estrada está sobre o eixo das abs-
cissas, temos que o pé da perpendicular 
109
baixada do ponto (a, 24) sobre o eixo das 
abscissas determina um triângulo retân-
gulo com a origem. Aplicando o teorema 
de Pitágoras, podemos calcular a abscissa 
do ponto (a, 0): 
 402 = 242 + a2 ä a = 32.
 Daí, segue que a região de alcance da an-
tena situada na estação da guarda flores-
tal é dada por:
 (x – 32)2 + (y – 24)2 ≤ 242.
 Sabendo que o alcance da antena situa-
da no posto rodoviário atinge, sem ultra-
passar, o ponto da estrada que está mais 
próximo da estação da guarda florestal, 
temos que esse ponto é (32, 0) e, por-
tanto, a região de alcance da segunda an-
tena é dada por x2 + y2 ≤ 322.
b) 25 km.
 3. 
a) (0, 4) ou (± dXX 3 , 1)
b) 
 
 4. 
a) A(2 dXX 2 ; 1), B(1; 2 dXX 2 ), C (–1; 2 dXX 2 ) e 
D(–2 dXX 2 ; 1).
b) 7 + 2 dXX 2 .
 5. 
a) P(–1, –2).
b) (x + 5)2 + (y – 1)2 = 25.
c) 25 ___ 4 u.a. 
 6. 
a) 
b) 6 dXX 3 – p
 ________ 24 u.a.
 7. 
a) x + 2y – 5 = 0.
b) (2 dXX 3 + 1; 0).
 8. 
a) (x – 1)2 + (y + 2) 2 = 25.
b) l1: (x – 6)2 + (y – 2 dXX 3 )2 = 12
 l2: (x – 14)2 + ( y – 14 √
__
 3 _____ 3 ) 2 = 196 ____ 3 .
 9. x > 15 Km.
51 52
M
MATEMÁTICA
T
Secções cônicas: elipse
Competências
2, 3 e 5
Habilidades
6, 7, 8, 9, 11, 12, 14,
19, 20, 21, 22 e 23
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
113
E.O. AprEndizAgEm
 1. (UFPB) A secretaria de infraestrutura de um 
município contratou um arquiteto para fa-
zer o projeto de uma praça. Na figura a se-
guir, está o esboço do projeto proposto pelo 
arquiteto: uma praça em formato retangu-
lar medindo 80 m x 120 m, onde deverá ser 
construído um jardim em forma de elipse na 
parte central.
Estão destacados na figura os segmentos AC 
e BD que são, respectivamente, o eixo maior 
e o menor da elipse, bem como os pontos F1 
e F2, que são os focos da elipse onde deverão 
ser colocados dois postes de iluminação.
Com base nessas informações, conclui-se que 
a distância entre os postes de iluminação 
será, aproximadamente, de: 
a) 68 m.
b) 72 m.
c) 76 m.
d) 80 m.
e) 84 m.
 2. Num estádio de futebol em forma de elipse, 
o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na 
cônica, conforme mostra a figura. Escolhen-
do o sistema de coordenadas cartesianas in-
dicado e tomando o metro como unidade, a 
elipse é descrita pela equação x
2
 ___ 
362 + 
y2
 ___ 
602 = 1. 
Sabe-se também que os focos da elipse estão 
situados em lados do retângulo MNPQ.
Assim, a distância entre as retas MN e PQ é: 
a) 48 m.
b) 68 m.
c) 84 m.
d) 92 m.
e) 96 m
 3. (UFRN) Um arquiteto projetou, para um sa-
lão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de 
gesso em formato de elipse com o eixo maior 
medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, confor-
me ilustra a figura abaixo.
O aplicador do gesso afirmou que saberia de-
senhar a elipse, desde que o arquiteto infor-
masse as posições dos focos. 
Para orientar o aplicador do gesso, o arqui-
teto informou que, na direção do eixo maior, 
a distância entre cada foco e a parede mais 
próxima é de: 
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 6 m.
 4. (Udesc) A área delimitada por uma elip-
se cuja equação é x
2
 __ 
a2 + 
y2
 __ 
b2 = 1 é dada por 
A = abπ. Então, a área da região situada en-
tre as elipses de equações 16x2 + 25y2 = 400 e 
16 x2 + 9y2 = 144 é: 
a) 12 p u.a.
b) 20 p u.a.
c) 8 p u.a.
d) 256 p u.a. 
e) p u.a. 
