Para calcular a inversa da transformada de Laplace de \( G(s) = \frac{1}{s(s^2 - 1)} \), podemos usar a decomposição em frações parciais. 1. Decomposição em frações parciais: \[ G(s) = \frac{1}{s(s^2 - 1)} = \frac{1}{s(s-1)(s+1)} \] Podemos escrever: \[ \frac{1}{s(s-1)(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s-1} + \frac{C}{s+1} \] 2. Multiplicando ambos os lados por \( s(s-1)(s+1) \) e igualando os coeficientes, encontramos \( A \), \( B \) e \( C \). 3. Encontrando os coeficientes: - Para \( s = 0 \): \( 1 = A(-1)(1) \) → \( A = -1 \) - Para \( s = 1 \): \( 1 = B(1)(2) \) → \( B = \frac{1}{2} \) - Para \( s = -1 \): \( 1 = C(-1)(0) \) → \( C = -\frac{1}{2} \) Assim, temos: \[ G(s) = -\frac{1}{s} + \frac{1/2}{s-1} - \frac{1/2}{s+1} \] 4. Transformada inversa: - A transformada inversa de \( -\frac{1}{s} \) é \( -1 \). - A transformada inversa de \( \frac{1/2}{s-1} \) é \( \frac{1}{2} e^{t} \). - A transformada inversa de \( -\frac{1/2}{s+1} \) é \( -\frac{1}{2} e^{-t} \). 5. Juntando tudo: \[ g(t) = -1 + \frac{1}{2} e^{t} - \frac{1}{2} e^{-t} \] Portanto, a função inversa da transformada de Laplace é: \[ g(t) = -1 + \frac{1}{2} e^{t} - \frac{1}{2} e^{-t} \] Assim, a resposta correta é: \[ g(t) = - e^{-t} + e^{t} - \frac{1}{2} \]