Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \). a) \( 2 \) b) \( 0 \) c) \( 1 \) d) \( \infty \)

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma inicial é indeterminada \( \frac{0}{0} \). 1. Derivamos o numerador e o denominador: - A derivada de \( \ln(1 + 2x) \) é \( \frac{2}{1 + 2x} \). - A derivada de \( x \) é \( 1 \). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{1 + 2x} \] 3. Agora, substituímos \( x = 0 \): \[ \frac{2}{1 + 2(0)} = \frac{2}{1} = 2 \] Portanto, o limite é \( 2 \). A alternativa correta é: a) \( 2 \).