Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(4x) - 1}{x^2}\). a) 0 b) -8 c) -4 d) Não existe

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(4x) - 1}{x^2}\), podemos usar a expansão em série de Taylor para \(\cos(4x)\) em torno de \(x = 0\): \[ \cos(4x) \approx 1 - \frac{(4x)^2}{2} + O(x^4) = 1 - 8x^2 + O(x^4) \] Substituindo isso na expressão do limite, temos: \[ \cos(4x) - 1 \approx -8x^2 + O(x^4) \] Assim, a expressão se torna: \[ \frac{\cos(4x) - 1}{x^2} \approx \frac{-8x^2 + O(x^4)}{x^2} = -8 + O(x^2) \] Quando \(x\) se aproxima de 0, o termo \(O(x^2)\) se torna insignificante, e o limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(4x) - 1}{x^2} = -8 \] Portanto, a resposta correta é: b) -8.