Qual é o valor de \( \tan(60^\circ + 30^\circ) \)? A) \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) B) 1 C) 0 D) \( \sqrt{3} \)

Para calcular \( \tan(60^\circ + 30^\circ) \), podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \] Neste caso, \( a = 60^\circ \) e \( b = 30^\circ \). Sabemos que: - \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \) - \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) Substituindo na fórmula: \[ \tan(60^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(60^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(60^\circ) \tan(30^\circ)} = \frac{\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Calculando o denominador: \[ 1 - \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 - 1 = 0 \] Isso indica que a tangente de \( 90^\circ \) (que é o resultado de \( 60^\circ + 30^\circ \)) não está definida, mas podemos verificar que \( \tan(90^\circ) \) tende ao infinito. No entanto, como a pergunta pede o valor de \( \tan(60^\circ + 30^\circ) \) e não está entre as opções, vamos considerar que a soma é \( 90^\circ \) e que a tangente não é um valor numérico definido. Dentre as opções apresentadas, a resposta correta é que a tangente de \( 90^\circ \) não é um número real, mas se considerarmos a soma de \( 60^\circ + 30^\circ \) como um valor que se aproxima de \( \infty \), não se encaixa nas opções dadas. Portanto, a resposta correta não está entre as opções apresentadas.