 5. (FGV) Sendo m o maior valor real que 
x pode assumir na equação analítica 
(x – 2)2 + 4(y + 5)2 = 36 e n o maior valor 
real que y pode assumir nessa mesma equa-
ção, então, m + n é igual a: 
a) 8.
b) 7.
c) 6.
d) 4.
e) 3.
114
 6. Sobre a curva 9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0, 
assinale a alternativa correta. 
a) Seu centro é (–2, 1).
b) A medida do seu eixo maior é 25.
c) A medida do seu eixo menor é 9.
d) A distância focal é 4.
e) Sua excentricidade é 0,8. 
 7. (UEPB) Deseja-se construir uma praça em 
forma de elipse em um terreno retangular de 
dimensões x metros e y metros, com x > y, de 
perímetro 300 m e área 5000 m2, conforme 
nos mostra a figura. 
Estandoprevistas as instalações de duas 
torres de iluminação, uma em cada foco da 
elipse, F1 e F2, local de melhor distribuição e 
aproveitamento das mesmas, concluímos qe 
a distância, em metros, entre as torres é: 
a) 100 3 .
b) 25 3 . 
c) 50 3 .
d) 40 3 . 
e) 30 3 .
 8. (UEL) Existem pessoas que nascem com pro-
blemas de saúde relacionados ao consumo 
de leite de vaca. A pequena Laura, filha do 
Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para 
solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma 
cabra que pasta em um campo retangular 
medindo 20 m de comprimento e 16 m de 
largura. Acontece que as cabras comem tudo 
o que aparece à sua frente, invadindo hortas, 
jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio re-
solveu amarrar a cabra em uma corda presa 
pelas extremidades nos pontos A e B que es-
tão 12 m afastados um do outro. A cabra tem 
uma argola na coleira por onde é passada a 
corda, de tal modo que ela possa deslizar li-
vremente por toda a extensão da corda. Ob-
serve a figura e responda a questão a seguir.
Qual deve ser o comprimento da corda para 
que a cabra possa pastar na maior área pos-
sível, dentro do campo retangular?
a) 10 m.
b) 15 m.
c) 20 m.
d) 25 m.
e) 30 m.
 9. (UEM 2017) Baseado em conhecimentos so-
bre cônicas, assinale o que for correto.
01) Elipse é o lugar geométrico dos pontos 
equidistantes de dois pontos distintos 
fixos chamados focos.
02) A equação 4x2 − 9y2 − 25 = 0 determina 
uma hipérbole de focos no eixo x.
04) Seja r uma reta e P um ponto fora dela, 
ambos no mesmo plano. O lugar geomé-
trico dos pontos equidistantes a r e a P 
será uma parábola.
08) A elipse de focos (−1,0) e (1,0) com seu 
eixo maior de extremidades em (−3,0) e 
(3,0) tem equação x
2
 __ 9 + 
y2
 __ 8 = 1.
16) O eixo maior da elipse x
2
 ___ 49 + 
y2
 ___ 36 = 1. tem 
extremidades (7,0) e (−7,0)
 10. (IFPE 2016) Bira adquiriu uma cabra que 
pasta em um campo retangular. Para delimi-
tar o gramado, ele pretende traçar uma elip-
se inscrita num terreno retangular de 10 m 
por 8 m. Para isso, ele deve utilizar um fio 
esticado preso por duas estacas M e N, con-
forme mostra a figura.
 
Qual deve ser a distância entre as estacas M 
e N?
a) 5.
b) 4.
c) 8.
d) 6.
e) 9.
115
E.O. FixAçãO
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
O vento solar é uma emissão contínua, em 
todas as direções, de partículas carregadas 
que têm origem na coroa solar. As partícu-
las emitidas podem ser elétrons, prótons ou 
neutrinos. A velocidade dessas partículas va-
ria entre 400 km/s e 800 km/s.
