Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx\)? a) 0 b) 1 c) 2 d) \frac{5}{6}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(3x^2 - 4x + 1\). 1. A antiderivada de \(3x^2\) é \(x^3\). 2. A antiderivada de \(-4x\) é \(-2x^2\). 3. A antiderivada de \(1\) é \(x\). Portanto, a antiderivada da função é: \[ F(x) = x^3 - 2x^2 + x \] Agora, vamos calcular a integral definida de \(0\) a \(1\): \[ \int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \(F(1)\): \[ F(1) = 1^3 - 2(1^2) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \] Calculando \(F(0)\): \[ F(0) = 0^3 - 2(0^2) + 0 = 0 \] Portanto: \[ \int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx = 0 - 0 = 0 \] Assim, a resposta correta é: a) 0