lista04_edo_20152

Prévia do material em texto

Lista de Exercı́cios 04 - EDO - 2015.2
1. Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada:
(a) (x − y) + xy′ = 0
(b) x + (y − 2x)y′ = 0
(c) (y2 + yx) − x2y′ = 0
(d) y′ =
y − x
y + x
(e) −y + (x +
√
xy)y′ = 0
(f) 2x2y = (3x3 + y3)y′
(g) y′ =
y
x
+
x
y
(h) y.x′ = x + 4ye−2x/y
(i)
(
y + cotg
y
x
)
− xy′ = 0
(j) (x2 + xy − y2) − xyy′ = 0
2. Resolva cada problema de valor inicial a seguir:
(a) xy2y′ = y3 − x3, y(1) = 2
(b) 2x2y′ = 3xy + y2, y(1) = −2
(c) (x + yey/x) − xey/xy′ = 0, y(1) = 0
(d) (y2 + 3xy) = (4x2 + xy)y′, y(1) = 1
(e) (x +
√
xy)y′ + x − y = x−1/2y3/2, y(1) = 1
(f) y2 + (x2 + xy + y2)y′ = 0, y(0) = 1
3. Considerando que y = c1 + c2x2 é uma famı́lia de soluções de xy′′ − y′ = 0 no inter-
valo (−∞,∞), mostre que não existe nenhum membro desta famı́lia que satisfaça as
condições iniciais y(0) = 0, y′(0) = 1; isto é, não podem ser encontradas as constantes
c1 e c2. Explique por que isso não viola o teorema visto em sala que fala a respeito da
existência de uma única solução para problemas deste tipo.
4. Dado que x(t) = c1. cosθt + c2.senθt é a solução geral de x′′ + θ2x = 0 no intervalo
(−∞,∞) mostre que uma solução que satisfaça x(0) = x0 e x′(0) = x1 é dada por
x(t) = x0 cosθt +
x1
θ
senθt
5. Encontre a solução geral para a equação diferencial dada
(a) 4y′′ + y′ = 0
(b) y′′ − 36y = 0
(c) y′′ + 9y = 0
(d) y′′ − y′ − 6y = 0
(e) y′′ + 8y + 16y = 0
(f) y′′ + 3y′ − 5y = 0
1
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
maia.souza@hotmail.com
Realce
(g) 12y′′ − 5y′ − 2y = 0
(h) y′′ − 4y′ + 5y = 0
(i) 3y′′ + 2y′ + y = 0
6. Resolva cada problema de valor inicial dado:
(a) y′′ + 16y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −2
(b) y′′ + 6y′ + 5y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 3
(c) 2y′′ − 2y′ + y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 0
(d) y′′ + y′ + 2y = 0, y(0) = y′(0) = 0
(e) y′′ − 3y′ + 2y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 1
Gabarito
1. (a) x. ln |x| + y = cx
(b) (x − y) ln |x − y| = y + c(x − y)
(c) x + y ln |x| = cy
(d) ln(x2 + y2) + 2.arctg(y/x) = c
(e) 4x = y(ln |y| − c)2
(f) y9 = c(x3 + y3)2
(g) (y/x)2 = 2 ln |x| + c
(h) e2x/y = 8 ln |y| + c
(i) x cos(y/x) = c
(j) y + x = cx2ey/x
2. (a) y3 + 3x3 ln |x| = 8x3
(b) y2 = 4x(x + y)2
(c) ln |x| = ey/x − 1
(d) 4x ln |y/x| + x ln x + y − x = 0
(e) 3x3/2 ln x + 3x1/2y + 2y3/2 = 5x3/2
(f) (x + y) ln |y| + x = 0
3.
4.
5. (a) y = c1 + c2e−x/4
(b) y = c1e−6x + c2e6x
(c) y = c1 cos 3x + c2sen3x
(d) y = c1e3x + c2e−2x
(e) y = c1e−4x + c2xe−4x
(f) y = c1e(−3+
√
29)x/2 + c2e(−3−
√
29)x/2
(g) y = c1e2x/3 + c2e−x/4
2
maia.souza@hotmail.com
Realce
(h) y = e2x(c1 cos x + c2senx)
(i) y = e−x/3
(
c1 cos
√
2
3
x + c2sen
√
3
2
x
)
6. (a) y = 2 cos 4x −
1
2
sen4x
(b) y = −
3
4
e−5x +
3
4
e−x
(c) y = −ex/2. cos(x/2) + ex/2sen(x/2)
(d) y = 0
(e) y = e2(x−1) − ex−1
3