Como provar que a função $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}$ tem um limite quando $x \rightarrow 2$, mas não é contínua nesse ponto?

Para provar que a função \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) tem um limite quando \( x \rightarrow 2 \), mas não é contínua nesse ponto, siga os seguintes passos: 1. Identifique o ponto problemático: A função \( f(x) \) não está definida em \( x = 2 \) porque o denominador se torna zero. 2. Simplifique a função: Podemos fatorar o numerador: \[ f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \] Para \( x \neq 2 \), podemos simplificar: \[ f(x) = x + 2 \] 3. Calcule o limite: Agora, calcule o limite quando \( x \) se aproxima de 2: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \] 4. Verifique a continuidade: Para que \( f(x) \) seja contínua em \( x = 2 \), precisamos que: - \( f(2) \) esteja definido. - O limite \( \lim_{x \to 2} f(x) \) seja igual a \( f(2) \). Como \( f(2) \) não está definido (a função não existe nesse ponto), a função não é contínua em \( x = 2 \). Conclusão: Portanto, \( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \), mas \( f(2) \) não está definido, o que mostra que a função tem um limite nesse ponto, mas não é contínua.