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Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\). a) 1 b) 2 c) 0 d) Infinito

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Para determinar o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\), podemos usar a fatoração do numerador. O polinômio \(x^3 - 1\) pode ser fatorado como \((x - 1)(x^2 + x + 1)\). Assim, temos: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} \] Cancelando \(x - 1\) (desde que \(x \neq 1\)), ficamos com: \[ \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) \] Agora, substituímos \(x = 1\): \[ 1^2 + 1 + 1 = 3 \] Portanto, o limite é 3. No entanto, essa opção não está entre as alternativas. Vamos revisar as opções: a) 1 b) 2 c) 0 d) Infinito Nenhuma das alternativas está correta. O limite correto é 3. Você pode querer verificar se as opções estão corretas ou se houve um erro na formulação da pergunta.

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Calcule a integral \(\int e^{-2x} \sin(3e^{-2x}) \, dx\).

a) -\frac{1}{13} e^{-2x} \sin(3e^{-2x}) + C
b) \frac{1}{13} e^{-2x} \cos(3e^{-2x}) + C
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Determine a derivada de \(f(x) = x^5 \ln(x)\).

a) 5x^4 \ln(x) + x^4
b) 5x^4 \ln(x) + 5x^4
c) 5x^4 \ln(x) + 4x^4
d) 5x^4 \ln(x) + x^5

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a) 0
b) \frac{1}{4}
c) \frac{1}{3}
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a) 1
b) 4
c) 0
d) Infinito

Calcule a integral \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx\).

a) -\frac{1}{2} e^{-x} \sin(x) - \frac{1}{2} e^{-x} \cos(x) + C
b) -e^{-x} \sin(x) + C
c) -e^{-x} \cos(x) + C
d) -\frac{1}{2} e^{-x} \cos(x) + C

Determine a derivada de \(f(x) = e^{x^2} \sin(x)\).

a) 2xe^{x^2} \sin(x) + e^{x^2} \cos(x)
b) 2xe^{x^2} \cos(x) + e^{x^2} \sin(x)
c) e^{x^2} \sin(x)
d) 2xe^{x^2} \sin(x) + e^{x^2} \cos(x)

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