Para mostrar que o conjunto \( V_\lambda = \{ v \in V : Tv = \lambda v \} \) é um subespaço vetorial de \( V \), precisamos verificar as três propriedades que você mencionou: 1. Contém o vetor nulo: - Para o vetor nulo \( 0 \in V \), temos \( T(0) = 0 \). Como \( \lambda \cdot 0 = 0 \), então \( 0 \in V_\lambda \). 2. Fechamento sob adição: - Se \( u, v \in V_\lambda \), então \( Tu = \lambda u \) e \( Tv = \lambda v \). - Considerando \( T(u + v) \): \[ T(u + v) = T(u) + T(v) = \lambda u + \lambda v = \lambda (u + v). \] - Portanto, \( u + v \in V_\lambda \). 3. Fechamento sob multiplicação escalar: - Se \( u \in V_\lambda \) e \( \alpha \) é um escalar, então \( Tu = \lambda u \). - Considerando \( T(\alpha u) \): \[ T(\alpha u) = \alpha T(u) = \alpha (\lambda u) = \lambda (\alpha u). \] - Portanto, \( \alpha u \in V_\lambda \). Como todas as três propriedades são satisfeitas, concluímos que \( V_\lambda \) é um subespaço vetorial de \( V \).