CMF - EsPCEx 2013 - AULA 09

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Redução ao 1º Quadrante 
 
Arcos Suplementares: 
 
( )
( )
( )
180º
cos 180º cos
180º
sen x senx
x x
tg x tgx
− =
− = −
− = −
 
 
Arcos Explementares: 
 
( )
( )
( )
180º
cos 180º cos
180º
sen x senx
x x
tg x tgx
+ = −
+ = −
+ =
 
 
Arcos Replementares: 
 
( )
( )
( )
360º
cos 360º cos
360º
sen x senx
x x
tg x tgx
− = −
− =
− = −
 
 
Arcos Complementares: 
 
( )
( )
( )
90º cos
cos 90º
90º
sen x x
x senx
tg x cotgx
− =
− =
− =
 
 
Note que: 
( )
( )
( )
cos cos
sen x senx
x x
tg x tgx
− = −
− =
− = −
 
 
Transformações 
 
Adição de Arcos: 
 
( )
( )
( )
( )
cos cos
cos cos
cos( ) cos cos
cos cos cos
1
( )
1
sen a b sena b senb a
sen a b sena b senb a
a b a b sena senb
a b a b sena senb
tga tgb
tg a b
tga tgb
tga tgb
tg a b
tga tgb
+ = ⋅ + ⋅
− = ⋅ − ⋅
+ = ⋅ − ⋅
− = ⋅ + ⋅
+
+ =
− ⋅
−
− =
+ ⋅
 
 
 
 
 
Arco Duplo: 
 
2 2
2
2
2
2 2 cos
cos 2 cos
cos 2 1 2
cos 2 2cos 1
2
2
1
sen x senx x
x x sen x
x sen x
x x
tgx
tg x
tg x
= ⋅
= −
= −
= −
=
−
 
 
Arco Metade: 
 
1 cos
2 2
1 cos
cos
2 2
1 cos
2 1 cos
x x
sen
x x
x x
tg
x
−
= ±
+
= ±
−
= ±
+
 
 
Transformações em Produto: 
 
2 cos
2 2
2 cos
2 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2
2 2
p q p q
senp senq sen
p q p q
senp senq sen
p q p q
p q
p q p q
p q sen sen
+ −   
+ = ⋅   
   
− +   
− = ⋅   
   
+ −   
+ = ⋅   
   
+ −   
− = − ⋅   
   
 
Exercícios 
 
1. O valor de 150º 2 120º cos330ºtg sen+ − 
é igual a: 
 a) 3 d) 
3
3
−
 
 b) 
3
2
−
 e) 
3
6
 
 c) 
3
2
 
 
TRIGONOMETRIA – PARTE 2 
CMF – EsPCEx – PROF.: DIEGO PONCIANO 
 
AULA 9 
2. O valor da expressão 
4 17
cos
3 6
3
sen
tg
π π
π
+
 
é: 
 a) -1 b) 0 c) 
3
3
 d) 
3
2
 e) 3 
 
3. A soma ( )log 1ºtg + ( )log 2ºtg + 
( )log 3ºtg + ( )log 89ºtg+… é igual 
a: 
 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
4. Sabendo-se que 
3
x sen
π
α
 
= + 
 
 e 
cos
6
y
π
α
 
= − 
 
, então pode-se 
afirmar que 
2
2
x y
x y
+
−
 é igual a: 
 a) 1 b) -1 c) 3 d) -3 e) 0 
 
5. A expressão 
340º cos 250º
160º 110º
sen
tg sen
−
⋅
 é 
igual a: 
 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
6. A expressão ( )1998sen xπ − é igual 
a: 
 a) senx d) cos x− 
 b) senx− e) 0 
 c) cos x 
 
7. Resolvendo 15º 75ºsen sen− , encontra-
se: 
 a) 
3
2
−
 d) 2 
 b) 
2
2
 e) 
3
2
 
 c) 
2
2
−
 
 
8. Simplificando a expressão 
1 cos
senθ
θ+
, 
com 0 θ π