Para calcular o volume do sólido \( E \) delimitado pelo cone \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) e o plano \( z = 2 \), é mais conveniente usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) - \( z = z \) O cone se torna \( z = r \) e o plano é \( z = 2 \). Portanto, a região de integração em coordenadas cilíndricas é definida por: - \( 0 \leq r \leq 2 \) (já que o cone atinge o plano em \( z = 2 \)) - \( 0 \leq \theta < 2\pi \) - \( r \leq z \leq 2 \) O volume \( V \) pode ser calculado pela integral tripla: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_r^2 r \, dz \, dr \, d\theta \] Calculando a integral: 1. A integral em \( z \): \[ \int_r^2 r \, dz = r(z) \bigg|_r^2 = r(2 - r) = 2r - r^2 \] 2. Agora, integramos em \( r \): \[ \int_0^2 (2r - r^2) \, dr = \left( r^2 - \frac{r^3}{3} \right) \bigg|_0^2 = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \] 3. Finalmente, integramos em \( \theta \): \[ \int_0^{2\pi} \frac{4}{3} \, d\theta = \frac{4}{3} \cdot 2\pi = \frac{8\pi}{3} \] Portanto, o volume do sólido \( E \) é \( \frac{8\pi}{3} \). A alternativa correta é: a. \( \frac{8\pi}{3} \).