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Equações Diferenciais

Colégio Objetivo
Usando a transformada da integral de f(t), obtenha a transformada de Laplace de f(t) = cos (8t) sabendo que a transformada de sen (8t) vale 8/(s^2+64).
s/(s^2+64)
s+1/(s^2+64)
2s/(s^2−64)
4/(s^2+64)
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Para encontrar a transformada de Laplace de \( f(t) = \cos(8t) \), podemos usar a relação entre a transformada de Laplace de funções trigonométricas. Sabemos que a transformada de Laplace de \( \cos(at) \) é dada por: \[ \mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^2 + a^2} \] No seu caso, \( a = 8 \). Portanto, substituindo na fórmula, temos: \[ \mathcal{L}\{\cos(8t)\} = \frac{s}{s^2 + 8^2} = \frac{s}{s^2 + 64} \] Assim, a transformada de Laplace de \( f(t) = \cos(8t) \) é: \[ \frac{s}{s^2 + 64} \]

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As transformadas de Laplace e Fourier são amplamente utilizadas em áreas como engenharia elétrica, telecomunicações, processamento de sinais, controle de sistemas, acústica e física teórica.
Sabendo disso, determine L{e5t} para s > 5.
1/(2−s)
1/(3−s)
1/(5−s)
1/(6−s)

Determine a transformada de Laplace da função g(t) = t cos t, sabendo que ℒ [ cos t] = 2/(s^2+1).
2s/(s^2+3)
(s^2−1)^3
2/(s^2−3)
s/(s^2−3)

As transformadas de Laplace e Fourier são técnicas matemáticas utilizadas para analisar e transformar funções de uma variável em domínios alternativos.
Dessa forma, calcule a transformada de Laplace da função f(t) = { e2t, 0 ≤ t ≤ 1; 4, 1 ≤ t }.
L{f(t)} = + 4 .e2−s/(2−s)
L{f(t)} = − + 4 .e2−s/(2−s)
L{f(t)} = + 4 .e2−s−1/s
L{f(t)} = − + 4 .e2s/(2−s)

A Laplace inversa é o processo inverso da transformada de Laplace, onde a função de domínio da frequência é convertida de volta para o domínio do tempo. Seja a função F(s) = 1/(s^3+2s^2), calcule a transformada de Laplace inversa.
f(t) = 4e2x−2x−1
f(t) = 3e2x−2x−1
f(t) = 2e2x−2x−1
f(t) = e2x−2x−1

Sabendo que a transformada de Laplace da função f(t) vale 1/(s^2+4)(n+1), obtenha a transformada de Laplace de e^t f(t).
s/(s^2−6s+13)(n+1)
1/(s^2−6s+13)(n+1)
s−4/(s^2−6s+26)(n+1)
4/(s^2+6s+26)(n+1)

A transformada de Laplace possui uma propriedade importante chamada propriedade da derivada, que permite calcular a transformada de Laplace de uma derivada de uma função em termos da transformada de Laplace original da função.
Calcule a inversa da transformada de Laplace de G(s) = 1/(s(s^2−1)).
g(t) = e−t + et + 1/2
g(t) = − e−t + et − 1/2
g(t) = e−t + et − 1/2
g(t) = e−t − et − 1/2

Marque a alternativa que apresenta a transformada de Laplace para função f(t) = senh(2t)+cosh(2t).
2/(s2−4)
1/(s−2)
2/(s+2)
2/(s2+4)

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