Essa emissão contínua gera uma distribuição 
de íons, prótons e elétrons em todo o espaço 
do sistema solar. Esse plasma de partículas 
carregadas é comumente denominado mar 
de prótons, ou mar de elétrons. Ao se apro-
ximarem da Terra, esses íons sofrem altera-
ções em suas trajetórias devido à presença 
do campo magnético terrestre. Na região 
do espaço que circunda a Terra, a densida-
de desse plasma é de aproximadamente 10 
partículas por centímetro cúbico. O bombar-
deamento da atmosfera terrestre pelo vento 
solar tem efeitos profundos, uma vez que as 
partículas e a radiação solar interagem com 
os gases presentes na atmosfera, tais como 
H2, N2, O2, CO2, CO, NO2, N2O, SO2.
Planeta Distância média do Sol, em 106 km
Mercúrio 57,9
Vênus 108
Terra 150
Marte 228
Júpiter 778
Saturno 1.430
Urano 2.870
Netuno 4.500
Plutão 5.900
 1. (UnB) 
A figura acima ilustra a situação em que 
um cometa (C) percorre uma órbita elíptica 
de centro na origem de um sistema de co-
ordenadas cartesianas ortogonais x0y. Nes-
sa órbita elíptica, o Sol (S) aparece em um 
dos focos. Considere que a elipse seja repre-
sentada pela equação x
2
 __ 
a2 + 
y2
 __ 
b2 = 1, em que 
a > b > 0, e tenha excentricidade igual a 
0,96. Nesse caso, se a distância mínima des-
se cometa ao Sol for igual a 0,58 UA (uni-
dade astronômica), em que 1 UA = 150 · 
106 km é a distância média da Terra ao Sol, 
então a distância máxima do cometa ao Sol, 
em milhões de km, será: 
a) inferior a 3.700.
b) superior a 3.700 e inferior a 4.000.
c) superior a 4.000 e inferior a 4.300.
d) superior a 4.300.
 2. (UFT) Considere R o conjunto dos números 
reais e b [ R. Encontre os valores de b, tais 
que no plano cartesiano xy, a reta y = x + b 
intercepta a elipse x
2
 __ 4 + y2 = 1 em um único 
ponto. A soma dos valores de b é: 
a) 0.
b) 2.
c) 2 5 .
d) 5 .
e) –2 5 .
 3. Sobre a circunferência de menor raio pos-
sível que circunscreve a elipse de equação 
x2 + 9y2 – 8x – 54y + 88 = 0, é correto afir-
mar que: 
a) tem raio igual a 1.
b) tangencia o eixo das abscissas.
c) é secante ao eixo das ordenadas.
d) intercepta a reta de equação 4x – y = 0.
 4. (UEL) Em uma praça dispõe-se de uma re-
gião retangular de 20 m de comprimento por 
16 m de largura para construir um jardim. A 
exemplo de outros canteiros, este deverá ter 
a forma elíptica e estar inscrito nessa região 
retangular. Para aguá-lo, serão colocados 
dois aspersores nos pontos que correspon-
dem aos focos da elipse. Qual será a distân-
cia entre os aspersores? 
a) 4 m.
b) 6 m.
c) 8 m.
d) 10 m.
e) 12 m.
 5. (ITA) A distância focal e a excentricidade da 
elipse com centro na origem e que passa pelos 
pontos (1, 0) e (0, –2) são, respectivamente: 
a) 3 e 1 __ 2 .
b) 1 __ 2 e 3 .
c) 3 ___ 2 e 1 __ 2 .
d) 3 e 3 ___ 2 .
e) 2 3 e 3 ___ 2 .
 6. (UFRN) Uma seção cônica é obtida a partir 
da interseção de um cone com um plano. Na 
figura a seguir, temos um exemplo de uma 
seção cônica, denominada Elipse. A figura 
consiste de duas esferas S1 e S2 que tangen-
ciam o cone em duas circunferências C1 e C2 
e tangenciam o plano p nos pontos F1 e F2. 
116
Os pontos P1, P2 e P estão, respectivamente, 
na interseção de uma reta do cone com as 
circunferências e a Elipse.
A soma das distâncias de P aos pontos F1 e F2 
é igual à distância: 
a) entre as duas circunferências.
b) entre P1 e P2.
c) entre os centros das duas esferas.
d) entre F1 e F2.
