Vamos usar a fórmula \( d = \frac{n(n - 3)}{2} \) para calcular a quantidade de lados \( n \) de um polígono com 9 e 20 diagonais. 1. Para 9 diagonais: \[ 9 = \frac{n(n - 3)}{2} \] Multiplicando ambos os lados por 2: \[ 18 = n(n - 3) \] Resolvendo a equação: \[ n^2 - 3n - 18 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2} \] As soluções são: \[ n = 6 \quad \text{ou} \quad n = -3 \] Como \( n \) deve ser positivo, temos \( n = 6 \). 2. Para 20 diagonais: \[ 20 = \frac{n(n - 3)}{2} \] Multiplicando ambos os lados por 2: \[ 40 = n(n - 3) \] Resolvendo a equação: \[ n^2 - 3n - 40 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40)}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{3 \pm 13}{2} \] As soluções são: \[ n = 8 \quad \text{ou} \quad n = -5 \] Novamente, como \( n \) deve ser positivo, temos \( n = 8 \). Portanto, as respostas são: - Para 9 diagonais: 6 lados - Para 20 diagonais: 8 lados