Um triângulo retângulo tem um cateto de 9 cm e um ângulo de 30°. Qual é o comprimento do outro cateto? a) 4.5 cm b) 7.5 cm c) 5 cm d) 8 cm

Para resolver essa questão, podemos usar as propriedades do triângulo retângulo e as relações trigonométricas. Em um triângulo retângulo com um ângulo de 30°, o cateto oposto a esse ângulo é metade da hipotenusa. Vamos considerar o cateto de 9 cm como o cateto oposto ao ângulo de 30°. Assim, a hipotenusa (h) pode ser calculada da seguinte forma: \[ h = \frac{9 \, \text{cm}}{\sin(30°)} \] Sabemos que \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), então: \[ h = \frac{9 \, \text{cm}}{\frac{1}{2}} = 18 \, \text{cm} \] Agora, para encontrar o outro cateto (adjacente ao ângulo de 30°), usamos o cosseno: \[ \cos(30°) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \] Sabemos que \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), então: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{cateto adjacente}}{18 \, \text{cm}} \] Multiplicando ambos os lados por 18 cm: \[ \text{cateto adjacente} = 18 \, \text{cm} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \, \text{cm} \] Agora, precisamos calcular o valor de \(9\sqrt{3}\): Aproximando \(\sqrt{3} \approx 1.73\): \[ 9\sqrt{3} \approx 9 \cdot 1.73 \approx 15.57 \, \text{cm} \] No entanto, como estamos buscando o comprimento do outro cateto, que é o cateto adjacente ao ângulo de 30°, podemos usar a relação direta: Se o cateto oposto é 9 cm, o cateto adjacente (que corresponde a 30°) é: \[ \text{cateto adjacente} = 9 \cdot \tan(30°) \] Sabendo que \(\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577\): \[ \text{cateto adjacente} \approx 9 \cdot 0.577 \approx 5.19 \, \text{cm} \] Assim, a opção mais próxima e correta é: c) 5 cm.