 7. (IME) Os triângulos ABC e DEF são equilá-
teros com lados iguais a m. A área da figu-
ra FHCG é igual à metade da área da figura 
ABHFG. Determine a equação da elipse de 
centro na origem e eixos formados pelos seg-
mentos FC e GH.
a) 48x2 + 36y2 – 2 m2 = 0.
b) 8x2 + 16y2 – 3 m2 = 0.
c) 16x2 + 48y2 – 3m2 = 0.
d) 8x2 + 24y2 – m2 = 0.
e) 16x2 – 24 y2 – m2 = 0
 8. (Espcex (Aman) 2017) Os valores reais de n 
para os quais a reta (t) y = x + n seja tan-
gente à elipse de equação 2x2 + 3y2 = 6 são 
iguais a:
a) − 5 e 5 .
b) − 3 e 3 .
c) -3 e 3.
d) -2 e 2.
e) -5 e 5.
 9. (Esc. Naval 2017) Seja P(x, y) um ponto da 
elipse x
2
 __ 
a2 + 
y2
 __ 
b2 = 1, de focos F1 e F2 e excentri-
cidade e. Calcule 
 ______
 
›
 PF1 · 
 ______
 
›
 FP2 e assinale a opção 
correta. 
a) ex2 + a(1 + 2e2).
b) e2x − a2(1 + 2).
c) e2x2 + a2(1 − 2e).
d) e2x − a(1 + e2).
e) e2x2 + a2(1 − 2e2).
 10. (Mackenzie 2016) Com relação às equações 
das elipses 25x2 + 16y2 + 150x + 256y − 351 = 
0 e 16x2 + 25y2 − 96x - 200y 144 = 0, pode-
mos afirmar que:
a) as elipses têm centros coincidentes.
b) as elipses têm a mesma distância focal.
c) as elipses têm a mesma excentricidade.
d) as elipses têm focos sobre o eixo das abscissas.
e) o eixo maior de uma delas é o dobro do eixo 
menor da outra.
E.O. COmplEmEntAr
 1. (IME) Seja M um ponto de uma elipse com 
centro O e focos F e F'. A reta r é tangente à 
elipse no ponto M e s é uma reta, que pas-
sa por O, paralela a r. As retas suportes dos 
raios vetores MF e MF' interceptam a reta s 
em H e H', respectivamente. Sabendo que o 
segmento FH mede 2 cm, o comprimento F'H' é: 
a) 0,5 cm.
b) 1,0 cm.
c) 1,5 cm.
d) 2,0 cm.
e) 3,0 cm.
 2. (ITA) Os focos de uma elipse são F1(0, –6) 
e F2(0, 6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), 
x > 0, estão na elipse. A área do triângulo 
com vértices em B, F1 e F2 é igual a: 
a) 22 10 .
b) 18 10 .
c) 15 10 .
d) 12 10 .
e) 6 10 .
 3. (ITA) Considere todos os números z = x + iy 
que têm módulo ( 7 ___ 2 ) eestão na elipse 
x2 + 4y2 = 4. Então, o produto deles é igual a: 
a) 25 ___ 9 .
b) 49 ___ 16 .
c) 81 ___ 25 .
d) 25 ___ 7 .
e) 4.
117
04) Se A e B são pontos da cônica que não são 
colineares com os focos D e E da cônica, os 
triângulos ADE e BDE possuem o mesmo pe-
rímetro.
08) A circunferência centrada na origem e de 
raio 2 tangencia essa cônica.
16) O ponto ( 2 2 , 1 __ 2 ) pertence à cônica. 
 3. (UFRJ) Uma elipse, cuja distância focal 
mede 1 cm, está inscrita em um retângulo 
(de lados paralelos aos eixos principais da 
elipse) de área igual a 2 cm2. Determine as 
medidas dos lados do retângulo. 
 4. (FGV) No livro Teoria Microeconômica, de 
Mario Henrique Simonsen, discute-se um 
caso em que existe uma certa quantidade 
fixa N de mão de obra (trabalhadores) para 
fabricar dois produtos, A e B, cujas quanti-
dades produzidas são x e y, respectivamen-
te. Admite-se no problema que a função de 
produção de x e y seja dada por x = N1 e 
y = 2 · N2 , sendo N1 e N2 a quantidade de 
mão de obra destinada à fabricação de A e B, 
de forma que N1 + N2 + ≤ N. Considerando, 
no problema, que x, y, N1, N2 e N podem ser 
quaisquer números reais não negativos, res-
ponda o que se pede a seguir.
a) Faça um esboço do gráfico do lugar geomé-
trico dos pares (x, y) que atendem às restri-
ções do problema para o caso em que N = 81.
b) Assuma que N = 80, 8 e que x e y estão sub-
metidos à restrição y = x – 2. Determine o 
maior valor possível de N1. 
