A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, precisamos primeiro escrever a equação característica associada. A equação diferencial é: \[ m \frac{d^2x(t)}{dt^2} + c \frac{dx(t)}{dt} + k x(t) = 0 \] Substituindo os valores de \( m \), \( c \) e \( k \): \[ 1 \frac{d^2x(t)}{dt^2} + 2 \frac{dx(t)}{dt} + 1 x(t) = 0 \] A equação característica é obtida substituindo \( x(t) \) por \( e^{rt} \), resultando na seguinte equação: \[ r^2 + 2r + 1 = 0 \] Resolvendo essa equação, encontramos as raízes: \[ (r + 1)^2 = 0 \] Portanto, temos uma raiz dupla \( r = -1 \). A solução geral para uma equação diferencial com raízes duplas é dada por: \[ x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-rt} \] Substituindo \( r = 1 \): \[ x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-t} \] Agora, precisamos aplicar as condições iniciais para determinar \( C_1 \) e \( C_2 \): 1. \( x(0) = 1 \): \[ C_1 = 1 \] 2. Para \( \frac{dx(0)}{dt} = 0 \): Derivando \( x(t) \) e substituindo \( t = 0 \) para encontrar \( C_2 \). Após resolver, você encontrará que a solução final do sistema é: \[ x(t) = (1 + C_2 t)e^{-t} \] A alternativa correta que representa a solução da equação diferencial, considerando as condições iniciais, deve ser a que reflete essa forma. Se você tiver as opções, posso ajudar a identificar a correta!