Vamos resolver passo a passo a derivação implícita da equação: \[ \sqrt{y} - 2 \sen(x) = 10 \] 1. Derivando ambos os lados em relação a \(x\): \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{y}) - \frac{d}{dx}(2 \sen(x)) = \frac{d}{dx}(10) \] 2. Derivada de \(\sqrt{y} = y^{1/2}\) usando regra da cadeia: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{y}) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} \] 3. Derivada de \(2 \sen(x)\): \[ \frac{d}{dx}(2 \sen(x)) = 2 \cos(x) \] 4. Derivada do lado direito (constante): \[ \frac{d}{dx}(10) = 0 \] 5. Substituindo: \[ \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} - 2 \cos(x) = 0 \] 6. Isolando \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 2 \cos(x) \] \[ \frac{dy}{dx} = 2 \cos(x) \cdot 2 \sqrt{y} = 4 \cos(x) \sqrt{y} \] 7. Agora, da equação original: \[ \sqrt{y} = 10 + 2 \sen(x) \] Então: \[ \frac{dy}{dx} = 4 \cos(x) (10 + 2 \sen(x)) = 4 \cos(x) \cdot 10 + 4 \cos(x) \cdot 2 \sen(x) = 40 \cos(x) + 8 \cos(x) \sen(x) \] Podemos fatorar: \[ \frac{dy}{dx} = 8 \cos(x) (5 + \sen(x)) \] Portanto, a alternativa correta é: a) 8 cos (x) (5 + sen (x))