Calcule \( \int x e^{-x} \, dx \). A) \( -xe^{-x} - e^{-x} + C \) B) \( xe^{-x} + C \) C) \( e^{-x} + C \) D) \( -xe^{-x} + C \)

Questões Para a Compreensão

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Para resolver a integral \( \int x e^{-x} \, dx \), podemos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \( u = x \) (então \( du = dx \)) - \( dv = e^{-x} \, dx \) (então \( v = -e^{-x} \)) Agora, aplicando a fórmula: \[ \int x e^{-x} \, dx = -xe^{-x} - \int -e^{-x} \, dx \] A integral que resta é: \[ \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} \] Substituindo de volta, temos: \[ \int x e^{-x} \, dx = -xe^{-x} + e^{-x} + C \] Simplificando, obtemos: \[ \int x e^{-x} \, dx = -xe^{-x} + (1)e^{-x} + C = -xe^{-x} - e^{-x} + C \] Portanto, a alternativa correta é: A) \( -xe^{-x} - e^{-x} + C \)

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Encontre o valor de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx \).

A) \( \frac{\pi}{4} \)
B) \( \frac{\pi}{2} \)
C) \( \frac{1}{4} \)
D) \( \frac{1}{3} \)

A equação \( y'' - y' - 2y = 0 \) tem a solução:

A) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \)
B) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{2x} \)
C) \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} \)
D) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} \)

Qual é o resultado de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{2x^2 + 4} \)?

A) 0
B) \(\frac{5}{2}\)
C) \(\infty\)
D) 1

Determine o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \).

A) 0
B) 1
C) \( \frac{1}{2} \)
D) Não existe

Qual é a antiderivada da função \( g(x) = \log(x) \)?

A) \( x \log(x) - x + C \)
B) \( x + C \)
C) \( \frac{x^2}{2} + C \)
D) \( \log(|x|) + C \)

O que é o valor da série convergente \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)?

A) \( \frac{\pi^2}{6} \)
B) 1
C) 0
D) \( \frac{\pi^2}{4} \)

Calcule \( \int_0^1 \sin(x^2) \, dx \) usando a técnica de substituição.

A) aproxima-se de \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
B) não tem forma fechada.
C) \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) + C
D) Vale para outras funções.

Cálculo

Calcule \( \int x e^{-x} \, dx \). A) \( -xe^{-x} - e^{-x} + C \) B) \( xe^{-x} + C \) C) \( e^{-x} + C \) D) \( -xe^{-x} + C \)

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Encontre o valor de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx \).

A) \( \frac{\pi}{4} \)
B) \( \frac{\pi}{2} \)
C) \( \frac{1}{4} \)
D) \( \frac{1}{3} \)

A equação \( y'' - y' - 2y = 0 \) tem a solução:

A) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \)
B) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{2x} \)
C) \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} \)
D) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} \)

Qual é o resultado de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{2x^2 + 4} \)?

A) 0
B) \(\frac{5}{2}\)
C) \(\infty\)
D) 1

Determine o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \).

A) 0
B) 1
C) \( \frac{1}{2} \)
D) Não existe

Qual é a antiderivada da função \( g(x) = \log(x) \)?

A) \( x \log(x) - x + C \)
B) \( x + C \)
C) \( \frac{x^2}{2} + C \)
D) \( \log(|x|) + C \)

O que é o valor da série convergente \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)?

A) \( \frac{\pi^2}{6} \)
B) 1
C) 0
D) \( \frac{\pi^2}{4} \)

Calcule \( \int_0^1 \sin(x^2) \, dx \) usando a técnica de substituição.

A) aproxima-se de \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
B) não tem forma fechada.
C) \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) + C
D) Vale para outras funções.

Encontre \( \lim_{x \to 3} (2x + 1) \).

A) 7
B) 6
C) 5
D) 3

Qual é a função primitiva de f(x) = sec^2(x)?

A) tan(x) + C
B) -cot(x) + C
C) sin(x) + C
D) cos(x) + C

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A equação \( y'' - y' - 2y = 0 \) tem a solução:A) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \)B) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{2x} \)C) \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} \)D) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} \)

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Determine o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \).A) 0B) 1C) \( \frac{1}{2} \)D) Não existe

Qual é a antiderivada da função \( g(x) = \log(x) \)?A) \( x \log(x) - x + C \)B) \( x + C \)C) \( \frac{x^2}{2} + C \)D) \( \log(|x|) + C \)

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Calcule \( \int_0^1 \sin(x^2) \, dx \) usando a técnica de substituição.A) aproxima-se de \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)B) não tem forma fechada.C) \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) + CD) Vale para outras funções.

Encontre \( \lim_{x \to 3} (2x + 1) \).A) 7B) 6C) 5D) 3

Qual é a função primitiva de f(x) = sec^2(x)?A) tan(x) + CB) -cot(x) + CC) sin(x) + CD) cos(x) + C

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A) \( \frac{\pi}{4} \)
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D) \( \frac{1}{3} \)

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A) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \)
B) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{2x} \)
C) \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} \)
D) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} \)

Qual é o resultado de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{2x^2 + 4} \)?

A) 0
B) \(\frac{5}{2}\)
C) \(\infty\)
D) 1

Determine o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \).

A) 0
B) 1
C) \( \frac{1}{2} \)
D) Não existe

Qual é a antiderivada da função \( g(x) = \log(x) \)?

A) \( x \log(x) - x + C \)
B) \( x + C \)
C) \( \frac{x^2}{2} + C \)
D) \( \log(|x|) + C \)

O que é o valor da série convergente \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)?

A) \( \frac{\pi^2}{6} \)
B) 1
C) 0
D) \( \frac{\pi^2}{4} \)

Calcule \( \int_0^1 \sin(x^2) \, dx \) usando a técnica de substituição.

A) aproxima-se de \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
B) não tem forma fechada.
C) \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) + C
D) Vale para outras funções.

Encontre \( \lim_{x \to 3} (2x + 1) \).

A) 7
B) 6
C) 5
D) 3

Qual é a função primitiva de f(x) = sec^2(x)?

A) tan(x) + C
B) -cot(x) + C
C) sin(x) + C
D) cos(x) + C