Para resolver essa questão, precisamos entender que estamos lidando com uma caixa sem tampa, que tem uma base quadrada. Vamos definir as dimensões: - Seja \( x \) o lado da base quadrada. - A altura da caixa será \( h \). A área da base é \( x^2 \) e a área lateral (sem a tampa) é \( 4xh \). A área total do papelão disponível é 1200 cm², então temos a seguinte equação: \[ x^2 + 4xh = 1200 \] O volume \( V \) da caixa é dado por: \[ V = x^2h \] Para maximizar o volume, precisamos expressar \( h \) em termos de \( x \) usando a equação da área: \[ 4xh = 1200 - x^2 \] \[ h = \frac{1200 - x^2}{4x} \] Substituindo \( h \) na equação do volume: \[ V = x^2 \left(\frac{1200 - x^2}{4x}\right) \] \[ V = \frac{1200x - x^3}{4} \] Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza o volume, derivamos \( V \) em relação a \( x \) e igualamos a zero. Após resolver, encontramos que o volume máximo ocorre quando \( x = 20 \) cm, resultando em: \[ h = \frac{1200 - 20^2}{4 \cdot 20} = 15 \text{ cm} \] Assim, o volume máximo é: \[ V = 20^2 \cdot 15 = 6000 \text{ cm}^3 \] No entanto, como essa opção não está entre as alternativas, parece que houve um erro na formulação da questão ou nas opções apresentadas. Dentre as opções dadas, a mais próxima e que poderia ser considerada correta, se estivermos buscando um volume máximo que se encaixe nas alternativas, seria: E) Vₘₐₓ = 5000 cm³. Porém, é importante ressaltar que o cálculo correto do volume máximo, conforme a análise, seria 6000 cm³.