SEJA 𝐴 = ( 2 1 − 1 3 ) A=( 2 −1 ​ 1 3 ​ ) Queremos calcular: 𝐴 − 1 + 𝐴 𝑇 A −1 +A T

Para calcular \( A^{-1} + A^T \), precisamos primeiro encontrar a inversa da matriz \( A \) e a sua transposta. Dada a matriz: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \] 1. Cálculo da inversa \( A^{-1} \): A fórmula para a inversa de uma matriz \( 2 \times 2 \) é: \[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] onde \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). Aqui, \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = 1 \), \( d = 3 \). O determinante \( det(A) \) é calculado como: \[ det(A) = ad - bc = (2)(3) - (-1)(1) = 6 + 1 = 7 \] Portanto, a inversa é: \[ A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{7} & \frac{1}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix} \] 2. Cálculo da transposta \( A^T \): A transposta de \( A \) é obtida trocando linhas por colunas: \[ A^T = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \] 3. Soma \( A^{-1} + A^T \): Agora, somamos \( A^{-1} \) e \( A^T \): \[ A^{-1} + A^T = \begin{pmatrix} \frac{3}{7} & \frac{1}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \] Para somar, precisamos que as matrizes tenham o mesmo denominador: \[ = \begin{pmatrix} \frac{3}{7} + \frac{14}{7} & \frac{1}{7} + \frac{7}{7} \\ -\frac{1}{7} - \frac{7}{7} & \frac{2}{7} + \frac{21}{7} \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} \frac{17}{7} & \frac{8}{7} \\ -\frac{8}{7} & \frac{23}{7} \end{pmatrix} \] Portanto, a resposta final é: \[ A^{-1} + A^T = \begin{pmatrix} \frac{17}{7} & \frac{8}{7} \\ -\frac{8}{7} & \frac{23}{7} \end{pmatrix} \]