Um dado é lançado 5 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 3 números pares? a) 0,3125 b) 0,250 c) 0,375 d) 0,500

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial, que é dada por: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de tentativas (neste caso, 5 lançamentos), - \( k \) é o número de sucessos desejados (neste caso, 3 números pares), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (probabilidade de sair um número par em um lançamento de dado). Em um dado, temos 3 números pares (2, 4, 6) e 3 ímpares (1, 3, 5), então a probabilidade de obter um número par em um único lançamento é: \[ p = \frac{3}{6} = 0,5 \] Agora, substituindo os valores na fórmula: - \( n = 5 \) - \( k = 3 \) - \( p = 0,5 \) Calculamos: \[ P(X = 3) = \binom{5}{3} (0,5)^3 (0,5)^{5-3} \] Calculando \( \binom{5}{3} \): \[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ P(X = 3) = 10 \times (0,5)^3 \times (0,5)^2 \] \[ P(X = 3) = 10 \times (0,5)^5 \] \[ P(X = 3) = 10 \times \frac{1}{32} \] \[ P(X = 3) = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} = 0,3125 \] Portanto, a probabilidade de obter exatamente 3 números pares ao lançar um dado 5 vezes é: a) 0,3125.