Para resolver a equação diferencial \( y'' - 2y' + 5y = 0 \) usando a transformada de Laplace, vamos seguir os passos: 1. Transformada de Laplace: Aplicamos a transformada de Laplace na equação. Lembrando que: - \( \mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s) \) - \( \mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0) \) - \( \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \) 2. Substituindo as condições iniciais: - \( y(0) = 0 \) - \( y'(0) = 1 \) Assim, a transformada de Laplace da equação se torna: \[ s^2Y(s) - s \cdot 0 - 1 - 2(sY(s) - 0) + 5Y(s) = 0 \] Simplificando, temos: \[ s^2Y(s) - 1 - 2sY(s) + 5Y(s) = 0 \] \[ (s^2 - 2s + 5)Y(s) = 1 \] \[ Y(s) = \frac{1}{s^2 - 2s + 5} \] 3. Fatorando o denominador: O denominador pode ser reescrito como: \[ s^2 - 2s + 5 = (s - 1)^2 + 4 \] 4. Transformada inversa de Laplace: A forma \( \frac{1}{(s - 1)^2 + 4} \) é reconhecível como a transformada de Laplace de uma função senoidal. A transformada inversa é: \[ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s - 1)^2 + 4}\right\} = e^{t} \sin(2t) \] 5. Solução final: Portanto, a solução da equação diferencial é: \[ y(t) = e^{t} \sin(2t) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{1}{2} \sin(5t) \) b) \( t^2 e^t \sin(2t) \) c) \( \frac{5}{2} e^{3t} \sin(2t) \) d) \( \frac{1}{2} e^t \sin(2t) \) e) \( \frac{17}{2} e^t \sin(4t) \) A alternativa que corresponde à solução encontrada é a d) \( \frac{1}{2} e^t \sin(2t) \).