Determine a transformada de Laplace da função g(t) = t cos t, sabendo que ℒ [ cos t] = 2/(s^2+1). 2s/(s^2+3) (s^2−1)^3 2/(s^2−3) s/(s^2−3)

Para determinar a transformada de Laplace da função \( g(t) = t \cos(t) \), podemos usar a propriedade da transformada de Laplace que relaciona a derivada em relação ao parâmetro \( s \). A transformada de Laplace de \( \cos(t) \) é dada por: \[ \mathcal{L}[\cos(t)] = \frac{s}{s^2 + 1} \] Usando a propriedade que diz que: \[ \mathcal{L}[t f(t)] = -\frac{d}{ds} \mathcal{L}[f(t)] \] onde \( f(t) = \cos(t) \), temos: \[ \mathcal{L}[t \cos(t)] = -\frac{d}{ds} \left( \frac{s}{s^2 + 1} \right) \] Agora, vamos calcular a derivada: 1. A função a derivar é \( \frac{s}{s^2 + 1} \). 2. Usando a regra do quociente: \[ \frac{d}{ds} \left( \frac{s}{s^2 + 1} \right) = \frac{(s^2 + 1)(1) - s(2s)}{(s^2 + 1)^2} = \frac{s^2 + 1 - 2s^2}{(s^2 + 1)^2} = \frac{1 - s^2}{(s^2 + 1)^2} \] Portanto: \[ \mathcal{L}[t \cos(t)] = -\frac{1 - s^2}{(s^2 + 1)^2} = \frac{s^2 - 1}{(s^2 + 1)^2} \] Assim, a transformada de Laplace da função \( g(t) = t \cos(t) \) é: \[ \mathcal{L}[g(t)] = \frac{s^2 - 1}{(s^2 + 1)^2} \] Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!