Calcule o valor de \(\sin(2x)\) se \(\sin(x) = \frac{1}{2}\). a) \(\frac{1}{2}\) b) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) c) 1 d) 0

Para calcular \(\sin(2x)\) usando a identidade trigonométrica, podemos usar a fórmula: \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] Sabemos que \(\sin(x) = \frac{1}{2}\). Agora, precisamos encontrar \(\cos(x)\). Para isso, podemos usar a relação fundamental da trigonometria: \[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] Substituindo \(\sin(x)\): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2(x) = 1 \] \[ \frac{1}{4} + \cos^2(x) = 1 \] \[ \cos^2(x) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] Portanto, \(\cos(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\). Agora, substituímos na fórmula de \(\sin(2x)\): \[ \sin(2x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(x) = \cos(x) \] Assim, temos duas possibilidades para \(\sin(2x)\): 1. Se \(\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), então \(\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Se \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), então \(\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Como a pergunta não especifica o quadrante, mas considerando que \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) ocorre em \(x = 30^\circ\) ou \(x = 150^\circ\), a resposta mais comum e positiva é: A alternativa correta é b) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).