Para encontrar o lucro máximo e o número de clientes necessário para obtê-lo, precisamos analisar a função de lucro dada: \[ L(c) = 2c^2 + 64c + 500 \] Essa é uma função quadrática, e o lucro máximo ocorre no vértice da parábola. A fórmula para encontrar a coordenada \( c \) do vértice de uma função quadrática \( ax^2 + bx + c \) é: \[ c = -\frac{b}{2a} \] Neste caso, \( a = 2 \) e \( b = 64 \): \[ c = -\frac{64}{2 \cdot 2} = -\frac{64}{4} = -16 \] Como o número de clientes não pode ser negativo, vamos calcular o lucro para alguns valores de \( c \) próximos a 16, que é um valor razoável para começar. Calculando \( L(16) \): \[ L(16) = 2(16^2) + 64(16) + 500 \] \[ L(16) = 2(256) + 1024 + 500 \] \[ L(16) = 512 + 1024 + 500 \] \[ L(16) = 2036 \] Agora, vamos calcular \( L(20) \): \[ L(20) = 2(20^2) + 64(20) + 500 \] \[ L(20) = 2(400) + 1280 + 500 \] \[ L(20) = 800 + 1280 + 500 \] \[ L(20) = 2580 \] E agora, vamos calcular \( L(32) \): \[ L(32) = 2(32^2) + 64(32) + 500 \] \[ L(32) = 2(1024) + 2048 + 500 \] \[ L(32) = 2048 + 2048 + 500 \] \[ L(32) = 4096 \] Parece que o lucro máximo não está entre os valores que calculamos, mas vamos verificar as alternativas dadas. Analisando as alternativas: a) R$ 1012,00 e 32 clientes b) Nenhuma das alternativas c) 16 clientes e R$ 1012,00 d) R$ 1012,00 e 20 clientes e) R$ 1012,00 e 16 clientes Como não encontramos um lucro de R$ 1012,00 em nossos cálculos, a alternativa correta é: b) Nenhuma das alternativas.