Resolva a equação z^3 - 8 = 0. a) 2 b) -2 c) 2, -1 + i, -1 - i d) 2, -1 + √3i, -1 - √3i

Para resolver a equação \( z^3 - 8 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = 8 \). Sabemos que \( 8 \) pode ser escrito como \( 2^3 \). Portanto, uma solução é \( z = 2 \). Agora, precisamos encontrar as outras soluções. As raízes cúbicas de um número podem ser encontradas usando a forma polar. O número \( 8 \) pode ser representado na forma polar como \( 8(\cos 0 + i \sin 0) \). As raízes cúbicas são dadas por: \[ z_k = 2 \left( \cos \left( \frac{2k\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{2k\pi}{3} \right) \right) \quad \text{para } k = 0, 1, 2 \] Calculando para \( k = 0 \): - \( z_0 = 2 \) Calculando para \( k = 1 \): - \( z_1 = 2 \left( \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 + \sqrt{3}i \) Calculando para \( k = 2 \): - \( z_2 = 2 \left( \cos \left( \frac{4\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{4\pi}{3} \right) \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 - \sqrt{3}i \) Portanto, as soluções da equação \( z^3 - 8 = 0 \) são: - \( z = 2 \) - \( z = -1 + \sqrt{3}i \) - \( z = -1 - \sqrt{3}i \) A alternativa correta é: d) \( 2, -1 + \sqrt{3}i, -1 - \sqrt{3}i \).