Para resolver a questão sobre a Série de Fourier da função \( f(x) = |x| \) no intervalo \(-\pi \leq x \leq \pi\), precisamos calcular os coeficientes da série. 1. Cálculo de \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \, dx = \frac{1}{2\pi} \left( 2 \int_{0}^{\pi} x \, dx \right) = \frac{1}{2\pi} \left( 2 \cdot \frac{\pi^2}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \] 2. Cálculo de \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \cos(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) \, dx \] Usando a integração por partes, obtemos que \( a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \). 3. Cálculo de \( b_n \): Como \( f(x) \) é uma função par, \( b_n = 0 \). Portanto, a série de Fourier é dada por: \[ f(x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \cos(nx) \] Analisando as alternativas: - A opção correta que representa a série de Fourier da função \( f(x) = |x| \) é: C) \( \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \cos(nx) \).