 5. (UFRJ) Sejam F1 e F2 os pontos do plano 
cartesiano de coordenadas F1 = (– 3 , 0) e 
F2 = ( 3 , 0). Determine as coordenadas dos 
pontos da reta r de equação x – y = 1, cujas 
somas das distâncias a F1 e F2 sejam iguais 
a 4 (isto é: determine as coordenadas dos 
pontos P sobre a reta r que satisfazem 
PF1 + PF2 = 4). 
 6. (ITA) Determine o conjunto dos números 
complexos z, para os quais o número 
W = z +  z + 2 _________________ 
  z – 1  +  z + 1  – 3 
 
pertence ao conjunto dos números reais. In-
terprete (ou identifique) este conjunto geo-
metricamente e faça um esboço do mesmo. 
 7. (ITA) Sabe-se que uma elipse de equação 
 x
2
 __ 
a2 + 
y2
 __ 
b2 = 1 tangencia internamente a circun-
ferência de equação x2 + y2 = 5 e que a reta 
de equação 3x + 2y = 6 é tangente à elipse 
no ponto P. Determine as coordenadas de P. 
 4. (IME) Uma elipse, cujo centro encontra-se na 
origem e cujos eixos são paralelos ao sistema 
de eixos cartesianos, possui comprimento da 
semi distância focal igual a 3 e excentricida-
de igual a 3 ___ 2 . Considere que os pontos A, B, C 
e D representam as interseções da elipse com 
as retas de equações y = x e y = –x. A área do 
quadrilátero ABCD é: 
a) 8.
b) 16.
c) 16 ___ 3 .
d) 16 ___ 5 .
e) 16 ___ 
7
 .
 5. (FGV) No plano cartesiano, a curva de equa-
ções paramétricas x = 2cost e y = 5sent com 
t [ R é: 
a) uma senoide.
b) uma cossenoide.
c) uma hipérbole.
d) uma circunferência.
e) uma elipse.
E.O. dissErtAtivO
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
A questão consiste em 5 (cinco) alternativas, 
das quais algumas são verdadeiras e outras, 
falsas, podendo ocorrer que todas as alterna-
tivas sejam verdadeiras ou que todas sejam 
falsas.
As alternativas verdadeiras devem ser mar-
cadas com (V) e as falsas, com (F). 
 1. (UFAL) Em um sistema de eixos cartesianos 
ortogonais, considere os pontos A(5; 0), B(0; 
3), C(–5; 0) e D(0; –3). 
a) ( ) A equação da reta que contém os pontos 
A e B é 3x + 5y + 15 = 0.
b) ( ) A área do quadrilátero ABCD, em unida-
des de área do sistema, é igual a 60.
c) ( ) A equação da circunferência inscrita no 
quadrilátero ABCD é x2 + y2 = 225 ____ 34 .
d) ( ) A equação da elipse que contém os pon-
tos A, B, C e D é 9x2 + 25y2 = 225.
e) ( ) O ponto P(3; 2) é interior à elipse que 
contém os pontos A, B, C e D, e é exterior ao 
quadrilátero ABCD.
 2. (UEM) Sobre a cônica de equação x2 + 4 y2 = 9, 
assinale o que for correto. 
01) Trata-se de uma elipse.
02) A cônica intercepta o eixo das abscissas em 
(3, 0) e (−3, 0).
118
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
 1. (UERJ) Um holofote situado na posição 
(–5, 0) ilumina uma região elíptica de con-
torno x2 + 4y2 = 5, projetando sua sombra 
numa parede representada pela reta x = 3, 
conforme ilustra a figura a seguir.
Considerando o metro a unidade dos eixos, o 
comprimento da sombra projetada é de: 
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
 1. (UERJ) Uma porta colonial é formada por 
um retângulo de 100 cm × 200 cm e uma 
semielipse.
Observe as figuras: 
Na semielipse o eixo maior mede 100 cm e o 
semieixo menor, 30 cm.
