Para determinar a natureza do ponto (0,0) da função \( f(x,y) = x^2 + 2y^2 - xy \), precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. 1. Derivadas parciais de primeira ordem: - \( f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y \) - \( f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 4y - x \) 2. Avaliar as derivadas parciais em (0,0): - \( f_x(0,0) = 2(0) - 0 = 0 \) - \( f_y(0,0) = 4(0) - 0 = 0 \) Como ambas as derivadas parciais de primeira ordem são zero, seguimos para as derivadas parciais de segunda ordem. 3. Derivadas parciais de segunda ordem: - \( f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 \) - \( f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4 \) - \( f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -1 \) 4. Determinante da matriz Hessiana: \[ D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (2)(4) - (-1)^2 = 8 - 1 = 7 \] 5. Análise do ponto (0,0): - Como \( D > 0 \) e \( f_{xx} > 0 \), o ponto (0,0) é um mínimo local. Portanto, a alternativa correta é: Alternativa 1: O ponto (0,0) é um mínimo local, apenas.