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Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\).

a) \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C
b) \tan^{-1}(x) + C
c) \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C
d) \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C
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Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\), podemos usar a substituição que envolve a função arco-tangente. Sabemos que a integral da forma \(\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx\) é dada por \(\frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C\). No seu caso, temos \(a^2 = 4\), então \(a = 2\). Assim, a integral se torna: \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) - Correta. b) \(\tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. c) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. d) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\).

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a) -\frac{1}{2} e^{-x} \sin(x) - \frac{1}{2} e^{-x} \cos(x) + C
b) -e^{-x} \sin(x) + C
c) -e^{-x} \cos(x) + C
d) -\frac{1}{2} e^{-x} \cos(x) + C

Determine a derivada de \(f(x) = e^{x^2} \sin(x)\).

a) 2xe^{x^2} \sin(x) + e^{x^2} \cos(x)
b) 2xe^{x^2} \cos(x) + e^{x^2} \sin(x)
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d) 2xe^{x^2} \sin(x) + e^{x^2} \cos(x)

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