1) Determinar a transformada de Laplace da função a) f(t)=4t

Para determinar a transformada de Laplace da função \( f(t) = 4t \), utilizamos a definição da transformada de Laplace: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \] Substituindo \( f(t) \): \[ \mathcal{L}\{4t\} = \int_0^{\infty} e^{-st} (4t) \, dt \] Podemos fatorar o 4 para fora da integral: \[ = 4 \int_0^{\infty} t e^{-st} \, dt \] A integral \( \int_0^{\infty} t e^{-st} \, dt \) é uma integral conhecida e seu resultado é: \[ \int_0^{\infty} t e^{-st} \, dt = \frac{1}{s^2} \quad (s > 0) \] Portanto, substituindo na expressão: \[ \mathcal{L}\{4t\} = 4 \cdot \frac{1}{s^2} = \frac{4}{s^2} \] Assim, a transformada de Laplace da função \( f(t) = 4t \) é: \[ \mathcal{L}\{4t\} = \frac{4}{s^2} \]