Vamos analisar passo a passo o cálculo do rotacional da função vetorial \( \mathbf{F}(x,y,z) = (x^2, y^3 \cos(z), 4z e^x) \). O rotacional de \(\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3)\) é dado por: \[ \text{rot}(\mathbf{F}) = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}, \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \] Calculando cada componente: 1. \(\frac{\partial F_3}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (4z e^x) = 0\) (pois não depende de \(y\)) 2. \(\frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (y^3 \cos z) = y^3 (-\sin z) = - y^3 \sin z\) Logo, primeira componente do rotacional: \[ 0 - (- y^3 \sin z) = y^3 \sin z \] --- 3. \(\frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (x^2) = 0\) 4. \(\frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (4z e^x) = 4z e^x\) Segunda componente: \[ 0 - 4z e^x = -4z e^x \] --- 5. \(\frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (y^3 \cos z) = 0\) (não depende de \(x\)) 6. \(\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2) = 0\) Terceira componente: \[ 0 - 0 = 0 \] --- Portanto, \[ \text{rot}(\mathbf{F}) = (y^3 \sin z, -4z e^x, 0) \] Agora, analisando as alternativas: I) \(\text{rot}(F) = (2x, 3y^2 \cos z, 4 e^x)\) → incorreta, não bate com o cálculo. II) \(\text{rot}(F) = 2x + 3y^2 \cos z + 4 e^x\) → escalar, rotacional é vetor, incorreta. III) \(\text{rot}(F) = (y^3 \sin z, 4z e^x, ?)\) → segunda componente com sinal errado, terceira componente não informada, incorreta. IV) \(\text{rot}(F) = y^3 \sin z - 4z e^x\) → escalar, rotacional é vetor, incorreta. Nenhuma alternativa apresenta exatamente o vetor correto \((y^3 \sin z, -4z e^x, 0)\). Porém, a alternativa III é a que mais se aproxima, só que com o sinal da segunda componente invertido e sem a terceira componente. Como a questão pede qual está correta, e nenhuma está exatamente correta, a alternativa mais próxima é a A) Somente a opção III está correta. Resposta: A) Somente a opção III está correta.