Qual é o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 2x^2 + 1}{3x^3 + 5}\)? a) 0 b) \(\frac{1}{3}\) c) 1 d) \(\infty\)

Para calcular o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 2x^2 + 1}{3x^3 + 5}\), vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador. 1. No numerador, o termo de maior grau é \(x^3\). 2. No denominador, o termo de maior grau é \(3x^3\). Assim, podemos simplificar a fração dividindo todos os termos pelo maior grau, que é \(x^3\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3(1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3})}{3x^3(1 + \frac{5}{3x^3})} \] Isso simplifica para: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{3(1 + \frac{5}{3x^3})} \] Quando \(x\) tende a \(\infty\), os termos \(\frac{2}{x}\), \(\frac{1}{x^3}\) e \(\frac{5}{3x^3}\) tendem a 0. Portanto, o limite se torna: \[ \frac{1 + 0 + 0}{3(1 + 0)} = \frac{1}{3} \] Assim, a resposta correta é: b) \(\frac{1}{3}\).