Para calcular a integral \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx\), podemos usar o método de integração por partes ou a técnica de integração de funções exponenciais e trigonométricas. Vamos aplicar a técnica de integração por partes duas vezes. Definimos: 1. \(u = \cos(x)\) e \(dv = e^{-x} dx\) 2. Então, \(du = -\sin(x) dx\) e \(v = -e^{-x}\) Aplicando a integração por partes: \[ \int e^{-x} \cos(x) \, dx = -e^{-x} \cos(x) - \int -e^{-x} (-\sin(x)) \, dx \] \[ = -e^{-x} \cos(x) + \int e^{-x} \sin(x) \, dx \] Agora, precisamos calcular \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx\) da mesma forma. Definimos: 1. \(u = \sin(x)\) e \(dv = e^{-x} dx\) 2. Então, \(du = \cos(x) dx\) e \(v = -e^{-x}\) Aplicando novamente a integração por partes: \[ \int e^{-x} \sin(x) \, dx = -e^{-x} \sin(x) - \int -e^{-x} \cos(x) \, dx \] \[ = -e^{-x} \sin(x) + \int e^{-x} \cos(x) \, dx \] Agora, temos um sistema de duas equações: 1. \(I = -e^{-x} \cos(x) + J\) 2. \(J = -e^{-x} \sin(x) + I\) Onde \(I = \int e^{-x} \cos(x) \, dx\) e \(J = \int e^{-x} \sin(x) \, dx\). Substituindo \(J\) na primeira equação: \[ I = -e^{-x} \cos(x) - e^{-x} \sin(x) + I \] Isolando \(I\): \[ 0 = -e^{-x} \cos(x) - e^{-x} \sin(x) \] Portanto, a solução da integral é: \[ \int e^{-x} \cos(x) \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} \sin(x) - \frac{1}{2} e^{-x} \cos(x) + C \] Assim, a alternativa correta é: a) \(-\frac{1}{2} e^{-x} \sin(x) - \frac{1}{2} e^{-x} \cos(x) + C\)