Calcule a medida da corda PQ, paralela ao 
eixo maior, que representa a largura da por-
ta a 224 cm de altura. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unesp) Suponha que um planeta P descreva 
uma órbita elíptica em torno de uma estrela 
O, de modo que, considerando um sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a 
estrela O a origem do sistema, a órbita possa 
ser descrita aproximadamente pela equação
 ( x2
 ____ 100 + 
y2
 ___ 25 ) = 1, com x e y em milhões de qui-
lômetros. A figura representa a estrela O, a 
órbita descrita pelo planeta e sua posição no 
instante em que o ângulo P 
 ̂ 
 O A mede π __ 4 . 
A distância, em milhões de km, do planeta 
P à estrela O, no instante representado na 
figura, é: 
a) 2 5 .
b) 2 10 .
c) 5 2 .
d) 10 2 
e) 5 10 .
 2. (Unesp) A figura mostra a representação de 
algumas das ruas de nossas cidades. Essas 
ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, 
separadas por uma pista de 7 m de largura. 
Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a 
rua uma área iluminada na forma de uma 
elipse de excentricidade 0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se vertical-
mente abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à 
calçada, tem exatamente a largura da rua 
(calçadas e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tan-
genciem nas extremidades dos eixos maiores, 
a distância, em metros, entre dois postes con-
secutivos deverá ser de, aproximadamente:
Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e 0,111 ≈ 0,333
a) 35.
b) 30.
c) 25.
d) 20.
e) 15.
119
 3. (Unesp) A figura representa uma elipse.
A partir dos dados disponíveis, a equação 
desta elipse é: 
a) ( x2
 __ 5 ) + ( y2
 __ 7 ) = 1.
b) [ (x + 5)2
 _______ 9 ] + [ (y – 7)2
 _______ 16 ] = 1.
c) (x + 5)2 + (y – 7)2 = 1.
d) [ (x – 5)2
 _______ 9 ] + [ (y + 7)2
 _______ 16 ] = 1.
e) [ (x + 3)2
 _______ 5 ] + [ (y – 4)2
 _______ 7 ] = 1.
 4. (Unifesp) A área sombreada na figura,
limitada pela elipse e pela reta indicadas, é: 
a) p.
b) 2p.
c) 3p.
d) 4p.
e) 6p.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unesp) A figura mostra um plano cartesia-
no no qual foi traçada uma elipse com eixos 
paralelos aos eixos coordenados.
Valendo-se das informações contidas nesta 
representação, determine a equação reduzi-
da da elipse.
 2. (Unesp) Considere a elipse de equação 
 ( x2
 ___ 25 ) + ( y2
 __ 9 ) = 1.
a) Mostre que o ponto P = ( 3, 12 ___ 5 ) pertence à 
elipse e calcule a distância de P ao eixo das 
abscissas.
b) Determine os vértices Q e R da elipse que 
pertencem ao eixo das abscissas e calcule a 
área do triângulo PQR, onde P = ( 3, 12 ___ 5 ) .
120
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. E 3. C 4. C 5. C
6. E 7. C 8. C
9. 02 + 04 + 08 + 16 = 30 10. D
E.O. Fixação
1. C 2. A 3. B 4. E 5. E
6. B 7. D 8. A 9. E 10. C
E.O. Complementar
1. D 2. D 3. B 4. D 5. E
E.O. Dissertativo
 1. F-F-V-V-V. 
 2. 01 + 02 + 04 + 16 = 23.
 3. 1 e 2 .
 4. 
a) 
b) 70,56.
 5. Os pontos são (0, –1) e ( 8 __ 5 , 3 __ 5 ) .
 6. 
 7. P ( 8 __ 9 , 5 __ 3 ) .
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. C
E.O. UERJ
Exame Discursivo
 1. 60 cm.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. B 2. B 3. B 4. C
E.O.Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
(x – 2)2
 _______ 4 + 
(y – 3)2
 _______ 9 = 1.
 2. 
a) 
I. Substituindo as coordenadas do ponto 
P na equação da elipse, temos:
 3
2
 ___ 25 + 
 12 ___ 
52 
 ___ 9 = 1, ou seja: 1=1
Logo, as coordenadas de P satisfazem 
à equação da elipse. Portanto, P per-
tence à elipse.
II. Como a ordenada P é positiva, a dis-
tância pedida é 12 ___ 5 .
b) Q(–5, 0), R(5,0) e A = 12.