Para encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores \( \mathbf{U} = (2, -6, 3) \) e \( \mathbf{V} = (4, 3, 1) \), precisamos calcular o produto vetorial \( \mathbf{U} \times \mathbf{V} \). O produto vetorial é dado pela seguinte fórmula: \[ \mathbf{U} \times \mathbf{V} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -6 & 3 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ \mathbf{U} \times \mathbf{V} = \mathbf{i}((-6) \cdot 1 - 3 \cdot 3) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 3 \cdot 4) + \mathbf{k}(2 \cdot 3 - (-6) \cdot 4) \] \[ = \mathbf{i}(-6 - 9) - \mathbf{j}(2 - 12) + \mathbf{k}(6 + 24) \] \[ = \mathbf{i}(-15) - \mathbf{j}(-10) + \mathbf{k}(30) \] \[ = (-15, 10, 30) \] Agora, para encontrar o vetor unitário, precisamos dividir o vetor resultante pelo seu módulo. O módulo é dado por: \[ ||\mathbf{W}|| = \sqrt{(-15)^2 + 10^2 + 30^2} = \sqrt{225 + 100 + 900} = \sqrt{1225} = 35 \] Assim, o vetor unitário \( \mathbf{W_{unit}} \) é: \[ \mathbf{W_{unit}} = \left( \frac{-15}{35}, \frac{10}{35}, \frac{30}{35} \right) = \left( -\frac{3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{6}{7} \right) \] Portanto, o vetor unitário que é ortogonal a \( \mathbf{U} \) e \( \mathbf{V} \) é \( \left( -\frac{3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{6}{7} \right) \).