Calcule \( \int x^2 e^{-x} \, dx \). a) \( -x^2 e^{-x} + 2xe^{-x} + 2e^{-x} + C \) b) \( -2 e^{-x} + C \) c) \( -e^{-x} + C \) d) \( e^{-x} + C \)

Para resolver a integral \( \int x^2 e^{-x} \, dx \), podemos usar o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Escolhemos: - \( u = x^2 \) (então \( du = 2x \, dx \)) - \( dv = e^{-x} \, dx \) (então \( v = -e^{-x} \)) Agora, aplicamos a fórmula: \[ \int x^2 e^{-x} \, dx = -x^2 e^{-x} - \int -e^{-x} (2x) \, dx \] Isso se simplifica para: \[ \int x^2 e^{-x} \, dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} \, dx \] Agora, precisamos calcular \( \int x e^{-x} \, dx \) novamente usando integração por partes. Escolhemos: - \( u = x \) (então \( du = dx \)) - \( dv = e^{-x} \, dx \) (então \( v = -e^{-x} \)) Aplicando a fórmula novamente: \[ \int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - \int -e^{-x} \, dx \] Isso se simplifica para: \[ \int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} + e^{-x} \] Substituindo isso de volta na nossa integral original: \[ \int x^2 e^{-x} \, dx = -x^2 e^{-x} + 2(-x e^{-x} + e^{-x}) \] Simplificando: \[ \int x^2 e^{-x} \, dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} + 2e^{-x} + C \] Portanto, a resposta correta é: a) \( -x^2 e^{-x} + 2xe^{-x} + 2e^{-x} + C \)