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Leia trecho de texto a seguir, sobre o teorema de Bolzano: "Se f(x) assume valores de sinais opostos no intervalo [a,b], isto é, f(a)*f(b)<0, então existe ao menos uma raiz no intervalo."
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre zeros de função, assinale a alternativa com os intervalos [a,b], com a e b inteiros consecutivos, que contenham os zeros da função, para x>−6 e x<6, da função f(x)=x3−9x+3.
A [−5,−4],[−1,0] e [4,5]
B [−1,0],[1,2] e [4,5]
C [−5,−4],[0,1] e [1,2]
D [−4,−3],[0,1] e [2,3]
E [−4,−3],[−1,0] e [2,3]
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Desafios Para o Conhecimento

há 8 meses

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há 8 meses

Prática Cálculo Numérico I
9 pág.

Prática Cálculo Numérico I

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há 8 meses

Para aplicar o teorema de Bolzano, precisamos verificar os sinais da função \( f(x) = x^3 - 9x + 3 \) nos intervalos propostos. O teorema afirma que se \( f(a) \) e \( f(b) \) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz no intervalo \([a, b]\). Vamos calcular \( f(x) \) para os limites de cada intervalo proposto: 1. Alternativa A: \([-5, -4], [-1, 0] e [4, 5]\) - \( f(-5) = (-5)^3 - 9(-5) + 3 = -125 + 45 + 3 = -77 \) (negativo) - \( f(-4) = (-4)^3 - 9(-4) + 3 = -64 + 36 + 3 = -25 \) (negativo) - \( f(-1) = (-1)^3 - 9(-1) + 3 = -1 + 9 + 3 = 11 \) (positivo) - \( f(0) = 0^3 - 9(0) + 3 = 3 \) (positivo) - \( f(4) = 4^3 - 9(4) + 3 = 64 - 36 + 3 = 31 \) (positivo) - \( f(5) = 5^3 - 9(5) + 3 = 125 - 45 + 3 = 83 \) (positivo) Aqui, temos uma mudança de sinal entre \([-1, 0]\), mas não em \([-5, -4]\) e \([4, 5]\). 2. Alternativa B: \([-1, 0], [1, 2] e [4, 5]\) - Já sabemos que \([-1, 0]\) tem mudança de sinal. - \( f(1) = 1^3 - 9(1) + 3 = 1 - 9 + 3 = -5 \) (negativo) - \( f(2) = 2^3 - 9(2) + 3 = 8 - 18 + 3 = -7 \) (negativo) - \( f(4) \) e \( f(5) \) já calculados e são positivos. Aqui, temos mudança de sinal em \([-1, 0]\), mas não em \([1, 2]\). 3. Alternativa C: \([-5, -4], [0, 1] e [1, 2]\) - Já sabemos que \([-5, -4]\) não tem mudança de sinal. - \( f(0) \) e \( f(1) \) já calculados, e temos mudança de sinal entre \([0, 1]\). 4. Alternativa D: \([-4, -3], [0, 1] e [2, 3]\) - \( f(-4) \) e \( f(-3) = (-3)^3 - 9(-3) + 3 = -27 + 27 + 3 = 3 \) (positivo) - Aqui, temos mudança de sinal entre \([-4, -3]\). - \( f(2) \) e \( f(3) = 3^3 - 9(3) + 3 = 27 - 27 + 3 = 3 \) (positivo) 5. Alternativa E: \([-4, -3], [-1, 0] e [2, 3]\) - Já sabemos que \([-4, -3]\) tem mudança de sinal. - \([-1, 0]\) também tem mudança de sinal. - \( f(2) \) e \( f(3) \) já calculados e são positivos. Após a análise, as alternativas que apresentam intervalos com mudança de sinal são: - Alternativa B: \([-1, 0]\) tem mudança de sinal. - Alternativa E: \([-4, -3]\) e \([-1, 0]\) também têm mudança de sinal. A alternativa que contém todos os intervalos com mudança de sinal é a E: \([-4, -3], [-1, 0] e [2, 3]\).

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Leia o trecho a seguir sobre integração numérica: "Os métodos de integração numérica aproximam valores de integrais definidas. A integração numérica é útil quando: Não se conhece a função f. Tem-se apenas uma tabela de valores para f. f é conhecida mas é muito complexa, o que dificulta a determinação de sua primitiva."
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numérico sobre integração numérica e o método dos trapézios, assinale a alternativa cujo valor aproximado é o da integral ∫91√6x−5dx∫196x−5dx, obtido pelo empregando o método dos trapézios com 8 subintervalos.
A 38,33
B 38,02
C 37,97
D 37,82

Leia o trecho sobre o método iterativo linear: "[...] para o caso de uma variável queríamos: f(x)=0. Reescreveríamos na forma x=ψ(x) e obtínhamos o seguinte processo iterativo: xk+1=ψ(xk)."
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre o método iterativo linear e a função f(x)=x2−sen(x)+1, assinale a alternativa cujo valor é o zero da função com valor inicial x0=1.3, pelo método iterativo linear com processo iterativo definido por xn+1=√sen(x)+1, com critério de parada |xn−xn+1| e precisão ϵ=0,001.
A 1,50001244
B 1,3999216
C 1,49325626
D 1,55556611
E 1,409596196

Leia o trecho sobre o método de Newton-Raphson: "Em análise numérica, o método de Newton (ou Método de Newton-Raphson), desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta. Após isso, calcula-se a equação da reta tangente (por meio da derivada) da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz".
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre o método da Newton-Raphson, assinale a alternativa cujo valor é a raiz da função f(x)=x−2sen(x), pelo método de Newton-Raphson, com critério de parada |xn−xn+1|, precisão ϵ=0,001 e valor inicial x0=1,7.
A 1,9752222
B 1,92527796
C 1,8950007
D 1,895494407
E 1,9954075

Leia o trecho a seguir sobre regra do trapézio: "O que caracteriza as quadraturas newtonianas é o espaçamento constante entre os pontos. O caso mais simples é denominado regra do trapézio na qual apenas dois pontos são utilizados. De acordo com o sistema, a quadratura com dois pontos é dada pela fórmula ∫baf(x)dx≈C1f(a)+C2f(b)."
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numérico sobre integração numérica e o método dos trapézios, calcule a integral ∫1,80√1+ex dx, empregando o método dos trapézios com 6 subintervalos. Apresente todo o desenvolvimento.
A 3,612543
B 3,458189182
C 3,33002
D 3,7881
E 3,6666

Considerando os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico e os conteúdos da Aula 1, Videoaula 6, tema 5 - Erro de arredondamento, assinale a alternativa que dá a forma binária do número decimal 13,2510.
A 13,2510=1101,012
B 13,2510=1110,012
C 13,2510=1101,1102
D 13,2510=1101,222
E 13,2510=1101,1012

Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre integração numérica pelo método dos retângulos com altura tomada pela direita, assinale a alternativa cujo valor aproximado é da integral definida, obtida pelo método dos retângulos, com 3 subintervalos, dada por:
∫3011+xdx∫0311+xdx.
A 1,083333
B 1,386294
C 1,235896
D 1,592857
E 1,217857

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