Para determinar quais pontos do dodecágono correspondem às extremidades dos arcos cuja expressão geral é dada por \( a = k\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \), onde \( k \) é um inteiro, precisamos primeiro entender a disposição dos vértices do dodecágono. Os ângulos dos vértices do dodecágono regular são dados por: - \( A_1 = 0 \) - \( A_2 = \frac{\pi}{6} \) - \( A_3 = \frac{\pi}{3} \) - \( A_4 = \frac{\pi}{2} \) - \( A_5 = \frac{2\pi}{3} \) - \( A_6 = \frac{5\pi}{6} \) - \( A_7 = \pi \) - \( A_8 = \frac{7\pi}{6} \) - \( A_9 = \frac{4\pi}{3} \) - \( A_{10} = \frac{3\pi}{2} \) - \( A_{11} = \frac{5\pi}{3} \) - \( A_{12} = \frac{11\pi}{6} \) Agora, substituímos \( k \) por valores inteiros para encontrar os ângulos correspondentes: 1. Para \( k = 0 \): \( a = \frac{\pi}{6} \) (corresponde a \( A_2 \)) 2. Para \( k = 1 \): \( a = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \) (corresponde a \( A_4 \)) 3. Para \( k = 2 \): \( a = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \) (corresponde a \( A_6 \)) 4. Para \( k = 3 \): \( a = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \) (corresponde a \( A_8 \)) 5. Para \( k = 4 \): \( a = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \) (corresponde a \( A_{10} \)) 6. Para \( k = 5 \): \( a = \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \) (corresponde a \( A_{12} \)) Portanto, os pontos correspondentes às extremidades dos arcos são \( A_2, A_4, A_6, A_8, A_{10}, A_{12} \).