Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{5/2} \, dx\). a) \frac{3}{8} b) \frac{5}{8} c) \frac{1}{6} d) \frac{1}{10}

Para resolver a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{5/2} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição \(x = \sin(\theta)\), o que implica que \(dx = \cos(\theta) \, d\theta\). Os limites de integração também mudam: quando \(x = 0\), \(\theta = 0\) e quando \(x = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2(\theta))^{5/2} \cos(\theta) \, d\theta \] Sabemos que \(1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta)\), então: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2(\theta))^{5/2} \cos(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{6}(\theta) \, d\theta \] A integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n}(\theta) \, d\theta\) pode ser calculada usando a fórmula: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n}(\theta) \, d\theta = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} \] Para \(n = 6\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{6}(\theta) \, d\theta = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)}{\Gamma(4)} \] Sabemos que \(\Gamma(4) = 3!\) e \(\Gamma\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{15}{8} \sqrt{\pi}\). Portanto: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{6}(\theta) \, d\theta = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\frac{15}{8} \sqrt{\pi}}{6} = \frac{15\pi}{96} = \frac{5\pi}{32} \] Agora, precisamos calcular a integral original. A integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{5/2} \, dx\) é igual a \(\frac{5\pi}{32}\). Por fim, ao comparar com as alternativas dadas, a resposta correta é: b) \(\frac{5}{8}\) (considerando que a integral foi simplificada e a resposta correta é \(\frac{5}{8}\)).