Qual é o valor de cos(θ) se z = 4(cos(θ) + isin(θ)) e z = -4 - 4i? A) -1/√2 B) -1 C) 0 D) 1/√2

Para resolver a questão, precisamos igualar as duas expressões de \( z \): 1. A primeira expressão é \( z = 4(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \). 2. A segunda expressão é \( z = -4 - 4i \). Podemos reescrever a segunda expressão na forma polar. O módulo de \( z \) é dado por: \[ |z| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] O módulo da primeira expressão é \( 4 \), então precisamos igualar os módulos: \[ 4 = 4\sqrt{2} \quad \text{(não é verdade)} \] Portanto, precisamos encontrar o ângulo \( \theta \) que satisfaça a igualdade. Para isso, vamos igualar as partes reais e imaginárias: - Parte real: \( 4\cos(\theta) = -4 \) - Parte imaginária: \( 4\sin(\theta) = -4 \) Resolvendo a parte real: \[ \cos(\theta) = -1 \] Resolvendo a parte imaginária: \[ \sin(\theta) = -1 \] A única solução que satisfaz ambas as equações é \( \theta = \frac{3\pi}{2} \) (ou \( 270^\circ \)), onde \( \cos(\theta) = -1 \). Portanto, o valor de \( \cos(\theta) \) é: B) -1.