Para minimizar a quantidade de material usado na fabricação de uma lata cilíndrica com volume fixo, precisamos considerar a relação entre o raio (r) e a altura (h) do cilindro. 1. Volume do cilindro: O volume \( V \) de um cilindro é dado por: \[ V = \pi r^2 h \] onde \( r \) é o raio da base e \( h \) é a altura. 2. Área da superfície total: A área de superfície total \( A \) do cilindro é dada por: \[ A = 2\pi r h + 2\pi r^2 \] onde \( 2\pi r h \) é a área lateral e \( 2\pi r^2 \) é a área das duas bases. 3. Minimização: Para minimizar a área da superfície \( A \) sob a restrição do volume \( V \), podemos expressar \( h \) em termos de \( r \) usando a fórmula do volume: \[ h = \frac{V}{\pi r^2} \] 4. Substituição: Substituindo \( h \) na fórmula da área: \[ A = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) + 2\pi r^2 \] Simplificando, obtemos: \[ A = \frac{2V}{r} + 2\pi r^2 \] 5. Derivada: Para encontrar o valor de \( r \) que minimiza \( A \), derivamos \( A \) em relação a \( r \) e igualamos a zero: \[ \frac{dA}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 4\pi r = 0 \] Resolvendo essa equação, encontramos o valor de \( r \). 6. Resultado: O valor de \( r \) que minimiza a área da superfície para um volume fixo é dado por: \[ r = \sqrt{\frac{V}{2\pi}} \] E a altura correspondente é: \[ h = 2r \] Assim, para a menor quantidade de material, a altura deve ser o dobro do raio.