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Cálculo Numérico

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Considere um sistema de equações não-lineares dado por: f(x,y) = 0 g(x,y) = 0 em que f e g são funções contínuas com derivadas parciais contínuas Para resolver esse sistema, podemos utilizar o método de Newton-Raphson.
Sobre o tema, analise as assertivas:
I - O método de Newton-Raphson é um método iterativo que, sob certas condições, como continuidade e diferenciabilidade das funções f e g, e um ponto inicial suficientemente próximo da solução, converge quadraticamente para a solução.
II - O método de Newton-Raphson sempre converge para a solução do sistema, independentemente do ponto inicial escolhido.
A. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
B. As asserções I e II são proposições falsas.
C. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
D. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

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Ed

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Vamos analisar as assertivas: I - O método de Newton-Raphson é um método iterativo que, sob certas condições, como continuidade e diferenciabilidade das funções f e g, e um ponto inicial suficientemente próximo da solução, converge quadraticamente para a solução. Verdadeira. Essa é uma descrição correta do método de Newton-Raphson. II - O método de Newton-Raphson sempre converge para a solução do sistema, independentemente do ponto inicial escolhido. Falsa. O método de Newton-Raphson não garante convergência para qualquer ponto inicial; ele pode divergir se o ponto inicial não estiver suficientemente próximo da solução ou se as condições não forem favoráveis. Com base nessa análise, temos que a assertiva I é verdadeira e a assertiva II é falsa. Portanto, a alternativa correta é: A. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

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Craque Neto

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Considere um sistema linear Ax=b, onde A, a matriz dos coeficientes, é uma matriz quadrada. Os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel são métodos iterativos que podem ser utilizados para resolver esse tipo de problema.
Sobre esses métodos iterativos, assinale a alternativa correta:
A. Quando um novo valor de x é calculado pelo método de Jacobi, ele é imediatamente usado na próxima equação para determinar outro valor de x. Isso não ocorre no método de Gauss-Seidel.
B. Em ambos os métodos é necessário o cálculo da inversa da matriz A para o processo iterativo.
C. O método de Gauss-Seidel sempre converge para a solução exata, independentemente das características da matriz A.
D. O método de Gauss-Seidel faz uso dos valores mais atualizados das variáveis nas próximas iterações, enquanto o método de Jacobi utiliza os valores da iteração anterior.
E. O método de Jacobi converge mais rapidamente que o método de Gauss-Seidel, independentemente das características da matriz A.

Quando resolvemos sistemas de equações não lineares, os gráficos podem ser círculos, parábolas ou hipérboles e podem haver diversos pontos de intersecção com o eixo das abscissas e, portanto, várias soluções. Para resolvermos sistemas de equações não lineares por métodos gráficos, alguns pontos são importantes de serem seguidos/observados.
Sobre o tema, analise as assertivas a seguir:
I - É necessário representar ambas as equações, no mesmo sistemas de coordenadas
II - É preciso verificar se os gráficos se cruzam e identificar esses pontos de intersecção - cada pas ordenado é uma solução para ambas as equações.
III. A resolução gráfica é o método mais preciso para encontrar todas as raízes de um sistema de equações não lineares, especialmente quando o sistema possui um grande número de variáveis.
A. I e III, apenas.
B. II e III, apenas.
C. I, apenas.
D. I e II, apenas.
E. I, II e III.

Na resolução de sistemas lineares de grande porte, métodos numéricos iterativos e diretos são amplamente utilizados. A escolha do método mais adequado depende de diversos fatores, como as características da matriz de coeficientes e a precisão desejada na solução.
Considere um sistema de equações lineares Ax = b, onde A é uma matriz quadrada e x e b são vetores. Analise as afirmativas a seguir sobre métodos numéricos para a solução desse sistema:
I - A técnica de relaxamento representa uma pequena modificação no método de Gauss-Seidel e foi criado para melhorar a convergência. Após cada novo valor de x ser calculado, esse valor é modificado por uma média ponderada dos resultados da iteração anterior e da atual.
II - O método de Gauss-Seidel, um método iterativo, necessita de um vetor inicial como ponto de partida para as iterações, com o objetivo de gerar uma sequência de aproximações que convergem para a solução do sistema.
III - Métodos iterativos, como a eliminação de Gauss com pivoteamento, fornecem a solução exata do sistema linear em um número finito de operações aritméticas, não necessitando de critérios de parada.
A. II e III, apenas.
B. I, II e III.
C. I e II, apenas.
D. III, apenas.
E. I e III, apenas.