A questão envolve a transformação linear entre duas bases em \(\mathbb{R}^2\). Para encontrar \(V_B\) a partir de \(V_\alpha\), precisamos usar a matriz de mudança de base. Primeiro, vamos identificar as bases: - A base \(\alpha = \{(2,-1), (-1,1)\}\) - A base \(B = \{(1,0), (2,1)\}\) Dado que \(V_\alpha = (4,3)\), precisamos expressar esse vetor na base \(B\). Para isso, precisamos encontrar a matriz de mudança de base de \(\alpha\) para \(B\). Isso envolve resolver o sistema de equações que relaciona as duas bases. 1. Encontrar a matriz de mudança de base: - Colocamos os vetores da base \(\alpha\) como colunas de uma matriz \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \] 2. Encontrar a inversa de \(A\): - A inversa de \(A\) é necessária para mudar de \(\alpha\) para a base canônica. Calculamos a inversa: \[ A^{-1} = \frac{1}{(2)(1) - (-1)(-1)} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \] 3. Multiplicar pela matriz de mudança de base: - Agora, multiplicamos \(A^{-1}\) pelo vetor \(V_\alpha\): \[ V_B = A^{-1} V_\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 4 + 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \end{pmatrix} \] Agora, precisamos verificar as alternativas dadas. Como não estão claras, mas sabemos que \(V_B\) deve ser um vetor na forma de coordenadas. Se a alternativa correta for a que representa \(V_B\) como \([7, 10]\), então a resposta correta seria a que se aproxima disso. Por favor, verifique as alternativas para encontrar a que corresponde a \([7, 10]\).