Para resolver a equação diferencial homogênea dada \( y' = \frac{x + y}{2x} \), podemos reescrevê-la na forma padrão e aplicar a técnica de separação de variáveis ou substituição. 1. Reescrevendo a equação: \[ y' = \frac{1}{2} + \frac{y}{2x} \] Isso sugere que podemos usar a substituição \( v = \frac{y}{x} \), o que implica que \( y = vx \) e \( y' = v + x \frac{dv}{dx} \). 2. Substituindo na equação: \[ v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2} + \frac{vx}{2x} \] Simplificando, obtemos: \[ x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{v}{2} \] 3. Separando as variáveis: \[ \frac{2}{1 - v} dv = \frac{1}{x} dx \] 4. Integrando ambos os lados: \[ -2 \ln|1 - v| = \ln|x| + C \] 5. Voltando à variável original \( y \): \[ -2 \ln|1 - \frac{y}{x}| = \ln|x| + C \] Agora, analisando as alternativas: a. \( \ln|y| + 1 = \ln|x| + C \) - Não parece correta. b. \( y = \frac{4}{3} \ln(x) \) - Não é a solução. c. \( y = \frac{1}{2} - \ln|y x + 1| \) - Não parece correta. d. \( \ln|y x + 1| = \frac{1}{2} \ln|x| + C \) - Esta parece ser uma forma correta. e. \( y = x \ln|y| + C \) - Não é a solução. A alternativa correta é: d. \( \ln|y x + 1| = \frac{1}{2} \ln|x| + C \).