Para encontrar a equação geral da elipse a partir das equações paramétricas dadas, vamos primeiro expressar \(x\) e \(y\) em termos de \(\cos(\theta)\) e \(\sin(\theta)\): 1. As equações paramétricas são: - \(x = 1 + 2 \cos(\theta)\) - \(y = 5 + \sin(\theta)\) 2. Isolando \(\cos(\theta)\) e \(\sin(\theta)\): - \(\cos(\theta) = \frac{x - 1}{2}\) - \(\sin(\theta) = y - 5\) 3. Usando a identidade \(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\): \[ \left(\frac{x - 1}{2}\right)^2 + (y - 5)^2 = 1 \] 4. Expandindo a equação: \[ \frac{(x - 1)^2}{4} + (y - 5)^2 = 1 \] 5. Multiplicando toda a equação por 4 para eliminar o denominador: \[ (x - 1)^2 + 4(y - 5)^2 = 4 \] 6. Expandindo: \[ (x^2 - 2x + 1) + 4(y^2 - 10y + 25) = 4 \] \[ x^2 - 2x + 1 + 4y^2 - 40y + 100 = 4 \] 7. Simplificando: \[ x^2 + 4y^2 - 2x - 40y + 97 = 0 \] Agora, vamos analisar as alternativas: a. \(x^2 + 4y^2 - 2x - 40y + 97 = 0\) - Esta é a equação que encontramos. b. \(x^2 + 5y^2 - 2x - 4y + 7 = 0\) - Não corresponde. c. \(2x^2 + y^2 - 5y + 19 = 0\) - Não corresponde. d. \(x^2 + y^2 - 2x - 40y + 100 = 0\) - Não corresponde. e. \(4x^2 + y^2 - 2x - 10y + 25 = 0\) - Não corresponde. Portanto, a alternativa correta é: a. \(x^2 + 4y^2 - 2x - 40y + 97 = 0\).