Para calcular o volume do sólido \( E \) delimitado pelo cone \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) e o plano \( z = 2 \), é mais conveniente usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos: - \( x = r \cos \theta \) - \( y = r \sin \theta \) - \( z = z \) O cone em coordenadas cilíndricas se torna \( z = r \), e o plano é \( z = 2 \). Assim, a região de integração é definida por: - \( 0 \leq z \leq 2 \) - \( 0 \leq r \leq 2 \) (porque o cone atinge o plano em \( z = 2 \)) - \( 0 \leq \theta < 2\pi \) A integral tripla para o volume em coordenadas cilíndricas é dada por: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_r^2 r \, dz \, dr \, d\theta \] Calculando a integral: 1. A integral em relação a \( z \): \[ \int_r^2 r \, dz = r(z) \bigg|_r^2 = r(2 - r) = 2r - r^2 \] 2. Agora, integramos em relação a \( r \): \[ \int_0^2 (2r - r^2) \, dr = \left( r^2 - \frac{r^3}{3} \right) \bigg|_0^2 = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \] 3. Finalmente, integramos em relação a \( \theta \): \[ \int_0^{2\pi} \frac{4}{3} \, d\theta = \frac{4}{3} (2\pi) = \frac{8\pi}{3} \] Portanto, o volume do sólido \( E \) é \( \frac{8\pi}{3} \). A alternativa correta é: c) \( \frac{8\pi}{3} \).